Soientmpoints distincts (r´esultats de mesures par exemple) x1 x2 . . . xm
y1 y2 . . . ym
On veut construire une courbe qui passeaussi pr`es que possibledes valeursyi.
On peut, par exemple, chercher une repr´esentation des donn´ees en cherchant un polynˆome de degr´en<m−1qui approcheau mieuxles donn´ees.
D´efinition
On appellepolynˆome aux moindres carr´es de degr´en, tout polynˆomef(x)v´erifiant
m
Le polynˆome aux moindres carr´es est donc le polynˆome de degr´enqui, parmi tous les polynˆomes de degr´en, minimise la distance aux donn´ees.
Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 20
Approximation au sens des moindres carr´ es
Soientmpoints distincts (r´esultats de mesures par exemple) x1 x2 . . . xm
y1 y2 . . . ym
On veut construire une courbe qui passeaussi pr`es que possibledes valeursyi. On peut, par exemple, chercher une repr´esentation des donn´ees en cherchant un polynˆome de degr´en<m−1qui approcheau mieuxles donn´ees.
D´efinition
On appellepolynˆome aux moindres carr´es de degr´en, tout polynˆomef(x)v´erifiant
m
Le polynˆome aux moindres carr´es est donc le polynˆome de degr´enqui, parmi tous les polynˆomes de degr´en, minimise la distance aux donn´ees.
Approximation au sens des moindres carr´ es
Soientmpoints distincts (r´esultats de mesures par exemple) x1 x2 . . . xm
y1 y2 . . . ym
On veut construire une courbe qui passeaussi pr`es que possibledes valeursyi. On peut, par exemple, chercher une repr´esentation des donn´ees en cherchant un polynˆome de degr´en<m−1qui approcheau mieuxles donn´ees.
D´efinition
On appellepolynˆome aux moindres carr´es de degr´en, tout polynˆomef(x)v´erifiant
m
Le polynˆome aux moindres carr´es est donc le polynˆome de degr´enqui, parmi tous les polynˆomes de degr´en, minimise la distance aux donn´ees.
Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 20
Approximation au sens des moindres carr´ es
Soientmpoints distincts (r´esultats de mesures par exemple) x1 x2 . . . xm
y1 y2 . . . ym
On veut construire une courbe qui passeaussi pr`es que possibledes valeursyi. On peut, par exemple, chercher une repr´esentation des donn´ees en cherchant un polynˆome de degr´en<m−1qui approcheau mieuxles donn´ees.
D´efinition
On appellepolynˆome aux moindres carr´es de degr´en, tout polynˆomef(x)v´erifiant
m
Le polynˆome aux moindres carr´es est donc le polynˆome de degr´enqui, parmi tous les polynˆomes de degr´en, minimise la distance aux donn´ees.
Notons que sin=m−1alorsf est lepolynˆome d’interpolation de Lagrangeaux
Les coefficients du polynˆome solution v´erifient les relations :
∂Φ
∂ak
= 0 0≤k≤n.
Cela revient `a dire que nous cherchons un minimum de la fonctionΦ. Ceci nous donne un syst`eme den+ 1relations lin´eaires entre lesak. Notons
B=
AinsiBest une matrice rectangulaire `amlignes etn+ 1colonnes.
Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 21
Notons que sin=m−1alorsf est lepolynˆome d’interpolation de Lagrangeaux
Les coefficients du polynˆome solution v´erifient les relations :
∂Φ
∂ak
= 0 0≤k≤n.
Cela revient `a dire que nous cherchons un minimum de la fonctionΦ.
Ceci nous donne un syst`eme den+ 1relations lin´eaires entre lesak. Notons
B=
AinsiBest une matrice rectangulaire `amlignes etn+ 1colonnes.
Notons que sin=m−1alorsf est lepolynˆome d’interpolation de Lagrangeaux
Les coefficients du polynˆome solution v´erifient les relations :
∂Φ
∂ak
= 0 0≤k≤n.
Cela revient `a dire que nous cherchons un minimum de la fonctionΦ.
Ceci nous donne un syst`eme den+ 1relations lin´eaires entre lesak. Notons
B=
AinsiBest une matrice rectangulaire `amlignes etn+ 1colonnes.
Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 21
Th´eor`eme
Une condition n´ecessaire et suffisante pour quea∈Rn+1r´ealise le minimum de la fonctionΦest que
BTB a=BTy.
Ainsi l’approximation par moindres carr´es se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire.
Remarques
La matriceBTBest sym´etrique d´efinie positive
On peut utiliser d’autres fonctions d’approximation que des polynˆomes : Toute combinaison lin´eaire de fonctions lin´eairement ind´ependantes est possible Dans la pratique, on utilise des solveurs sp´ecifiques pour le syst`eme lin´eaire, celui-ci ´etantmal conditionn´e.
Th´eor`eme
Une condition n´ecessaire et suffisante pour quea∈Rn+1r´ealise le minimum de la fonctionΦest que
BTB a=BTy.
Ainsi l’approximation par moindres carr´es se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire.
Remarques
La matriceBTBest sym´etrique d´efinie positive
On peut utiliser d’autres fonctions d’approximation que des polynˆomes : Toute combinaison lin´eaire de fonctions lin´eairement ind´ependantes est possible Dans la pratique, on utilise des solveurs sp´ecifiques pour le syst`eme lin´eaire, celui-ci ´etantmal conditionn´e.
Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 22
Th´eor`eme
Une condition n´ecessaire et suffisante pour quea∈Rn+1r´ealise le minimum de la fonctionΦest que
BTB a=BTy.
Ainsi l’approximation par moindres carr´es se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire.
Remarques
La matriceBTBest sym´etrique d´efinie positive
On peut utiliser d’autres fonctions d’approximation que des polynˆomes : Toute combinaison lin´eaire de fonctions lin´eairement ind´ependantes est possible Dans la pratique, on utilise des solveurs sp´ecifiques pour le syst`eme lin´eaire, celui-ci ´etantmal conditionn´e.
Th´eor`eme
Une condition n´ecessaire et suffisante pour quea∈Rn+1r´ealise le minimum de la fonctionΦest que
BTB a=BTy.
Ainsi l’approximation par moindres carr´es se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire.
Remarques
La matriceBTBest sym´etrique d´efinie positive
On peut utiliser d’autres fonctions d’approximation que des polynˆomes : Toute combinaison lin´eaire de fonctions lin´eairement ind´ependantes est possible
Dans la pratique, on utilise des solveurs sp´ecifiques pour le syst`eme lin´eaire, celui-ci ´etantmal conditionn´e.
Analyse Num´erique– R. Touzani Interpolation et approximation 22
Th´eor`eme
Une condition n´ecessaire et suffisante pour quea∈Rn+1r´ealise le minimum de la fonctionΦest que
BTB a=BTy.
Ainsi l’approximation par moindres carr´es se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire.
Remarques
La matriceBTBest sym´etrique d´efinie positive
On peut utiliser d’autres fonctions d’approximation que des polynˆomes : Toute combinaison lin´eaire de fonctions lin´eairement ind´ependantes est possible Dans la pratique, on utilise des solveurs sp´ecifiques pour le syst`eme lin´eaire, celui-ci ´etantmal conditionn´e.