Université de Tours Année 2012-2013
L2. Courbes paramétrées
Examen du 18 décembre (1ère session)
L’usage de toute calculatrice est interdit.
EXERCICE 1
On considère la courbeC deR2 dé…nie paramétriquement par x=f(t) = sin3t;
y=g(t) = cost 2 cos4t;
pour toutt2R:
1 ) On appelleC1 la portion de C obtenue pour t 2 [0; ]; expliquer comment on obtient toute la courbeCà partir deC1.
2 )Faire un tableau de variations sur[0; ], faisant intervenir deux autres valeurs det;en précisant les valeurs, ou les limites def et gen chacun des points.
3 ) a) Montrer qu’il existe t1 2 ]0; [ , quon déterminera, tel que la tangente au point M(t1) est parallèle à 0x, et déterminer la position par rapport à la tangente, à l’aide du tableau de variations.
b) Montrer qu’il existet22]0; [, qu’on déterminera, tel que la tangente au pointM(t2)est parallèle à 0y, et déterminer également la position par rapport à la tangente.
4 )(question bonus)
a) Peut-on trouver directement la tangente au pointM(0)?Calculer la pente de la droite M(0)M(t) et montrer qu’elle tend vers l’in…ni quand t ! 0 (on utilisera un développement limité). Que peut-on en déduire pour la tangente en M(0)?
b) Faire la même étude enM( )et montrer qu’on a la même conclusion.
5 )Tracer la courbeC1;puis la courbeC:
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EXERCICE 2
On considère la courbe dé…nie par l’équation polaire
='( ) = cos
cos sin ; 2R:
1 ) Montrer qu’il su¢ t d’étudier la portion de courbe 1 relative à l’ensemble d’étudeD= [0; =4[[] =4; ]et expliquer comment on obtient ensuite toute la courbe :
2 ) Faire un tableau de variations surD;en précisant les valeurs, ou les limites de'en chacun des points.
3 ) a) Montrer que quand ! =4;la courbeCadmet une asymptoteAqu’on dessinera dans le nouveau repère.
b) On pose = =4 +h:Montrer que quandh !0 avech <0 la courbe est au dessous deA, et'( )>0: Montrer quandh !0avech <0;la courbe est au dessus deA; et'( )<0:
4 ) Trouver la tangente et la position par rapport à la tangente au point relatif à 0= 0.
5 ) Véri…er que 1passe par0et trouver la tangente en ce point.
6 )Tracer la courbe 1;puis la courbe .
N.B. On rappelle les formules, pour tousa; b2R;
cos(a+b) = cosacosb sinasinb; sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb:
EXERCICE 3
On considère la courbe implicite dé…nie par
C= (x; y)2R2 (x2+y2)(x y)2 x2= 0 :
1 )Véri…er que le point(x0; y0) = (1;0) appartient àC; et calculer l’équation de la tangente au point.
2 )(question bonus)
a) Trouver une représentation polaire de la courbeC:
b) ComparerCavec la courbe de l’exercice 2. Retrouver alors la tangente obtenue à la question 4 de l’exercice 2.
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