Chapitre 4 : « Notion de fonction »
I. Activités
Activité 1 page 105 (fait à l'oral)
Activité 2
On considère un triangle équilatéral de côté x. Exprime son périmètre en fonction de x.
• Le périmètre est en fonction de la longueur du côté du triangle.
• Si x=1,5cm , le périmètre est 3×1,5=4,5 cm Rappels
Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. Il se mesure en m ou cm.
Activité 3
On considère le programme de calcul suivant :
• je choisis un nombre,
• je lui retranche 3,
• je mets le résultat au carré,
• et enfin, j'ajoute le double du nombre de départ.
Si je choisis 6, j'obtiens 6–322×6=912=21 .
Si je choisis –3, –3–322×–3=–62–6=36–6=30 Si je choisis x, x –322x.
Activité 4
On considère le graphique suivant :
A–4,5; 0,5 ; B–3;1,5 ; C–2; 2 ; D0; 2,5 ; E1,5;1 ; F4 ; 0
• On fait correspondre une abscisse à une ordonnée grâce à la courbe.
• L'ordonnée est en fonction de l'abscisse.
• L'image de l'abscisse est une ordonnée.
II. Les fonctions
1/ Définition/Notations
Définition
Une fonction est une suite ordonnée d'opérations (ou parfois une expérience) qui permet d'associer un nombre donné à un unique résultat.
Ce résultat est appelé l'image.
Notation 1
On considère la fonction f donnée par le programme de calcul suivant :
• je choisis un nombre, je lui retranche 4 ,
• je mets le résultat au carré,
• j'ajoute le triple du nombre choisi au départ.
f : x x –423x
On dit : « f est la fonction qui à x associe x –423x »
Remarque
En général, on utilise les lettres f, g et h pour nommer une fonction. S'il y en a beaucoup, on utilise des indices ou des exposants : f1, f2, f3, f ', f ' '...
Deuxième notation (Notation 2)
La première notation n'est pas pratique à l'usage. De manière générale, on utilisera cette deuxième façon de noter...
f x=x –423x
On dit « f de x est égal à x –423x »
Exemples
• On considère la fonction h : x 2x2–7. Calcule l'image de 2 et –3.
h2=2×22–7 h2=2×4–7 h2=8–7 h2=1
h–3=2×–32–7 h–3=2×9–7 h–3=18–7 h–3=11
2/ Intermède : rappels sur le calcul en écriture fractionnaire
• Additionner ou soustraire : A=1
21 4 A=1×2
2×21 4 A=2
41 4 A=21
4 A=3
4
B=2
3
–56
B=4
6
–65
B=–1 6
C=–5 8– 7
12
On écrit les multiples : 8, 16, 24, 32...
12, 24, 36...
C=–5×3
8×3– 7×2 12×2 C=–15
24–14 24 C=–29
24
• Multiplier : A= 5
14×–7 15 A=– 5×7×1
2×7×3×5 A=–1
6
B=–7 11×–33
35 B=7×11×3
11×7×5 B=3
5
III. Image/Antécédents
Définition
On considère une fonction f et deux nombres tels que f x=y. On a :
• l'image de x par f est y,
• un antécédent de y par f est x. Schéma
f : x y
(antécédent) (images)
1/ À partir d'une représentation graphique
Rappels
Un repère du plan est constitué d'un axe des abscisses et d'un axe des ordonnées.
Les coordonnées d'un point sont constitués de son abscisse et de son ordonnée.
On note : A4; 3.
Remarques
• Bien faire la différence entre ordonnée et coordonnées.
• M;
Exemple de lectures graphique
On imagine que cette courbe représente une fonction f. Pour trouver l'image du nombre
–1 :
• on place –1 sur l'axe des abscisses,
• on repère sur la courbe le point qui a pour abscisse
–1 : c'est M,
• l'image de –1 correspond à l'ordonnée de M : c'est
2.
abscisse de M ordonnée de M
À retenir
L'image d'un nombre placé sur l'axe de abscisses se lit sur l'axe des ordonnées.
Autre exemple
• Pour lire un antécédent de 1 : on place 1 sur l'axe des ordonnées, on regarde le point de la courbe qui a pour ordonnée 1 (ici c'est N), un antécédent de 1 est l'abscisse du point N c'est à dire –4.
• Pour lire tous les antécédents de 1 , il faut repérer tous les points de la courbe qui ont pour ordonnée 1 . Il y a aussi le point P. Donc l'autre antécédent de 1 est environ 3,6 .
À retenir
Pour trouver tous les antécédents d'un nombre, on trace une horizontale passant par ce nombre.
Selon les cas, il y a 0 , plusieurs ou une infinité d'antécédents.
2/ À partir d'un tableau
x –5 –4 –2 0 1 2 4
hx 5 8 3,5 5 7,5 3,5 7
On suppose que les valeurs du tableau sont celles d'une fonction h.
• Quelle est l'image de 0 ? C'est 5 .
• '' '' '' de –4 ? C'est 8.
• Antécédent(s) de –4 ? Il n'y en a pas !
• '' de 5 ? 0 et –5
• '' de 3,5 ? –2 et 2 Point méthode
• Pour lire un antécédent d'un nombre, je regarde ce nombre dans la 2ème ligne et je lis l'antécédent sur la 1ère.
• Pour lire l'image d'un nombre... c'est l'inverse !
3/ À partir d'une formule
Exemple 1
f : x 3x –1
• Calcule l'image de –2 .
On remplace x par –2 : f −2=3×–2–1=–6–1=–7
• Essaie de calculer un antécédent de 7 :
Pour trouver un antécédent de 7, il faut compléter l'égalité suivante 3×–1=7 . Autrement dit, il faut résoudre une équation :
3x –1=7 3x –11=71 3x=8
x=8 3
IV. Tracer une représentation graphique
1/ A partir d'un tableau
On considère une fonction g dont certaines valeurs sont dans le tableau suivant.
x -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 2 3
gx -1 1 2 1 0,5 1 2
• Dans le tableau ci- dessus, on peut lire des coordonnées de points. x est
l'abscisse et gx est l'ordonnée.
• On obtient les points suivants :
–2 ; –1
–1,5 ; 1
–1 ; 2
–0,5 ; 1
0,5 ; 0,5
2 ; 1
3 ; 2 A retenir
On considère un nombre x et son image y. Graphiquement, ces deux nombres constituent un point dont les coordonnées sont x; y.
Pour lundi 3 janvier 2011
Devoir maison à rendre sur feuille (donné en polycopié)
