III INTERPOLATION ET APPROXIMATION DE FONCTIONS

III

INTERPOLATION ET APPROXIMATION DE FONCTIONS

Analyse Num´ erique Tronc Commun

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 1

Un exemple

Evolution de la population en France´

On consid`ere l’´evolution de la population fran¸caise depuis 1936 : 1936 41 183 000

1946 39 848 000 1954 42 781 000 1962 46 459 000 1968 49 655 000 1975 52 599 000 1982 54 296 000 1990 56 652 000 1999 58 521 000 2005 60 825 000

Peut-onestimerle nombre d’habitants pendant les ann´ees o`u il n’y a pas eu de recensement ?

Peut-on pr´edire le nombre d’habitants en 2010 ?

Un exemple

Evolution de la population en France´

On consid`ere l’´evolution de la population fran¸caise depuis 1936 : 1936 41 183 000

1946 39 848 000 1954 42 781 000 1962 46 459 000 1968 49 655 000 1975 52 599 000 1982 54 296 000 1990 56 652 000 1999 58 521 000 2005 60 825 000

Peut-onestimerle nombre d’habitants pendant les ann´ees o`u il n’y a pas eu de recensement ?

Peut-on pr´edire le nombre d’habitants en 2010 ?

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 2

Un exemple

Evolution de la population en France´

On consid`ere l’´evolution de la population fran¸caise depuis 1936 : 1936 41 183 000

1946 39 848 000 1954 42 781 000 1962 46 459 000 1968 49 655 000 1975 52 599 000 1982 54 296 000 1990 56 652 000 1999 58 521 000 2005 60 825 000

Peut-onestimerle nombre d’habitants pendant les ann´ees o`u il n’y a pas eu de recensement ?

Peut-on pr´edire le nombre d’habitants en 2010 ?

Interpolation polynomiale en 6 points

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 4

4.5 5 5.5 6

x 10⁷

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 3

Interpolation lin´eaire par morceaux

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 4

4.5 5 5.5 6

x 10⁷

Moindres carr´es (R´egression lin´eaire)

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 4

4.5 5 5.5 6

x 10⁷

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 5

Interpolation de Lagrange

On consid`ere(n+ 1)points dans le plan (d’abscisses distincts) (x0,y0),(x1,y1), . . . ,(xn,yn) (donn´ees exp´erimentales, statistiques, . . . )

On cherche une fonctionsimple,p(x)facile `a ´evaluer, passant par ces points : p(xi) =yi i= 0,1, . . . ,n

Par exemple, la fonctionppeut ˆetre polynomiale :

p(x) =a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ

Interpolation de Lagrange

On consid`ere(n+ 1)points dans le plan (d’abscisses distincts) (x0,y0),(x1,y1), . . . ,(xn,yn) (donn´ees exp´erimentales, statistiques, . . . )

On cherche une fonctionsimple,p(x)facile `a ´evaluer, passant par ces points : p(xi) =yi i= 0,1, . . . ,n

Par exemple, la fonctionppeut ˆetre polynomiale :

p(x) =a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 6

Interpolation de Lagrange

On consid`ere(n+ 1)points dans le plan (d’abscisses distincts) (x0,y0),(x1,y1), . . . ,(xn,yn) (donn´ees exp´erimentales, statistiques, . . . )

On cherche une fonctionsimple,p(x)facile `a ´evaluer, passant par ces points : p(xi) =yi i= 0,1, . . . ,n

Par exemple, la fonctionppeut ˆetre polynomiale :

p(x) =a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ

Remarque

On obtient le syst`eme lin´eaire d’ordre(n+ 1)suivant : a0 +x0a1+x₀²a2+. . .+x₀ⁿan=y0

a0 +x1a1+x₁²a2+. . .+x₁ⁿan=y1

. . . .

a0 +xna1+x_n²a2+. . .+x_nⁿan=yn

La r´esolution de ce syst`eme peut ˆetre en g´en´eral coˆuteuse et n’est pas recommand´ee.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 7

Remarque

On obtient le syst`eme lin´eaire d’ordre(n+ 1)suivant : a0 +x0a1+x₀²a2+. . .+x₀ⁿan=y0

a0 +x1a1+x₁²a2+. . .+x₁ⁿan=y1

. . . .

a0 +xna1+x_n²a2+. . .+x_nⁿan=yn

La r´esolution de ce syst`eme peut ˆetre en g´en´eral coˆuteuse et n’est pas recommand´ee.

Bases de Lagrange

Prenons l’exemple d’une interpolation lin´eairen= 1. On veut : a0+a1x0=y0

a0+a1x1=y1

On d´efinit la fonction

p(x) =y0

x−x1

x0−x1

+y1

x−x0

x1−x0

=y0L0(x) +y1L1(x)

On v´erifie quepest un polynˆome de degr´e1et que p(x0) =y0, p(x1) =y1

Doncpest le polynˆome recherch´e. D´efinition

On dit quepest lepolynˆome d’interpolation de Lagrangeassoci´e aux points(x0,y0), (x1,y1).

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 8

Bases de Lagrange

Prenons l’exemple d’une interpolation lin´eairen= 1. On veut : a0+a1x0=y0

a0+a1x1=y1

On d´efinit la fonction

p(x) =y0

x−x1

x0−x1

+y1

x−x0

x1−x0

=y0L0(x) +y1L1(x)

On v´erifie quepest un polynˆome de degr´e1et que p(x0) =y0, p(x1) =y1

Doncpest le polynˆome recherch´e. D´efinition

On dit quepest lepolynˆome d’interpolation de Lagrangeassoci´e aux points(x0,y0), (x1,y1).

Bases de Lagrange

Prenons l’exemple d’une interpolation lin´eairen= 1. On veut : a0+a1x0=y0

a0+a1x1=y1

On d´efinit la fonction

p(x) =y0

x−x1

x0−x1

+y1

x−x0

x1−x0

=y0L0(x) +y1L1(x)

On v´erifie quepest un polynˆome de degr´e1et que p(x0) =y0, p(x1) =y1

Doncpest le polynˆome recherch´e.

D´efinition

On dit quepest lepolynˆome d’interpolation de Lagrangeassoci´e aux points(x0,y0), (x1,y1).

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 8

Bases de Lagrange

Prenons l’exemple d’une interpolation lin´eairen= 1. On veut : a0+a1x0=y0

a0+a1x1=y1

On d´efinit la fonction

p(x) =y0

x−x1

x0−x1

+y1

x−x0

x1−x0

=y0L0(x) +y1L1(x)

On v´erifie quepest un polynˆome de degr´e1et que p(x0) =y0, p(x1) =y1

Doncpest le polynˆome recherch´e.

D´efinition

On dit quepest lepolynˆome d’interpolation de Lagrangeassoci´e aux points(x0,y0), (x1,y1).

Bases de Lagrange

On d´efinit les polynˆomes

L_i(x) = (x−x0)(x−x1). . .(x−xi−1)(x−xi+1). . .(x−xn) (x_i−x0)(x_i−x1). . .(x_i−xi−1)(x_i−x_i+1). . .(x_i−xn)=Y

j6=i

x−xj

x_i−x_j

Li est un polynˆome de degr´enet on a Li(xj) =

(

0 sii6=j, 1 sii=j

Montrons que les polynˆomesLi sont lin´eairement ind´ependants : Soientb0,b1, . . . ,bn(n+ 1)r´eels tels que

n

X

j=0

bjLj(x) = 0 ∀x∈R.

On a, pourx=xi

0 =

n

X

j=0

b_jL_j(x_i) =b_i.

Doncbi = 0pour touti= 0, . . . ,n.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 9

Bases de Lagrange

On d´efinit les polynˆomes

L_i(x) = (x−x0)(x−x1). . .(x−xi−1)(x−xi+1). . .(x−xn) (x_i−x0)(x_i−x1). . .(x_i−xi−1)(x_i−x_i+1). . .(x_i−xn)=Y

j6=i

x−xj

x_i−x_j

Li est un polynˆome de degr´enet on a Li(xj) =

(

0 sii6=j, 1 sii=j

Montrons que les polynˆomesLi sont lin´eairement ind´ependants : Soientb0,b1, . . . ,bn(n+ 1)r´eels tels que

n

X

j=0

bjLj(x) = 0 ∀x∈R.

On a, pourx=xi

0 =

n

X

j=0

b_jL_j(x_i) =b_i.

Doncbi = 0pour touti= 0, . . . ,n.

Bases de Lagrange

On d´efinit les polynˆomes

L_i(x) = (x−x0)(x−x1). . .(x−xi−1)(x−xi+1). . .(x−xn) (x_i−x0)(x_i−x1). . .(x_i−xi−1)(x_i−x_i+1). . .(x_i−xn)=Y

j6=i

x−xj

x_i−x_j

Li est un polynˆome de degr´enet on a Li(xj) =

(

0 sii6=j, 1 sii=j

Montrons que les polynˆomesLi sont lin´eairement ind´ependants : Soientb0,b1, . . . ,bn(n+ 1)r´eels tels que

n

X

j=0

bjLj(x) = 0 ∀x∈R.

On a, pourx=xi

0 =

n

X

j=0

b_jL_j(x_i) =b_i.

Doncbi = 0pour touti= 0, . . . ,n.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 9

Bases de Lagrange

On d´efinit les polynˆomes

L_i(x) = (x−x0)(x−x1). . .(x−xi−1)(x−xi+1). . .(x−xn) (x_i−x0)(x_i−x1). . .(x_i−xi−1)(x_i−x_i+1). . .(x_i−xn)=Y

j6=i

x−xj

x_i−x_j

Li est un polynˆome de degr´enet on a Li(xj) =

(

0 sii6=j, 1 sii=j

Montrons que les polynˆomesLi sont lin´eairement ind´ependants : Soientb0,b1, . . . ,bn(n+ 1)r´eels tels que

n

X

j=0

bjLj(x) = 0 ∀x∈R.

On a, pourx=xi

0 =

n

X

j=0

bjLj(xi) =bi.

Doncbi = 0pour touti= 0, . . . ,n.

Bases de Lagrange

On d´efinit les polynˆomes

L_i(x) = (x−x0)(x−x1). . .(x−xi−1)(x−xi+1). . .(x−xn) (x_i−x0)(x_i−x1). . .(x_i−xi−1)(x_i−x_i+1). . .(x_i−xn)=Y

j6=i

x−xj

x_i−x_j

Li est un polynˆome de degr´enet on a Li(xj) =

(

0 sii6=j, 1 sii=j

Montrons que les polynˆomesLi sont lin´eairement ind´ependants : Soientb0,b1, . . . ,bn(n+ 1)r´eels tels que

n

X

j=0

bjLj(x) = 0 ∀x∈R.

On a, pourx=xi

0 =

n

X

j=0

bjLj(xi) =bi.

Doncbi= 0pour touti= 0, . . . ,n.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 9

Ainsi la famille(Li)ⁿ_i=0forme une base de l’espacePn(espace des polynˆomes de degr´e

≤n), appel´eeBase de Lagrange.

On d´efinit le polynˆome dePn:

p(x) =

n

X

j=0

yjLj(x) x∈R.

On v´erifie

p(xi) =

n

X

j=0

yjLj(xi) =yi, i= 0, . . . ,n

i.e.pest un polynˆome de Lagrange associ´e aux points(xi,yi). Montrons quepest unique.

Soitq∈Pnun autre polynˆome de Lagrange associ´e aux points(x_i,y_i). Le polynˆome r=p−qest dansPnet v´erifier(xi) = 0pouri= 0, . . . ,n.

Puisque les polynˆomesLjsont lin´eairement ind´ependants, on trouver= 0. D’o`u p=q.

Ainsi la famille(Li)ⁿ_i=0forme une base de l’espacePn(espace des polynˆomes de degr´e

≤n), appel´eeBase de Lagrange.

On d´efinit le polynˆome dePn:

p(x) =

n

X

j=0

yjLj(x) x∈R.

On v´erifie

p(xi) =

n

X

j=0

yjLj(xi) =yi, i= 0, . . . ,n

i.e.pest un polynˆome de Lagrange associ´e aux points(xi,yi). Montrons quepest unique.

Soitq∈Pnun autre polynˆome de Lagrange associ´e aux points(x_i,y_i). Le polynˆome r=p−qest dansPnet v´erifier(xi) = 0pouri= 0, . . . ,n.

Puisque les polynˆomesLjsont lin´eairement ind´ependants, on trouver= 0. D’o`u p=q.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 10

Ainsi la famille(Li)ⁿ_i=0forme une base de l’espacePn(espace des polynˆomes de degr´e

≤n), appel´eeBase de Lagrange.

On d´efinit le polynˆome dePn:

p(x) =

n

X

j=0

yjLj(x) x∈R.

On v´erifie

p(xi) =

n

X

j=0

yjLj(xi) =yi, i= 0, . . . ,n

i.e.pest un polynˆome de Lagrange associ´e aux points(xi,yi). Montrons quepest unique.

Soitq∈Pnun autre polynˆome de Lagrange associ´e aux points(x_i,y_i). Le polynˆome r=p−qest dansPnet v´erifier(xi) = 0pouri= 0, . . . ,n.

Puisque les polynˆomesLjsont lin´eairement ind´ependants, on trouver= 0. D’o`u p=q.

Ainsi la famille(Li)ⁿ_i=0forme une base de l’espacePn(espace des polynˆomes de degr´e

≤n), appel´eeBase de Lagrange.

On d´efinit le polynˆome dePn:

p(x) =

n

X

j=0

yjLj(x) x∈R.

On v´erifie

p(xi) =

n

X

j=0

yjLj(xi) =yi, i= 0, . . . ,n

i.e.pest un polynˆome de Lagrange associ´e aux points(xi,yi). Montrons quepest unique.

Soitq∈Pnun autre polynˆome de Lagrange associ´e aux points(x_i,y_i). Le polynˆome r=p−qest dansPnet v´erifier(xi) = 0pouri= 0, . . . ,n.

Puisque les polynˆomesLjsont lin´eairement ind´ependants, on trouver= 0. D’o`u p=q.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 10

Ainsi la famille(Li)ⁿ_i=0forme une base de l’espacePn(espace des polynˆomes de degr´e

≤n), appel´eeBase de Lagrange.

On d´efinit le polynˆome dePn:

p(x) =

n

X

j=0

yjLj(x) x∈R.

On v´erifie

p(xi) =

n

X

j=0

yjLj(xi) =yi, i= 0, . . . ,n

i.e.pest un polynˆome de Lagrange associ´e aux points(xi,yi). Montrons quepest unique.

Soitq∈Pnun autre polynˆome de Lagrange associ´e aux points(xi,yi). Le polynˆome r=p−qest dansPnet v´erifier(xi) = 0pouri= 0, . . . ,n.

Puisque les polynˆomesLjsont lin´eairement ind´ependants, on trouver= 0. D’o`u p=q.

Ainsi la famille(Li)ⁿ_i=0forme une base de l’espacePn(espace des polynˆomes de degr´e

≤n), appel´eeBase de Lagrange.

On d´efinit le polynˆome dePn:

p(x) =

n

X

j=0

yjLj(x) x∈R.

On v´erifie

p(xi) =

n

X

j=0

yjLj(xi) =yi, i= 0, . . . ,n

i.e.pest un polynˆome de Lagrange associ´e aux points(xi,yi). Montrons quepest unique.

Soitq∈Pnun autre polynˆome de Lagrange associ´e aux points(xi,yi). Le polynˆome r=p−qest dansPnet v´erifier(xi) = 0pouri= 0, . . . ,n.

Puisque les polynˆomesLjsont lin´eairement ind´ependants, on trouver= 0. D’o`u p=q.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 10

Erreur d’interpolation

Th´eor`eme

Soitf une fonction de classeCⁿ⁺¹((n+ 1)fois continˆument d´erivable) et soitple polynˆome d’interpolation de Lagrange def, aux pointsx0,x1, . . . ,xn (polynˆome de degr´e≤n). Alors on a l’in´egalit´e

|f(x)−p(x)| ≤ Mn+1

(n+ 1)!|π_n(x)| ∀x∈R, o`u

Mn+1:= sup

x∈R

|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|,

πn(x) = (x−x0) (x−x1). . .(x−xn).

Remarque

On n’a pas n´ecessairement convergence lorsquen→+∞! !

Erreur d’interpolation

Th´eor`eme

Soitf une fonction de classeCⁿ⁺¹((n+ 1)fois continˆument d´erivable) et soitple polynˆome d’interpolation de Lagrange def, aux pointsx0,x1, . . . ,xn (polynˆome de degr´e≤n). Alors on a l’in´egalit´e

|f(x)−p(x)| ≤ Mn+1

(n+ 1)!|π_n(x)| ∀x∈R, o`u

Mn+1:= sup

x∈R

|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|,

πn(x) = (x−x0) (x−x1). . .(x−xn).

Remarque

On n’a pas n´ecessairement convergence lorsquen→+∞! !

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 11

Inconv´ enient

Consid´erons par exemple la fonction suivante (fonction de Runge) : f(x) = 1

1 +x² x∈[−5,5]

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

Inconv´ enient

Consid´erons par exemple la fonction suivante (fonction de Runge) : f(x) = 1

1 +x² x∈[−5,5]

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 12

Interpolation lin´ eaire par morceaux

Soita=x0<x1< . . . <xn=bune subdivision de l’intervalle[a,b].

D´efinition

On appelleinterpolant lin´eaire par morceauxd’une fonctionf une fonctionp satisfaisant les conditions :

1 p|(x_i−1,x_i)est un polynˆome de degr´e 1, pour touti= 0, . . . ,n

2 p(xi) =f(xi)pour touti= 0, . . . ,n

Interpolation lin´ eaire par morceaux

Soita=x0<x1< . . . <xn=bune subdivision de l’intervalle[a,b].

D´efinition

On appelleinterpolant lin´eaire par morceauxd’une fonctionf une fonctionp satisfaisant les conditions :

1 p|(x_i−1,x_i)est un polynˆome de degr´e 1, pour touti= 0, . . . ,n

2 p(xi) =f(xi)pour touti= 0, . . . ,n

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 13

Interpolation lin´eaire par morceaux

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 4

4.5 5 5.5 6

x 10⁷

Interpolation par fonctions splines

Soita=x0<x1< . . . <xn=bune subdivision de l’intervalle[a,b].

D´efinition

On appellespline cubiqueinterpolantf une fonctionssatisfaisant les conditions :

1 s|(x_i−1,x_i)est un polynˆome de degr´e 3, pour touti= 1, . . . ,n

2 s(x_i) =f(x_i)pour touti= 0, . . . ,n

3 sest une fonction de classeC².

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 15

Interpolation par fonctions splines

Soita=x0<x1< . . . <xn=bune subdivision de l’intervalle[a,b].

D´efinition

On appellespline cubiqueinterpolantf une fonctionssatisfaisant les conditions :

1 s|(x_i−1,x_i)est un polynˆome de degr´e 3, pour touti= 1, . . . ,n

2 s(xi) =f(xi)pour touti= 0, . . . ,n

3 sest une fonction de classeC².

Interpolation par fonctions splines

Soita=x0<x1< . . . <xn=bune subdivision de l’intervalle[a,b].

D´efinition

On appellespline cubiqueinterpolantf une fonctionssatisfaisant les conditions :

1 s|(x_i−1,x_i)est un polynˆome de degr´e 3, pour touti= 1, . . . ,n

2 s(xi) =f(xi)pour touti= 0, . . . ,n

3 sest une fonction de classeC².

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 15

Ceci veut dire qu’on a les conditions :

s(x_i⁻) =f(xi) i= 1, . . . ,n−1, s(x_i⁺) =f(x_i) i= 1, . . . ,n−1, s(x0) =f(x0),

s(xn) =f(xn),

s⁰(x_i⁻) =s⁰(x_i⁺) i= 1, . . . ,n−1, s⁰⁰(x_i⁻) =s⁰⁰(x_i⁺) i= 1, . . . ,n−1

On a donc

2(n−1) + 2 + 2(n−1) = 4n−2 conditions

Or il faut trouver sur chaque intervalle 4 coefficients . . . Il manque donc 2 conditions

Ceci veut dire qu’on a les conditions :

s(x_i⁻) =f(xi) i= 1, . . . ,n−1, s(x_i⁺) =f(x_i) i= 1, . . . ,n−1, s(x0) =f(x0),

s(xn) =f(xn),

s⁰(x_i⁻) =s⁰(x_i⁺) i= 1, . . . ,n−1, s⁰⁰(x_i⁻) =s⁰⁰(x_i⁺) i= 1, . . . ,n−1

On a donc

2(n−1) + 2 + 2(n−1) = 4n−2 conditions

Or il faut trouver sur chaque intervalle 4 coefficients . . . Il manque donc 2 conditions

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 16

Ceci veut dire qu’on a les conditions :

s(x_i⁻) =f(xi) i= 1, . . . ,n−1, s(x_i⁺) =f(x_i) i= 1, . . . ,n−1, s(x0) =f(x0),

s(xn) =f(xn),

s⁰(x_i⁻) =s⁰(x_i⁺) i= 1, . . . ,n−1, s⁰⁰(x_i⁻) =s⁰⁰(x_i⁺) i= 1, . . . ,n−1

On a donc

2(n−1) + 2 + 2(n−1) = 4n−2 conditions Or il faut trouver sur chaque intervalle 4 coefficients

. . . Il manque donc 2 conditions

Ceci veut dire qu’on a les conditions :

s(x_i⁻) =f(xi) i= 1, . . . ,n−1, s(x_i⁺) =f(x_i) i= 1, . . . ,n−1, s(x0) =f(x0),

s(xn) =f(xn),

s⁰(x_i⁻) =s⁰(x_i⁺) i= 1, . . . ,n−1, s⁰⁰(x_i⁻) =s⁰⁰(x_i⁺) i= 1, . . . ,n−1

On a donc

2(n−1) + 2 + 2(n−1) = 4n−2 conditions

Or il faut trouver sur chaque intervalle 4 coefficients . . . Il manque donc 2 conditions

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 16

Si on impose

s⁰⁰(x₀⁺) =s⁰⁰(x_n⁻) = 0

alors la splinesest compl`etement d´etermin´ee et s’appelleSpline naturelle. On peut aussi imposer

s⁰⁰⁰(x₂⁻) =s⁰⁰⁰(x₂⁺) et s⁰⁰⁰(x_n−1⁻ ) =s⁰⁰⁰(x_n−1⁺ )

Si on impose

s⁰⁰(x₀⁺) =s⁰⁰(x_n⁻) = 0

alors la splinesest compl`etement d´etermin´ee et s’appelleSpline naturelle. On peut aussi imposer

s⁰⁰⁰(x₂⁻) =s⁰⁰⁰(x₂⁺) et s⁰⁰⁰(x_n−1⁻ ) =s⁰⁰⁰(x_n−1⁺ )

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 17

Si on impose

s⁰⁰(x₀⁺) =s⁰⁰(x_n⁻) = 0

alors la splinesest compl`etement d´etermin´ee et s’appelleSpline naturelle.

On peut aussi imposer

s⁰⁰⁰(x₂⁻) =s⁰⁰⁰(x₂⁺) et s⁰⁰⁰(x_n−1⁻ ) =s⁰⁰⁰(x_n−1⁺ )

Si on impose

s⁰⁰(x₀⁺) =s⁰⁰(x_n⁻) = 0

alors la splinesest compl`etement d´etermin´ee et s’appelleSpline naturelle.

On peut aussi imposer

s⁰⁰⁰(x₂⁻) =s⁰⁰⁰(x₂⁺) et s⁰⁰⁰(x_n−1⁻ ) =s⁰⁰⁰(x_n−1⁺ )

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 17

Si on impose

s⁰⁰(x₀⁺) =s⁰⁰(x_n⁻) = 0

alors la splinesest compl`etement d´etermin´ee et s’appelleSpline naturelle.

On peut aussi imposer

s⁰⁰⁰(x₂⁻) =s⁰⁰⁰(x₂⁺) et s⁰⁰⁰(x_n−1⁻ ) =s⁰⁰⁰(x_n−1⁺ )

Interpolation par splines : Un exemple

Interpolation par spline de la fonction

f(x) = 1

(x−0.3)²+ 0.01+ 1

(x−0.9)²+ 0.04−6

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 18

Moindres carr´ es : Un exemple

On reprend l’exemple de la population fran¸caise. On veut d´ecrire l’´evolution de cette population `a l’aide d’un polynˆome de degr´e 3.

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

4 4.5 5 5.5 6

x 10⁷

Approximation au sens des moindres carr´ es

Soientmpoints distincts (r´esultats de mesures par exemple) x1 x2 . . . xm

y1 y2 . . . ym

On veut construire une courbe qui passeaussi pr`es que possibledes valeursyi.

On peut, par exemple, chercher une repr´esentation des donn´ees en cherchant un polynˆome de degr´en<m−1qui approcheau mieuxles donn´ees.

D´efinition

On appellepolynˆome aux moindres carr´es de degr´en, tout polynˆomef(x)v´erifiant

m

X

i=1

|y_i−f(xi)|²≤

m

X

i=1

|y_i−p(xi)|² ∀p∈Pn.

Le polynˆome aux moindres carr´es est donc le polynˆome de degr´enqui, parmi tous les polynˆomes de degr´en, minimise la distance aux donn´ees.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 20

Approximation au sens des moindres carr´ es

Soientmpoints distincts (r´esultats de mesures par exemple) x1 x2 . . . xm

y1 y2 . . . ym

On veut construire une courbe qui passeaussi pr`es que possibledes valeursyi. On peut, par exemple, chercher une repr´esentation des donn´ees en cherchant un polynˆome de degr´en<m−1qui approcheau mieuxles donn´ees.

D´efinition

On appellepolynˆome aux moindres carr´es de degr´en, tout polynˆomef(x)v´erifiant

m

X

i=1

|y_i−f(xi)|²≤

m

X

i=1

|y_i−p(xi)|² ∀p∈Pn.

Le polynˆome aux moindres carr´es est donc le polynˆome de degr´enqui, parmi tous les polynˆomes de degr´en, minimise la distance aux donn´ees.

Approximation au sens des moindres carr´ es

Soientmpoints distincts (r´esultats de mesures par exemple) x1 x2 . . . xm

y1 y2 . . . ym

On veut construire une courbe qui passeaussi pr`es que possibledes valeursyi. On peut, par exemple, chercher une repr´esentation des donn´ees en cherchant un polynˆome de degr´en<m−1qui approcheau mieuxles donn´ees.

D´efinition

On appellepolynˆome aux moindres carr´es de degr´en, tout polynˆomef(x)v´erifiant

m

X

i=1

|y_i−f(xi)|²≤

m

X

i=1

|y_i−p(xi)|² ∀p∈Pⁿ.

Le polynˆome aux moindres carr´es est donc le polynˆome de degr´enqui, parmi tous les polynˆomes de degr´en, minimise la distance aux donn´ees.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 20

Approximation au sens des moindres carr´ es

Soientmpoints distincts (r´esultats de mesures par exemple) x1 x2 . . . xm

y1 y2 . . . ym

On veut construire une courbe qui passeaussi pr`es que possibledes valeursyi. On peut, par exemple, chercher une repr´esentation des donn´ees en cherchant un polynˆome de degr´en<m−1qui approcheau mieuxles donn´ees.

D´efinition

On appellepolynˆome aux moindres carr´es de degr´en, tout polynˆomef(x)v´erifiant

m

X

i=1

|y_i−f(xi)|²≤

m

X

i=1

|y_i−p(xi)|² ∀p∈Pⁿ.

Le polynˆome aux moindres carr´es est donc le polynˆome de degr´enqui, parmi tous les polynˆomes de degr´en, minimise la distance aux donn´ees.

Notons que sin=m−1alorsf est lepolynˆome d’interpolation de Lagrangeaux pointsx1, . . . ,xm.

Notons

Φ(a0,a1, . . . ,an) =

m

X

i=1

yi−(a0+a1xi+. . .anx_iⁿ)2

.

Les coefficients du polynˆome solution v´erifient les relations :

∂Φ

∂ak

= 0 0≤k≤n.

Cela revient `a dire que nous cherchons un minimum de la fonctionΦ. Ceci nous donne un syst`eme den+ 1relations lin´eaires entre lesak. Notons

B=











1 x1 . . . x₁ⁿ

1 x2 . . . x₂ⁿ

.. .

.. .

1 xm . . . x_mⁿ











AinsiBest une matrice rectangulaire `amlignes etn+ 1colonnes.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 21

Notons que sin=m−1alorsf est lepolynˆome d’interpolation de Lagrangeaux pointsx1, . . . ,xm.

Notons

Φ(a0,a1, . . . ,an) =

m

X

i=1

yi−(a0+a1xi+. . .anx_iⁿ)2

.

Les coefficients du polynˆome solution v´erifient les relations :

∂Φ

∂ak

= 0 0≤k≤n.

Cela revient `a dire que nous cherchons un minimum de la fonctionΦ.

Ceci nous donne un syst`eme den+ 1relations lin´eaires entre lesak. Notons

B=











1 x1 . . . x₁ⁿ

1 x2 . . . x₂ⁿ

.. .

.. .

1 xm . . . x_mⁿ











AinsiBest une matrice rectangulaire `amlignes etn+ 1colonnes.

Notons que sin=m−1alorsf est lepolynˆome d’interpolation de Lagrangeaux pointsx1, . . . ,xm.

Notons

Φ(a0,a1, . . . ,an) =

m

X

i=1

yi−(a0+a1xi+. . .anx_iⁿ)2

.

Les coefficients du polynˆome solution v´erifient les relations :

∂Φ

∂ak

= 0 0≤k≤n.

Cela revient `a dire que nous cherchons un minimum de la fonctionΦ.

Ceci nous donne un syst`eme den+ 1relations lin´eaires entre lesak. Notons

B=











1 x1 . . . x₁ⁿ

1 x2 . . . x₂ⁿ

.. .

.. .

1 xm . . . x_mⁿ











AinsiBest une matrice rectangulaire `amlignes etn+ 1colonnes.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 21

Th´eor`eme

Une condition n´ecessaire et suffisante pour quea∈Rⁿ⁺¹r´ealise le minimum de la fonctionΦest que

B^TB a=B^Ty.

Ainsi l’approximation par moindres carr´es se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire.

Remarques

La matriceB^TBest sym´etrique d´efinie positive

On peut utiliser d’autres fonctions d’approximation que des polynˆomes : Toute combinaison lin´eaire de fonctions lin´eairement ind´ependantes est possible Dans la pratique, on utilise des solveurs sp´ecifiques pour le syst`eme lin´eaire, celui-ci ´etantmal conditionn´e.

Th´eor`eme

Une condition n´ecessaire et suffisante pour quea∈Rⁿ⁺¹r´ealise le minimum de la fonctionΦest que

B^TB a=B^Ty.

Ainsi l’approximation par moindres carr´es se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire.

Remarques

La matriceB^TBest sym´etrique d´efinie positive

On peut utiliser d’autres fonctions d’approximation que des polynˆomes : Toute combinaison lin´eaire de fonctions lin´eairement ind´ependantes est possible Dans la pratique, on utilise des solveurs sp´ecifiques pour le syst`eme lin´eaire, celui-ci ´etantmal conditionn´e.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 22

Th´eor`eme

Une condition n´ecessaire et suffisante pour quea∈Rⁿ⁺¹r´ealise le minimum de la fonctionΦest que

B^TB a=B^Ty.

Ainsi l’approximation par moindres carr´es se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire.

Remarques

La matriceB^TBest sym´etrique d´efinie positive

On peut utiliser d’autres fonctions d’approximation que des polynˆomes : Toute combinaison lin´eaire de fonctions lin´eairement ind´ependantes est possible Dans la pratique, on utilise des solveurs sp´ecifiques pour le syst`eme lin´eaire, celui-ci ´etantmal conditionn´e.

Th´eor`eme

Une condition n´ecessaire et suffisante pour quea∈Rⁿ⁺¹r´ealise le minimum de la fonctionΦest que

B^TB a=B^Ty.

Ainsi l’approximation par moindres carr´es se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire.

Remarques

La matriceB^TBest sym´etrique d´efinie positive

On peut utiliser d’autres fonctions d’approximation que des polynˆomes : Toute combinaison lin´eaire de fonctions lin´eairement ind´ependantes est possible

Dans la pratique, on utilise des solveurs sp´ecifiques pour le syst`eme lin´eaire, celui-ci ´etantmal conditionn´e.

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 22

Th´eor`eme

Une condition n´ecessaire et suffisante pour quea∈Rⁿ⁺¹r´ealise le minimum de la fonctionΦest que

B^TB a=B^Ty.

Ainsi l’approximation par moindres carr´es se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire.

Remarques

La matriceB^TBest sym´etrique d´efinie positive

On peut utiliser d’autres fonctions d’approximation que des polynˆomes : Toute combinaison lin´eaire de fonctions lin´eairement ind´ependantes est possible Dans la pratique, on utilise des solveurs sp´ecifiques pour le syst`eme lin´eaire, celui-ci ´etantmal conditionn´e.

Un exemple de calcul

On consid`ere les donn´ees suivantes :

x1= 0, x2= 1, x3= 2, y1= 2, y2= 2, y3= 8.

On recherche le polynˆome aux moindres carr´es de degr´e1associ´e `a ces points (R´egression lin´eaire). On recherche donc les coefficientsa0,a1du polynˆomea0+a1x. Ainsi

Φ(a0,a1) =

3

X

i=1

yi−(a0+a1xi)2

= 2−a0

2

+ 2−(a0+a1)2

+ 8−(a0+ 2a1)2

On calcule

∂Φ

∂a0

= 6a0+ 6a1−24

∂Φ

∂a1

= 6a0+ 10a1−36

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 23

Un exemple de calcul

On consid`ere les donn´ees suivantes :

x1= 0, x2= 1, x3= 2, y1= 2, y2= 2, y3= 8.

On recherche le polynˆome aux moindres carr´es de degr´e1associ´e `a ces points (R´egression lin´eaire). On recherche donc les coefficientsa0,a1du polynˆomea0+a1x.

Ainsi

Φ(a0,a1) =

3

X

i=1

yi−(a0+a1xi)2

= 2−a0

2

+ 2−(a0+a1)2

+ 8−(a0+ 2a1)2

On calcule

∂Φ

∂a0

= 6a0+ 6a1−24

∂Φ

∂a1

= 6a0+ 10a1−36

Un exemple de calcul

On consid`ere les donn´ees suivantes :

x1= 0, x2= 1, x3= 2, y1= 2, y2= 2, y3= 8.

On recherche le polynˆome aux moindres carr´es de degr´e1associ´e `a ces points (R´egression lin´eaire). On recherche donc les coefficientsa0,a1du polynˆomea0+a1x.

Ainsi

Φ(a0,a1) =

3

X

i=1

yi−(a0+a1xi)2

= 2−a0

2

+ 2−(a0+a1)2

+ 8−(a0+ 2a1)2

On calcule

∂Φ

∂a0

= 6a0+ 6a1−24

∂Φ

∂a1

= 6a0+ 10a1−36

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 23

Un exemple de calcul

On consid`ere les donn´ees suivantes :

x1= 0, x2= 1, x3= 2, y1= 2, y2= 2, y3= 8.

On recherche le polynˆome aux moindres carr´es de degr´e1associ´e `a ces points (R´egression lin´eaire). On recherche donc les coefficientsa0,a1du polynˆomea0+a1x.

Ainsi

Φ(a0,a1) =

3

X

i=1

yi−(a0+a1xi)2

= 2−a0

2

+ 2−(a0+a1)2

+ 8−(a0+ 2a1)2

On calcule

∂Φ

∂a0

= 6a0+ 6a1−24

∂Φ

∂a1

= 6a0+ 10a1−36

En imposant

∂Φ

∂a0

= ∂Φ

∂a1

= 0,

on obtient le syst`eme lin´eaire :

6a0+ 6a1 = 24 6a0+ 10a1 = 36

La solution est alorsa0= 1,a1= 3. La droite est donc d’´equation y= 1 + 3x

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 24

En imposant

∂Φ

∂a0

= ∂Φ

∂a1

= 0,

on obtient le syst`eme lin´eaire :

6a0+ 6a1 = 24 6a0+ 10a1 = 36

La solution est alorsa0= 1,a1= 3.

La droite est donc d’´equation y= 1 + 3x

En imposant

∂Φ

∂a0

= ∂Φ

∂a1

= 0,

on obtient le syst`eme lin´eaire :

6a0+ 6a1 = 24 6a0+ 10a1 = 36

La solution est alorsa0= 1,a1= 3. La droite est donc d’´equation y= 1 + 3x

Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 24