ARI/GARI, la dimorphie et l'arithmétique des multizêtas : un premier bilan

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

E

CALLE

ARI/GARI, la dimorphie et l’arithmétique des

multizêtas : un premier bilan

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 15, no_{2 (2003),}

p. 411-478

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ARI/GARI,

la

_dimorphie

et

_{l’arithmétique}

des

multizêtas :

un

premier

bilan

par JEAN ECALLE

RÉSUMÉ. Nous _tentons, dans ce

Survol,

de

_présenter

une struc-ture méconnue :

_l’algèbre

de Lie ARI et son _groupe GARI. Puis nous montrons

_{quels progrès}

elle a

_déjà

_permis

de réaliser dans

l’étude

_{arithmético-algébrique}

des valeurs zêta

_multiples

et aussi

quelles possibilités

elle ouvre _pour

_{l’exploration}

du

_phénomène

plus général

de

_{dimorphie numérique.}

ABSTRACT. This

_Survey

_presents a novel structure : the Lie

al-gebra

ARI

_along

with its _group GARI. It _{then goes} on to sketch

some of the advances which

ARI/GARI

made

_possible

in the field

of MZV

_(multiple

zeta

_values)

_arithmetics,

and what

_promises

it

holds for the

_{investigation}

of the

_related,

but much broader

phe-nomenon of numerical

_dimorphy.

Table des matires

1.

_Importance

et

_ubiquité

des multizêtas 2 2. La fonction zêta de

_Riemann,

modèle et

_point

de

_départ

3 3. Le _passage aux multizêtas : ce

_{qui demeure,}

ce

_{qui disparaît,}

ce

_{qui apparaît}

4

4.

_Principaux

_objectifs

5

5. Deux mots sur les

_moules,

les bimoules et leurs

_symétries

5 6.

_{Prolongement méromorphe}

des multizêtas :

_aspects

arithmé-tiques

8

7. Multizêtas

_numériques

et multizêtas

_symboliques

11 8. Séries

_{génératrices}

_{zag’ /zzg’}

et reformulation du

_problème

13 9. Dérivations et

_{automorphismes}

sur

l’algèbre

des bimoules :

ARI/GARI

et les structures annexes 14

10.

_Origine

et vocation de

_ARI/GARI

20

11.

_Application

aux multizêtas : les trois niveaux de difficulté 23

12. Les bimoules

_bisymétrals

_{pal’ /pil’}

et

_{tad’ /izl’}

25 13.

_Isomorphie

_explicite

des

_cinq

_algèbres

secondaires 27 14. La ’libre

_{génération’}

des multizêtas 29

15.

_Bipartition

immédiate et

_tripartition

coûteuse 30 16.

_Décompte

des irréductibles : les

_conjectures

de

Broadhurst-Kreimer 32

17.

_Décompte

des irréductibles pour les multizêtas purs 33

18.

_Décompte

des irréductibles _pour les multizêtas euleriens 36 19. Les formes

_{quadratiques distinguées}

et ce

qui

les

distingue

38

20. La

_{décomposition}

_canonique

en irréductibles 40

21. Le facteur I et la

_dépendance

en r 2

42

22. Les facteurs

_II,

III et le bimoule

_{arithmético-analytique}

loma8/lomi8 :

ce

_qu’on

sait

_déjà

de lui et ce

qu’on

voudrait

savoir de

_plus

43

23. Redistributivité et élimination des ‘l’ 45

24.

_Passage

aux

_{superalgèbres}

46

25. La

_dimorphie

et le _corps des naturels 49 26. Un

_premier

bilan : ce

qui

est

acquis

et ce

_qui

reste à faire 51

27. Un _aperçu du formulaire 54

28. Addition 1 : construction du moule

_loma8/lomi8

58

29. Addition 2 :

_complément

sur la

décomposition

canonico-explicite

61

30. Addition 3 :

_complément

sur l’associateur canonico-rationnel 63

31. Addition 4 : les relations

_{"quadratiques" impliquent}

la relation

"digonale"

64

32. Addition 5 :

_complément

sur les relations

"hexgonale"

et

"pentagonale"

67

Bibliographie

67

1.

_Importance

et

_ubiquité

des multizêtas Pour tout _r, la fonction zêta

_multiple

_{pure est} définie _par la série

et son

analogue

modulé

(sous-entendu :

modulé _par des racines de l’unité

ej :=

exp(21riej))

est défini _{par :}

Bien _que ces séries ne

_convergent

absolument _que sur le domaine :

nous verrons _que leurs sommes

possèdent

un

prolongement méromorphe

à

tC"’ tout

_entier,

mais avec des valeurs aux

points

de Z"

qui

se ramènent

vue

arithmétique,

seules ces dernières - dites vadeurs multizêta ou multizêtas

pour faire bref - méritent donc d’être

retenues,

mais elles le méritent

su-perlativement,

du fait de leur rôle :

1)

en théorie de la

_résurgence

et des invariants

_holomorphes

_{(depuis 1975)}

2)

en théorie des noeuds

(depuis

1987)

3)

en théorie des nombres

(depuis 1985)

4)

dans l’étude des

_diagrammes

de

_Feynman

_(depuis

₁₉₈₅₎

5)

en relation avec le groupe de Grothendieck-Teichm" ler

(depuis 1991)

mais _{surtout pour} ces deux raisons-ci :

(i)

dans _{tout processus} naturel de

_génération

des constantes transcendantes

(qu’il

s’agisse

des

_périodes

de Kontsevich ou - construction à mon avis

plus

adéquate -

du _corps Na des

_naturels,

_etc)

les multizêtas sont

_parmi

les

toutes

_premières

constantes à

_apparaître

(ii)

elles sont les

_plus

_simples

à manifester le fascinant

_phénomène

de la

’dimorphie’

ou du ’double

_{produit’ .}

Les

_{plus simples}

mais non les

_seules,

loin de là ! t C’est

_justement

par

rapport

à ce

phénomène

méconnu mais si

général

de la

_{dimorphie 1}

_que les multizêtas

_prennent

toute leur valeur de

paradigme.

Et c’est

_également

ce vaste horizon

_{d’applications}

futures

_qui,

pensons-nous,

justifie

l’introduction de tout

_l’appareil

_{algébrico-moulien}

es-quissé

ici et

_développé

dans

_[E5].

2. La fonction zêta de

_Riemann,

modèle et

_point

de

_départ

Puisque

c’est elle

_qu’il

_s’agit

de

_{généraliser,}

_{commençons par} nous remé-morer ses

propriétés

les

plus saillantes, puis

demandons-nous

quelles

sont

celles

_qui

ont des chances raisonnables de survivre à la

_{multiplication}

des variables. Ces

_propriétés

sont :

Pl : l’existence d’un

_prolongement

_méromorphe

à C tout entier. P2 :

_{l’équation}

de

_réflexion,

_qui

_{relie ~ ( s )}

_{à ((1 -}

_8).

P3 :

_{l’équation}

de

_{translation, qui exprime}

_{Ç (s)}

en fonction des translatées

droites ((8+1),((8+2),...avec

des coefficients essentiellement

_polynômiaux

en

s . 2

P4 : la

_{premzère factorisation,}

en

produit

eulerien :

((8) = npEP

(1 -p-S)

P5 : la seconde

_{factorisation,}

moins connue et moins utile :

lqui

semble ne _pouvoir être _{conceptualisé} de manière adéquate que dans le cadre des _algèbres de _{fonctions birésurgentes} avec, pour pendant numérique, la hiérarchie des anneaux de _naturels,

cf _[E4],[ES].

2C’est

d’ailleurs cette _équation de translation, plus que l’équation de réflexion, qui mériterait

P6 :

_{l’apparente}

localisation des zéros de

_~(.)

sur l’axe vertical

R(s)

=

1/2,

ou

hypothèse

de Riemann.

P7 : la dichotomie entre les entiers s

positifs

_pairs,

où

(8)/1("8

est

_rationnel,

et les entiers

_{positifs impairs,}

où la nature

_{arithmétique}

et

est

_mystérieuse

_(à

_{noter que cette} dichotomie se

_retrouve,

mais sensiblement

modifiée,

du côté

_négatif).

..

P8 : la très

_{probable indépendance algébrique}

_{de ~ (3), ((5), ((7),...}

P9 : le rôle

_{’complètement}

à

_part’

_{de ((2) =}

_~r2/ô.

3. _{Le passage} aux multizêtas : ce

qui demeure,

ce

_qui

_disparaît,

ce

qui

apparaît

Des factorisations P4 et

_P5,

_trop

liées à

_{l’unidimensionalité,}

nous devons

faire notre deuil. On doit en revanche s’attendre à ce _{que survive}

l’équation

de translation ainsi _que sa

conséquence

directe : l’existence d’un

prolonge-ment

_méromorphe

avec lieu

singulier

élémentaire et résidus

remarquables.

Nous verrons _que tel est bien le cas. Même

l’équation

de on le sent

_bien,

n’est _pas vouée à

_disparaître

sans

_{trace ;}

toutefois nous ne nous

intéresserons

_qu’à

sa ’restriction’ aux

points

entiers. De

l’hypothèse

de

Rie-mann,

également,

quelque

chose doit

survivre,

pas directement à propos

des multizêtas

₍₁₎

ou

(2),

mais de variantes

adaptées.

Mais ce sont évidemment les

_propriétés

_{arithmétiques qui}

_promettent

le

plus.

De

_fait,

il

_n’y

aura _pas ici

appauvrissement

mais

spectaculaire

enri-chissement,

en raison surtout du

_phénomène

de

_{dâmorphze, complètement}

absent en dimension

_1,

mais

prépondérant

en dimensions

supérieures.

De

quoi

s’agit-il

au

juste ?

De l’existence sur les multizêtas d’un double

codage,

par le moule Ze* et le moule

Wa*,

et,

attachés à ces deux

_codages,

de deux

procédés

distincts _pour la

_{multiplication scalaire,}

_permettant

chacun

d’ex-primer

tout

_produit

de deux multizêtas comme combinaison linéaire à

co-efficientes rationnels d’un nombre variable mais fini d’autres multizêtas. De

plus,

les très abondantes données

_numériques

dont on

dispose aujourd’hui

suggèrent

que ces deux familles de relations - dites relations

quadratiques

-épuisent

effectivement

toutes les relations

_possibles.

D’où l’idée de travailler

non _pas sur les Multizêtas

_{numériques.,}

dont l’élucidation

_{arithmétique}

com-plète

est encore hors de

_portée,

mais sur les multizêtas.

_symboliques

ou

formels,

c’est-à-dire les Zée et les

_Wa’,

définis modulo les relations de

conversion, qui

permettent

de traduire un

_codage

en

l’autre,

et les rela-tions

_{quadratiques,}

_qui

_{définissent,}

_doublement,

la structure

_{multiplicative.}

4.

_{Principaux objectifs}

G 1 : Recherche de fonctions

_{génératrices}

idoines - ce seront

_Zig

et

_Zag’

-permettant

d’exprimer

d’une manière

_plus

_compacte

les

_propriétés

(conver-sion et

_{multiplication)}

des scalaires Zée et

W a’

et surtout de borraer le nombre de termes

_figurant

dans la linéarisation des

_produits

G2 : Montrer la libre

_{génération,}

autrement dit établir _que les

_Q-anneaux

de multizêtas

_(purs

ou

modulés)

sont des anneaux de

polynômes

à une

infinité

_{d’indéterminées,}

les irréductibles.

G3 : Enumérer et décrire ces irréductibles et examiner ce

qui

leur

répond

du côté des fonctions

_{génératrices.}

G4 : Rechercher une base d’irréductibles

qui

soit naturelle et

‘zmpartiale’,

i.e. à

_égale

distance des deux

_codages

duaux Ze et Wa .

G5 :

_Regarder

ce _que devient la dichotomie

pair/impair

et décrire la

dépendance

en

w2

des

multizêtas,

ainsi _que ce

qui

lui

_correspond

du côté

des fonctions

_{génératrices :}

ce seront les moules et

_{tal-/til .}

G6 : Rechercher

_{systématiquement}

toutes les familles de relations d’parité

finie

entre

_multizêtas,

tant du côté scalaire _que du côté des fonctions

génératrices.

G7 :

_Puisque

les relations

_quadratiques

sont

_présumées

_exhaustives,

ten-ter d’en

_déduire,

_{par voie}

_algébrique,

toutes les autres familles de relations

connues à ce

_{jour :}

involution de

_Hoffman,

relations

_hexagonales

et

penta-gonales,

etc.

G8 : Calcul

_{systématique}

des dimensions additives

_(dimension

du

_Q-module

des multizêtas de

_poids

et de

_{longueur donnés,}

_etc)

et

_{multiplicatives}

(nom-bres d’irréductibles de

_poids

et de

_longueur

_donnés,

_etc)

G9 :

_{Décomposition}

_{canonico-explicite}

des multizêtas en irréductibles

-étant entendu

_qu’il

existe des

_degrés

dans

_{l’explicite}

et

_qu’il

reste

_parfois

une certaine latitude dans la détermination du

canonique

5. Deux mots sur les

moules,

les bimoules et leurs

symétries

Abréviations :

Dans toute la suite nous _poserons

P(t)

:=

1/t ; Q(t)

:-=

c/ tan(ct)

et nous

abrégerions

comme suit les

sommes/différences

de nos variables :

Moules :

Les moules sont des

_fonctions

d’un nombre variable de voriables : ils

dépen-dent de

_séquences

c~ : _

(W1, ... , cv,. )

de

longueur

r

quelconque.

Ces

sé-quences sont notées en _gras, avec indexation

supérieure.

Le

produit

des

Wi de ces

_séquences

sont notés en caractères

ordinaires,

avec indexation

inférieure. Les

_séquences

sont à leur tour affixées aux moules en indices

supérieurs

A =

_JAI,

vu _que les moules sont destinés à être contractés :

avec des

objets

duaux

(souvent

des

_opérateurs

différentiels ou éléments

d’une

_algèbre

_{associative),}

dits comoules :

B, -

qui

portent

leurs -propres indices en

position

inférieure.

Principales opérations

sur les moules :

Les moules

_peuvent

être

_{additionnée,}

_mulizphés,

_composés.

L’addition se fait

_composante

_par

_composante.

La

_{multiplication}

_{( mu ou}

_x)

est

_associative,

mais non-commutative :

(ne

pas oublier les deux

décompositions

triviales w = et _w _

Nous aurons

aussi, quoique

plus

_rarement,

recours à la

_composition

des

moules,

notée o et ainsi définie :

Principaux

types

de

_symétrie

_pour les moules :

La

_plupart

des moules utiles

_présentent

des

_{’symétries’}

_simples.

Un moule A8 est dit

_symétral

_{(resp. alternccn}

ssi :

Un moule A8 est dit

_symétrel

_{(resp. alterne}

ssi :

Ici

_(resp.

dénote l’ensemble des

_séquences

w

ob-tenues à

_partir

de

",1

et _par

_{battage simple}

_(resp.

_{contractant).}

Dans

un

_battage

_contractant,

deux indices

_{adjacents wi}

et _wj mais

_provenant

l’un de

w 1

et l’ autre de

w 2

peuvent

se fondre en :=

Les bimoules et les contracteurs :

et - c’est là l’essentiel -

_qu’on

soumet à diverses

_opérations,

unaires ou

binaires,

qui

mêlent intimement les deux

_{séquences 3,}

sont de nature

’sym-plectique’ ’

et

_{s’expriment}

aux _moyen de

_quatre

’contractions’ de base

(cf

infra) .

L’une de ces

opérations

unaires est le _{swap :}

Une autre est le

_{push :}

relié au _{swap par :}

(11)

neg o

push

:= anti o _swap o anti o _swap

où l’involution anti

_{(resp. neg)}

inverse les

_{séquences w}

_(resp.

_change

le

_signe

de tous leurs éléments

Nous entreverrons dans la suite

_quelques

unes des

opérations

binaires.

Toutes

_impliquent

des

_{contractions,}

denotées par les

symboles 1 , r , j , L

et

_toujours

relatives à une factorisation dûment

spécifiée

w = ~$

de la

_séquence

totale. Les

_quatre

_règles

de contraction sont immédiatement

apparentes

sur

l’exemple qui

suit. Relativement à la factorisation :

les

_{symboles 1 , r , j , L}

_signalent

les

_{changements :}

avec les abréviations usuelles _pour les

sommes/diflérences.

On voit _que le

_{contracteur 1}

_ajoute

à l’élément

_{supérieur-droit}

de a tous

les éléments

_supérieurs

de la

_séquence

voisine

_b,

tandis _que le contracteur

J

soustrait de

_chaque

élément inférieur de a l’ élément

_{inférieur-gauche}

de la

_séquence

voisine b. Et uice versa

pour f

et

L.

De

fait,

les variables u

sont vouées à être additionnées les unes aux autres et les variables v à être

°

soustraites les unes des autres.

Principaux

types

de

_symétrie

_pour les bimoules :

La définition de

_{s ymétral/al ternal}

est

_inchangée.

Celle de

_{s ymétrel/al ternel}

aussi,

avec la contraction additive _wi

_{+ wj}

affectant simultanément les

va-riables u et v. Mais il

_apparaît

de nouvelles

_symétries

_propres aux bimoules.

Ce sont les

_types

_{symétril/alternil}

_{( resp.}

_{s ymétrul/alternul)}

_qui

sont définis

3sinon

ce seraient de banals moules aux indices Wi =

( ’i )

dans C2 au lieu de C.

vi

comme

symétral/alternal

mais avec

_chaque

contraction additive _z,clz

remplacée

par :

Ainsi pour un bimoule

_{symétral A’}

et deux

_{séquences-facteurs}

de lon- . gueur 1 et 2 nous avons :

mais si A- est

_symétrel

_(resp.

_symétril

ou

symétru4

nous devons

ajouter

au

membre de droite des termes

_{contractés, qui}

valent

_{respectivement :}

Il _y a enfin

_quatre

autres

_types

_{(symétriiljaltemiil, symétru’UljalternuuQ}

qui

sont essentiellement les

_{’périodisés’}

des

_{précédents,}

avec

Q

à la

place

de

_P,

mais aussi des termes correctifs en c et des définitions nettement

_plus

complexes.

A chacun des

_types

en

’sym-’ correspond

une loi de

multiplication

com-mutative

_{(c’est manifeste)}

mais aussi associative

_(ce

l’est

_moins).

6.

_{Prolongement méromorphe}

des multizêtas :

aspects

arithmétiques

Dans toute la

_suite,

_{les ej}

E

_Q/Z

dénoteront des rationnels définis modulo

1 et les _ej :=

exp(21ri fj)

_désigneront

les racines de l’unité

_{correspondantes.}

Quant

aux _sj, ce seront des entiers &#x3E;

_0,

sauf dans cette

_section,

où nous

laissons les _sj

_parcourir

tout C.

Au moule Ze* défini en

(2)

et manifestement

symétrel,

associons un

moule

_Zea’,

très

_proche

mais manifestement

_{s ymétral}

et surtout mieux

adapté

à l’étude du

_prolongement

_{méromorphe :}

avec des

_{inégalités larges}

entre les _nj et un facteur de

multiplicité

_1/kt!...

si

la suite se

décompose

en

_paquets

de

kl, puis k2,

_etc,

termes consécutifs

égaux.

Zea se déduit _par

postcomposition

Zea’ := Zée o

Ezp

de Ze’ _par

le moule élémentaire

_Exp.

dont les

_composantes

de

_longueur

r valent

1/r!".

Pour un r et des _Ej

fixés,

les séries

_qui

définissent Zée et Zea* ne sont absolument

_convergentes

_que sur le &#x3E;

_1,

_{~i ( s 12 )}

&#x3E;

_{2, ... ,}

1

&#x3E;

_r}

mais leurs sommes admettent un

_prolongement

_méromorphe

sur tG"’ tout entier et un

prolongenent holomorphe uniforme

sur cC"’ - La

démonstration

_prend

une

_{ligne, puisqu’elle}

tient tout entière dans la banale identité

qui, injectée

dans les séries

_(1)(2)(14),

_permet

immédiatement

_d’exprimer

tout multizêta en fonction des multizêtas

_convergents,

_par une formule

_qui

généralise

directement

_{l’équation}

de translation de la fonction de zêta

clas-sique

(cf

§2,

P3).

De

_plus,

on observe une

agréable séparation

des

parties

singulière

et

régulière :

pour tout k &#x3E;

_{0 il y}

a

factorisation

des moules multizêtas

avec des

facteurs

droits

_holomorphes

sur tout le domaine &#x3E;

_-kl

et des

_{facteurs gauches}

_{mérorraorphes}

sur ce même domaine et

_porteurs

de

_singulariés

toutes rationnelles. Par

_{"singularités}

_{rationnelles" ,}

il faut entendre ici des sommes finies de

multipôles

de la forme :

avec des résidus e8 eux-mêmes rationnels.

Mais on

_peut

préciser

encore

_{davantage :}

les sommes :=

_{si + ...}

+

Sjp

figurant

dans les

multipôles répondent

toujours

du côté des racines de

l’ unité à des sommes nulles :=

_{e, + - - -}

_+,Ejp

= 0 et les entiers relat ifs

m~p

associés

parcourent

l’intervalle

]

-

oo,p].

Le cas le

plus simple

est celui des multizêtas

_symétrals

_purs

dont le lieu

_singulier

est très exactement :

Non-enrichissement

_{arithmétique,}

non-enrichissement

_algébrique.

Appelons longueur-positive

d’une

_séquence

s :=

(s1, ... , s,.).

le

plus

grand

entier _p :=

p(s)

donnant lieu à une factorisation en _p

séquences-facteurs

de somme strictement

_{positive :}

seul le dernier facteur s*

_pouvant

être vide. Ainsi _pour une même

longueur

r = 2 _on

_peut

avoir les

longueurs-positives :

Tout multizêtas ’entier,’ et de

_{longueur-positive}

_{p 6}

est combinaisons linéaire

finie,

à

_{coefficients rationnels,}

de multizêtas

_{’entiers-positifs’}

et de lon-gueurs

r~

p. En

particulzer,

les multizêtas

’entiers-négatifs’

(cas

p =

0)

sont tous rationnels. A condition

_d’ajouter

aux divers

Q-anneaux

de mul- ~

tizêtas la constante d’Euler et ses

puissances,

l’énoncé

précédent

s’étend à

toutes les valeurs ’lisibles’ aux

points

s E

_après

retrait des éventuels

pôles

qui

s’ y

trouvent

7.

On ne

perd

donc

_rien,

sur le

plan

arithmétique,

à oublier les multizêtas

’entiers-relatifs’. Mais on ne

perd

rien non

plus

sur le

plan

algébrique.

En

efset : par

prolongement

analytique,

la

symétrélité

de Ze" et la

symétralité

de Zea’ s’étendent à C tout

entier 8

et en

particulier

à Z" mais les

re-lations

_apparemment

’nouvelles’ ainsi obtenues se déduisent _{toutes par}

voie

_algébrique

des relations ’anciennes’ entre les seuls multizêtas

’entiers-positifs.’

Equation

de réflexion et moules bernoulliens.

Les moules bernoulliens

_{Se, Sesing, Sereg8}

servent à, décrire les

singula-rités des

_{multizêtas, portées}

comme on a vu _par les facteurs

Zesingic

et

Zeasing’k’

de

_{( 16), ( 17) .}

Leurs indices

_{( )}

_parcourent

cC x

(QI 7l)

et ils sont

, J

définis à

_partir

des facteurs :

au _moyen des relations :

avec bien sûr :

6j.e.

répondant à une _séquence s E Zr avec p(s) = _p

7opération

légitime, car les éventuels pôles en _question ont des résidus _{qui, d’après} ce _qui

précède, sont eux-mêmes des multizêtas ’entiers’. La soustrnction des pôles est donc ici un _geste

bien _plus anodin que la prise de dérivées partielles - que l’on s’interdit.

8plus

exactement, toute relation de _{symétrélité/ symétralité qui} évite les _pôles sera

On leur associe

_également

les trois moules

_{Sea*, Seasing8, Seareg}

déduits

en

_{postcomposant}

_par

_{EXp8 :}

et

_qui

donnent lieu à la même factorisation :

Le moule

Se.

est

_symétrel,

mais _pas ses facteurs

Seszng’

ni

S’ereg’.

Le moule Sea* est

_symétral,

mais _pas ses facteurs

S’easzng’

ni

Seareg’ .

Pour un r et

_desej

_fixés,

les fonctions

_Sereg.

et

_Seareg8

sont

_holomorphes

en les _{U j} au-dessus de IRT : ces moules

représentent

donc la

partie

régulière

de Se et

_Sea’,

tandis _que et

_Seasing8

_{représentent}

la

_partie

singulière

pure.

Enfin,

le facteur

_singulier

_Seasing

vérifie la relation

_{d’impaxité :}

et

_Sesing8

vérifie une relation

_analogue,

_quoiqu’un

_peu moins

simple.

C’est

là, semble-t-il,

à _peu

_près

tout ce

_qui

survit de

l’équation

de réflexion

(dite

abusivement

_"équation

_{fonctionnelle")}

de la

_{fonction ( classique.}

Quant

à

_{l’ hypothèse}

de

_Riemann,

si elle a un

analogue,

seule une

explo-ration

_{numérique - qui}

reste à faire -

_pourrait

_permettre

de le formuler

sensément. Il devrait en tout état de cause

_porter

non sur Ze* mais sur

Zea’, puisque

les variétés où Zea s’annule

_(à

l’encontre de celles où

Ze-s’ annule)

’passent’

par les zéros des

analogues classiques (

et

Lx .

En

_résumé,

les multizêtas "entiers" :

(i)

restent définis _pour les _Sj entiers relatifs - en dehors des

singularités,

ou

même en

_{celles-ci, après}

soustraction

_canonique

des

_multipôles

(ii)

conservent leurs

_{symétries d’origine}

(iii)

s’expriment

comme combinaisons rationnelles des multizêtas

’entiers-positifs’

(iv)

les ’nouvelles relations’ de

_{symétrélité}

_portant

sur les ’nouveaux

mul-tizêtas’

_{n’induisent, après}

élimination de ces

derniers,

aucune relation ’nou-.

velle’ sur les ’anciens multizêtas’.

Ces énoncés vont tous dans le même sens : ils incitent à ne

s’occuper

_que

des multizêtas ’entiérs

_positifs’.

’T. Multizêtas

_numériques

et multizêtas

_symboliques

Le

_premier

_{codage ,}

des multizêtas entiers

_{(d’indices s -}

entiers &#x3E;

₁₎

et modulés est donné _par la formule familière :

avec

_{s j}

E

_I~’’‘

,

fj

E ei := et avec un indice *

qui

signale qu’on

se limite

provisoirement

au cas

_{’convergent’}

( e1 )

n,

_qui

’l’ 1

correspond

à la _convergence ou

_{semi-convergence}

de la série

(28).

Le second

_codage

est lui-aussi

_susceptible

d’une définition

_directe,

via les

polylogarithmes,

mais mieux vaut

_ici,

_pour aller

_vite,

le dériver du

_premier

codage,

moyennant

les formules de conversion :

Ici dénote une

séquence

de s - 1 zéros consécutifs

(elle

est vide si

s =

1).

Pour

E~

= 0

(~

ej

= 1 ),

nous retrouvons les multizêtas usuels.

Les multizêtas sont le

_prototype

des familles de constantes

_{dimorphes :}

ils

sont doublement clos _pour la

_{multiplication, puisqu’à}

chacun des

_codages

correspond

une manière distincte de calculer leurs

_produits.

Ce sont les deux

_{systèmes classiques}

de relations

_{quadratiques, qui}

en

language

moulien

s’énoncent comme suit :

(i)

Le moule

_Ze*

est

_symétrel

_partout

où il est

_défini

et il

_possède

une

ex-tension

_symétrèle

_unique

Ze au cas

énéral

s - &#x3E;

1

ui

assure

Ze

= 0 .

9 1

(ii)

Le moule

_Wa:

est

_symétral

_partout

où il est

_définis

et il

_possède

une

extension

_{s ymétrale unique}

Wa’ au cas

général

_qui

assure

Wal

= 0 . Mais ces deux extensions -

_symétrèle

et

_{symétrale -}

ne se

correspondent

plus

exactement _par

_(30).

Soit Mono le moule

_{élémentaire,}

dont toutes les

/0,...,0

composantes

sont

_nulles,

sauf les

_composantes

de la forme ,

qui s’expriment

simplement

en fonction des monozêtas :

et soit le moule Zee déduit exactemeret du moule Wa. selon la correspon-dance

_(30).

Alors la

_{correspondance rigoureuse}

Ze8 ++ Wa s’écrit :

Une masse de données

_numériques

et d’indices

_théoriques

_{([Bro], [Bor],}

[MP])

suggèrent

que ce double

système

de ’relations

quadratiques’

1

épuise

effectivement les contraintes

_algébriques

reliant entre eux les ’vrais’

mul-tizêtas,

i.e. les multizêtas

_numériques.

Il est donc raisonnable de

_remplacer

ces derniers - dont l’étude

_{arithmétique}

semble _pour l’instant hors de

portée

9-

par les multizêtas

formels.

ou

symboliques,

notés

ze, wa

avec des

mi-nuscules et soumis _pour toute contrainte :

9malgré

les travaux _{d’Apéry ([A],[C])} et aussi ceux, tout récents et très prometteurs, de T. Rivoal _([R])

(i)

à la

_{symétrélité}

de zen

(ii)

à la

_{symétralité}

de

(iii)

à la

_règle

de conversion

₍₃₂₎

puis

de tâcher d’élucider toutes les

_{conséquences}

_algébriques

de

_{(i)+(ii)+(iii).}

Relations

_{’gonales,’.}

Outre les deux familles de relations

_{quadratiques qui}

sous-tendent la for-malisation

_ci-dessus,

les vrais multizêtas vérifient une foule de relations

remarquables.

En

_{particulier :}

(i)

la relation

_{digonale, 10}

à 2

_termes,

_également

connue comme involution

de

_Hoffinan

(ii)

la relation

_pentagonale,

à 5

_termes,

due à Drinfel’d

(iii)

la relation

_hexagonale,

à 6

_termes,

elle aussi due à Drinfel’d

L’importance

de ce

_système

de relations

’gonales’

vient de ce

_qu’il

sous-tend la construction des associateurs de Il vaudrait donc la

_peine

de montrer son

équivalence

avec le

système

de relations

quadratiques,

mais

pour l’instant seule est

acquisell

l’implication :

frelations quadratiques}

~

_{~rel ation digonal e~}

8. Séries

_{génératrices}

et reformulation du

_problème

Pris sous forme

scalaire,

les multizêtas sont assez _peu maniables. Il

convient donc de

_remplacer

les ’scalaires’

_ze*,

_par des séries

_{génératrices}

choisies,

si faire se

_peut,

de manière à

préserver

la

simplicité

des deux

symétries

et la

_transparence

de la

_règle

de conversion. Les bonnes définitions

sont celles-ci :

Nous avons alors les

équivalences :

i -... _ - ...

-et la

_règle

de conversion

₍₃₂₎

devient :

10 digonale

et non pas diagonaie

pour des moules élémentaires

mana. /mini8

dont les seules

composantes

non-nulles valent :

Ainsi,

étudier les multizêtas formels revient à chercher et décrire toutes

les

_paires

_{zag8 / zig8}

_qui

sont

- de

type

symétral/symétril,

--

liées essentiellement

_(i.e.

modulo des

_constantes)

_{par le} swap,

- à valeurs dans

l’anneau des séries formelles en u ou v.

Remarque.

Alors _que les moules

_fabriqués

à

_partir

des

mul-tizêtas formels _{ont pour}

_composantes

de

_simples

séries

_formelles,

les moules

Zag.

/ Zig8

correspondant

aux ’vrais’ multizêtas ont pour

_composantes

de

véritables fonctions

_méromorphes

aux

propriétés

intéressantes : elles

véri-fient _par

_exemple

des

_systèmes

_{d’équations}

aux différences sur

lequels

se

lisent non seulement leur

_type

de

_symétrie

(symétral/symétril)

mais encore

la

_règle

de conversion

₍₃₇₎

_qui

fait _passer des unes aux autres.

9. Dérivations et

_{automorphismes}

sur

l’algèbre

des bimoules :

ARI/GARI

et les structures annexes

Il

_s’agit

ici d’introduire de manière naturelle la structure dont nous avons

besoin : celle où

_vivent,

se factorisent et

_{s’analysent}

nos moules

celle surtout

_qui

_permet

de

_{construire, comprendre}

et dénombrer les

bial-temals,

en

_quoi

se

décompose

en dernière

analyse.

Dans toute la

_suite,

BIMU

_{désignera l’algèbre}

des bimoules avec son

produit

associatif rrzu et le crochet de Lie associé limu

12.

Le groupe

multi-plicatif

BIMU*

_(resp.

_l’algèbre

de Lie

_BIMU.)

rassemblera tous les bimoules

tels _que

MO

= 1

(resp. 0).

Les

_majuscules

cursives

A8

=

etc...désigneront

des

paires

d’éléments de BIMU

_(L

_pour

_{te, ft ,}

R _pour

_right).

A ces

_paires

seront associés des

_opérateurs

et

_gaxit(A*)

_que nous ferons

agir

sur BIMU.

Dérivations/automorphismes

de BIMU.

Cherchons toutes les dérivations et

_{automorphismes}

de BIMU

_qui

soient

’symplectiques’

i.e.

_exprimables

au _moyen des seules

L

et

appariées.

12limu(A’,

B8) := _{mu(A8, B8) - mu(B’, A8)}

avec

est une dérivcatzon de BIMU.

Pour un w de

longueur

_1,

les sommes

:El,:E2

sont

nulles ;

_{pour une .}

longueur

r, elles

comportent

chacune

r (r -

1)/2

termes. Pour tout A8 E BIMU* x

_{BI MU* ,}

_{l’ capplicatzon :}

avec

et avec une somme étendue à toutes les

_{factorisations}

est un

automorphismes

de BIMU.

La somme dans

(41 )

_comporte

_toujours

le terme M’. Pour un w de

longueur

1,

elle se réduit à ce seul terme.

L’algèbre

AXI.

Les dérivations axit sont stables _pour le crochet de Lie des

_opérateurs.

Plus

précisément,

on a

identiquement

pour une loi axi donnée _{par :}

On note AXI

_l’algèbre

de Lie

_formée

des

_paires

A

E

_BIMU*

x

_BIMU*

et

munie de cette loi axi

15.

Le groupe GAXI.

Les

_{automorphismes gaxit}

sont stables _pour le crochet de Lie des

_opérateurs.

Plus

_{précisément,}

on a

identiquement

l4autrement

dit deux séquences-facteurs consécutives ci et ne _peuvent être

simul-tanément _vides, mais les séquences-facteurs extrêmes ai et cl _{peuvent l’être, séparément} ou

simultanément. Bien _entendu, si bi est _{précédé (resp. suivi)} d’un facteur ai _(resp.

_ci)

_vide, la contraction _{correspondante bi} Ho

rbi

devient inopérante.

pour une loi associative

_gaxi

donnée _{par :}

On note

GAXI

l e groupe de Lie

formé*

des

paires

A8

E

BIMU*

x

BIMU*

et

muni de cette loi

_gaxi.

Sous-structures de

_AXI/GAXI.

Pour se donner un élément de AXI ou

GAXI,

il faut se donner une

_paire

AL, AR

d’éléments de BIMU. Mais nous aurons surtout affaire à des

sous-algèbres/sous-groupes

de

_AXI/GAXI

où les

_paires

en

question

se réduisent en fait à un seul

élément,

l’autre étant soit

nul,

soit déterminé _par le

pre-mier au _moyen d’une involution. Voici le tableau de ces

sous-algébres/sous-groupes :

Les

_paires

_AMI/GAMI

et

_ANI/GANI

_{correspondent}

à l’annulation de la

composante

droite ou

gauche

de

A.

Elles nous serviront

beaucoup -

sur-tout la seconde - mais

_{indirectement,}

comme auxiliaires _pour l’étude de

ARI/GARI.

Les

_quatre

choix

_{AXIinvol/ G AXIinvol}

_{correspondent}

aux

_quatre

involu-tions linéaires :

(44)

invol E

_{{anti ,}

anti o

pari ,

anti o _{neg , anti} o

_pari

o

negl

lesquelles agissent

de la même manière dans

_l’algèbre

et dans _{le groupe.} De ces

_quatre

choix,

seul nous servira celui

qui

correspond

à l’involution

antar := anti o

_pari,

où

_pari

_désigne

la

multiplication

_par

(-1)’’

de la

composante

de

_longueur

r. La

paire

associée sera notée

ALI/GALI.

La

_paire

_ARI/GARI,

fondamentale _pour la

_suite,

_correspond

à l’involu-tion minu

_{(multiplication}

_par

_-1)

dans

_l’algèbre

et à l’involution fortement non-linéaire invmu

_(prise

de l’inverse relativement à la

_{multiplication}

mou-lienne

_Tnu)

_{dans le groupe.}

Parmi les 1 ô involutions

_engendrées

par minu

(multiplication

par

-1)

et par

anti, pari,

neg,

cinq seulement,

à savoir minu et les

quatre

involutions énumérées en

(44),

correspondent

à des

sous-algèbres

de AXI de la la

forme

= Dn _a le même énoncé

pour

GAXI,

avec invmu à la

_place

Il est

_{remarquable que id,}

_neg,

_pari

ne soient _pas

parmi

ces

_cinq

involu-tions licites.

Sur les

_cinq

_{algèbres/groupes}

ainsi

_construits,

deux

_seulement,

à savoir

ARI/GARl

et

_ALI/GALI

_respectent

les

_symétries

_{alternal/symétral,}

mais ils les

_respectent

_totalement,

non seulement _par leur lois internes

ari/gari

et

_aJi/gaJi,

mais _{aussi par} leur actions

_arit/garit

et

_alit/galit

dans BIMU.

Comme

_justement

nous avons besoin d’une structure

_qui

_respecte

les

types

alternal/symétral,

le choix semble se réduire à

ARI/GARI

et

ALI/GALI.

Mais en réalité il

_n’y

a _pas véritablement à

_{choisir, puisqu’un}

bimoule alternal

_{(resp. symétral)}

est

_{automatiquent}

invariant _par

et

_appartient

_par suite à l’intersection AR,IfIALI

_(resp.

_GARTfIGALI),

où

justement

les deux structures coïncident.

En

_fait,

le

_{parallélisme}

va encore

_plus

loin : les bimoules

_qui

nous intéres-sent le

_{plus possèdent}

une double

_symétrie.

Ils _{sont par}

_exemple

alternals et de

_swappé

_alternai,

ce

_qui

les rend invariants non seulement _{par :}

(47)

swap o mantar o _swap o mantar =

neg o

push

mais aussi _{par neg et}

_push

_{séparément,}

tout au moins _pour les

_composantes

de

_longueur

_{r &#x3E;}

2.

Or la

_{plus grande sous-algèbre}

de ARI

_{(resp. ALI)}

où l’involution _swap

agt

comme

_isomorphisme

est

_{précisément}

_l’algèbre

ARIpugh

_(resp.

_ALIneg)

des bimoules

_{push-invariants}

_(resp.

_{neg-invariants)}

~~.

Mais il faut tout de même fixer un cadre _pour les occasions où nous au-rons à

manipuler

des bimoules

quelconques,

et là

plusieurs

raisons

_poussent

à choisir

_{ARI/ G ARI}

de

_préférence

à

_{ALI/ G ALI.}

Précisons donc les lois

cor-respondantes.

Le groupe GARI et son

_algèbre

ARI.

Le crochet an de ARI est donné _par la formule :

qui

sous forme

développée

s’écrit :

l6En

d’autres termes, non seulement neg et push se _séparent, mais ils se _{répartissent} entre

avec

b ~

0,

c ,-~ ~

dans chacune des trois sommes

(mais

a et d

_peuvent

être

vides) .

La loi

_gari

de GARI est donnée _par la formule :

qui

sous forme

_développée

s’écrit :

avec une somme étendue à tous les s &#x3E;_ 2 et des

_{séquences-facteurs sujettes}

seulement à

_{bi :1}

0

et

ci.ai+l :1

0.

Les facteurs

el

et

a i+l

_peuvent

être

vides mais

_separément

et les facteurs extrêmes

_{al ,cs ,a8+1}

aussi

_peuvent

être

_{vides, séparément}

ou même simultanément.

Ici

_B*

dénote l’inverse

_invmu(B)

de B8 pour le

produit

moulien mu.

La loi binaire

_gari

est donc affine en A8 mais violemment non-linéaire en

B’.

Sous-structures de

_AR~I/GARI.

_{Symétries simples, symétries}

doubles et entre-deux.

Les

_plus

intéressantes sous-structures de

_ARI/GARI

sont caractérisées par des restrictions sur la

w-dépendance

des bimoules

( entière,

polaire,

plate,

etc) et/ou

par des contraintes

algébriques

du

type

avec une

première

somme

impliquant

un nombre fini de

séquences

T(w)

fonctions linéaires de w et une seconde

somme ~ ...

n’impliquant

_que

des

_séquences

w* de

_longueur

strictement moindre. Les coefficients ET sont

souvent entiers et très

_simples

_(par

_exemple

=

_1).

Les groupes

S:ub

engendrés

par les

T 17

sont dits

sous-jacents

à la

sous-structure

_envisagée.

Selon

_qu’ils

sont

_finis

ou

infinis,

celle-ci est dite

pri-maire ou secondaire.

Les

_principales

sous-structures

_primaires

contiennent les bimoules véri-fiant l’une des 5

_symétries

de base :

_{alternal/il/iil/ul/uul}

ou

symétral/il/iil/ul/uul.

Les groupes

sous-jacents

sont alors tout

_simplement

les groupes

symétriques Sar

ou

S2r, agissant

_par

permutation

des r

com-posantes

de la

_{séquence w}

ou de sa

_swappée.

Les

_principales

sous-structures secondaires contiennent les bimoules

véri-fiant l’une des 5

_symétries

de base et de

_swappés

vérifiant eux-aussi l’une de

l7ou

par leurs quotients si l’on n’a pas pris garde à normaliser en _prenant l’un d’eux _égal à l’identité.

ces

symétries -

la même ou une autre. _{Les groupes}

_sous-jacents

correspon-dants,

Sar,

Sir

&#x3E;, bien

qu’engendrés

par deux groupes finis

(le

groupe

Sur

des

_permutations

de la

_séquence

w et _{le groupe}

_S’iT

des

_permutations

de la

_séquence

_swappée)

sont alors infinis dès _que r &#x3E; 3.

On doit donc s’attendre à ce _que les

_algèbres

secondaires -

_qui

nous

intéressent

_plus

_directement,

car c’est là _que vivent toutes les fonctions

génératrices

de nos multizêtas - soient d’une

_complexité

bien

_supérieure

_{à .}

celle des

_primaires,

et tel est bien le cas.

Toutefois,

et fort

_{heureusement,}

entre ces deux

_types

extrêmes s’insèrent

des

_algèbres

intermédiaires ou

présecondaires,

qui

tout en

gardant

la

simpli-cité des

_primaires

_(elles

ont un _groupe

_sous-jacent

fini du

_type

Sa,.,

_neg &#x3E; ou

Sz,.,

push

&#x3E;),

_{s’apparentent}

néanmoins de très

près

aux secondaires

(comme

celles-ci,

elles

_possèdent

une involution non triviale - le _swap ou

l’une de ses

variantes)

et en facilitent

grandement

l’étude.

Enumérons

_quelques

_exemples.

L’espace

_ARlai/8

de tous les bimoules alternals est une

sous-algèbre

de

ARI et

_l’espace

de tous les bimoules

_symétrals

est un _sous-groupe

de GART.

Ce sont les deux

_{exemples-type}

de sous-structure

_primaire,

correspon-dant à la stabilité _pour une

symétrie simple.

L’espace

_ARlaI/aI

de tous les bimoules

_pairs

et bialternals

_{(z. e.}

alternals

et de

_swappé

_alternal)

est une

sous-algèbre

de ARI.

Pareillement, l’espace

de tous les bimoules

_pairs

et

_bisymétrals

est un _sous-groupe de

GARI.

Ce sont les deux

_{exemples-type}

de sous-structure

_secondaire,

correspon-dant à la stabilité _pour une

symétrie

double.

Ici,

"pair" signifie

neg-invariant :

pour tout r, on

_impose

à la

_composante

A1Ul,...,1Ur d’être une fonction

_paire

de w. En

fait,

comme on l’a

dit,

cette

parité

est presque une

conséquence

de la double

_{symétrie :}

on _{montre que,}

chez tout bimoule

_bialternal,

les

_composantes

de

_longueur

r &#x3E; 2 sont

auto-matiquement paires.

La

_composante

de

_longueur

1

_peut

ne _pas l’être mais

pour avoir stabilité pour le crochet an il faut lui

imposer

à elle aussi d’être

paire.

On

_signale

cette condition subsidiaire de

_parité

par un

soulignement :

par

exemple

al/al

ou

as/as.

Cette

parité subsidiaire,

assez anodine sur les

algèbres,

ne l’est

_plus

du tout sur les groupes. Ainsi les _groupes

GARlas/as

et

_GARla,,/i,,

diSèrent-ils radicalement de

_{GARI./. et GARlas/is}

_(qui

ne

sont pas des

_groupes).

Nous avons

également

entrevu une deuxième

conséquence

de la double

symétrie,

à savoir l’invaxia,nce _pour une transformation de

_type

idempotent :

(ii)

le

_spush

sur

(iii)

diverses variantes de

_pushlspush

sur etc.

La double

_symétrie

a une troisième

_{conséquence :}

le _swap,

_qui

n’est _pas un

isomorphisme

d’algèbre/groupe

quand on

l’envisage

sur

ARI/GARI

tout

entier,

en devient un dès

qu’on

le restreint à

Entre ces sous-structures définies _par une

symétrie

tantôt

simple

tantôt

double,

existe la

_catégorie

_{interrnédiaire,}

_{évoquée plus}

haut. Ce sont des

*

sous-algèbres/sous-groupes

tels _{que :}

qui regroupent

les bimoules

_{possédant pleinement}

une

symétrie plus

des

’traces’ d’une seconde

_symétrie,

à savoir la

_{push/spush-invariance}

ou

_quelque

variante. Tout en restant

_primaires,

ces sous-structures se

rapprochent

des

secondaires et en facilitent l’étude. Par

exemple,

la théorie hilbertienne des

invariants leur est

_applicable,

mais cesse de

l’être,

du moins

directement,

dès

_qu’on

passe au secondaire.

10.

_Origine

et vocation de

_ARI/GARI

Origine

de

_ARI/GARI.

La structure

_ARI/GARI

a été introduite vers la fin des années

_80,

mais

dans un cadre tout différents - l’étude des

perturbations

singulières -

et par

le biais d’une transformation moulienne très

_{particulière :}

le scramble. Le scramble

_opère

de la manière suivante :

où

_scram(w)

_désigne

l’ensemble de toutes les _sequences w* = w _de

v 1 ,..., v r

même

_longueur

r _que w =

(1£1

:::

et caracterisées _{par la}

_propriété

_que

» vr

pour

tout j

1

l,

relativement à une certaine

_paire

de séquences

imbriquées :

Il existe exactement r! ! : := 1.3 ...

(2r -1 )

séquences

~w* de ce

_type.

Chaque

uj

est somme d’un ou

plusieurs ui

consécutifs et

chaque vj*

est soit de

la forme

_auquel

cas on _pose =

1,

soit de la forme

Vj*-Vj**,

auquel

cas on _pose

E(w, w*, j )

:=

signe( j** - j*) .

(Notez

l’inversion).

Le

_produit

de tous ces

_signes

donne le

facteur-signe global

E (~, ~* ) : _

dans la définition du scrambl e. 1=1

Par

_exemple,

_pour r = 2 _on obtient :

Dans la définition

_(52),

on a

_pris

_pour A. un

_bimoule,

mais on

_pourrait

tout aussi bien

_prendre

un

moule,

à condition

d’interpréter

les

A~*

comme

Au¡vi ,...,1.1,; v; .

On voit ainsi _que le scramble

_change

indifféremment moules et bimoules en bimoules.

L’importance

du scramble tient en

_grande

_part

à ce

_qu’il

_préserve

les deux

principaux

types

de

_{symétrie : si}

un moule ou bimoule A8 est alternal

(resp.

symétml), le

bimoules B* =

scramble(A8)

l’est aussi.

Les

_(bi)moules

_remarquables

ont souvent des ’scramblés’

_{remarquables.}

Ainsi le moule

_symétral

_V*(z),

_{qui joue}

un rôle central dans l’étude de

la

_résurgerace

_{équatzonnelle}

et des

_{systèmes singuliers,}

devient le bimoule

,S’ (x)

:=

scra,m.ble(V’ (x)),

_{indispensable}

en théorie de la

résurgence

co-équationnelle

et des

_systèmes

_{singulièrement}

_{perturbés :}

voir

_{[E3], [E4],}

_§1,§2.

Comme

_répondant

scalaire des monômes de

_résurgence

_symétrals

_{V8 (z)}

on a les

_moniques

_{hyperlogarithmiques}

alternales V*

_{= VWo}

_qui

_figurent

dans les

_équations

de

_{résurgence 18 :}

Sous l’action du

_scramble,

le moule

_{hyperlogarithmique}

V* devient le bi-moule tes8 :=

scramble(V.),

dit de tesselation

([E3]) ,

_qui

_régit

la

_géometrie

de la

_résurgence

_{coéquationelle}

et

_possède

nombre de

_propriétés

_curieuses,

comme celle d’être localement constant en sa double séries de variables

Ui, vz, bien que tes* se

présente

comme

superposition

de fonctions très

com-plexes.

Originalité

de

_ARI/GARI.

S’il est vrai _que ARI

_continent,

comme cas très

particuliers,

une sous-struc-ture

_isomorphe

à

_l’algèbre

d’Ihara et une autre

_isomorphe

à

_l’algèbre

dite

.

de

_{renormalisation,}

il serait absurde de

_parler

ici

_{d’équivalence}

19.

Outre son

180n

omet souvent l’indice inférieur vu _que

y£1 ’"" ""’’

= 0 si -f- ... w,. ~ wo

l9Dans

un récent _exposé Bourbaki

_{[Cartier2000],}

il est dit que l’algèbre ARI est _équivalente à

l’algèbre d’Ihara. C’est inexact car en fait elle _correspond à la _{sous-algèbre} de ARI constituée des

bimoules constants en v, entiers en _u, bialternaux et pairs, i.e. une _partie infime de ARI. Plus

grave encore, cette partie ne contient aucun des bimoules spéciaux indispensables a _{l’intelligence}

des multizêtas. D’autre _{part, s’agissant} de la _méromorphie de _{..., s,. ),} ce même _exposé Bour-baki _suggère une démarche inutilement _compliquée. Il laisse même _planer un doute sur l’exacti-tude du résultat, pourtant connu _depuis fort _longtemps. On en trouvera une démonstration _simple (exposée en avril 2000 _Luminy, au _{colloque polylogarithmes,} valeurs multiztas, et _conjecture de