Sur les remplissages holomorphes équivariants

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Sur les remplissages holomorphes équivariants

Benoit Kloeckner

To cite this version:

Benoit Kloeckner. Sur les remplissages holomorphes équivariants. Annales de l’Institut Fourier,

Association des Annales de l’Institut Fourier, 2007, 57 (6), pp.2041-2061. �hal-00109661�

hal-00109661, version 1 - 25 Oct 2006

Benoît Kloe kner

25 o tobre 2006

1 Introdu tion

1.1 Remplissages équivariants

Lanotion de remplissage d'une stru ture géométrique est très largement étudiée. Nous nous proposons d'en étudier une version dynamique dans un adre CR. Introduisons pour ela une dénition.

Définition 1 (remplissage équivariant)  Soit

M

une variété CR dedimension

2n−1

et

F

unsous-groupede

Aut(M)

. Onappelle remplis-sage holomorphe (ou simplement remplissage) de

M

toute variété omplexe à bord

R

de dimension

n

telle qu'il existe un isomorphisme CR

d : M → ∂R

En onjuguantpar

d

,l'a tionde

F

sur

M

donneunea tion de

F

sur

∂R

. Si elle se prolonge en une a tion sur

R

par biholomorphismes, on dit que

R

est un remplissage de

M

équivariantrelativementà

F

.

Commeonne pré ise pas l'isomorphisme

d

dans un remplissage, e n'est en fait que la lasse de onjugaison de

F

dans

Aut(M)

qui nous importe. Une dénition pré ised'une variété omplexe àbord est donnée à lase tion 1.4.

ÉtantdonnéeunevariétéCRsurlaquelleagitungroupe,onpeut her her à lasser les remplissages de la variété qui sont équivariants relativement à l'a tion. Dans et arti le, on se restreint au as des variétés stri tement pseudo onvexes. Parmi elles- i, seule la sphère standard admet une dy-namiqueri he ommelemontre lethéorèmesuivant.Onappellesphère stan-dard et on note

S

2n−1

la variété CR abstraite isomorphe à la sphère unité

{

P

n

_i=1

|z

i

|

2

= |z

0

|}

de P

n

Théorème 2 (WebsterS hoen [9℄) Soit

M

unevariétéCR om-pa te et stri tement pseudo onvexe de dimension

2n − 1

. Si

Aut(M)

est non ompa t, alors

M

est CR-équivalente à lasphère standard

S

2

n−1

.

Onse on entrepar onséquentsurlasphèrestandardetlessous-groupes fermés non ompa ts de son groupe d'automorphismes SU(

1, n

). De plus on se restreint au as

n = 2

.

Commelasphèrestandard eststri tementpseudo onvexe, sesdeux tés ne jouent pas des rles symétriques. Un remplissage

R

est dit onvexe ou on ave selonle té du bord o upépar l'intérieurde

R

.

Plongée ommesphèreunitédansP

2

,

S

2

n−1

ydé oupedeux omposantes onnexes non isomorphes. On note

B

la boule standard dénie par l'équa-tion

{

P

n

i=1

|z

i

|

2

< |z

0

|}

etP

2

\ B

son omplémentaire.Cesdeux remplissages sont respe tivement onvexe et on ave. Ils sont tous deux équivariants rel-ativement à SU(

1, 2

) ar l'a tion de elui- i sur la sphère se prolongeà tout P

2

.

Le as des remplissages onvexes équivariantest assez simple. Proposition 3  Soit

R

un remplissage onvexe de

S

3

équivariant rela-tivement à un sous-groupe fermé non ompa t de SU(

1, 2

). Alors

R

est iso-morphe à laboule standard

B

.

Notons que sans l'hypothèse d'équivarian e, on dispose de résultats im-portants(et beau oup plus profonds).Citonsen parti ulierune onséquen e des remplissagespar disques holomorphes.

Théorème 4 (Eliashberg [2℄)  Soit

M

une variété CR de dimen-sion

3

diéomorpheàlasphèreetstri tementpseudo onvexe.Unremplissage onvexe de

M

est diéomorphe à la boule fermée éventuellement é latée en quelques points.

Sousl'hypothèsed'équivarian e,le as on aveestun peu plussubtilque le as onvexe. On ne peut plus espérer l'uni ité ar on onstruit fa ilement diérents exemples à partir de P

2

\ B

. Choisissons un élément hyperbolique ou parabolique

φ

de SU(

1, 2

)( 'est-à-dire un élémentqui engendre un sous-groupe fermé non ompa t). Alors

φ

agit sur P

2

\ B

et s'il admet un point xe

p

en dehors du bord, onpeut é laterP

2

\ B

en

p

pour obtenirun nouvel exemple. Eneet

φ

agiten ore sur l'é latéetengendreun groupefermé non ompa t. On peut ontinuer à é later des points xes de l'a tion de

φ

pour obtenirdenombreuxexemples.Ces remplissages on avesde

S

3

sontappelés é latements standards de P

2

\ B

.

Notre but est de démontrer le résultatsuivant. Théorème 5 Considéronslasphèrestandard

S

3

etunsous-groupe

F

de

Aut(S

3

) =

SU(

1, 2

). Si

F

est non ompa tetfermé dans

Aut(S

3

remplissage on ave de

S

3

équivariant relativement à

F

est un é latement standard de P

2

\ B

.

Notonsqu'ilestvaind'espérer lassierpré isémentlesvariétés omplexes à bord stri tement pseudo on ave sans l'hypothèse d'équivarian e. En eet privern'importequellevariétéd'undomainestri tementpseudo onvexein lu dans l'une de ses artes fournit une grande diversité d'exemples.

Pour se onvain reque demanderseulement lanon- ompa ité du groupe d'automorphismes holomorphes du remplissage ne rend pas le problème a - essible, onsidérons un exemple édiant dû à M Mullen.

1.2 L'exemple de M Mullen

Dans [6℄, M Mullen dé rit une surfa e K3 (et plus ré emment dans [7℄, des surfa es rationnelles)possédantun automorphisme

φ

umulant les deux propriétés suivantes :

1. il est d'entropie positive; 2. il admetun domainede Siegel.

Comme

φ

est d'entropie positive, il engendre un groupe non ompa t. Mais le domainede Siegelest par dénition un ouvert de lasurfa e dans lequel

φ

est onjuguéàunerotation,don il ontientunouvert stablebiholomorpheà laboulestandard. Sionprivelasurfa ede etouvert, onobtientunesurfa e à bord stri tement pseudo on ave possédant un automorphisme d'entropie positive.L'imagedugroupeengendrépar

φ

danslegrouped'automorphismes du bord est relativement ompa teet l'in lusionne peut pas être propre.

Enun sens, onpeut dire que ladynamique de la surfa e ainsi onstruite reste à l'é art du bord.

1.3 Reformulations

Dans ettese tion,nousproposonsunese ondeinterprétationduthéorème 5.

Remarquonstoutd'abordquelegroupedesautomorphismesd'unevariété omplexe àbord s'inje te naturellementdans legroupedes automorphismes CRdu bord.Toutefois ette inje tion, ommeonle verra plus bas, n'est pas né essairement propre.

Corollaire 6  Soit

X

une surfa e omplexe à bord stri tement pseu-do on ave.Si

1. le groupe d'automorphisme de

X

est non ompa t et 2. l'in lusion de

Aut(X)

dans

Aut(∂X)

est propre

alors

X

est un é laté de P

2

\ B

, obtenu omme dans le théorème 5.

Ceténon édé ouleduthéorème5grâ eauthéorèmedeWebsterS hoen: nos hypothèses assurent que le groupe d'automorphismes du bord est non ompa t, don que le bord est bienla sphère standard.

On peut en ore reformuler lerésultat en terme de sphère invariante. Corollaire 7  Soit

X

une surfa e omplexe sans bord. Si

1.

X

possède une hypersurfa e réelle plongée

H

qui la dé onne te et 2. legroupedesautomorphismesde

X

quipréservent

H

yinduitungroupe

fermé non ompa t d'automorphismes CR alors

X

est né essairement un é laté de P

2

, obtenu ommedans lethéorème 5.

Pour se ramener à ette forme, il sut de onstater que le remplissage on ave peut être omplété par un remplissage onvexe par la boule pour donner une variété omplexe sans bord (voirla démonstrationplus loin).

1.4 Variétés omplexes à bord

On peut généraliser de lafaçon suivante lanotion de variété omplexe. Définition 8 (variété omplexe à bord)  Soient

X

un espa e topologique para ompa t séparé et

n

un entierpositif.On appelle arte om-plexe (de dimension

n

) de

X

tout quadruplet

U

= (U, ϕ, H, A)

où

1.

U

est un ouvert de

X

, appelé domaine de la arte; 2.

A

est un ouvert de

C

n

et :

 soit

H

est une hypersurfa e analytique réelle de

A

et

A \ H

a deux omposantes onnexes

D

+

et

D

−

,

 soit

H

est vide et on note

D

+

= A

;

3.

ϕ

est un homéomorphismede

U

vers

D

+

∪ H

.

Deux artes omplexes

(U, ϕ, H, D)

et

(V, ψ, K, E)

sont dites ompatibles si le hangement de oordonnées

ψ ◦ ϕ

−1

: ϕ(U ∩ V ) −→ ψ(U ∩ V )

se prolonge en un biholomorphisme dans un voisinage de son domaine de dénition vers un voisinage de son image. On onsidère ette ondition sat-isfaitesi

U ∩V = ∅

.Unatlas omplexeestunensemblede artes ompatibles dont les domaines re ouvrent

X

.

On appellevariété omplexeàbord dedimension

n

un espa e topologique para ompa t

X

muni d'un atlas omplexe.

opération anodine; on dit que deux atlas sont équivalents si leur union est en oreun atlas etonidentie en faitlastru turede variété omplexeàbord à la lasse d'équivalen e de l'atlas hoisi.

Unevariété omplexeà bord est naturellementmunie d'une stru ture de variétédiérentielle àbord.

L'intérieurd'une variété omplexe àbord est muni d'une stru ture om-plexe tandisque sonbordporteune stru ture CR,dénie lo alementparles artes.

D'aprèslethéorèmede NewlanderNirenberg, unevariétéréelle

X

munie d'un opérateur omplexe (

J : T X → T X

,

J

2

= −

Id) déni et intégrable jusqu'à un voisinagedu bord est une variété omplexeà bord.

Définition 9 (isomorphisme)  Soient

X

et

Y

deux variétés om-plexes à bord. Un homéomorphisme

F : X → Y

est un isomorphisme om-plexe sipour toute arte

V

de

Y

,

F

∗

_V

est ompatible à toute arte de

X

. Si

X = Y

, on parle d'automorphisme.

Un isomorphisme n'est don rien d'autre qu'un biholomorphisme qui se prolonge àun voisinage du bord.

2 Dynamique de SU(

1, 2

)

Nous aurons besoin de bien omprendre les éléments hyperboliques et paraboliques de SU(

1, 2

) pour mener à bien la démonstration du théorème 5.Enparti ulier,nous sommesintéressés par leursbassins d'attra tionetde répulsion.

DanslasuiteonutilisesurP

2

des oordonnéeshomogènes

[x : y : z]

eton note

Q

la formehermitienne

|x|

2

+ |y|

2

− |z|

2

.La boule unité

B

s'é rit ainsi

{Q < 0}

.

Le théorème du point xe de Brouwer implique que haque élément de SU(

1, 2

)admet un point xedans laboule fermée

B

. On peut les lasser en trois atégories : un élémentde SU(

1, 2

) est

 elliptiques'ilxe un pointde

B

;

 parabolique s'il ne xe au un point de

B

mais exa tement un point de

∂B

;

 hyperbolique s'ilne xeau unpointde

B

maisexa tementdeux points de

∂B

,

et tout élément est d'un de es trois types. Remarquons qu'un point de P

2

xé par

A ∈

SU(

1, 2

) orrespond à un ve teur proprede lamatri e

A

.

L'algèbre de Lie ontient beau oup d'information sur le groupe, et se prête souvent mieux aux al uls. Les éléments de

su

(

1, 2

) sont les matri es

3 × 3

de la forme

A =





−i(b

1

+ b

2

)

l

1

l

2

l

1

ib

1

c

l

2

−c ib

2





(1)

où

b

1

et

b

2

sont des nombres réels tandis que

l

1

,

l

2

et

c

sont des nombres omplexes.

Un élément de

su

(

1, 2

) est dit elliptique, parabolique ou respe tivement hyperboliquesi l'adje tifs'appliqueà son exponentielle.

Nous nous intéressons maintenant aux transformations paraboliques et hyperboliques, qui nous seront utiles par la suite.

2.2 Éléments hyperboliques

Pardénition, un élémenthyperbolique

A ∈

SU(

1, 2

) adeux pointsxes

p

1

et

p

2

dans

∂B

. Par ha un de ses points, il passe exa tement une droite proje tive tangente à la sphère

∂B

, dont la dire tionest la droite omplexe

ξ

p

i

⊂ T

p

i

∂B

de la distribution de onta t sous-ja ente à la stru ture CR. Ces deux droites

L

1

,

L

2

se oupent en un point

q

de P

2

et ommeelles sont globalementpréservées,

q

est un pointxepourl'a tionproje tivede

A

.Ces trois points non alignés orrespondent à trois ve teurs propres linéairement indépendants, iln'y en a don pas d'autre.

L'a tiondeSU(

1, 2

)est deux foistransitivesur

∂B

;quitteà onjuguer

A

onpeutdon supposer queles

p

i

sontlespoints

[1 : 1 : 0]

et

[1 : −1 : 0]

.Alors

q

doit être le point

[0 : 0 : 1]

, interse tion des droites

{x = y}

et

{x = −y}

. En utilisant (1) onpeut é rire

A

sous laforme

A = exp





ib

l

ib

l

0

0

0

0 −2ib





(2)

où

l 6= 0

et

b

sont des nombres réels. Quitte à onsidérer

−A

qui a lamême a tion sur P

2

,onpeut supposer

l > 0

.Lesvaleurs propresde

A

sont

exp(l +

ib)

,

exp(−l +ib)

,

exp(−2ib)

et

A

est diagonalisable.Un al ulen oordonnées proje tives permet de déterminer la nature des trois points xes. L'un des pointsxes du bord,disons

p

1

, est attra tifave valeurspropres

exp(−2l)

et

exp(−l −3ib)

.L'autreestrépulsifave valeurspropres

exp(2l)

et

exp(l −3ib)

. Enn,

q

est hyperbolique ave valeurs propres

exp(−l + 3ib)

et

exp(l + 3ib)

.

Sur la gure 1, la sphère

∂B

est représentée en dimension

2

au lieu de

3

et les droites omplexes sont représentées par des lignes.

Fig. 1 Dynamique d'une transformation hyperbolique

Le bassin d'attra tion de

p

1

est P

2

\ L

2

, le bassin de répulsion de

p

2

est P

2

\ L

1

. L'union des deux bassins est don P

2

\ {q}

.

2.3 Éléments paraboliques

Considérons maintenant un élément parabolique

a ∈ su

(

1, 2

) et

A

son exponentielle. Quitte à onjuguer, on peut supposer que son unique point xe aubord est

p = [1 : 1 : 0]

.

L'a tion de

A

sur la droite proje tive

L

passant par

p

et tangente à

∂B

ne peut être hyperbolique, don la valeur propre de

a

asso iée au ve teur propre

(1, 1, 0)

est imaginairepure eton peut é rire

a =





−i(d

1

+ d

2

)

i d

1

+

1

₂

d

2

c

−i d

1

+

1

2

d

2

id

1

c

c

−c

id

2





(3)

où

d

1

et

d

2

sontréels et

c

est omplexe. Lesvaleurspropres de

a

sont

id

2

et

−id

2

/2

ave multipli ité

2

. Onpeut maintenantdistinguertrois as, selonla forme de Jordan de

A

.

Si

d

2

6= 0

,

p

dénit l'unique dire tion propre asso iée à la valeur propre

−id

2

/2

don

a

n'est pas diagonalisable etla formede Jordan de

A

est







e

−

i

d2

2

1

0

0

e

−

i

d2

2

0

0

0

e

id

2







(4)

L'a tion de

A

sur

L

est alors onjuguée à une rotationde P

1

et

A

admet un deuxième point xe

q ∈ L

. Sur la gure 2, on a ette fois représenté

L

par une se tionplane pour y montrer la rotation.

Fig. 2 Dynamique d'une transformation paraboliqueà deux pointsxes

Dans e as le bassin d'attra tionde

p

est P

2

\ L

.

Si

d

2

= 0

et

c = 0

,

a

est nilpotente d'ordre

2

, la forme de Jordan de

A

est





1 1 0

0 1 0

0 0 1





(5)

et

A

xe haque point de

L

(voirlagure 3).

Fig. 3  Dynamique d'une transformation parabolique xant haque point d'une droite

Dans e as le bassin d'attra tionde

p

est en oreP

2

\ L

.

Ennsi

d

2

= 0

et

c 6= 0

,

a

est nilpotented'ordre

3

,laformede Jordan de

A

est





1 1 0

0 1 1

0 0 1



et

p

est son seul pointxe, àla fois attra tifet répulsif (voir lagure 4).

Fig.4  Dynamique d'une transformationparaboliquexantun seul point

Dans e as le bassin d'attra tionest tout P

2

.

On obtient don lerésultat suivantqui est une des lés du théorème 5. Lemme 10  Soit

g

un élément parabolique ou hyperbolique de SU(

1, 2

). Notons

p

+

lepointxeattra tifde

g

,

p

−

sonpointxerépulsifs'ilestdiérent et

L

+

la droite proje tive tangenteà la sphère unitéen

p

+

.

Tout ouvert de P

2

ontenant l'union du bassin d'attra tion de

p

+

et du bassin de répulsion de

p

−

ontient :

1. un voisinage de la boule unité fermée et

2. la famille des droites proje tives passant par

p

+

, sauf éventuellement

L

+

.

3 Remplissages de la sphère

Dans ettedernièrese tionnousdonnonsunedémonstrationduthéorème 5. Commençonspar en présenter le déroulement.

On onsidère un remplissage

R

de la sphère standard, équivariant rela-tivement à un sous-groupe

F ⊂

SU(

1, 2

) fermé et non ompa t. On note

d

un isomorphisme

S → ∂R

.

Notrepremier outilest lethéorème 19démontré en annexe, quiimplique que

F

n'est pas purementelliptique.Il ontientdon aumoinsune transfor-mation hyperbolique ou parabolique, qui agit sur

R

et sur P

2

après onju-gaison par

d

−1

: ∂R → S ⊂

P

2

. On note

φ

l'automorphisme de

R

et

φ

e

elui de P

2

.

On se base alors sur l'étude des bassins d'attra tion et de répulsion de

e

l'ajout d'une boule en une surfa e sans bord

X

sur laquelle

φ

agit en ore. Mieux, elle permet d'exhiber dans

X

une famille de ourbes rationnelles d'auto-interse tion

1

, homologues entre elles et dont la lasse est invariante sousl'a tionde

φ

.Ildé oulealorsdulemmedeNoetherque

X

estunesurfa e rationnelle.

Onutiliseensuitelethéorèmed'indi edeHodgepour montrerquequitte à élever

φ

à une ertaine puissan e

φ

k

, on peut supposer que

φ

préserve globalement haque ourbe ex eptionnelle, e qui permet de les ontra ter.

Il sut alors d'étudier le as des surfa es rationnelles minimales.

3.1 Prolongement onvexe

3.1.1 Prolongement des onjugaisons

Onditdedeux automorphismes

ψ

et

ψ

e

de variétés omplexes (éventuelle-ment àbord)

X

et

Y

qu'ilssont lo alement onjugués s'il existe des ouverts

U ⊂ X

et

V ⊂ Y

et un biholomorphisme

F : U → V

telque

F ◦ ψ = e

ψ ◦ F

là où ette expression est dénie. On dit que

U

et

V

sont les ouverts de onjugaison.

On va utiliser notre étude des bassins d'attra tion grâ e au lemme élé-mentaire qui suit.

Lemme 11 (de prolongement)  Soient

ψ

et

ψ

e

des automorphismes de variétés omplexes (éventuellement à bord)

X

et

Y

, lo alement onjugués dans des ouverts

U ⊂ X

et

V ⊂ Y

. On peut alors prolonger la onjugaison à des ouverts stables

U

′

⊃ U

et

V

′

⊃ V

où

V

′

ontient tous les bassins d'attra tion et de répulsion des points xes de

ψ

e

dans

V

.

Démonstration :notons

U

0

= U

,

V

0

= V

et

F

0

= F

.On dénit ré ursive-ment

U

k+1

= ψ

−1

(U

k

)

V

k+1

= e

ψ

−1

(V

k

)

F

k+1

= e

ψ

−1

◦ F

k

◦ ψ

Ainsi

F

k

est une onjugaison lo ale entre les ouverts

U

k

et

V

k

. De plus là où deux

F

k

sont dénis simultanément, ils oïn ident par équivarian e. En passant à l'union, on peut don onstruire une onjugaison

F

∞

entre les ouverts

S

k

U

k

et

S

k

V

k

.Ce dernier ontienttouslesbassinsd'attra tionsdes pointxes de

ψ

e

ontenus dans

V

. Comme

F

est également une onjugaison de

ψ

−1

et

ψ

e

−1

on peut à nouveau la prolonger jusqu'à englober les bassins de répulsion. Par onstru tion les ouverts de onjugaison sont stables sous l'a tion de

ψ

et

ψ

e

respe tivement.

Le plongement de

S

3

(ave sa stru ture CR standard) dans une surfa e est lo alementunique d'aprèsle résultatsuivant.

Théorème 12 (Pin huk [4℄)  Une appli ation CR,

C

1

et non ons-tante entre deux hypersurfa es analytiques réelles et stri tement pseudo on-vexes de

C

n

se prolonge lo alementbiholomorphiquement.

Ainsi

d

seprolonge en un biholomorphisme auvoisinage des pointsxes de

φ

et

φ

e

.

Onappliqueleprin ipedeprolongementdes onjugaisonspour ompléter le remplissage

R

en une variété omplexe sans bord : grâ e aulemme 10 on peut prolonger la onjugaison autour des points xes à une onjugaison sur la boule fermée en omplétant

R

par

B

.

Proposition 13  Il existe une surfa e omplexe sans bord

X

et une appli ation

i : R → X

biholomorphe sur son image, telles que :

1.

X \ i(R)

est isomorphe à laboule standard;

2. l'automorphisme

i

∗

φ

de

i(R)

se prolonge en un automorphisme de

X

, qu'on note en ore

φ

;

3. l'a tion de

φ

sur

X

est onjuguée, au voisinagede

X\

◦

R

, à l'a tion de

e

φ

sur un voisinage de la boule unité fermée de P

2

.

Remarquons que de la même façon on obtient le résultat omplètement élémentaire suivant.

Proposition 14  À isomorphisme près, le seul remplissage onvexe de la sphère standard équivariant relativement à un groupe fermé non ompa t est laboule standard fermée.

Le seul remplissage on ave fortement équivariant de la sphère standard est P

2

\ B

.

Lelemme 10livre une information ru ialesur

X

.

Lemme 15  La surfa e

X

ontient une ourbe lisse, irrédu tible, ra-tionnelle d'auto-interse tion

1

qui appartient à un pin eau préservé par

φ

dont au plus un élémentest rédu tible etdont l'uniquepoint-base est lepoint xe attra tif de

φ

dans

∂R

.

D'aprèslelemmedeNoether, omme

X

ontientenparti ulierune ourbe rationnelle d'auto-interse tion

1

, 'estune surfa e rationnelle.

On note

|C|

lepin eauobtenudans lelemme 15et

C

une de ses ourbes génériques.

On her hemaintenantà ontra terles ourbesex eptionnellesde

X

pour seramener au as des surfa es rationnellesminimales,qu'on omprendbien. Lemme 16  Il existeun entier

k

tel que

φ

k

xe globalement ha une des ourbes ex eptionnelles.

Démonstration : les diviseurs de

X

se plongent naturellement dans l'es-pa e de ohomologie

H

1

,1

R

(X)

sur lequel la forme d'interse tion se prolonge en une forme quadratique symétrique non dégénérée. Le théorème d'indi e de Hodge (voir par exemple [1℄ page 143) dit que ette forme est de signa-ture lorentzienne. En parti ulier, puisqu'elle vaut

1

sur la lasse de

C

, elle préserve son orthogonal

C

⊥

et sur elui- i elleest dénie négative. Un ve teur de

H

1,1

R

(X)

se dé ompose sous la forme

λC + D

où

D ∈ C

⊥

, et laforme déniepositivedonnée par

λ

2

− D · D

est alors préservée par

φ

.

Considérons l'ensemble

E

des ourbes ex eptionnelles de

X

. C'est une partie dis rète de

H

1,1

R

(X)

et omme

φ

agit par isométrie pour une forme dénie positive, ilexiste un exposant

k

telque l'a tionde

φ

k

sur

E

est triv-iale. Mais une ourbe d'auto-iterse tion n'egative est la seule représentante omplexe de sa lasse d'homologie, don haque ourbe ex eptionnelle est globalementxée par

φ

k

.

On veut maintenant ontra ter les ourbes rationnelles d'auto-interse -tion

−1

: omme ha une de es ourbesestpréservée,

φ

serarationnellement onjuguée par ette ontra tionàunautomorphismed'unesurfa eminimale. Toutefois,ilnefautpas ontra terde ourbequiren ontre

∂R

sous peine de singulariser le bord. Le lemme suivant nous permet de ontourner ette di ulté.

Lemme 17  Si

E

est une ourbe rationnelle d'auto-interse tion

−1

qui ren ontre

∂R

, alors il existeune autre ourbe rationnelled'auto-interse tion

−1

, qui de plus évite

∂R

.

Démonstration :on reprend lesdétails de ladémonstrationdu lemme de Noether pour dé eler ette nouvelle ourbe (voir [3℄page 513).

La ourbe

E

,puisqu'elleest préservée par

φ

,est né essairementtangente à

∂R

en un point xe de

φ

. De plus la onjugaison à P

2

doit l'envoyer, au moins au voisinage de e point,sur ladroite tangente à

S

3

Ils'ensuitquelepin eau

|C|

ontientbienune ourberédu tible

C

0

,dont

E

est l'unedes omposantes. É latonslepoint-basede

|C|

etnotons

C

∧

,

C

∧

0

et

E

∧

lestransformées propres. Notons

C

∧

0

=

X

ν

a

ν

C

ν

oùles

C

ν

sontirrédu tibles,l'uned'ellesest

E

∧

et

a

ν

> 0

.Maintenant l'auto-interse tion de

C

∧

est

0

etles

C

ν

tout omme

E

∧

sont disjointes de

C

∧

. On en déduitque

C

∧

0

· C

ν

= C

∧

· C

ν

= 0

puis que toutes les omposantes

C

ν

sont d'auto-interse tion négative. La formuled'adjon tion donne,en notant

K

lebré anonique de

X

,

C

∧

0

· C

∧

0

+ C

∧

0

· K

2

+ 1 = 0

(7) et, omme

C

∧

0

· C

∧

0

= 0

,

C

ν

0

· K < 0

pour un ertain

ν

0

. Il dé ouledu ritère fortde ontra tibilitéde CastelnuovoEnriquesque

C

ν

0

peut être ontra tée. Orl'auto-interse tionde

E

∧

vaut

−2

,don

C

ν

0

6= E

et

C

ν

0

doit éviter

(∂R)

∧

, enparti uliern'estpasae téeparl'é latement.Avant elui- iilexistaitdon bien une ourbe ontra table évitant

∂R

.

Si

X

n'estpasminimale,onpeutdon trouverune ourbeà ontra ter.On note ave un

∨

en exposantl'imaged'un objetpar la ontra tion.Commela ourbeex eptionnelle ontra téeest globalementpréservée par

φ

,onobtient unbiholomorphisme

φ

∨

de

X

∨

quixelepointimagedela ourbe ontra tée. On peut alors ontinuer ar

φ

∨

préserve en ore une sphère standard,

∂R

∨

. Après un nombre ni d'étapes, onarriveà une surfa erationnelle minimale. Ilsutmaintenantdemontrerundernierlemmepourobtenirlethéorème 5.

Lemme 18  Si

X

est minimale,

X =

P

2

.

Démonstration : les surfa es rationnelles minimales sont P

2

et les sur-fa es de Hirzebru h ( 'est-à-dire les brés en P

1

sur P

1

)

Σ

n

pour

n ∈ N

,

n 6= 1

. Supposons que lasurfa e

X

est une surfa e de Hirzebru h. La lasse fondamentale de la ourbe

C

d'auto-interse tion

1

doit alors se dé omposer en

[C] = a[F ] + b[B]

où

a

,

b

sont desentiers,

F

est une breet

B

est labase.Orsi

X = Σ

n

ona:

1 = C · C = 2ab − nb

2

= b(2a − nb)

On en déduit

b = 1

et

a = (n + 1)/2

, d'où

C · B = a − nb =

1 − n

2

etdon

n = 1

,mais

Σ

1

est justementlaseule surfa ede Hirzebru h àne pas être minimale.

4 Exemples singuliers

Dans ette dernière se tion nous proposons de montrer omment, en a - eptantlessphèresàunesingularité,onpeut onstruiredespresque-exemples sur

Σ

n

.

Considéronsune transformation parabolique

φ

de P

2

préservant la boule unité, hoisiede façonàxer haquepointd'unedroiteproje tive

L

.Celle- i est don tangenteà lasphèreunité. É latonsdeux pointsde

L

, loindu bord et notons

E

1

,

E

2

les ourbes ex eptionnelles obtenues. La transformée pro-pre

L

∧

est alors d'auto-interse tion

−1

, et on peut la ontra ter. À travers ette transformation,

φ

passe en un automorphisme de P

1

×

P

1

qui préserve un domainebiholomorphe à laboule, dont lebord est topologiquement une sphère mais possède un point singulieraupointimage de la ourbe ontra -tée. Ce point est en eet le seul point d'interse tion de la sphère ave les transformées propre

E

∨

i

, etsielle étaitdiérentiable en e pointelledevrait leur êtretangenteàtouteslesdeux. Mais esdeux ourbessont ha une une bre d'un des deux réglages de P

1

×

P

1

etsont don transverses.

L

Sphèrestandard

(1)

L

∧

(−1)

E

2

E

1

E

∨

2

(−1)

(−1)

L

∧∨

E

∨

1

Considérons maintenant une transformation

φ

qui possède un point xe hors de la boule unité fermée et é latons e point xe. Dans la surfa e

Σ

1

obtenue latransformée propre

L

∧

de la droitejoignantle point é latéà l'un quel onque des points xes de

φ

sur la sphère est d'auto-interse tion

0

. Le point d'interse tion entre

L

∧

et la ourbe ex eptionnelle réée par l'é late-ment est alors xé par

φ

∧

, onjugué de

φ

par l'é latement. On peut don é later

Σ

1

en e point puis ontra ter la transformée propre de

L

∧

pour obtenirun automorphismede

Σ

2

quipréserveun domainebiholomorpheàla boule, dont le bord est topologiquement une sphère mais possède un point singulier. Sphèrestandard

(1)

(0)

(−1)

(0)

(−2)

(−2)

(−1)

L

E

(−1)

Fig.6  Constru tiond'un exemple singulierdans

Σ

2

Ensuite on peut passer à

Σ

n

en répétant autant de fois que né essaire l'é latement du point d'interse tion entre la bre portant le point singulier et labase et la ontra tion de latransformée proprede ette bre.

L'existen e de es exemples, singuliers mais do iles, amène à se poser la question suivante. Peut-ontrouverune surfa e

X

possédant automorphisme qui :

1. est d'entropie topologique positive et 2. préserve une hypersurfa e réelle

H

et

3. induit sur

H

un groupenon relativement ompa t en supposant par exemple que

1.

H

est singulièreen un ouplusieurspointsetstri tementpseudo onvex là oùelleest lisseou

2.

H

est lisse partout et stri tement pseudo onvexe sauf le long d'une sous-variété?

Dans etteannexenousnousintéressonsà ertainssous-groupesde trans-formationsd'espa essymétriquesà ourburenégative.L'obje tifprin ipalest de démontrer le théorème 19,utilisé dans ladémonstrationde 5.

Soit

M

un espa e symétrique à ourbure négative et

G

son groupe d'i-sométries.Unélémentde

G

estditelliptiques'iladmetunpointxedans

M

. Un sous-groupe

F

de

G

est ditpurement elliptique si tous ses élémentssont elliptiques. On ditque

F

admet un point xe s'ilest purement elliptique et s'il existe un pointde

M

xé simultanémentpar tous leséléments de

F

. Théorème 19  Un sous-groupe fermé purement elliptique d'isométries d'un espa e symétrique à ourbure négative est ompa t.

Dans e résultat l'hypothèse de fermetureest apitale, ommele montre le résultatsurprenant quisuit.

Théorème 20 (Waterman [10 ℄)  Il existe des sous-groupes d'i-sométries de

R

H

n

et de

R

n−1

qui sont purement elliptiques et sans point xe, dès que

n > 5

.

Danslethéorème19,onpeutrempla erfermépard'autreshypothèses (voirparexemple[5℄).Parexemple,sitouslesélémentsde

F

sontd'ordreni, alors

F

estrelativement ompa t.EneetunthéorèmedeS hurassurequ'un groupe de matri es de torsion est virtuellement abélien. Alors

F

ontient un sous-groupe distingué

H

, abélien don diagonalisable. Comme

H

est de torsion, il est in lu dans un tore don est relativement ompa t. Mais

F

est la réunion nie de lasses à gau hes toutes homéomorphes à

H

, don est lui-mêmerelativement ompa t.

Onvarelierla ompa itéde

F

etl'existan edepointxeen ommençant par énon er un résultat natureldû àCartan.

Théorème 21  Un sous-groupe ompa t de

G

admet toujours un point xe.

Onpeut fa ilementexhiberdes groupespurementelliptiquesetnon om-pa ts:ilsutparexemplede onsidérerlegroupeengendréparunerotation irrationnelle. Toutefois es groupes sont relativement ompa ts, 'est-à-dire que leur adhéren e est ompa te. Comme les groupes ompa ts maximaux de

G

sont lesxateurs des pointsde

M

,on al'équivalen e suivante.

Proposition 22  Un sous-groupe de

G

est relativement ompa t si et seulement s'il admet un point xe.

On démontre maintenant le théorème 19, en pro édant par étapes. Le prin ipe est simple : si

F

est dis ret ou onnexe, le résultat dé oule

respe -Le as général sedéduit de ses deux as extrêmes.

Théorème 23 (Lemme de Selberg)  Un sous-groupe de GL

n

(

R

) de type ni est virtuellement sans torsion.

Parvirtuellementsanstorsion,onentendqu'il ontientunsous-groupe normal d'indi eni et sans torsion.

Corollaire 24  Si

F

est purement elliptique et dis ret, il admet un point xe dans

M

.

Démonstration : 'est une généralisationd'une démonstrationde [10℄. Tout élément

a

de

F

est d'ordre ni :

a

est elliptique don agit omme une rotation sur l'espa e tangent de l'un quel onque de ses points xes, et omme

F

est dis ret lesangles de ette rotationsont ommensurables à

π

.

De plus

F

est dénombrable don il est l'union dénombrable de sous-groupesde type ni

F

n

= ha

1

, . . . , a

n

i

.

Comme

M

est un espa e symétrique,

G

est un groupe de matri es et il en est de même pour

F

et

F

n

.On peut ainsi appliquer le lemmede Selberg à

F

n

quiest don virtuellementsans torsion.Mais ona montré que 'est un groupede torsiondon il est ni.

D'aprèslethéorème21,ils'ensuitquel'ensemble

V

n

despointsxesde

F

n

est non vide. Or

V

n

est une sous-variété totalement géodésique et omplète de

M

. Une suite dé roissante de telles sous-variétés est stationnaire, don

T

V

n

6= ∅

et

F

admetun pointxe.

Théorème 25 (Montgomery-Zippin [8℄)  Un groupe de Lie on-nexe et non ompa t ontient un sous-groupe à un paramètre fermé et non ompa t.

Corollaire 26 Si

F

estpurementelliptique,ferméet onnexe,iladmet un point xe dans

M

.

Démonstration : omme

F

est purement elliptique, ses sous-groupes fer-més àun paramètresonttous des er les.D'après lethéorème 25,

F

estdon ompa t. On on lutpar le théorème 21.

On peut maintenant démontrer lethéorème 19.On suppose don que

F

est ungroupepurementelliptiqueetfermé de

G

etonvamontrerqu'iladmet un point xe.

D'aprèsle orollaire26,la omposanteneutre

F

0

de

F

est ompa te.Alors l'ensemble

P

0

=

\

f ∈F

0

Fix

(f )

des points xés par tout

F

0

est non vide et 'est une sous-variété omplète et totalementgéodésique de

M

. À e titre, 'est un espa esymétrique.

Considérons

g ∈ F \ F

0

. Alors ona

gP

0

=

\

f ∈F

0

g

Fix

(f )

=

\

f ∈F

0

Fix

(gf g

−1

)

= P

0

don

g

agitsur

P

0

.De plus, n'importequel autre élément de la omposante onnexede

g

dans

F

s'é rit

gf

où

f ∈ F

0

don ettea tionpasseauquotient en une a tiondu groupedis ret

F/F

0

sur l'espa esymétrique

P

0

.D'après le orollaire 24,

F/F

0

admet un point xe dans

P

0

, qui est alors un point xe de

F

.

Remer iements

Ce travail n'aurait jamais vu le jour sans mon dire teur de thèse Ab-delghani Zeghib, qui m'a proposé ette question et a su m'en ourager à y répondre. Il ne serait pas e qu'il est sans les expli ations de Serge Cantat, Jean-Claude Sikorav etJean-Yves Wels hinger.Mer i àtous.

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