Juillet 2001, Série 1
1. Déterminer les polynômes
P ( x )
de degré trois, à coefficients réels, tels que :(1) le coefficient de
x
3 dansP (x )
est égal à 1 ;(2)
P ( x )
s’annule lorsque x=2 2 et lorsque x=−2 2 ; (3) Le reste de la division de[ P ( ) x ]
2 par x−3 est égal à 4.2. On considère le système d’équations que voici, dans lequel
p
est un paramètre réel :
= +
= + +
= +
pz z y
py z y x
px y x
2 2 2
Déterminer toutes les valeurs de
p
pour lesquelles ce système admet une solution non triviale, c’est-à-dire une solution( x , y , z ) ≠ ( 0 , 0 , 0 )
. Ensuite, choisir une des valeurs dep
ainsi obtenues, et donner l’ensemble des solutions( x , y , z )
correspondantes.3. Résoudre, dans les nombres réels, l’inéquation :
x x
x 1 ) 4 2 4
( − + ≤ −
4. Un ascenseur circule dans un bâtiment de 14 niveaux (rez-de-chaussée + 13 étages) dont chacun a une hauteur h = 3m (épaisseur du plafond compris). On considère que la cabine a une hauteur égale à celle d’un étage et qu’elle se situe actuellement au rez-de-chaussée.
A un moment donné, une personne située à l’étage le plus élevé presse le bouton d’appel. Lorsque la cabine a parcouru 2 étages, la personne en question laisse tomber un boulon dans la cage d’ascenseur par une ouverture située à la base de la porte de l’étage où elle se trouve.
A quel moment et à quel endroit les éventuels passagers de la cabine entendront-ils l’impact du boulon sur le toit de celle-ci sachant qu’elle circule à une vitesse constante v = 2m/s (et sans s’arrêter aux étages intermédiaires), et que la distance d parcourue en t secondes par un objet en chute libre (on ne tient pas compte du frottement de l’air) depuis l’instant où on l’a lâché vaut :
2 gt
2d =
avec g = 9.81m/s² (c’est l ‘accélération due à la pesanteur) et le temps t est exprimé en secondes ? Juillet 2001, Série 2
1. Soit un polynôme de degré trois, à coefficients réels,
c bx ax x x
P ( ) =
3−
2+ −
Déterminer tous les réels a, b, c tels que le polynôme admette ces mêmes nombres a, b, c comme racines.
)
( x
P
2. Soit m un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, le système d’inéquations que voici :
≥ +
≤ m x
m
m x
3
2
2
En particulier, identifier les valeurs de m pour lesquelles le système est possible.
3. Résoudre, dans les nombres complexes, l’équation suivante, où i est l’unité imaginaire :
0 1 2
36
+ iz − =
z
Donner les solutions sous la forme a + bi (avec a et b réels)
4. Un train effectue normalement un trajet entre une ville A et une ville B en 4 heures (pour respecter son horaire).
Un incident à mi-parcours provoque l’arrêt du convoi durant 5 minutes. Pour arriver à l’heure normalement prévue à l’horaire, le conducteur doit augmenter la vitesse du train de 10km/h pour le reste du trajet.
Déterminer la longueur totale d du trajet et la vitesse v normalement prévue à l’horaire, si on suppose pour chaque cas que le train circule à vitesse constante sans s’arrêter et que l’on ne tient pas compte, pour le calcul, des phases d’accélération ni de freinage du convoi.
Septembre 2001
1. Soit un paramètre réel. a
Résoudre et discuter, dans les nombres réels, l’équation suivante :
[ ( ( 2 ) 1 ) 5 ( 3 ( 2 ) 1 ) ] 0
) 1
( ax − ay + a + x −
2+ x − a − y −
2=
2. Résoudre, dans les nombres réels, l’inéquation que voici :
x x
3
9
+5− 12 〈
13 5
x−
3. Deux lances d’incendie de sections différentes sont alimentées par deux camions-citernes (remplis).
Elles sont destinées à fonctionner à débit maximum et constant.
Si la première lance d’incendie est alimentée par le premier camion-citerne, elle mettra pour vider complètement celui-ci exactement le même temps que celui nécessaire à la seconde lance d’incendie pour vider le second camion-citerne.
Si au contraire, on branche la première lance sur le deuxième camion et la seconde sur le premier, elles mettraient respectivement 9 et 4 heures pour vider complètement les camions-citernes en question.
Déterminez la contenance des deux camions-citernes sachant qu’au total ils contiennent 60 m3 d’eau.
4. Résoudre dans les nombres complexes l’équation en z :
0 ) 44 117 ( ) 7 1 (
4
24