On peut néanmoins débuter l’étude de cette fonction, x7→ Z x 0 et2dt, c’est une fonction C∞ sur IR, croissante sur IR, etc

(1)

Université de Bourgogne U.F.R des Sciences et Techniques¹

Séances 7 et 8

— Factorisation dex⁴+ 1 puis calcul de

Z dx 1 +x⁴. On a à priori :

1

1 +x⁴ = A+Bx x²+x√

2x+ 1 + C+Dx x²−x√

2x+ 1

On a proposé différentes méthodes pour déterminer les constantes réelles A,B, C etD.

Au final :

Z dx 1 +x⁴ =

√2

8 lnx²+x√ 2 + 1 x²−x√

2 + 1 +

√2 4

arctan(x√

2 + 1) + arctan(x√

2−1).

— Expression dex→^R₀^x√

1−t²dt,−1≤x≤1:

Z x 0

√

1−t²dt= x 2

√

1−x²+ 1

2arcsin(x).

On rappelle à cette occasion un résultat sur le prolongement par continuité d’une fonction dérivée :

sif est continue sur[a, b], dérivable sur ]a, b[et sif⁰ tend vers une limite finie l lorsque x tend vers b⁻, alors f est dérivable à gauche en b, la fonction dérivée f⁰ est continue à gauche en b et f⁰(b) =l.

— La primitive de exp(x²) sur IR qui s’annule en 0 ne s’exprime pas à l’aide de fonctions élémentaires. On peut néanmoins débuter l’étude de cette fonction,

x7→

Z x 0

e^t²dt,

c’est une fonction C^∞ sur IR, croissante sur IR, etc.

Si uest une fonction dérivable sur IR, il en est de même de x7→

Z u(x) 0

e^t²dt

et on peut facilement calculer sa dérivée.

1. Licence Sciences L2, M34

1

(2)

— Fin de la correction de la partie I du sujet 2006. On retiendra que si une suite réelle tend vers une limite finie l, la suite des moyennes arithmétiques tend elle aussi versl :

u_n→l ∈IR⇒

Pn 1uk

n →l, n→+∞.

On peut en déduire que si, (v_n) est une suite de réels strictement positifs telle que limn→∞ vn+1

vn =l avec de plus l >0, alors limn→∞ ⁿ

√vn =l.

— Recherche d’équivalents : on doit tout d’abord connaître un certain nombre d’équivalents comme

sinx∼x→0 x, ln(1 +x)∼x→0 x, exp(x)−1∼x→0 x, . . .

On prendra garde que l’on ne compose pas en général à gauche des équivalents (hormis les puissances entières).

Silim_x→0f(x) =l avecl6= 0, il n’y a aucun intérêt à écrire quef(x)∼_x→0 l. Par contre, on recherchera un équivalent en 0 de la différencef(x)−l.

2