REPONSE FREQUENTIELLE DES SLCI

REPONSE FREQUENTIELLE DES SLCI

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I. DEMARCHE

Dans ce chapitre, nous allons soumettre les systèmes fondamentaux à une entrée sinusoïdale (entrée harmonique) :

) ( ).

. sin(

. )

( t E

₀

t u t

e   E

_{0 et}



imposées

On observe que s(t) se décompose en un régime transitoire et un régime permanent.

Exemples :

Avec un système du second ordre :

K = 0,8

;

z = 0.05

;



n = 150 rad/s Pour une entrée

e ( t )  sin(  . t ). u ( t )

Avec  ^{= 10}

rad/s

Avec  ^{= 150}

rad/s

L’effet du régime transitoire disparaît avec le temps, il ne reste plus que le régime permanent appelé aussi régime forcé.

Le régime permanent

s

_p

(t )

est de forme sinusoïdale de même pulsation



que l’entrée mais d’amplitude

S

₀ différente et déphasé de



par rapport à celle-ci.

) ( ).

. sin(

. )

( t S

₀

t u t

s

_p

   

_{avec :}

_

: pulsation de l’entrée

S

₀ : amplitude



: Déphasage

L’étude fréquentielle va consister à étudier l’amplitude

S

₀de la sortie

s

_p

(t )

_{ou plus}

particulièrement la variation d’amplitude

A=S

₀

/E

₀ et le déphasage de la sotie par rapport à l’entrée



en fonction de la pulsation



et des caractéristiques du système.

Lorsque l’on donne à la variable

p

une valeur imaginaire pure

j.

on obtient la fonction de transfert harmonique

H ( j  )

_:

) (

) ) (

( 

 

j E

j j S

H 

_

A (  )  H ( j  )

_et

  arg( H ( j  ))

L’étude consiste à représenter graphiquement

H ( j  )

II. LES DIAGRAMMES DE BODE

Les diagrammes de Bode représentent séparément le module et la phase de la fonction

) ( j 

H

en fonction de



en rad/s :

 Diagramme de Gain :

G (  )  A (  )  H ( j  )

Le module G de la fonction est représenté en dB (décibel), soit :

 ^{( )} 

log . 20 )

( )

(  A  H j 

G

_db



_db



La pulsation



en radian/s est représentée en l

og

₁₀ (échelle logarithme décimal).

 Diagramme de phase :

  arg( H ( j  ))

La phase



en degré ou en rad est représentée en échelle linéaire.

La pulsation



en radian/s est représentée en

log

₁₀ (échelle logarithme décimal).

Remarque 1 :

On parle de « décade » entre



^{et 10}

.

Remarque 2 :

Cette représentation se prête bien à l'analyse des fonctions de transfert.

Exemple dans le cas d’une fonction de transfert

H ( j  )  H

₁

( j  ). H

₂

( j  )

 ^{( )}  ^{20 . log}  ^{( )}  ^{20 . log}  ^{( )} 

log .

20 H j  H

₁

j  H

₂

j 

G

_db

  

)) (

arg(

)) (

arg(

)) (

arg( 

₁



₂



  H j  H j  H j

Graphiquement, il suffit d'ajouter les diagrammes des fonctions

H

₁

( j  )

et

H

₂

( j  )

_pour

obtenir les diagrammes de

H ( j  )

_.

Attention :

 Dans les diagrammes de Bode, il n'y a pas de «



= 0 rd/s » qui est rejeté à

-



G

_db

 0

db lorsque

H ( j  )  1

III. SYSTEME A ACTION PROPORTIONNELLE )

( . )

( t K e t

s 

_

S ( p )  K . E ( p )

_

^K p

E p p S

H  

) (

) ) (

(

K j

H (  ) 

K j

H

G

_db

 20 . log (  )  20 . log

(Droite horizontale)

  ^{ }



 arg( H ( j  )) arg K 0



₍

_

= -180° si K est négatif).

IV. SYSTEME DERIVATEUR PUR

dt t t de

s ( )

)

( 

_

_{S ( p )  p . E ( p )}

_

_{H ( p )  p}



 j j

H ( ) 

_

H ( j  )  



 ) 20 . log (

log .

20 

 H j

G

_db (Droite de pente 20 db/décade

passant par l’origine)

  ^{ }



 arg( (  )) arg  90

 H j j

(Imaginaire pur positif)

V. SYSTEME INTEGRATEUR PUR

p p p E

S ( )

)

( 

_

p p

H 1

)

( 

_



  ^j

j j

H  1   )

(

 )  ¹ ( j  H

 

 1 20 . log log

. 20 )

( log .

20   

 H j

G

_db

(Droite de pente -20 db/décade passant par l’origine)





 



 



 



 arg( ( )) arg 90

 

 H j ^j

(Imaginaire pur négatif)

VI. SYSTEME DU PREMIER ORDRE

Fonction de transfert d’un système du premier ordre :

p p K

H ( ) 1 .



 



 

. . ) 1

.

( j

j K

H  

 ^. 

²

1 )

. (









 K

j H

 

₂

^{20 . log 10 . log}  ¹  ^. 

²



. 1

log . 20 )

( log .

20  





   





 K K

j H

G

_db

) . arctan(

. . arg 1

)) (

arg(  



 

   





 



 

 j

j K

H

_(K>0)

On distingue deux zones pour ces courbes :

Zone de basse fréquence :   0

alors

  1

K j

H ( .  ) 

K

G

_db

 20 . log

(Asymptote horizontale)



 0



(Asymptote horizontale)

Zone de haute fréquence :   

alors

  1







 

. . .

) . .

( j K

j j K

H   



  ) . .

( K

j

H 

 ^{20 . log}  log

.

20 

 K

G

_db (Asymptote de pente -20 db/décade)





 90



(Asymptote horizontale)

Remarques :

 Les asymptotes de gain se coupent à :



^c

   1 

(Appelée pulsation de cassure).

Pour

   ¹

_:

2 ) 1 .(

) 1 .

( K j

j j K

H 

 

 

) 2 .

( K

j

H  

3 log

. 20 2

log . 20 log

.

20   

 K K

G

_db





 45



 Un système du premier ordre se comporte comme un filtre passe bas avec une bande passante à

-3

_dB comprise entre 0 et



_c.

 Les valeurs réelles de gain et de phase sont utilisées pour avoir des valeurs particulières.

Identification :

Pour



proche de 0,

G

_db

 20 . log K

_

K

peut être déterminé.

La pulsation de cassure



^c

   1 

permet de déterminer



.

VII. SYSTEME DU SECOND ORDRE

La fonction de transfert d’un 2^ème ordre :

( ) 2 . . 1

2 2







z p p

p K H

n



n



z j K z j

j K H

n n n n

. . . 1 2

1 . .

) 2 (

2 2 2

2







 

 

 















2 2 2

2

2 . .

1 )

(

 



 

 

 





 



 



n n

z j K

H



























 



 

 

 





 



 





2 2 2

2

2 . .

1 log . 10 log

. 20

n n db

K z

G 







 





 





 

































2 2

2 2

. . . arctan 2 1

. . 2 arctan



















n

n

n

n

z

z

(si K>0)

On distingue 3 zones pour ces courbes :

Zone de basse fréquence :

  0

alors

  

_n

K

j H (  ) 

K

G

_db

 20 . log

(Asymptote horizontale)



 0



(Asymptote horizontale)

Zone de haute fréquence :

  

alors

  

n

2 2

2 2

) .

( 





 

ⁿ

n

K j K

H  





2

.

2

)

( 

 ^K 

ⁿ

j

H 



 40 . log log

. 40 log

.

20  



_n

db

K

G

(Asymptote de pente -40 db/décade)





 180



(Asymptote horizontale)

Zone de moyenne fréquence :   

n

Pour la courbe de gain, on remarque que les asymptotes se coupent à

  

n

Valeur particulière pour

  

n _:

j z j K

H

_n

. . ) 2

(  

z j K

H

_n

. ) 2

(   _



 



 

z G

_db

K

. log 2 .

20

_et

   90 

Résonance :

Pour certaine valeur de z, la courbe de gain peut présenter un maximum.

On reprend : ^{2 2}

2

2

2 . .

1 )

(

 





 



 

 





 



 



n n

z j K

H











On cherche les valeurs de



qui annulent



 d

j H

d ( ( ) )

.

Dans le cas

0 , 7

2 2 



z

_,

  

_r

 

_n

. 1  2 . z

² _annule



 d

j H

d ( ( ) )

.

La pulsation



_r est appelée pulsation de résonance (existe si

0 , 7 2

2 



z

_).

Amplitude de résonance : ₂

1 . 2 ) (

z z

j K

H

_r



 

 





 









2

1 . 2 log . 20

z z

G

_db

K

Bilan : on distingue 2 cas 1

^er

cas : 0 < z < 1



0 , 7

2 2 

 z

La courbe est toujours au-dessus des asymptotes Le système présente une résonance :

.

2

2 1

. z

n

r

 

  



_ ^





 









2

1 . 2 log . 20

z z

G

_db

K



1

2

2  z 

La courbe est toujours au-dessous des asymptotes.

Pour

  

n

^



 



 

z G

_db

K

. log 2 . 20

Tracé du diagramme de Bode d’un système du deuxième ordre avec

z  0 , 7

2

^ème

cas : z ≥ 1

La fonction de transfert est le produit de deux fonctions de transfert du premier ordre :

) ( ).

( . )

( p K H

₁

p H

₂

p

H 

_

H p K p p

. 1

. 1 . 1

. 1 )

(

2

1



 

 

Il est donc possible d’appliquer la règle de superposition pour obtenir

H ( p )

_.

Tracé du diagramme de Bode d’un système du deuxième ordre avec z  1

Remarque : Pour tracer un diagramme de Bode, on utilise très largement les résultats du cours sans les redémontrer Exercices

1. Tracer le diagramme de Bode de

.( 1 0 , 2 . ) ) 4

( p p p

H  

2. Tracer le diagramme de Bode de

( 1 0 , 1 . ) ) . 9 , 0 1 . ( 8 )

( p

p p

H 

 

. Déterminer l’extrémum de phase.

3. Tracer le diagramme de Bode de

4 ) 1 4

.(

) 25

(

₂

p p p

p H







Exercice 1 Corrigé

) . 2 , 0 1 .(

) 4

( p p p

H  

Premier ordre avec un intégrateur.

On ne refait pas l’étude complète, on utilise les résultats du cours.

Cassure pour

5

2 , 0

1 

 

.

Avant la cassure :

G

_db pente –20 db/décade,

   90 

Après la cassure :

G

_db pente –40 db/décade,

   180 

Il faut placer les asymptotes de Gain

Recherche de la première asymptote :

  0







 

j j

j j

H 4

) . 2 , 0 1 .(

) 4

( 

 

 

 4 20 . log 4 20 . log log

. 20 ) ( log .

20   



 



 

 H j

G

_db

Pour

  4

,

G

_db

 0

Remarques :

 Pour avoir des valeurs de phase :

   90  arctan( 0 , 2 *  )

 Au niveau de la cassure, le diagramme reel de gain passe 3 db en dessous de l’asymptote.

 Equation première asymptote :

H p 4 p )

( 

_





 



 

 log 4 .

db

20 G

 Equation deuxième asymptote : 2

. 2 , 0 ) 4

( p p

H 

_

_



 



  20

₂

log .

20 

G

db

Exercice 2 ( 1 0 , 1 . ) ) . 9 , 0 1 . ( 8 )

( p

p p

H 

 

Etude de )

11 , . 1 1 .(

8 ) . 9 , 0 . 1 .(

8 ) ( )

. 9 , 0 1 .(

8 )

( 



 j j

j N p

p

N       

C’est la même chose qu’un système du premier ordre avec

( 1   . p )

au numérateur.

Seules différences :

 Pour

  

:

G

_db a une pente de +20 db/décade et

   90 

_.

 Pour la cassure

1 , 11 9

, 0

1 



 



_c , le diagramme réel de gain passe à 3 db au dessus de l’asymptote, et la phase

  45 

_.

Etude de

:

( 1 0 , 1 . ) ) . 9 , 0 1 . ( 8 )

( p

p p

H 

 

Pulsations de cassure

:

1 , 11 9

, 0

1 





et

10

1 , 0

1 

 

Avant la première cassure :

1 , 11 9

, 0

1 1

1





 



Asymptotes :

G

_db

 20 . log K  20 . log 8  18 db



 0



Entre les 2 cassures :

Asymptotes :

G

_db pente 20 db/décade





 90



Après la deuxième cassure :

Asymptotes :

G

_db

20 . log K 37 , 15 db

2 1

 





 

 







 0



Pour le gain, le diagramme réel est proche du diagramme asymptotique, on retrouve une différence de 3 dB (+ ou -) au niveau des cassures.

Pour la phase, le diagramme réel comporte un maximum.

Recherche de l’extremum de la phase :

) . . 1 (

) . . 1 . ( )

. (

2 1







 

j K j

j

H 

 

  arctan(  . 

₁

)  arctan(  . 

₂

)

) ) . ( 1 ).(

) . ( 1 (

) ) . ( 1 .(

) ) . ( 1 .(

) . ( 1 )

. (

1

₁ ² ₂ ²

2 1 2

2 2 1

2 2 2 2

1 1











































 

 

  dt d

0 dt 

d 





₁

 

₁

.(  . 

₂

)

²

 

₂

 

₂

.(  . 

₁

)

²

 0

….

2 1

.

1



  



3 , 333

9 , 0 . 1 , 0

1 

 

_

  53 

Tracé de ( 1 . )

) . 1 . ( )

(

2 1

p K p

p

H 





 

:

Remarque : pour avoir des valeurs de phase :

  arctan(  . 

₁

)  arctan(  . 

₂

)

EXERCICE 2

4 ) 1 4

.(

) 25

(

₂

p p p

p H







Etude du second ordre seul :

1 . .

1 2 4 .

1 4

) (

2 2 2













z p p

K p p

p K F

n



n



25



K 

_n

 2

4

 1 z

On ne refait pas l’étude, on utilise les résultats du cours

2

 2

z

_ Résonnance



r : Pulsation de résonance _{r n}

z 1 , 87 rad / s

2 . 7

2 1

. 

²

 

 



L’amplitude de résonance est :

15 200 1

. 2 )

(

2







z z

j K H 

_r

db

G

_db

34 , 26

15 log 200 .

20  



 



 

0

 

G

_db

 20 . log K  27 , 95 db  _ 0 _



 

G

_db pente de -40 db/décade

   180  2



 

_n



Les asymptotes se coupent

   90 

Tracé du second ordre seul

Tracé de

) . 25 , 0 .

5 , 0 1 .(

) 25

(

₂

p p

p p

H   

On ajoute l’intégrateur :

 On enlève 90° à la phase.

 On rajoute une pente de -20 db/décade au gain.

Il faut placer les asymptotes de Gain

Recherche de la première asymptote :

  0



  j j

H 25

)

( 

 

 25 20 . log 25 20 . log log

. 20 ) ( log .

20   



 



 

 H j

G

_db

Pour

  1

,

G

_db

 20 . log 25  27 , 95

Remarques :

 On place une petite bosse pour la résonnance…

 Pour avoir des valeurs de phase :

 





 





 



 2 .

₂

. .

₂

arctan

90  



 

n

z

n