- Synthèse de filtres -

(1)

1

Cours de

Traitement du signal

- Synthèse de filtres -

1

^ère

partie : Filtres Analogiques Benoît Decoux

[email protected]

2

Cours de "Synthèse de filtres", 1

^ère

partie

Plan Introduction générale

Généralités et rappels sur le filtrage

I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage I.1.1) Cellules du 1^eret du 2^eordre I.1.2) Réalisation électronique

I.1.3) Association des cellules élémentaires I.2) Filtres de Butterworth

I.3) Filtres de Tchebyscheff I.4) Filtres de Cauer I.5) Filtres de Bessel

I.6) Comparaison des performances

I.7) Résumé des différentes étapes de synthèse I.8) Exemple complet

(2)

3 Introduction

Définitions

e(t) : entrée s(t) : sortie h(t) : réponse impulsionnelle (àδ(t)) E(p) =TL[e(t)] S(p)=TL[s(t)]

Représentations

) p ( E

) p ( ) S p (

H =

) f ( E

) f ( ) S f ( H ) ou j(

E ) j(

) S j(

H =

ω

= ω ω

N M dt ,

) t ( e b d dt

) t ( s

a d

^M

0 m

m m m N

0 n

n n

n

= ∑ ≤

∑

= =

+∞

∫

∞

−

τ τ τ

−

=

= ( e * h )( t ) h ( t ) e ( ) d )

t ( s

Domaine temporel Domaine fréquentiel (complexe)

)

p=jω

t (

h

^TL

Equation différentielle

Réponse impulsionnelle

Réponse à une entrée quelconque

Fonction de transfert de Laplace

Fonction de transfert harmonique TF

TF TL

Signaux quelconques

Signaux sinusoïdaux

Introduction générale (1/4)

4 Objectif

Se rapprocher des filtres idéaux (le plus simplement possible)

passe-bas passe-haut passe-bande coupe-bande

Autre type de filtre courant : passe-tout (déphaseur pur) 1

f_c f_c f₁ f₂ f1 f2

1 1 1

Introduction

Introduction générale (2/4)

) j(

H ω

0 fc f_c f₁ f₂ f₁ f2

0 0 0

) j ( H log

20 ω

) 1 j(

H ω 20logHj(ω) ⁰

f

(3)

5 Caractérisation des filtres "physiques"

- type : passe-bas, passe-haut, passe-bande : coupe-bande, passe-tout - fréquence(s) de coupure

- pente des variations (liée à l’ordre du filtre) - retard de phase

- retard de groupe

Si la phase est linéaire, t_gest constant ↔le signal ne subit pas de déformation.

Introduction

Introduction générale (3/4)

ω ω

−ϕ ϕ=

) t (

ω ω

− ϕ

= d ) ( d tg

6 Stabilité

Condition par rapport aux pôles

Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert de Laplace sont situés dans le demi-plan situé à gauche de l’axe imaginaire du plan de la variable p :

plan p

Explication Pôle réel p₀:

Pôles complexes conjugués p_1,2=α±jβ:

Condition par rapport à la réponse impulsionnelle

Soit h(t) la réponse impulsionnelle d’un système. Ce système est stable si :

∫

_t^+∞=−∞

h ( t ) dt < ∞

t L p

0

Ae

0

) t ( p h

p ) A p (

H ← → =

= −

) t sin(

. e A ) t ( ) h

p p )(

p p ( ) A p (

H

^L ^t

2 1

ω ω

=

→

− ←

= −

^α

risque d’instabilité

Introduction

Introduction générale (4/4)

Re Im zone de stabilité

(4)

7 Cellule passe-bas du 1^erordre

Gain en dB : Fonction de transfert harmonique :

Cellule passe-haut du 1^erordre

c

j 1 ) 1 j(

H

ω + ω

= ω

) j ( H log 20 ) (

H

_dB

ω = ω

Cellules élémentaires de filtrage : 1

^er

ordre

I) Synthèse de filtres analogiques I.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.1) Cellules du 1^eret du 2^eordre

c c

j 1

j ) j(

H

ω + ω

ω ω

= ω

pente=20dB/décade pente=-20dB/décade

pente=-20dB/décade

8 Cellule passe-bas du 2^eordre

Exemple d’un filtre passe-bas du 2^eordre :

ξcoefficient d’amortissement ( , Q facteur de qualité)

Gain en dB :

Le casξ=0,7 est intéressant, puisque on a une réduction de gain assez limitée (-3dB), et une pente –40dB/déc.

2

c c

j j 2 1 ) 1 j(

H

 

 



 ω + ω ω ξ ω +

= ω

) j ( H log 20 ) (

H

_dB

ω = ω

Cellules élémentaires de filtrage : 2

^e

ordre (1/3)

Q 2

= 1 ξ

ξ=0,1

ξ=0,7

pente=-40dB/décade

ξ=2

ξ=0,1

ξ=0,7

pente=-40dB/décade

ξ=2

(5)

9 Cellule passe-bande du 2^eordre

Exemple d’un filtre passe-bas du 2^eordre :

bande passante :

avec fréquence centrale

Gain en dB :

2

c c

2

c

j j 2 1

j )

j(

H









ω + ω ω ξ ω +



 





ω

= ω

) j ( H log 20 ) (

H

_dB

ω = ω

Cellules élémentaires de filtrage : 2

^e

ordre (2/3)

Q f = f

⁰

∆

2

1 c

c

0

f f

f = ×

ξ=0,7

pente=-20dB/décade ξ=2

ξ=0,1

10 Cellules du 1^eret du 2^eordre

1^erordre

Passe-bas : Passe-haut :

2^erordre

Passe-bas : Passe-haut :

Passe-bande : Coupe-bande :

Déphaseur :

Cellules élémentaires de filtrage : 2

^e

ordre (3/3)

2

c c

2

c

j j

2 1

j 1



 





ω + ω ω ξ ω +



 





ω + ω

2

c c

2

c c

j j 2 1



 





ω + ω ω ξ ω +



 





ω ω ω ω + ξ

−

2

0 0

2

0

j j 2 1

j









ω + ω ω ξ ω +



 





ω

2

0 0

0

j j 2 1

j 2



 





ω + ω ω ξ ω +

ω ξ ω

c

j 1

1 ω + ω

c c

j 1

j

ω + ω

ω ω

2

c c

j j 2 1

1  

 





ω

+ ω

ω

ξ ω

+

(6)

11 Différentes formes des fonctions de transfert

harmonique (régime sinusoïdal) en variable de Laplace en variable de Laplace réduite (forme normalisée

↔ indépendante de ω_c) Exemple : cellule passe-bas du 2e ordre

utile pour étude en fréquence : gain en dB et phase (cellules élémentaires)

utile pour étude temporelle avec signaux (causals) quelconques, étude des pôles (étude stabilité, factorisation)

idem variable de Laplace, avec écriture simplifiée (=variable de Laplace réduite)

Différentes formes des fonctions de transfert

) j(

H ω j ω = p H ( p ) p / ω

_c

= s H ( s )

2

c c

j j 2 1 ) 1 j(

H



 





ω + ω ω ξ ω +

= ω

s

2

s 2 1 ) 1 s (

H = + ξ +

2

c c

p 2 p

1 ) 1 p ( H

 

 



 + ω ξ ω +

=

12 Intérêt de la forme normalisée

Toute l’étude peut porter sur la forme normalisée ; indépendamment de ω_c.

Au final, il faut "dénormaliser" la fonction de transfert, c’est à dire remplacer s par jω/ω_c, pour pouvoir réaliser le filtre satisfaisant aux paramètre du filtrage..

Différentes formes des fonctions de transfert

2

c c

j j 2 1 ) 1 j(

H

 

 



 ω + ω ω ξ ω +

= ω s

2

s 2 1 ) 1 s (

H = + ξ +

c

j

s ω

= ω s

1 ) 1 s (

H = +

c

j 1 ) 1 j(

H

ω + ω

=

ω

(7)

13 Passage du cas passe-bas aux autres cas

Le passage d’un type à l’autre s’effectue facilement par changement de variable.

Passe-bas →passe-haut

Passe-bas →passe-bande

avec

B : bande passante

f_c1, f_c2: fréquences de coupure

Passe-bas →coupe-bande f₀: fréquence centrale du filtre

s s → 1



 





+

→ s

s 1 B s 1

0 c c

f f B f

²

−

¹

=

1

s s 1 B s

−

 

 



 +

→

Transformation du type de filtrage

14 Réalisation par circuits passifs

1^erordre

passe-bas passe-haut

2^eordre

passe-bas passe-bande passe-haut

Méthode de calcul

Chacun de ces montages peut être vu comme un pont diviseur de tension avec 2 impédances complexes Z1et Z2.

Dans le cas du 2e ordre, l’une des 2 impédances est elle-même constituée de 2 impédances complexes en série ou parallèle.

Réalisation des cellules élémentaires par circuits passifs

I.1.2) Réalisation électronique

Z₁

Z2

(8)

15 Réalisation par circuits actifs : cellule du 1^erordre

La cellule du 1^erordre suivante permet de réaliser des filtres passe-bas et passe-haut :

Passe-bas : Z₁: Z₂:

Passe-haut : Z₁: Z₂:

Exemple : passe-bas avec R=1kΩet C=10nF

ω

− +

=

ω 1 jR C . 1 R ) R j(

H

2 1 2

|H(jω)|

ω(éch. log) -R₂/R₁

1/R₂C I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage I.1.2) Réalisation électronique

Cellule élémentaire active du 1

^er

ordre

16 Réalisation par circuits actifs : cellules du 2e ordre

Les structures de Sallen-Key et de Rauch permettent de réaliser des filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande du 2^eordre.

Ils permettent d’obtenir des facteurs de qualité moyens (jusqu’à 20 environ).

Structure de Sallen-Key

Passe-bas :

Passe-haut :

) Z Z ( Z ) Z Z ( Z ) H 1 ( Z Z

Z kZ V

H V

4 3 2 3 2 1 0 4 1

4 2 e

s

+ + + +

= −

=

R 1 k R

b a

+

=

1

R

Z =

p C Z 1

2 2

=

p C Z 1

1

1=

Z

₂

= R

₂

4 2 3 1

c

R R C C

= 1

ω

_^









 − + +

= ξ

4 2 3 1

4 3 4 1 0 2 1

C C R R

C R C R ) H 1 ( C R 2 1

3 1 4 2

c

R R C C

= 1

ω

_^









 + + +

= ξ

3 1 4 2

0 3 4 3 2 1 2

C C R R

) H 1 ( C R C R C R 2 1

3

3 R

Z =

p C Z 1

4 4=

p C Z 1

3

3=

Z

₄

= R

₄

Cellule élémentaire active de Sallen-Key

k H

₀

=

k

H

₀

= −

avec

(9)

17 Réalisation par circuits actifs : cellules du 2e ordre

Structure de Rauch

Passe-bas :

Passe-haut :

Passe-bande :

4 3 4 3 2 1 5

3 1 e

s

Y Y ) Y Y Y Y ( Y

Y Y V

H V

+ + + +

= −

=

1

1 R

Z =

p C Z 1

2 5=

3

4 R

Z =

p C Z 1

1

1= Z5=R2

p C Z 1

3 4= p

C Z 1

1 2=

1

2 R

Z =

1 2

1 Z R

Z = =

Cp Z 1

Z₃= ₄= Z₅=R₂

p C Z 1

2 3=

2

3 R

Z =

1 3 2 2 3 2

1 C

R C R R

1 R

1 2

1 





 + +

= ξ

2 1 3 2

c

R R C C

= 1 ω

1

0

R

3

H = − R

3 1

0

C

H = C

3 2 2 1

c

R R C C

= 1

ω ( )

3 2 2

1 3 2

1 RCC

C R C 2 C

1 + +

= ξ

2 1

R 2

= R C ξ

R 2

1 c

= ξ

ω

ξ

= − 2 H₀ 1

Cellule élémentaire active de Rauch

18 I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage I.1.2) Réalisation électronique

Cellule élémentaire active universelle

1 1

2 2 4 3

3

C R

C R R R

R

= + ξ

2 1 2 1

c

R R C C

= 1 ω

4 3

4

0

R R

R H 2

= +

4 3

4

0

R R

R H 2

+

= −

3 4

0

R

H = − R

4 3

4 a b

0

R R

R 2 R H R

× +

−

= }

Réalisation par circuits actifs : cellules du 2e ordre

Cellule généralisée du seconde degré (ou filtre universel, ou filtre à variables d’état)

Intérêts :

- 4 filtrages de base dans une même structure ; - facteurs de qualité élévés (Q>10).

Inconvénient :

- phases des sorties différentes

Passe-bas : (gain statique)

Passe-haut : Passe-bande : Coupe-bande :

(10)

19 Circuits passifs vs circuits actifs

Filtres passifs Inconvénients:

- nécessitent parfois des composants volumineux (condensateurs et bobines) Avantages:

- passifs, donc ne nécessitent pas d’alimentation (exemple : enceintes acoustiques)

Filtres actifs Inconvénients:

- nécessitent une alimentation

- bande passante limitée donc limitation aux fréquences basses - sensibles à leurs composants passifs (condensateurs et résistances) - produisent du bruit

- limités en tension Avantages:

- permettent une intégration à grande échelle (et notamment dans les processeurs) - fiables

- coût de fabrication réduit

Circuits passifs vs circuits actifs

20 Mise en évidence des pôles

Par factorisation du dénominateur, la fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

ou N ordre du filtre

Exemple avec N=1

1 pôle (réel pur) :

d’où : Exemple avec N=2 et ξ=0,7

2 pôles (complexes conjugués d’où

et à partie réelle <0) :

∏

⁻

=

−

=

^N¹

0 n

s s

n

) 1 s ( H

2

c c

j j 2 1 ) 1 j(

H









ω ω ω ω + +

=

ω

₂

s s 2 1 ) 1 s (

H = + +









+

−

=

−

=

) j 1 2 ( s 2

2 1

)) j 1 2 ( s 2 ))(

j 1 2 ( s 2 ( ) 1 s ( H

+

−

=

Etude des pôles des cellules élémentaires

/

c

j s = ω ω

∏

⁻

=

−

=

^N¹

−

0

n n

n

p p ) p p ( H

c

j 1 ) 1 j(

H

ω + ω

=

ω

1 s

) 1 s (

H = +

/

c

j s = ω ω

1 s₁=−

) 1 ( s ) 1 s (

H = − −

(11)

21 Décomposition des fonctions de transfert

Décomposition sous forme de produit

Une fonction de transfert d’ordre n quelconque peut se décomposer en un produit de fonctions de transfert élémentaires d’ordres 1 et 2 (les ordres s’ajoutent).

Schémas-blocs et modules électroniques

Quand les modules élémentaires (schémas-blocs ou modules électroniques) sont mis en cascade (=en série), les ordres s’ajoutent. Exemple pour l’ordre N=5 :

Diagrammes de Bode

Dans les diagrammes de Bode, les courbes de gain (en dB) s’additionnent :

→importance de l’étude des cellules de filtrage d’ordre 1 et 2 ; on les appelle cellules élémentaires N=2

=

I.1.3) Association des cellules élémentaires

Intérêt des cellules élémentaires de filtrage (1/2)

) j(

H ).

j(

H ).

j(

H ) j(

H ω =

₁

ω

₂

ω

₃

ω

fc fc fc f_c

=

+ ⁺

-40 -40 -20 -100

H₁ H₂ H₃

N=2 N=1 N=5

H

22 Position du problème

On a vu comment vu la cellule de filtrage passe-bas du 1^erordre, dont les caractéristiques sont : -3dB à f_c

-atténuation -20dB/décade

puis la cellule de filtrage du 2^eordre dont les caractéristiques sont -3dB à f_c

-atténuation -40dB/décade

De plus, on sait qu’en associant des cellules du 1^eret du 2^eordre, on peut obtenir des cellules d’ordre plus élevé.

Problème : est-il possible d’obtenir un filtre d’ordre N quelconque, caractérisé par : -3dB à f_c

-atténuation -20хN dB/décade ?

On a vu qu’en associant des cellules élémentaires on pouvait obtenir un ordre quelconque, comme par exemple pour l’ordre 5 :

… mais comment avoir toujours –3dB à f_c? N=2

H1 H₂ H3 =

N=1 N=5

H N=3

I.1.3) Association des cellules élémentaires

Intérêt des cellules élémentaires de filtrage (2/2)

(12)

23 Intérêt

Comment obtenir une pente quelconque tout en ayant –3dB à f_c, sans calculs (trop) compliqués ?

→Monsieur Butterworth, dans les années 30, a trouvé une solution :

Définition

N ordre du filtre

Propriétés

• pente de la décroissance du gain : -20хN dB/décade

• gain à fc: –3dB (ҰN)

N 2

c 2

1 ) 1 ( H

 

 



 ω + ω

= ω

I) Synthèse de filtres analogiques

I.2) Filtre de Butterworth

Filtre de Butterworth : définition et propriétés

10^-1 10⁰ 10¹

-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

Gain en dB pour N=1, 2, 3, 4, 5 Programme Matlab :

w=linspace(0.1,10,1000);

[z,p,k]=buttap(2);

h=freqs(k*poly(z),poly(p),w);

semilogx(w,20*log10(abs(h)),'black');

...

24 Lien avec cellules élémentaires

Cellule passe-bas du 1^erordre :

Il s’agit bien d’un cas particulier du filtre de Butterworth, avec N=1.

Cellule passe-bas du 2^eordre, avec (rappel : -3dB à f_c) :

Il s’agit également d’un cas particulier du filtre de Butterworth, avec N=2.

Filtre de Butterworth : étude de l’ordre 1 et 2 Cellules de filtrage de base : 2

^e

ordre

2

c c

j j 2 1 ) 1 j(

H

 

 



 ω + ω ω + ω

= ω

2 = 2 ξ

4

c c 2

c 2

c c

1 ... 1 2 j 1

1 j

j 2 1 ) 1 j(

H



 





ω + ω

=

= ω + ω



 





ω

− ω

=



 





ω + ω ω + ω

= ω

c

j 1 ) 1 j(

H

ω + ω

=

ω

2

c

1

c

1 j

1 ) 1 j(

H



 





ω + ω

= ω + ω

=

ω

(13)

25 Etude des pôles de la fonction de transfert (=racines du dénominateur)

Différentes formes de la fonction de transfert

harmonique en variable de Laplace en variable de Laplace réduite

Détermination des pôles

Les pôles sont tels que : ↔ … ↔

↔

Il y a 2N pôles (2 fois plus que l’ordre du filtre), ce qui est normal puisqu’on a recherché les pôles de |H(jω)|²

0 s ) 1 (

1 + −

^N ²^N

=

^π

+

=

^j^N−²¹^N²ⁿ

n

e

s

1 N 2 n

0 ≤ ≤ −

 

 



 + π

+

 

 



 + π

−

= 2 N

1 n cos 2 N j

2 1 n sin 2 s

_n

N 2

c 2

1 ) 1 j ( H

 

 



 ω + ω

= ω

N 2 N 2

s ) 1 ( 1 ) 1 s (

H = + −

Filtre de Butterworth : étude des pôles (1)

N 2

c 2

1 p ) 1 p ( H

 

 



 + ω

=

² ₂_N

s 1 ) 1 s (

H = +

ω

=j

p s=p/ωc

− ⇒ ω =

↔ ω ω

= j ω js s

c c

26 Position des pôles

La fonction |H(jω)|²possède 2N pôles ; ils sont situés sur le cercle unité ; : à partie réelle <0 : à partie réelle >0

Chaque pôle à partie réelle négative possède un "homologue" à partie réelle >0. Ces derniers, qui ne correspondent pas à un système stable, ne sont pas pris en compte (on a vu précédemment que la cellule passe-bas du 1er ordre et celle du 2^eordre, pour . possédaient respectivement 1 et 2 pôles à partie réelle <0 ; la généralisation à l’ordre N consiste à ne garder que les pôles à partie réelle <0 : ce sont les pôles de H(jω), même si cette dernière n’est pas définie directement).

Le pôle réel pur, quand il existe, correspond à une cellule du 1er ordre.

Les autres pôles existent par paires : 1 pôle + son conjugué ; N=2

N=1 N=3 N=4

etc I) Synthèse de filtres analogiques

Filtre de Butterworth : étude des pôles (2)

1 N n 0≤ ≤ −

1 N 2 n

N≤ ≤ −

non pris en compte

2 /

= 2

ξ

(14)

27 Exemple : Filtre de Butterworth d’ordre 2 (passe-bas)

N=2 →2 pôles :

On retrouve bien les 2 pôles calculés précédemment.

Différentes formes de la fonction de transfert :

Réalisation pratique : mise sous forme standard

(déjà étudiée précédemment)



 



 + π

+



 



 + π

−

= 2N

1 n cos 2 N j

2 1 n sin 2

s_n _n₌₀_,₁



 





π +



 





π

−

= j cos 4

sin 4 s

₀

2 j 2 2

2 +

−

= 2

j 2 2

2 −

−

=

^Re

Im

* 0

1

s

cos 4 4 j sin

s



=



 





π

−



 





π

−

=

s

4

1 ) 1 s (

H = +

4

c

1 ) 1 j(

H

 

 



 ω + ω

=

ω

^ou ₄

c

1 p ) 1 p ( H

 

 



 + ω

=

^ou

Filtre de Butterworth : exemple d’ordre 2

1 s 2 s ) 1 s (

H

₂

+

= +

28 Exemple : Filtre de Butterworth passe-bas d’ordre 4

N=4 →4 pôles :

Réalisation pratique : mise sous forme de 2 fonctions de transfert standard du 2^eordre 3 ,..., 0 n=



 



π +



 



π

−

= jcos 8

sin 8

s₀ 



 





π



+



 





π

−

= 8

cos 3 8 j

sin 3 s

₁

s * 8 cos 5 8 j

sin 5

s

₂ 

=

₁



 





π

+



 





π

−

= s *

8 cos 7 8 j

sin 7

s

₃ 

=

₀



 





π

+



 





π

−

=

3 2 1 0 3

0

n n s s

. 1 s s . 1 s s . 1 s s

1 s s ) 1 s (

H = − − − −

=

∏

−

=

) s ( H ).

s ( H

₁ ₂

=

* ) s s )(

s s

* )(

s s )(

s s ( ) 1 s ( H

1 1 0

0

− − −

= −

1 s 848 , 1 s . 1 1 s 765 , 0 s

1

2

+ + + +

=

* ...

s s

* ) s s ( s s . 1 s * s

* ) s s ( s s

1

1 1 1 1 2 0 0 0 0

2

=

+ +

− +

+

= −

Filtre de Butterworth : exemple d’ordre 4



 





+ π

+



 





+ π

−

= 2 N

1 n cos 2 N j

2 1 n sin 2 s

_n

Re s₀ Im

s₁

s₂ s₃

1

(15)

29 Polynômes de Butterworth

Une fois les pôles de la fonction de transfert calculés, les pôles complexes conjugués sont regroupés ensemble.

Chaque paire correspond à une cellule élémentaire (passe-bas) du 2^eordre.

Le pôle simple réel, s’il existe (ordre impair), correspond à la cellule élémentaire (passe-bas) du 1er ordre.

Forme développée n=1 : s+1 n=2 : s²+1,41s+1 n=3 : s³+2s²+2s+1

n=4 : s⁴+2,6131s³+3,4142s²+2,6131s+1

n=5 : s⁵+3,2361s⁴+5,2361s³+5,2361s²+ 3,2361s+1

n=6 : s⁶+3,8537s⁵+7,4741s⁴+9,1416s³+7,4741s²+3,8537s+1 etc

Forme factorisée n=1 : s+1 n=2 : s²+1,41s+1 n=3 : (s+1)(s²+s+1)

n=4 : (s²+0,765s+1)(s²+1,848s+1) n=5 : (s+1)(s²+0,618s+1)(s²+1,618s+1) n=6 : (s²+1,932s+1)(s²+1,414s+1)(s²+0,518s+1) etc

Filtre de Butterworth : polynômes

30

Butterworth avec gabarit

Définition d’un gabarit

(On parle également de "synthèse sur cahier des charges")

On distingue la bande passante de la bande d’atténuation (ou coupée).

On définit l’atténuation maximale (Ap) tolérée dans la bande passante, et l’atténuation minimale tolérée dans la bande d’arrêt (A_a).

: sélectivité

Dans le cas classique, A_p=3dB. On peut souhaiter une atténuation A_pmoins importante. Il suffit d’ajouter un paramètre supplémentaire dans la fonction de transfert de Butterworth :

ou

N 2

p 2 2

1 ) 1 ( H

 





 



 ω ε ω +

=

ω

0

≤ ε ≤

1

N 2 2 2

1 ) 1 (

H ω = + ε Ω

ω

p

= ω Ω

I) Synthèse de filtres analogiques I.2) Filtre de Butterworth

pulsation réduite

0 ω_p ω_a ω

-A_a -A_p

p a

ω

(16)

31

Gabarits

Autres gabarits

passe-bas passe-haut

passe-bande coupe-bande

Remarque

Pour la transformation de gabarits passe-bas vers passe-bande ou coupe-bande, ces derniers doivent être symétriques.

Si ça n’est pas le cas, il faut des rendre symétrique (en les rendant plus sévères).

La condition de symétrie est : I) Synthèse de filtres analogiques

0 ω_p ω_a ω

-A_a -A_p

0 ω_a ω_p

-A_a -Ap

ω

0 ωa1ω_p1

-A_a -A_p

ω_a2 ω ω_p2

2 a 1 a 2 p 1

p

. f f . f

f =

0 ω_p1ω_a1

-A_a -A_p

ωp2 ω ω_a2

32 Définition d’un gabarit

On part du gain en dB :

Soit Aple gain à la pulsation ω=ωp, (soit Ω=1) on peut démontrer (*) que l’on a :

On peut démontrer (**) que l’ordre du filtre est donné par :

Le résultat peut être fractionnaire ; l’ordre choisi est l’entier supérieur.

On peut démontrer que la fréquence de coupure à –3dB est liée à la fréquence f_ppar la relation :

(*) il suffit d’imposer que le gain soit –Ap dB pour ω=ω_p; on a alors Ω_2N=1, et la seule inconnue est ε.

(**) on impose que la courbe passe par le point (ωp, –Aa). Connaissant ε, la seule inconnue est N.

1 10

¹⁰

Ap

−

= ε

a 10 Aa

log 2

log 2 1 10 log

N Ω

ε

 −







 



 −

=

N 2

1

2

log 1 20 ) ( H log

20 Ω = + ε Ω

ω

p

= ω Ω

Paramètres du filtre de Butterworth à partir du gabarit

0 ωp ωa ω

-A_a -A_p

p a

a

ω

= ω Ω

N p

c

ε

= ω

ω

(17)

33 Exemple : Détermination d’un filtre dont le gain est atténué de 1dB à la fréquence f_a=1kHz et de 50dB à f_r=5kHz

Pulsation réduite d’atténuation en bande coupée Ω_a:

Ordre du filtre :

On prend pour l’ordre l’entier supérieur : N=4.

La fonction de transfert du filtre est la suivante :

Autre exemple : en prenant f_a=2kHz, on aurait trouvé un ordre N=10

509 , 0 1 10 1

10

¹⁰

1 10

Ap

=

−

=

−

= ε

kHz 5 1

kHz 5 f f

p a p a

a

= = =

ω

= ω Ω

99 , 5 3

log 2

509 , 0 log 2 1 10 log log

2 log 2 1 10 log N

10 50

a 10a A

=

 −





 

 −

Ω = ε

 −







 



 −

=

8

p N

2

p

2

1 0 , 259

1 1

) 1 ( H













ω + ω

=













ω ε ω +

= ω

Butterworth à partir d’un gabarit : exemple

0 1 5 f(kHz)

-50 -1

34 Détermination des pôles

Rappel : uniquement les pôles à partie réelle <0

Les arguments des pôles sont les mêmes que ceux de la fonction de transfert simplifiée avec ε=1, mais situés sur un cercle de rayon

Filtre de Butterworth généralisé : détermination des pôles

N 2 N 2 2

s ) 1 ( 1 ) 1 s (

H = + ε −

− ⇒ ω =

↔ ω ω

= j ω js s

c c

N 2 2 2

s 1 ) 1 s (

H = + ε

0 s ) 1 (

1 + ε

²

−

^N ²^N

=

^π

+

−

= ε

²^N

n 2 1 jN

n N

1 e

s

1 N n 0≤ ≤ −

 

 



 



 



 − π

+

 

 



 − π

ε −

= 2 N

1 n cos 2 N j

2 1 n sin 2 s

_n ^N

1

N

1 / ε

_Re

Im s₀ s₁

s₂ s₃

N

1 . ε

(18)

35 Utilisation d’abaques

Elles permettent de déterminer l’ordre du filtre en fonction des paramètres A_p, A_a, ω_pet ω_a. I) Synthèse de filtres analogiques

Butterworth : utilisation d’abaques

0 ω_P ω_a ω

-A_a -A_p

p

ω

a

= ω λ

36 Programmation Matlab

%Réponse en fréquence d'un filtre de Butterworth [N,Wn]=buttord(1000,5000,1,50,'s')

[b,a]=butter(N,Wn,'s');

F=[100:1:10000]; %vecteur de fréquences

[hb,bc]=freqs(b,a,F); %calcul réponse en fréquence semilogx(bc,20*log10(abs(hb))); %affichage avec axe des abs. log.

xlabel('Frequence (radians)');

ylabel('Gain (dB)');

grid;

Pour la phase :

...

semilogx(bc,angle(hb));

...

Butterworth avec Matlab

10² 10³ 10⁴

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Frequence (Hz) Phase (rad)

10² 10³ 10⁴

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

Frequence (Hz) Gain (d

B)

(19)

37

Filtres de Chebyshev (ou Tchebyscheff

)

I) Synthèse de filtres analogiques I.3) Filtres de Chebyshev

Définition

Il existe 2 types :

Type I : Type II :

avec Ωpulsation réduite :

T_N(.) désigne un polynôme d’ordre N défini par :

Les premiers polynômes sont donc :

On peut démontrer (*) qu’il existe une relation de récurrence entre ces polynômes :

(*) la démonstration consiste à exprimer TN+1(ω) et à utiliser les formules de trigonométrie : et

 





 



 ω ε ω +

 





 



 ω ε ω

= ω

p N 2

p N 2 2

2 2

T 1

T )

( H

 





 



 ω ε ω +

= ω

p N 2 2

T

2

1 ) 1 (

H _ε _< ₁ _ε _< ₁

) ( T ) ( T . 2 ) (

T

_N

ω = ω

_N₋₁

ω −

_N₋₂

ω

....

ω

p

= ω Ω

N 2

N

( ) Re[ j 1 ]

T ω = ω + − ω

ω

= ω

− + ω

=

ω ) Re[ j 1 ] (

T

₁ ²

1 ] 1 j Re[

) (

T

₀

ω = ω + − ω

²⁰

=

1 2 ] 1 j Re[

) (

T

₂

ω = ω + − ω

²²

= ω

²

−

) b sin(

).

a sin(

) b cos(

).

a cos(

) b a

cos( + = − ch(a+b)=ch(a).ch(b)−sh(a).sh(b)

38

Filtres de Chebyshev (ou Tchebyscheff

)

Définition

Les polynômes T_N(.) sont également définis par :

On peut démontrer que la fréquence de coupure à –3dB est liée à la fréquence f_ppar la relation :

 



> ≤

= ch ( N . arg ch ( x )) si x 1 1 x si )) x arccos(

. N ) cos(

x ( T

_N

2 e ) e x

cosh( = ^x+ ⁻^x

2 e ) e x

sinh( =

^x

−

⁻^x

 

 



 



 



 ω ε

=

ω 1

cosh n a cosh 1

p c

Rappel :

(20)

39

Filtres de Chebyshev : caractéristiques

Caractéristiques

Type I

Oscillations dans la bande passante (band-pass ripple)

Soit N l’ordre du polynôme du dénominateur ;

- si N pair, |H(0)|=0 ; si N impair,

- Pour ω<=ω_c, |H(jω)| oscille N/2 fois entre 1 et .

- Pour ω>ω_c, |H(jω)| est monotone et décroissante.

1 ) ( 1 H

1

2

≤ ω ≤

ε +

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

2 1.0

1 / 1 ) 0 (

H = + ε

|H(jω)| (N=2,3,4)

1

2

/ 1 + ε

10^-1 10⁰ 10¹

-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

20log|H(jω)| (N=2,3,4)

40

Filtres de Chebyshev : caractéristiques

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Frequence Mo

du fle onctn dio e transf ert

Caractéristiques

Type II

Oscillations dans la bande atténuée (ou coupée) (stop-band ripple) ₂

) 1 ( H

0 + ε

≤ ε ω

≤

(21)

41 I) Synthèse de filtres analogiques

I.3) Filtres de Chebyshev

Définition

On part du gain en dB :

On peut montrer que le paramètre est défini par :

où A_pest l’atténuation àω_p

et que l’ordre N du filtre est donné par :

oùΩaest la pulsation réduite d’atténuation minimale en bande atténuée.

1 10

¹⁰

A_p

−

= ε

) ( ch arg

1 ch 10

N arg

a 10a A

Ω ε

−

=

Paramètres du filtre de Chebyshev à partir du gabarit

) ( T 1 log 1 20 ) ( H log

20

₂

N

2

Ω

ε

= + Ω

ω

p

= ω Ω

p a

a

ω

= ω Ω

42 Etude des pôles

Les pôles sont définis par :

avec et (=cte)

Comme dans le cas de Butterworth, on ne prend en compte que la moitié des pôles : ceux à partie imaginaire <0.

En posant

et en se souvenant que , on voit que

ce qui est la définition d’une ellipse, sh²(β) et ch²(β) étant des constantes (voir ci-dessous).

Les pôles sont donc situés sur une ellipse.

Rappel: dans un repère (x,y), une ellipse est définie par ; a et b sont les 2 rayons de l’ellipse.

) ( ch ) cos(

j ) ( sh ) sin(

s

_k

= α

_k

β + α

_k

β

0≤k≤2N−1

k N N

k

2 + π

= π

α β = 1 ε

sh N arg

1 Filtres de Chebyshev : caractéristiques

) ( sh ) sin(

Re

_k

= α

_k

β ^Im

k

= ^cos( α

k

⁾ ^ch ⁽ β ⁾

) 1 ( ch

Im ) ( sh

Re

2 2 k 2

2

k =

+ β β

b 1 y a x

2 2 2

2+ =

1 ) x ( cos ) x (

sin² + ² =

(22)

43 Etude des pôles : exemple avec N=2

Les pôles sont définis par :

On a :

et , soit

d’où

Les pôles sont donc situés sur une ellipse de rayons sh(β)≈0,17 et ch(β)≈1 . I) Synthèse de filtres analogiques

I.3) Filtres de Chebyshev

) ( ch ) cos(

j ) ( sh ) sin(

s

_k

= α

_k

β + α

_k

β 0 ≤ k ≤ 3

k N N

k

2 + π

= π α

17 , 0 2 sh 2arg 1 509 , 0 sh 1 Narg 1 sh1 Narg

1 = ≈ ≈

= ε β

Filtres de Chebyshev : caractéristiques

0

4 = π

α 4

3 2

1

4 = π + π

= π

α 4

5

2

4 = π π π +

=

α 4

7 2 3

3

4 = π + π

= π α 17 , 0 ) (

sh β ≈ ch ( β ) ≈ 1

4 ) cos(

j 4 ) sin(

17 , 0

s

₀

= π + π )

4 cos( 3 j 4 ) sin( 3 17 , 0 4 ) cos( 3 j 4 ) sin( 3 17 , 0

s

₁

= π + π = π + π

44

Filtres de Chebyshev : exemple avec type I

Exemple avec type I : Gain atténué de 1dB à f_a=1kHz et de 50dB à f_r=5kHz

Pulsation réduite d’atténuation en bande coupée :

Ordre du filtre :

On prend pour l’ordre l’entier supérieur : N=3.

Fonction de transfert du filtre :

Autre exemple : en prenant fa=2kHz, on aurait trouvé N=3,66 (→N=4) Remarque: l’ordre est inférieur à celui du filtre de Butterworth équivalent.

509 , 0 1 10 1

10

¹⁰

1 10

A_p

=

−

=

−

= ε

1 , ) 2 5 ( ch arg

1 ch 10

arg )

( ch arg

1 ch 10

arg N

10 50

a 10a A

ε =

− Ω ε =

−

=

2

3 3

3 2

3 3 2

10 . 3 2 10 . 4 2 26 , 0 1

1 .

10 . T 2 26 , 0 1 ) 1 ( H

2











 



 





π

− ω



 





π + ω

=



 





π + ω

= ω

0 1 5 f(kHz)

-50 -1

p a

a

ω

= ω

Ω