Assurances et probabilités

(1)

Assurances et probabilités

Charles SUQUET

http://math.univ-lille1.fr/~suquet

U.S.T.L. Lille 1 & CNRS UMR 8524

12 avril 2007

Ch. Suquet (Lille 1) Assurances et probabilités 12 avril 2007 1 / 23

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Contenu

1 Notions basiques

2 Modèle individuel et modèle collectif

3 Probabilité de ruine

(3)

Bases

M. Denuit, A. Charpentier,Mathématiques de l’assurance non vie, tome 1 : Principes fondamentaux de théorie du risque. Economica 2004.

C. Partrat, J.-L.Besson,Assurance non-vie, modélisation, simulation. Assurance Audit Actuariat, Economica 2005.

Police d’assurance.

Prime (premium).

Mutualisation (compensation stochastique). Moyens d’améliorer la solvabilité.

(4)

Bases

Prime (premium).

Mutualisation (compensation stochastique). Moyens d’améliorer la solvabilité.

(5)

Bases

Prime (premium).

Mutualisation (compensation stochastique).

Moyens d’améliorer la solvabilité.

(6)

Bases

Prime (premium).

Mutualisation (compensation stochastique).

Moyens d’améliorer la solvabilité.

(7)

Prime pure 1

Soit S la charge totale de sinistre relative à une police donnée au cours d’une période d’assurance.

L’opération d’assurance substitue une constante c à la variable aléatoireS. Comment déterminer c?

d₂(S,c)² =E(S−c)² = (ES−c)²+VarS, donc d₂(S,c)est minimal pourc =ES.

(8)

Prime pure 1

L’opération d’assurance substitue une constante c à la variable aléatoireS.

Comment déterminer c?

(9)

Prime pure 1

On cherchec « proche » de S en introduisant une distance pénalisant symétriquement {c <S} et {c >S}:

d2(S,c)² :=E(S −c)².

d2(S,c)² =E(S−c)² = (ES−c)²+VarS, donc d2(S,c)est minimal pourc =ES.

(10)

Prime pure 1

(11)

Prime pure 1

La distance

d₁(S,c) :=E|S−c|

est minimale pour c =médiane(S). Solution pas acceptable si P(S =0) est grand, par exemple en assurance automobile.

(12)

Prime pure 2

Théorème (loi des grands nombres)

Supposons les montants de sinistres S₁, . . . ,S_n indépendants et de même loi ayant une espérance communeESi =µ. Notons S⁽ⁿ⁾ la charge moyenne de sinistre par police. Alors

S⁽ⁿ⁾= 1 n

n

X

i=1

S_i −−−−→^p.s.

n→+∞ µ.

Remarques.

Résultat asymptotique (n « grand »).

Indépendance (ne marche pas pour catastrophes naturelles). Homogénéité des risques. Necessité de segmenter le portefeuille. . .

(13)

Prime pure 2

S⁽ⁿ⁾= 1 n

n

X

i=1

S_i −−−−→^p.s.

n→+∞ µ.

Remarques.

Indépendance (ne marche pas pour catastrophes naturelles).

Homogénéité des risques. Necessité de segmenter le portefeuille. . .

(14)

Prime pure 2

S⁽ⁿ⁾= 1 n

n

X

i=1

S_i −−−−→^p.s.

n→+∞ µ.

Remarques.

Indépendance (ne marche pas pour catastrophes naturelles).

Homogénéité des risques. Necessité de segmenter le portefeuille. . .

(15)

Insuffisance de la prime pure

Définition (prime pure)

On appelle prime pure associée à un montant de sinistre aléatoire S pour une période d’assurance, la quantité ES .

Cette prime sert de base au calcul de la prime commerciale effectivement payée par l’assuré.

Elle est insuffisante !

En effet soit un portefeuille avec sinistres S1, . . . ,Sn i.i.d., tels que ES₁² <+∞ et pour lequel la compagnie n’encaisserait que les primes pures µ=ES_i. Le théorème limite central implique que la loi du résultat d’exploitationnµ−Pn

i=1S_i est approximativement gaussienneN(0,nσ²), d’où

P(déficit) =P

nµ−(S₁+· · ·+S_n)<0)' 1 2.

(16)

Insuffisance de la prime pure

Définition (prime pure)

On appelle prime pure associée à un montant de sinistre aléatoire S pour une période d’assurance, la quantité ES .

Cette prime sert de base au calcul de la prime commerciale effectivement payée par l’assuré.

Elle est insuffisante !

En effet soit un portefeuille avec sinistres S1, . . . ,Sn i.i.d., tels que ES₁² <+∞ et pour lequel la compagnie n’encaisserait que les primes pures µ=ESi. Le théorème limite central implique que la loi du résultat d’exploitationnµ−Pn

i=1S_i est approximativement gaussienneN(0,nσ²), d’où

P(déficit) =P

nµ−(S₁+· · ·+S_n)<0)' 1 2.

(17)

Insuffisance de la prime pure 2

Si la compagnie encaisse par police une prime p< µ, alors P(déficit) =P(np−(S1+· · ·+Sn)<0)

=P

√n

σ (µ−S⁽ⁿ⁾)<

√n

σ (µ−p) 'Φ

√n

σ (µ−p)

'1.

Amélioration de la solvabilité :

Chargement de la prime pure (prime de risque).

Augmentation du nombre d’assurés. Réserve de stabilisation.

Réassurance.

(18)

Insuffisance de la prime pure 2

Augmentation du nombre d’assurés.

Réserve de stabilisation. Réassurance.

(19)

Insuffisance de la prime pure 2

Réserve de stabilisation.

Réassurance.

(20)

Insuffisance de la prime pure 2

Réserve de stabilisation.

Réassurance.

(21)

Prime de risque et solvabilité

La prime de risquep s’obtient parchargement(safety loading) de la prime pure.

Chargement proportionnel :p = (1+η)ES. Avec le modèle i.i.d.

ci-dessus, la probabilité de déficit devient

P(déficit)'Φ

√n

σ (µ−p)

−−−−→

n→+∞ Φ(−∞) =0.

Chargement par l’écart-type :p =ES+βσ. A l’avantage de mieux prendre en compte la « dangerosité du risque ».

L’augmentation du nombre d’assurésn peut autoriser un chargement plus faible. Pb du marché concurrentiel.

L’utilisation d’une réserve de stabilisation ou d’un capital initialK est nécessaire (au moins la 1^reannée et de par la législation).

P(déficit)'Φ

√n(µ−p)

σ − K

σ√ n

(22)

Prime de risque et solvabilité

P(déficit)'Φ

√n

σ (µ−p)

−−−−→

n→+∞ Φ(−∞) =0.

P(déficit)'Φ

√n(µ−p)

σ − K

σ√ n

(23)

Prime de risque et solvabilité

P(déficit)'Φ

√n

σ (µ−p)

−−−−→

n→+∞ Φ(−∞) =0.

P(déficit)'Φ

√n(µ−p)

σ − K

σ√ n

(24)

Prime de risque et solvabilité

P(déficit)'Φ

√n

σ (µ−p)

−−−−→

n→+∞ Φ(−∞) =0.

P(déficit)'Φ

√n(µ−p)

σ − K

σ√ n

(25)

Lois des charges de sinistres

Les principales lois de probabilité utilisées pour modéliser le montant d’un sinistre (lorsqu’il y a sinistre) sont classées d’après le « poids » de la queue de distributionF(x) =P(X >x).

Poids Loi Queue F(x) Ee^sX fini ?

Très léger Weib(τ, α),τ >1 exp

−x α

τ

oui,∀s

Léger Gam(ν, β)

Z +∞

x

β^ν

Γ(ν)t^ν−1e^−βtdt oui∀s < β Intermédiaire Lognormale P(e^Y >x),Y ∼N(µ, σ) non

Weib(τ, α),τ <1 non

Lourd Par(θ, α),α >1 θ

θ+x α

non

Très lourd Par(θ, α),α≤1 EX = +∞

(26)

Lois des nombres de sinistres

Trois lois classiques modélisant le nombreN de sinistres : Binomiale Bin(n,p):P(N=k) =C_n^kp^k(1−p)^n−k,

EN =np, VarN=np(1−p). Au plus un sinistre par « petit » intervalle de temps, indépendance des intervalles. . .

Poisson Pois(λ):P(N=k) = ^e^−λ_k!^λ^k,EN=VarN=λ. Loi des évènements rares, modélise bien le nombre de sinistres d’une police individuelle.

Binomiale négative NBin(n,p) :P(N=k) =C_n+k−1ⁿ pⁿ(1−p)^k, EN = ^n(1−p)_p , VarN= ^n(1−p)_p2 >EN.

La loi de Poisson modélise mal le nombre de sinistres d’un portefeuille en raison de l’hétérogénéité des assurés (exemple RC automobile).

(27)

Lois des nombres de sinistres

Binomiale négative NBin(n,p) :P(N=k) =C_n+k−1ⁿ pⁿ(1−p)^k, EN = ^n(1−p)_p , VarN= ^n(1−p)_p2 >EN.

(28)

Lois des nombres de sinistres

Binomiale négative NBin(n,p) :P(N=k) =C_n+k−1ⁿ pⁿ(1−p)^k, EN = ^n(1−p)_p , VarN= ^n(1−p)_p2 >EN.

(29)

Lois des nombres de sinistres

Binomiale négative NBin(n,p) :P(N=k) =C_n+k−1ⁿ pⁿ(1−p)^k, EN = ^n(1−p)_p , VarN= ^n(1−p)_p2 >EN.

(30)

Lois de Poisson mélange

Pour tenir compte de l’hétérogénéité du portefeuille, on peut considérer que le nombre moyen de sinistres varie d’un assuré à l’autre. Il est alors une v.a. λΘ, avec λconstante etEΘ =1.

Définition (loi MPois(λ,Θ))

N suit la loi de Poisson mélange de moyenne λet de niveau de risque relatif Θ, oùΘest une v.a. positive et EΘ =1si

P(N =k) =E

exp(−λΘ)(λΘ)^k k!

, ∀k ∈N.

On vérifie que

EN =λ et VarN=λ+λ²VarΘ>EN.

Exemple.Le modèle « bons risques - mauvais risques », où le portefeuille comporte deux types d’assurés, les « bons » pour qui le nombre de sinistres suitPois(λθ1) et les mauvais pour qui c’estPois(λθ2), avec θ1 <1< θ2. En posant ρ=P(Θ =θ1) =1−P(Θ =θ2), on a ρθ1+ (1−ρ)θ2=1 et

P(N=k) =ρe^−λθ¹(λθ₁)^k

k! + (1−ρ)e^−λθ²(λθ₂)^k k! .

(31)

Lois de Poisson mélange

Pour tenir compte de l’hétérogénéité du portefeuille, on peut considérer que le nombre moyen de sinistres varie d’un assuré à l’autre. Il est alors une v.a. λΘ, avec λconstante etEΘ =1.

P(N =k) =E

, ∀k ∈N.

On vérifie que

Exemple.Le modèle « bons risques - mauvais risques », où le portefeuille comporte deux types d’assurés, les « bons » pour qui le nombre de sinistres suitPois(λθ1) et les mauvais pour qui c’estPois(λθ2), avec θ1 <1< θ2. En posant ρ=P(Θ =θ1) =1−P(Θ =θ2), on a ρθ1+ (1−ρ)θ2=1 et

k! + (1−ρ)e^−λθ²(λθ₂)^k k! .

(32)

Lois de Poisson mélange

P(N =k) =E

, ∀k ∈N.

On vérifie que

Exemple.Le modèle « bons risques - mauvais risques », où le portefeuille comporte deux types d’assurés, les « bons » pour qui le nombre de sinistres suitPois(λθ₁) et les mauvais pour qui c’estPois(λθ₂), avec θ₁ <1< θ₂. En posant ρ=P(Θ =θ₁) =1−P(Θ =θ₂), on a ρθ₁+ (1−ρ)θ₂=1 et

k! + (1−ρ)e^−λθ²(λθ₂)^k k! .

(33)

Lois de Poisson mélange

P(N =k) =E

, ∀k ∈N.

On vérifie que

Exemple.Le modèle « bons risques - mauvais risques », où le portefeuille comporte deux types d’assurés, les « bons » pour qui le nombre de sinistres suitPois(λθ₁) et les mauvais pour qui c’estPois(λθ₂), avec θ₁ <1< θ₂. En posant ρ=P(Θ =θ₁) =1−P(Θ =θ₂), on aρθ₁+ (1−ρ)θ₂=1 et

k! + (1−ρ)e^−λθ²(λθ₂)^k k! .

(34)

Modèle individuel

Dans ce modèle, on note Si le montant cumulé(éventuellement nul) des sinistres payé au i^eassuré, pour la période d’assurance. La charge totale de sinistres pour un portefeuille de n assurés est donc

S^ind=

n

X

i=1

Si.

Les S_i sont indépendantes, mais pas forcément de même loi. On a de plus P(S_i =0)>0. En particulier les S_i n’ont pas de densité.

La fonction de répartition Gînd(x) =P(Sînd≤x)est assez difficile à calculer en général. Sa connaissance donne la probabilité de ruine en fonction du capital initial : 1−Gînd(primes+capital), ou le capital initial à investir en fonction d’une probabilité de ruine εfixée. . .

(35)

Modèle individuel

S^ind=

n

X

i=1

Si.

Les Si sont indépendantes, mais pas forcément de même loi. On a de plus P(S_i =0)>0. En particulier les S_i n’ont pas de densité.

La fonction de répartition Gînd(x) =P(Sînd≤x)est assez difficile à calculer en général. Sa connaissance donne la probabilité de ruine en fonction du capital initial : 1−Gînd(primes+capital), ou le capital initial à investir en fonction d’une probabilité de ruine εfixée. . .

(36)

Modèle individuel

S^ind=

n

X

i=1

Si.

Les Si sont indépendantes, mais pas forcément de même loi. On a de plus P(S_i =0)>0. En particulier les S_i n’ont pas de densité.

La fonction de répartition Gînd(x) =P(Sînd≤x) est assez difficile à calculer en général. Sa connaissance donne la probabilité de ruine en fonction du capital initial : 1−Gînd(primes+capital), ou le capital initial à investir en fonction d’une probabilité de ruine εfixée. . .

(37)

Modèle collectif

Dans ce modèle, on considère qu’il y a au cours de la période d’assurance un nombre aléatoire N de remboursements de sinistres, on note Xi le i^e remboursement, sans tenir compte de l’assuré concerné. La charge totale de sinistre est donc

S^coll =

N

X

i=1

X_i,

on suppose de plus que

les Xi sont indépendantes et de même loi,

(X_i)i≥1 est indépendante de N (indépendance coûts-fréquence). On peut calculer facilement la transformée de LaplaceLS deS =S^coll en fonction de celle de X₁ et de la série génératrice ϕ_N deN.

L_S(t) :=Eexp(−tS), ϕ_N(u) :=E(u^N).

(38)

Modèle collectif

S^coll =

N

X

i=1

X_i, on suppose de plus que

(X_i)i≥1 est indépendante de N (indépendance coûts-fréquence).

On peut calculer facilement la transformée de LaplaceLS deS =S^coll en fonction de celle de X₁ et de la série génératrice ϕ_N deN.

(39)

Modèle collectif

S^coll =

N

X

i=1

X_i, on suppose de plus que

(X_i)i≥1 est indépendante de N (indépendance coûts-fréquence).

On peut calculer facilement la transformée de LaplaceLS deS =S^coll en fonction de celle de X₁ et de la série génératrice ϕ_N deN.

(40)

Calcul de L

S

L_S(t) =Eexp −t

N

X

i=1

X_i

!

=E

+∞

X

k=0

exp −t

N

X

i=1

X_i

!

1_{N=k}

!

=E

+∞

X

k=0

exp −t

k

X

i=1

X_i

!

1_{N=k}

!

=

+∞

X

k=0

E exp −t

k

X

i=1

X_i

!

1_{N=k}

!

=

+∞

X

k=0

P(N=k)Eexp −t

k

X

i=1

X_i

!

=

+∞

X

k=0

P(N=k) L_X₁(t)k

=E L_X₁(t)^N

Proposition

La transformée de Laplace L_S de S =S^coll est donnée par L_S(t) =ϕ_N L_X₁(t)

, ϕ_N(u) =E(u^N). Cas particulier important : si N est de loi Pois(λ),

L_S(t) =exp λ(L_X₁(t)−1) .

(41)

Calcul de L

S

Proposition

La transformée de Laplace LS de S =S^coll est donnée par L_S(t) =ϕ_N L_X₁(t)

, ϕ_N(u) =E(u^N).

Cas particulier important : si N est de loi Pois(λ), L_S(t) =exp λ(L_X₁(t)−1)

.

(42)

Calcul de L

S

Proposition

La transformée de Laplace LS de S =S^coll est donnée par L_S(t) =ϕ_N L_X₁(t)

, ϕ_N(u) =E(u^N).

Cas particulier important : si N est de loi Pois(λ), L_S(t) =exp λ(L_X₁(t)−1)

.

(43)

Passage du modèle individuel au collectif

Proposition

Dans le modèle individuel, si les montants de sinistres Si peuvent s’écrire S_i =PN_i

k=1Y_i_,k, où pour chaque i , la suite (Y_i,k)k≥1 est i.i.d. de f.d.r. F_i et indépendante de N_i, laquelle est de loiPois(λ_i), alors S^ind a même loi que S^coll où N suit la loiPois(λ) avec

λ=

n

X

i=1

λ_i, P(X_j ≤x) =F(x) = 1 λ

n

X

i=1

λ_iF_i(x).

(44)

Passage du modèle individuel au collectif

Preuve : Il suffit de vérifier que S^indet S^coll ont même transformée de Laplace.

L_Sind(t) =

n

Y

i=1

L_S_i_(t)=

n

Y

i=1

exp λ_i(L_Y_i_,1(t)−1)

=exp

n

X

i=1

λ_i(L_Y_i,1(t)−1)

!

=exp λ

n

X

i=1

λ_i

λL_Y_i,1(t)−1

!!

On remarque alors que la transformée de Laplace de la loi de f.d.r. F est L= ¹_λPn

i=1λ_iL_Y_i,1, d’où :

∀t ≥0, L_Sind(t) =exp λ(L(t)−1)

=L_Scoll(t).

(45)

Passage du modèle individuel au collectif

Proposition

Dans le modèle individuel, si les montants de sinistres S_i peuvent s’écrire S_i =PNi

k=1Y_i_,k, où pour chaque i , la suite (Y_i,k)k≥1 est i.i.d. de f.d.r. F_i et indépendante de Ni, laquelle est de loiPois(λi), alors S^ind a même loi que S^coll où N suit la loiPois(λ) avec

λ=

n

X

i=1

λ_i, P(X_j ≤x) =F(x) = 1 λ

n

X

i=1

λ_iF_i(x).

Si les Ni ne suivent plus des lois de Poisson, mais des lois de Poisson mélange, la loi de S^coll n’est plus égale à celle deS^ind, mais en est une approximation dont on sait contrôler l’erreur.

(46)

Modèle discret de de Finetti

On s’intéresse à l’évolution du résultat technique au cours des années, avec les hypothèses simplificatrices suivantes.

1 On néglige les produits financiers.

2 Sinistralité stable au cours du temps.

3 Part de marché de la compagnie inchangée.

4 Pas d’inflation.

On note Si la charge sinistre de l’exercice i,p l’encaissement annuel net des primes, soit (1+ρ)ES_i,K le capital initial etR_i le résultat de l’exercice i. On a alors

R₀=K, R₁ =K +p−S₁, R_i =Ri−1+p−S_i, i ≥2. On note

∆_i =R_i−Ri−1 =p−S_i. On suppose les S_i i.i.d.

(47)

Modèle discret de de Finetti

(48)

Modèle discret de de Finetti

(49)

Modèle discret de de Finetti

(50)

Modèle discret de de Finetti

On note Si la charge sinistre de l’exercice i,p l’encaissement annuel net des primes, soit (1+ρ)ES_i,K le capital initial etR_i le résultat de l’exercice i.

On a alors

(51)

Modèle discret de de Finetti

R₀=K, R₁ =K +p−S₁, R_i =Ri−1+p−S_i, i ≥2.

On note

(52)

Modèle discret de de Finetti

R₀=K, R₁ =K +p−S₁, R_i =Ri−1+p−S_i, i ≥2.

On note

∆_i =R_i−Ri−1 =p−S_i. On suppose lesS_i i.i.d.

(53)

Modèle de de Finetti, probabilité de ruine

On note Ψ_d(K,j) la probabilité que l’un au moins desj premiers exercices soit déficitaire :

Ψ_d(K,j) =P ∃i ∈ {1, . . . ,j}; R_i ≤0|R₀ =K

Comme cette probabilité est croissante en j, on a

Ψ_d(K,j)↑Ψ_d(K) =P ∃i ∈N^∗; R_i ≤0|R₀ =K

Théorème (de Finetti)

Pour le modèle à temps discret ci-dessus, si Eexp(tS₁)<+∞ pour 0<t ≤t0 ≤+∞, on a :

Ψ_d(K,j)≤Ψ_d(K)≤exp(−γK),

où l’indice de risque γ est défini comme la solution positive de l’équation : L_∆(t) =Eexp(−t∆_i) =1 ⇔ Eexp(tS_i) =exp(pt).

(54)

Modèle de de Finetti, probabilité de ruine

Ψ_d(K,j) =P ∃i ∈ {1, . . . ,j}; R_i ≤0|R₀ =K Comme cette probabilité est croissante en j, on a

Ψd(K,j)↑Ψd(K) =P ∃i ∈N^∗; Ri ≤0|R0 =K

(55)

Modèle de de Finetti, probabilité de ruine

Ψ_d(K,j) =P ∃i ∈ {1, . . . ,j}; R_i ≤0|R₀ =K Comme cette probabilité est croissante en j, on a

Ψd(K,j)↑Ψd(K) =P ∃i ∈N^∗; Ri ≤0|R0 =K

(56)

Preuve du théorème de de Finetti

On montre par récurrence surj queΨ_d(K,j)≤exp(−γK), puis j →+∞.

C’est vrai pour j =0 carΨ_d(K,0) =0. Supposons l’inégalité vraie pour j−1.

Ψ_d(K,j) =P(R1 <0) +P R1≥0 et ∃i ∈]1,j]; R_i <0

=P(S1>K +p) + Z K+p

0

Ψd(K +p−s1,j −1)dFS1(s1)

OrΨ_d(K +p−s1,j −1) =1 pourK +p <s1, donc Z +∞

K+p

Ψ_d(K +p−s1,j−1)dF_S₁(s1) = Z +∞

K+p

dF_S₁(s1) =P(S1>K +p), d’où en recollant les deux intégrales :

Ψ_d(K,j) = Z +∞

0

Ψ_d(K +p−s1,j−1)dF_S₁(s1)

(57)

Preuve du théorème de de Finetti

C’est vrai pour j =0 carΨ_d(K,0) =0.

Supposons l’inégalité vraie pour j−1.

Ψ_d(K,j) =P(R1 <0) +P R1≥0 et ∃i ∈]1,j]; R_i <0

=P(S1>K +p) + Z K+p

0

K+p

Ψ_d(K +p−s1,j−1)dF_S₁(s1) = Z +∞

K+p

Ψ_d(K,j) = Z +∞

0

(58)

Preuve du théorème de de Finetti

Ψ_d(K,j) =P(R1 <0) +P R1≥0 et ∃i ∈]1,j]; R_i <0

=P(S1>K +p) + Z K+p

0

K+p

Ψ_d(K +p−s1,j−1)dF_S₁(s1) = Z +∞

K+p

Ψ_d(K,j) = Z +∞

0

(59)

Preuve du théorème de de Finetti

Ψ_d(K,j) =P(R1 <0) +P R1≥0 et ∃i ∈]1,j]; R_i <0

=P(S1>K +p) + Z K+p

0

K+p

Ψ_d(K +p−s1,j−1)dF_S₁(s1) = Z +∞

K+p

dF_S₁(s1) =P(S1>K+p), d’où en recollant les deux intégrales :

Ψ_d(K,j) = Z +∞

0

(60)

Preuve du théorème de de Finetti

Ψ_d(K,j) =P(R1 <0) +P R1≥0 et ∃i ∈]1,j]; R_i <0

=P(S1>K +p) + Z K+p

0

K+p

Ψ_d(K +p−s1,j−1)dF_S₁(s1) = Z +∞

K+p

dF_S₁(s1) =P(S1>K+p), d’où en recollant les deux intégrales :

Ψ_d(K,j) = Z +∞

0

(61)

Preuve du théorème de de Finetti (fin)

En appliquant l’hypothèse de récurrence, on obtient :

Ψd(K,j)≤ Z +∞

0

exp −γ(K +p−s1)

dFS1(s1)

=exp(−γK)Eexp γ(S1−p)

=exp(−γK), en utilisant la définition de γ.