Série 2-2019-2020

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Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Année universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences Dhar El Mahraz

Département de Mathématiques

SMP-SMC/S2 Algèbre 2 Série de TD n◦2

Exercice 1. Considérons les matrices de M2(R),

A = 2 1 1 2 et B = 0 1 1 2 . Calculer A + B, A × B, B × A, A2 _{et B}2_. A-t-on (A + B)2 = A2_{+ B}2_{+ 2(A × B) ?}

Exercice 2. Dans M3(R), soit P =

  2 −1 2 2 2 −1 −1 2 2  . 1 CalculertP × P .

2 Déduire que P est inversible et calculer son inverse.

Exercice 3. Dans M3(R), soit A =

  0 1 1 1 0 1 1 1 0  .

1 Calculer A2 et vérifier que A2 = A + 2I3.

2 En déduire que A est inversible et calculer son inverse.

Exercice 4. Soient A =   1 0 0 0 1 1 3 1 1  , B =   1 1 1 0 1 0 1 0 0  et C =   1 1 1 1 2 1 0 −1 −1  .

Montrer que AB = AC. A peut-elle être inversible ?

Exercice 5. Considérons les matrices A = 1 2 −1 −4 B = 3 −1 −4 2 et X = a b c d . Résoudre les équations AX = B et XA = B.

Exercice 6. En utilisant la méthode du pivot, dire si les matrices suivantes sont inversibles et donner leurs inverses lorsque c’est possible.

A =   1 −1 3 6 5 1 3 5 1  , B = 5 1 2 5 . 1

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Exercice 7. (Facultatif ) En utilisant la méthode du pivot, dire si les matrices suivantes sont inversibles et donner leurs inverses lorsque c’est possible.

C =     3 2 5 7 1 −1 0 1 3 0 5 1 2 1 0 −1     , D =   1 −1 −1 −2 2 −2 −2 −2 2  .

Exercice 8. Calculer les déterminants suivants :     2 5 1 2     ,       3 1 0 0 2 1 1 −1 0       ,         1 −1 2 0 5 3 0 1 5 2 1 0 6 −3 5 −1         .

Exercice 9. Résoudre dans R4, le système suivant :    x + 2y + 3z + t = 1 x + y + z = 2 y + 2z − t = 0 Exercice 10. On considère le système Σm suivant :

(Σm) :    x + 2y + 3mz = 1 x + (m + 1)y + (3m + 1)z = 2 x + 2y + 2mz = 0 (1) Donner la matrice Am du système Σm.

(2) Montrer que det(Am) = m(1 − m).

(3) Quand est ce que Σm est un système de Cramer ?

(4) Résoudre le système Σm pour m 6= 0 et m 6= 1.

Exercice 11. Soient 0₁ = (1, 1, 1, 0), 0₂ = (0, 0, −3, 1), 0₃ = (0, 1, 3, −1), et 0₄ = (2, −2, −3, 1). Etant donné les deux sous espaces vectoriels de R4 _:

E = {(x + t, x + t, x − 2t, t)/x, t ∈ R} et F = V ect((0, 1, 3, −1), (2, 0, 3, −1), (2, −2, −3, 1)). (1) Vérifier que :(1, 1, −2, 1) = 0₁+ 0₂. (2) Montrer que S1( 0 1, 0

2) est une base de E. En déduire la dimension de E.

(3) Montrer que S2( 0 3,

0

4) est une base de F. En déduire la dimension de F.

(4) Calculer le déterminent de la matrice A =         1 0 0 2 1 0 1 −2 1 −3 3 −3 0 1 −1 1         .

(a) En déduire que S0 = (0₁, 0₂, 0₃, 0₄_{) est une base de R}4 _{et que E ⊕ F = R}4. (b) En déduire que A est inversible et calculer son inverse.