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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Juillet 2001, Série 1

1. Déterminer les polynômes

P ( x )

de degré trois, à coefficients réels, tels que :

(1) le coefficient de

x

3 dans

P (x )

est égal à 1 ;

(2)

P ( x )

s’annule lorsque x=2 2 et lorsque x=−2 2 ; (3) Le reste de la division de

[ P ( ) x ]

2 par x−3 est égal à 4.

2. On considère le système d’équations que voici, dans lequel

p

est un paramètre réel :





= +

= + +

= +

pz z y

py z y x

px y x

2 2 2

Déterminer toutes les valeurs de

p

pour lesquelles ce système admet une solution non triviale, c’est-à-dire une solution

( x , y , z ) ≠ ( 0 , 0 , 0 )

. Ensuite, choisir une des valeurs de

p

ainsi obtenues, et donner l’ensemble des solutions

( x , y , z )

correspondantes.

3. Résoudre, dans les nombres réels, l’inéquation :

x x

x 1 ) 4 2 4

( − + ≤ −

4. Un ascenseur circule dans un bâtiment de 14 niveaux (rez-de-chaussée + 13 étages) dont chacun a une hauteur h = 3m (épaisseur du plafond compris). On considère que la cabine a une hauteur égale à celle d’un étage et qu’elle se situe actuellement au rez-de-chaussée.

A un moment donné, une personne située à l’étage le plus élevé presse le bouton d’appel. Lorsque la cabine a parcouru 2 étages, la personne en question laisse tomber un boulon dans la cage d’ascenseur par une ouverture située à la base de la porte de l’étage où elle se trouve.

A quel moment et à quel endroit les éventuels passagers de la cabine entendront-ils l’impact du boulon sur le toit de celle-ci sachant qu’elle circule à une vitesse constante v = 2m/s (et sans s’arrêter aux étages intermédiaires), et que la distance d parcourue en t secondes par un objet en chute libre (on ne tient pas compte du frottement de l’air) depuis l’instant où on l’a lâché vaut :

2 gt

2

d =

avec g = 9.81m/s² (c’est l ‘accélération due à la pesanteur) et le temps t est exprimé en secondes ? Juillet 2001, Série 2

1. Soit un polynôme de degré trois, à coefficients réels,

c bx ax x x

P ( ) =

3

2

+ −

Déterminer tous les réels a, b, c tels que le polynôme admette ces mêmes nombres a, b, c comme racines.

)

( x

P

(2)

2. Soit m un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, le système d’inéquations que voici :

 

≥ +

m x

m

m x

3

2

2

En particulier, identifier les valeurs de m pour lesquelles le système est possible.

3. Résoudre, dans les nombres complexes, l’équation suivante, où i est l’unité imaginaire :

0 1 2

3

6

+ iz − =

z

Donner les solutions sous la forme a + bi (avec a et b réels)

4. Un train effectue normalement un trajet entre une ville A et une ville B en 4 heures (pour respecter son horaire).

Un incident à mi-parcours provoque l’arrêt du convoi durant 5 minutes. Pour arriver à l’heure normalement prévue à l’horaire, le conducteur doit augmenter la vitesse du train de 10km/h pour le reste du trajet.

Déterminer la longueur totale d du trajet et la vitesse v normalement prévue à l’horaire, si on suppose pour chaque cas que le train circule à vitesse constante sans s’arrêter et que l’on ne tient pas compte, pour le calcul, des phases d’accélération ni de freinage du convoi.

Septembre 2001

1. Soit un paramètre réel. a

Résoudre et discuter, dans les nombres réels, l’équation suivante :

[ ( ( 2 ) 1 ) 5 ( 3 ( 2 ) 1 ) ] 0

) 1

( axay + a + x

2

+ xay

2

=

2. Résoudre, dans les nombres réels, l’inéquation que voici :

x x

3

9

+5

− 12 〈

1

3 5

x

3. Deux lances d’incendie de sections différentes sont alimentées par deux camions-citernes (remplis).

Elles sont destinées à fonctionner à débit maximum et constant.

Si la première lance d’incendie est alimentée par le premier camion-citerne, elle mettra pour vider complètement celui-ci exactement le même temps que celui nécessaire à la seconde lance d’incendie pour vider le second camion-citerne.

Si au contraire, on branche la première lance sur le deuxième camion et la seconde sur le premier, elles mettraient respectivement 9 et 4 heures pour vider complètement les camions-citernes en question.

(3)

Déterminez la contenance des deux camions-citernes sachant qu’au total ils contiennent 60 m3 d’eau.

4. Résoudre dans les nombres complexes l’équation en z :

0 ) 44 117 ( ) 7 1 (

4

2

4

+ + i z − + i =

z

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