m 0 , ǫm 1 , ǫm 2 , ..., ǫm n

par

Jaques Féjoz

Résumé. L'attrationmutuelledesplanètespeut-elleromprelabellerégularité

dumouvementkeplériendesplanètesautourduSoleil,quelaloidel'attration

universelle était initialement ensée expliquer? Nous retraçons ertaines idées

mathématiques qui ontémergé destentativesde résolution duplusanien des

problèmesdeDynamique,depuislestravauxdeLagrange(1736-1813),puiseux

dePoinaréouArnold,jusqu'àertainstravauxplusréentsonduisantàl'aban-

dontotaldudogmedelastabilité.

Table des matières

... 1

1. Lesystème planétaire... 3

2. Lavariation delaonstante... 5

3. Lesdeuxthéorèmesde stabilitéde Lagrange etLaplae... 10

4. Lespremierssignesd'instabilité... 13

5. Lesthéorèmesd'Arnoldetde Nekhoroshev... 18

6. Instabilitéglobale... 20

Référenes... 24

Àlanduxviiesièle,ladéouvertedelaloidel'attrationuniversellebouleversanotre

ompréhensiondumouvementdesastresdusystèmesolaire[84 ℄. Ave etteloi,Newton

expliquadefaçonmagistralelaontraditionapparenteentreleprinipe,misenavantpar

Galilée et Desartes, du mouvement inertiel retiligne uniforme en méanique terrestre

et les lois, énonées par Kepler, régissant le mouvement elliptique des planètes autour

du Soleil et des satellites autour des planètes. Dans un tour de fore supplémentaire,

Newton alulal'eet approhé du Soleilsur la Lune. Il s'aperçut rapidement, en eet,

quelespetitesattrationsmutuellespouvaientdétruirelabellerégularitéquel'attration

[B℄lind Fate ould never make all the Planets move one and the same way

in Orbs onentrik, some inonsiderable Irregularities exepted, whih may

haverisenfromthemutualAtionsofCometsandPlanetsupononeanother,

and whihwill be aptto inrease,tillthis System wantsaReformation. [85 ℄

La onséquene imprévue de l'attrationnewtonienne fut don de remettre en question

laroyaneen la stabilitédu Système solaire :il ne fut plus évident que les planètesse

mouvaient immuablement,sans ollisions niéjetions.

Enfait,uneseondequestionseposa,onomitanteàelledelastabilitéelledesa-

voirsi laloi deNewtonexpliqueà elle seuletousles phénomènesastronomiques [90℄.

Une ourse longue de deux sièless'engagea entre les astronomes, dont les observations

étaienttoujourspluspréises,etlesgéomètres.Deuxdisordanesentreobservations

et préditions entretinrent au xviiie sièle un suspense partiulier : la première était

l'avane dupérigéede la Lune;laseonde étaitle déalagede lalongitude moyennede

Jupiter etde Saturne [61 ℄, mis au jour grâe à laonfrontation des observationsastro-

nomiquesde l'époqueaveellesrassembléesparPtoléméepresquedeuxmille ansaupa-

ravant. Lespremiersaluls de Newton,d'Euler, de Clairaut, ded'Alembert etd'autres

donnaientde mauvaisrésultats[17 , 27 ℄.

Mais les problèmes onjoints de la stabilité et de l'adéquation de la loi de Newton se

heurtaient tousdeuxaumêmemurdediulté :lealulinnitésimalenétaitàsesdé-

buts,etl'appareilmathématiquenéessairepouromprendrel'inueneàlongtermedes

attrationsmutuelles manquait.La théoriedesperturbations naquitave les travauxde

Lagrangeetde Laplae,quidémontrèrentdeuxretentissantsthéorèmesdestabilité.Par

ailleurs,Lagrange transformalaméaniqueetladynamiqueenune branhede l'analyse

mathématique,enposantlesfondationsdesgéométriesdiérentielleetsympletique,ou-

vrantainsilavoieàdesdéveloppementsultérieursonsidérables.Ironiquement,Lagrange

supprima les gures là où Newton avait tenté de supprimer les formules! En tout as,

il s'ensuivitune rihe sériede développements, onduitsparHill, Le Verrier, Lindstedt,

Poinaré,Kolmogorov ou Arnold,parmid'autres, qui onduisirent à de nombreusesdé-

monstrationspartielles delastabilitéduSystèmesolaire,quePoinaréommenta ainsi:

Les personnes qui s'intéressent aux progès de laméanique éleste, mais qui

ne peuvent les suivre que de loin, doivent éprouver quelque étonnement en

voyantombiende foison adémontrélastabilité dusystème solaire.

Lagrange l'a établie d'abord, Poisson l'a démontrée de nouveau, d'autres

démonstrations sont venues depuis, d'autres viendront enore. Les démons-

trations aniennes étaient-ellesinsusantes,ou sont-e les nouvelles quisont

superues?

L'étonnement de es personnes redoublerait sans doute, si on leur disait

qu'un jour peut-êtreun mathématiien feravoir,parun raisonnement rigou-

reux,quele systèmeplanétaireestinstable.

Celapourra arriver ependant;il n'y auralà rien de ontraditoire, ete-

pendant les démonstrations aniennes onserveront leur valeur. (Poinaré,

1897[91 ℄;voiraussi[18℄)

Et en eet, après des sièles d'eorts pour démontrer la stabilité du Système solaire,

la surprise fut immense quand suessivement Poinaré, Arnold ou Laskar avanèrent

Systèmesolaireestinstable,suruneéhelledetempsinférieureàladuréedevieduSoleil:

l'évolution à long terme du Système solaire ressemble plus à une partie de tennisdans

uneforêtqu'àunjeubienrégléderouesdentées.Maislesméanismespréisd'instabilité

restent largementmytérieux...

C'estettehistoirequenousnousproposonsdesurvoleràtraversquelquesunesdesidées

mathématiques qui l'ont jalonnée, hoisies subjetivement. Au détriment de la rigueur

historique nous nous permettrons beauoup d'anahronismes sans lesquels l'exposition

seraitonsidérablementallongée.

Mentionnons que les ÷uvres omplètes de Lagrange, mort il y a deux ents ans, sont

numériséessurlesite Gallia delaBibliothèqueNationale de Frane.

1. Le système planétaire

Étant donnéunparamètre

ǫ > 0

^,soient

m ₀ , ǫm ₁ , ǫm ₂ , ..., ǫm _n

^{les massesde}

1 + n

^points

matériels, ensés représenter le Soleil et

n

^{planètes. Si l'on note}

x ₀ , x ₁ , ..., x _n ∈ R ³

^les

veteurspositionsdees astres, leséquations de Newtons'érivent

(1)

( x ¨ ₀ = ǫ P

k6=0 m _{k kx} ^{x k −x 0}

k −x ⁰ k ³

¨

x _j = m _{0 kx} ^{x 0 −x j}

0 −x j k ³ + ǫ P

k6=0,j m _{k kx} ^{x k −x j}

k −x j k ³ (j = 1, ..., n).

Comme Newton l'a démontré dans ses Prinipia [84 ℄, le fait de remplaer les orps

élestespardespointsmatérielsestjustiétantqueladistributiondemassedeesorps

a une symétrie sphérique. Par ailleurs, lamasse desplanètes rapportée à elledu Soleil

étant petite (

1/1000

^{pour Jupiter), il est légitime d'étudier les équations (1) pour les}

petites valeurs de

ǫ

^{; e sera d'ailleurs le adre d'étude de la} quasi-totalité des travaux mathématiquessur lesujet.

Remarquons aussiquel'invarianegaliléennedeséquations (1)permetde serestreindre

sanspertede généralitéau sous-espaeinvariant où leentrede masse

x _G = 1

m 0 + ǫ P

j6=0 m j



m ₀ x ₀ + ǫ X

j6=0

m _j x _j





està l'origine, e quenousferons dorénavant;onpeutalorsretrouverle mouvement du

Soleilà partirde eluidesplanètes, puisque

x 0 = − ǫ X

j6=0

m _j m ₀ x j .

Nousnoterons

x = (x ₁ , ..., x _n ) ∈ ( R ³ ) ⁿ \ ∆ = R ³ⁿ \ ∆ (∆ := ∪ j,k { x _k = x _k } )

leveteur de onguration,et

z = (x, x) ˙ ∈ ( R ³ ) ⁿ \ ∆

× ( R ³ ) ⁿ = T R ³ⁿ \ ∆

leveteurd'état.Bizarrement,l'espaedes

z

^{(ousondual)s'appelle} aujourd'huil'espae des phases.

(1)

Soit enore

(2)

z ˙ = v(z) = v ₀ (z) + ǫv ₁ (z)

le hamp de veteurs orrespondant aux équations ( 1), restreint à notre sous-espae

invariant

(x G , x ˙ G ) = (0, 0)

^.

Limite keplérienne. À la limite quand

ǫ

^{tend vers}

0

^{, le Soleil se onfond ave}

x _G = 0

^{.Chaqueplanète, elle,subit laseule attrationduSoleil xe:}

¨

x _j = − m ₀ x j

k x _j k ³ (j = 1, ..., n).

etsonmouvement est régiparles loisdeKepler [4℄ :

Première loi. Le orps

x _j

^{se meut lelong d'uneonique dont unfoyer està l'origine.}

Deuxième loi. L'aire balayéepar

x _j

^roît linéairementave letemps.

Side plusl'énergie

E _j = m _j x ˙ ² _j

2 − m ₀ m _j k x _j − x ₀ k

est

< 0

^{,e quenous}supposerons danslasuite,la oniquedériteest bornée,don 'est une ellipse.

Troisième loi. Le arré de la période derévolution de

x j

^estproportionnelau ube du grand demi-axe.

La deuxième loidéoule immédiatementdu faitquela dérivéede

γ _j := det(x _j , x ˙ _j )

lelongdestrajetoiresestnulle.

(2)

(Lemomentinétique habituelest

C j = m j γ j

^.)Pour

latroisièmeloi,voirlelivred'Arnold-Kozlov-Neishtadt[4 ℄.Cédonsauplaisirderappeler

une démonstrationmerveilleusedela premièreloi, dueà Lagrange.

Démonstration de la première loi [46 ℄. D'abord, le mouvement se fait dans le plan

(ouladroitesi

γ j = 0

^{) engendréparlaposition}

x j

^etlavitesse

x ˙ j

^{initiales;ei déoule}

del'invarianeduproblèmedeCauhyparsymétrieparrapportàeplan.Notons

(ξ _j , η _j )

lesoordonnéesde

x _j

^danseplan(respetivement,dansunplanontenantettedroite) et

r _j = q

ξ _j ² + η _j ²

^{.Lesoordonnées}

ξ _j

^et

η _j

^{satisfontles équations}

ξ ¨ j = − m 0 ξ j

r ³ _j , η ¨ j = − m 0 η j

r ³ _j

tandis que, ommeunaluldiret lemontre,

r _j

^satisfait

¨

r _j = − γ _j ² − m ₀ r _j r _j ³ .

Des onditions initiales

x ^o _j = (ξ _j ^o , η _j ^o )

^{étant xées (et}

r ^o _j = q

ξ ^o _j + η _j ^o

^),

ξ

^et

η

^satisfont

tautologiquement l'équation linéairedépendant du temps

(3)

ζ ¨ _j = − m ₀ ζ _j r _j ^o (t) ³ ,

2. Celapeut-il initer,dansles oursd'algèbrelinéaire,ànepassoigneusement oulterlefait que

tandis que

r _j

^{satisfaitl'équationlinéaire nonhomogène dépendantdu temps}

(4)

r ¨ _j = − γ _j ² − m ₀ r _j

r ^o _j (t) ³ ,

(on a simplement remplaé tous les

r _j

^dansles dénominateurs parla fontion expliite dutemps

r ^o _j (t)

^{).L'équation(3)étantlapartiehomogènedel'équation(4),leplanane}

dessolutionsde (4) est dirigéparleplanvetorieldessolutionsde (3).Deplus,

r _j (t) ≡ γ _j ² /m ₀

^{étant une solution} partiulière de (4) (orrespondant à une révolution irulaire uniforme),il existe desonstantes

α _j , β _j ∈ R

^{telles quelaourbe}

(ξ _j (t), η _j (t), r _j (t))

^soit

traéesurleplanane d'équation

r _j = γ _j ² /m ₀ + α _j ξ _j + β _j η _j

(si

γ _j = 0

^{, ei restevrai pare que}

ξ _j

^et

η _j

^sont proportionnelles). En éliminant

r _j

^{, on}

obtient

q

ξ _j ² + η _j ² = γ _j ² /m ₀ + α _j ξ _j + β _j η _j ,

soit l'équation d'une onique dans le plan de

x _j

^{, dont un foyer est l'origine, de droite}

diretrie

γ _j ² /m ₀ + α _j ξ _j + β _j η _j = 0

^etd'exentriité

q

α ² _j + β _j ²

^.

Pourhaque planète, on serestreindra, dansl'espae desorbites du hamp de veteurs

v ₀

^{, à un voisinage assez petit dessolutions} horizontales (plan orbital onfondu ave un plan xe orienté qualié d'horizontal), irulaires (exentriité nulle), et diretes (dont

larévolutionsefait,en projetion surleplanhorizontal,danslesens positif).Parmiles

planètesduSystèmesolaire,'esteneetMerurequialaplusgrandeinlinaison(

∼ 7 ^o

⁾

etlaplusgrandeexentriité (

∼ 0, 2

^{),ettoutesles planètestournentdanslemêmesens}

(en revanhe, larotation propre de Vénus, parexemple, est rétrograde). La variété des

telles solutionskeplériennesd'uneplanèteest diéomorpheà

R ⁵

^.

2. La variation de la onstante

L'intégration du hamp non perturbé

v ₀

^{, dans l'espae des phases de dimension}

6n

^,se

fait à l'aide de

6n

^onstantes d'intégrations salaires, disons

ζ = (ζ 1 , ..., ζ 6n )

^{, qui sont}

autant d'intégralespremières

(3)

:se donner une ondition initiale équivautà sedonner

laonstanted'intégrationvetorielle

ζ

^,etalors

z = z(t, ζ).

Parmiesonstantes,onpeutdistinguerles

5n

^élémentselliptiques quidéterminentl'el- lipsekeplériennesurlaquellehaqueplanètesemeut,etles

n

^{paramètresqui}déterminent la position des planètes sur leur ellipse à l'instant initial. Comme éléments elliptiques,

3. Intégralepremière:nombizarrequidésignedesfontionsonstanteslelongdesourbesintégrales,

qui provient d'un usage anien du mot intégrale pour désigner des quantités onservées, l'adjetif

première signiantqueesintégralesdépendentdespositionsetdeleurdérivéepremièreparrapport

surl'ouvertdiéomorpheà

T ³ × R ³

^{del'espaedesphases oùdeplus lesellipsesnesont}

niirulaires nihorizontales,on peuthoisir lessuivants:



 

 

 



 

 

 



a _j =

^{granddemi-axe}

g j =

^{argument dupérihélie}

e _j =

^exentriité

θ _j =

^{longitudedu n÷ud}

ι j =

^inlinaison

,

où ladénitionde ertainsélémentsestrappelée surlaguresuivante.

0000 0000 1111 1111

ℓ _j g _j

θ _j

x _j ι _j

Commeoordonnéesurhaqueellipse,onpeuthoisirl'anomaliemoyenne

ℓ _j

^,'est-à-dire l'angleomptéà partirdupérihélie, proportionnel àl'aire intérieureà l'ellipse délimitée

par

x j

^{;d'aprèsla deuxième loi desaires,}

ℓ ˙ j

^{est onstante lelong desourbes intégrales}

de

v ₀

^.

Ainsi, une ondition initiale

z ^o

^{étant xée, l'unique ourbe intégrale} orrespondante de

v ₀

^{est une fontion}

z = z(t, ζ )

^,

ζ = (ℓ _j , a _j , g _j , e _j , θ _j , ι _j ) _j=1,...,n

^{,telle que}

∂z

∂t (t, ζ ) = v ₀ (z(t, ζ)).

Fortsdeettepremièreapproximationdumouvement,herhonsmaintenantuneourbe

intégrale du hamp de veteur

v = v 0 + ǫv 1

^{, ave}

0 ≤ ǫ ≪ 1

^{. Les intégrales premières}

ζ

^{préédentesn'ont auunehanederester desintégralespremières, maison peuts'at-}

tendreàequ'ellesvarientlentement.Laméthodedelavariationdelaonstanteonsiste

à herherunesolution de laforme

z = z(t, ζ (t)),

où

ζ(t)

^{est la nouvelle fontion inonnue.}

⁽⁴⁾

^{En dérivant par rapport au temps, et en}

simpliant les termes

∂z

∂t = v ₀ (z)

^{,on voit que}

(5)

∂z

∂ζ (t, ζ(t)) · ζ(t) = ˙ ǫv ₁ (z(t, ζ(t))),

4. Cetteméthodeestgénéralementenseignéeommeuneastuedealulpourleséquationslinéaires.

e quinit deonvainre que

ζ ˙ = O(ǫ)

^{.Fautede savoirrésoudre l'équationexatement,}

on peut biensûr obtenirle premier ordred'approximation (après Kepler) en négligeant

les termesd'ordredeuxen

ǫ

^,'est-à-direen résolvant:

ζ ˙ (t) = ǫ ∂z

∂ζ (t, ζ ^o ) −1

v ₁ (z(t, ζ ^o )),

parsimple quadrature.

C'est e que Newton (dans un époustouant tour de fore qui impressionna Laplae),

Clairaut, d'Alembert, Euler, Lagrange et d'autres ont fait dans diérentes situations

partiulières, (voir par exemple [30 , 84 ℄) pour tenter notamment d'expliquer les deux

grandsproblèmesquefurentl'avanedupérigéedelaLuneetlesirrégularitésdeSaturne

etdeJupiter.Lathéoriedesperturbationsétaitnée...maislesrésultatsétaientfaux!Par

exemple,danssonmémoirequiremportaleprixdel'AadémiedesSienesen1748,Euler

prétend démontrer que les déalages des anomalies moyennes de Jupiter et de Saturne

sont de mêmesigne, alorsque les observationsmontrent leontraire [30 , 62 ℄.En 1747,

Clairaut proposa à l'Aadémie des Sienes de réviser la loi de l'attration universelle

pour rendre la Méanique ompatible ave ses préditions [17 ℄! Shématiquement, les

erreursont deuxsoures:

les dérivéespartielles sont déliates à aluler (la dérivéepar rapportà

ζ _j

^dépendant

deladénition detous les

ζ _k

^!),

ilfautbeauoupdesavoir-fairepourdéterminerquelstermessont eetivementnégli-

geablesdevant d'autres.

C'estàetteépoquequelesalulsommenèrentàêtreeetuésavedeslettrespourles

paramètres plutt qu'ave des valeurs numériques, et devinrent ainsi onsidérablement

pluslimpides.

Avelaterminologied'aujourd'hui,equipréèderevientàdéduire,parsimpledérivation

de l'appliation

φ : z

^{(ondition initiale)}

7→ ζ

^(onstanted'intégration)

,

l'évolution delaonstanted'intégrationde

v ₀

^{parrapportautemps:}

ζ ˙ = φ ^′ (z) · v(z).

Lagrange laria et perfetionna onsidérablement la méthode de la variation de la

onstante.Onpeutartiiellement déomposer saontribution endeux.

Redressement du hamp de veteur keplérien. Lagrange omprit quel'appli-

ation

φ

^{est un hangement de} oordonnées, 'est-à-dire que l'on peut repérer un point de l'espae des phases non plus par la position et la vitesse des planètes, mais par les

éléments desellipses keplériennes queles planètes auraient dérites à partir de e point

souslaseuleationduSoleil,etparleurpositionsuresellipses.Ceipermitdeomposer

l'égalité préédenteà droitepar

φ ⁻¹

^{,etdond'obtenir un systèmefermé}

(6)

ζ ˙ = φ ^′ (z(ζ )) · v(z(ζ)) = (φ ∗ v)(ζ ),

soit enore de aluler l'image direte du hamp de veteurs parle diéomorphisme

φ

^.

niprohede l'identité,etutilisépourredresserunhampde veteurs. Onpeutyvoirle

débutdu oneptde variétédiérentielle abstraite.

(5)

Latransendaneduhangementdevariables

φ

^{sevoitquandonexaminele}paramétrage des ellipses keplériennes. Rappelons que l'on note

ℓ _j

^{l'anomalie moyenne de la}

j

^-ième

planète.Notonsdeplus

u j

^sonanomalieexentrique,dontladénitionselitsurlagure suivante.

00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 00 11 000 01 000 111 111

x _j ℓ j

u _j a _j

a _j ^q 1 − e ² _j

Ces deuxanomaliessont liéesparl'équation de Kepler

ℓ j = u j − e j sin u j .

La détermination de la loi horaire des astres dans le iel passe parl'inversion de ette

formule. C'est d'ailleurs apparemment sondésirde omprendreorretementla formule

d'inversion de Lagrange [44 , 101 ℄ qui a onduit Cauhy à développer sa théorie des

fontionsholomorphes, etnotamment laformulede lamoyenne[12 ℄.

Revenons uninstant àl'équation (6), quel'on peutérire

(7)

ζ ˙ =

n

X

j=1

ν _j ∂

∂ℓ ₁ + ǫ(φ _∗ v ₁ )(ζ)

ennotant

ν _j

^lesmoyensmouvements,'est-à-direlesfréqueneskeplériennesdeplanètes.

Quand

ǫ = 0

^{,lasolution estsimplement}

ℓ _j = ℓ ^o _j + n _j t, (a _j , g _j , e _j , θ _j , ι _j ) = cst.

Partantdelà,parréurreneonpeutalulerledéveloppementde

ζ(t)

^{enpuissanesde}

ǫ

^,

en substituant à haque étape lasolution approhéepréédente dansle seondmembre

de (7). On obtient ainsi une série de perturbation, dont on voit sur des exemples très

simples l'inutilité quant aux propriétés des solutions sur de longues éhelles de temps.

Un exempleonnu de d'Alembertestle suivant.Une solution del'équation

¨

x + (1 + ǫ)x = 0, x ∈ R ,

est

x = cos [(1 + ǫ)t]

^{,mais, àause dufait quelafréquenedépendde}

ǫ

^{,sondéveloppe-}

ment en puissanes de

ǫ

^{en donneune très mauvaise idée:}

x = cos t − ǫt sin t + O(ǫ ² );

les termes omme

− ǫt sin t

^{, dont} l'amplitude roîtave le temps, sont qualiés de séu- laires,paropposition autermepériodique etde moyennenulle

cos t

^.

5. A.Albouyobjetequelesoordonnéespolaires,parexemple,étaientutiliséeslontempsavant.Un

autreexemple,luipresqueontemporain,estl'introdution parEulerdesoordonnéeselliptiquespour

Déouverte de la nature hamiltonienne des équations. La seondeontribu-

tion fondamentale de Lagrange à laméthode de lavariation de laonstante, ultérieure

aux développements qui seront exposés dans la partiesuivante, onstitue les débuts de

lagéométrie sympletique loale. Lagrange etson étudiant Poissonérivirent alternati-

vement plusieurs mémoires [51 , 52 , 93 , 94 ℄ présentant les équations des variations de

laonstante de façonde plus en plusgénérale etsymétrique. Arago ommenta ainsi les

mémoiresde 1807et1808:

[...℄Poissonavaitvingt-septanslorsqu'ilprésentaemagniquetravailàl'Aa-

démie. Vers la n de 1808, un événement omplètement inattendu jeta le

monde sientique dans une surprise enthousiaste. Lagrange se reposait de-

puislongtempsdanssagloire. Ilassistaitassidûment ànosséanes,maissans

yproférerunseulmot[...℄. Toutàoup,Lagrange sortde saléthargie, etson

réveil esteluidu lion.Le 17 août1808, il lit auBureau deslongitudes, etle

lundisuivant22,à l'Aadémiedessienes,undesplusadmirables Mémoires

qu'ait jamais traés la plume d'un mathématiien. Ce travail était intitulé :

Mémoire sur la théorie des variations des éléments des planètes, et en par-

tiulier des variations des grands axes de leurs orbites. (F. Arago, ×uvres

omplètes,1854,p.654)

Nousnousontenteronsd'endonnerunaperçuassezglobal;plusieursauteursontétudié

estravauxplus en détailsque nousneleferons ii [41, 70 , 99 ℄.

Notons

Ω = − ǫ ² X

j<k

m _j m _k k x _j − x _k k

le potentiel desfores gravitationnellesperturbatries, dont

ǫv 1

^{est le gradient relative-}

ment àlamétriquedesmasses

ǫ P

j m _j P

k=1,2,3 (dx ^k _j ) ²

^{.Lagrange démontrad'abordque}

lehampde veteurs

ζ ˙

^{aluléi-dessous satisfaitleséquations}

(8)

X

1≤k≤6n

(ζ _j , ζ _k ) ˙ ζ _j = ∂Ω

∂ζ j

, (j = 1, ..., 6n)

où

(ζ _j , ζ _k )

^{désigne la} parenthèses de Lagrange de

ζ _j

^{et de}

ζ _k

^{. Ces} parenthèses s'inter- prètent maintenant omme les oeients de la forme sympletique anonique

ω = P

j m _j P

k=1,2,3 dx ^k _j ∧ d x ˙ ^k _j

^{de l'espae des phases, dans les oordonnées}

(ζ ₁ , ..., ζ _6n )

^.

⁽⁶⁾

Cette formule est don la version en oordonnées de la formule par laquelle on dénit

aujourd'hui les hamps hamiltoniens sur une variété sympletique, à savoir

i _{ζ ˙} ω = dΩ

^.

Danslaperspetiveoùesparenthèsesfurentintroduites,ladiultéetlemiralefurent

demontrerquelesparenthèsesnedépendentpasdutemps,ou,defaçonéquivalente,que

laforme sympletiqueest onservée. Le lienentrel'équation impliite de dénitionde

ζ ˙

etlaonservationdelaformesympletiquefutomplètementlariéseulementplustard

parPoinaréetÉ.Cartandansleurétudedel'invariantintégraltemps-énergie[10, 90℄.

Ultérieurement, LagrangeetPoissonmirent les équations(8) souslaforme expliite

(9)

ζ ˙ _j = X

1≤k≤6n

{ ζ _j , ζ _k } ∂Ω

∂ζ _k ,

6. Souriaudéfendl'idéequeLagrangeonsidéraitenfaitunevariante(nonanoniquement)isomorphe

où

{ ζ _j , ζ _k }

^{est lerohet de Poisson de}

ζ _j

^et

ζ _k

^{,àsavoirune omposantedu tenseurde}

Poisson

ω ⁻¹

^.

NousnedétailleronspaslesalulssinueuxparlesquelsLagrangeetPoissonsontpassés;

l'une desdiultésétait queleur degréde généralitén'estapparuque progressivement.

Tout ela fut larié dans la Méanique analytique [53 ℄ de Lagrange, le mémoire de

méaniqueéleste deCauhyprésentéàl'Aadémie deTurin[11 , 13℄ (oùlaformule de

lamoyennepourles fontionsholomorphes est introduite au passage), etles artiles de

Hamilton [36, 37 ℄. D'ailleurs, Lagrange ne tira pas lui-même diretement partie de la

onservationdelaformesympletiquepourallerplusloinsurdesquestionsdedynamique

proprementdite:lepointdevuegéométriquedePoinaré,étudiantsimultanémenttoutes

les orbitesde l'espaedes phases,manquait enore.

3. Les deux théorèmes de stabilité de Lagrange et Laplae

Laplae etLagrange sont àl'originedespremiersthéorèmesde stabilitépourlesystème

planétaire, que nous présentons après les onsidérations préédentes par pure omm-

modité d'exposition. Ces théorèmes sont admirables et réussissent là où Newton, Eu-

ler ou d'Alembert avaient éhoué. Ii enore, l'histoire des mémoires suessifs pré-

sentés aux aadémies de Paris et de Berlin par les deux savants-onurrents est intri-

quée[45 ,47 ,48 ,49 ,50 , 54 ,55 ,56 ℄,etl'onrenvoieparexempleauséminairePoinaré

de J. Laskar [62 ℄ pour quelques détails sur la façon dont Laplae, impressionné par le

mémoirede Lagrange de 1774, en érivitrapidement un lui-même généralisant elui de

Lagrange,etlet publiertroisansavanteluide Lagrange!

Introduisonsanahroniquement lesoordonnéesde Poinaré

ζ = (λ _j , Λ _j , ξ _j , η _j , p _j , q _j ) _j=1,...,n ∈ ( T × R ⁵ ) ⁿ , T = R /2π Z ,

qui sont sympletiques:

ω = P

j dλ _j ∧ dΛ _j + dξ _j ∧ dη _j + dp _j ∧ dq _j

^et analytiquesdans unvoisinagedesmouvementskeplérienshorizontauxirulairesdirets[21 ,33 , 92℄.Peu

importeii leurdénition préise;nousaurons justebesoinde savoir que



 

 

 

 

 

 

λ _j = ℓ _j + g _j + θ _j

^{(longitude moyenne)}

Λ j = m j √ m 0 √ a j

ξ _j + iη _j ∼ e j →0

q Λ j

2 e _j e ^{i(g j +θ j )} p _j + iq _j ∼ e j ,ι j →0

q Λ j

2 ι _j e ^{iθ j} .

SuivonsmaliieusementLagrangeennotant

H

l'hamiltonien(intégraledesforesvives) en l'honneurde Huygens

(7)

:

H = H ₀ + ǫH ₁

où

H ₀

^estl'hamiltonien de

n

^{problèmesde Kepler déouplés:}

H ₀ = X

1≤j≤n

− m ² ₀ m ³ _j

2Λ ² _j .

Leséquationsdeladynamiqueprennentlaformelassiquedeséquationshamiltoniennes



 

 

λ ˙ j = ∂ Λ j H, ˙Λ j = − ∂ _{λ j} H ξ ˙ _j = ∂ _{η j} H, η ˙ _j = − ∂ _{ξ j} H

˙

p _j = ∂ _{q j} H, q ˙ _j = − ∂ _{p j} H

(e qui ne serait pas le as ave ertaines oordonnées non sympletiques utilisées par

Lagrange).Parexemple, latroisième loide Keplerseretrouveii failement,puisqueles

moyensmouvementsvalent

ν _j = ˙ λ _j

ǫ=0 = ∂H ₀

∂Λ _j = m ² ₀ m ³ _j Λ ³ _j =

√ m 0

a ^3/2 _j .

Lefait quelapériodene dépendepasdel'exentriité déouledu faitque

H ₀

^nedépend

non trivialement que des

Λ _j

^{, alors que pour un potentiel}

U (r)

^{ni newtonien (}

− 1/r

^{) ni}

élastique (

r ²

⁾

H 0

^{dépendrait de}

2n

^{ations. Cette} dégénéresene dynamique fait du problèmeplanétaireun problèmedeperturbation singulière:onne peutpasespérerque

lesmouvementsperturbésquasipériodiquesaientseulement

n

^fréquenesindépendantes (entenantomptedel'invarianeparlasymétriederotation,onpeutseonvainrequ'ils

devraientavoir

3n − 1

^{fréquenes,e que lethéorèmed'Arnold onrmera).}

Premier théorème de stabilité de Lagrange-Laplae. En dehors des résonanes

keplériennes, aupremier ordre en

ǫ

^{, lesvariations des grands demi-axessont}périodiques et demoyenne nulle.

Préisons que le veteur fréquene

ν = (ν ₁ , ..., ν _n )

^{est résonnant s'il existe un veteur}

k ∈ Z ⁿ \{ 0 }

^telque

k · ν = 0

^{.Lathéoriedes}perturbationsseompliqueonsidérablement enprésenederésonanes.Dansleasleplussimpleoù

k

^{aexatementdeuxomposantes}

non nulles, la résonane signie que les planètes vont régulièrement se retrouver dans

les mêmes positions relatives, et que don leur petite attrationmutuelle va, au l des

révolutions,s'aumuler.

Démonstration. Ennotant

ν = (ν ₁ , ..., ν _n )

^{le veteurdes moyens}mouvements,on a

Λ _j = Λ ^o _j + ǫ Z _t

0

∂H ₁

∂λ _j (λ ^o + tν, Λ ^o , ξ ^o , η ^o , p ^o , q ^o ) dt + O(ǫ ² ).

En dehors des résonanes, l'intégrande est périodique etde moyenne nulle par rapport

aux

λ j

^{,d'oùle théorème.}

En déduire que les grands demi-axes sont stables pour le système planétaire omplet

seraitune erreurgrave,que Laplae ommit:

[...℄ [L℄'altération du mouvement moyen de Jupiter, si elle existe, n'est

point due à l'ationde Saturne.[56℄

Lapetitedémonstrationi-dessusfaitressortirlerledu systèmemoyenné ouséulaire,

obtenu à partir du système planétaire par moyennisation sur

T ⁿ

^de l'hamiltonien par rapportauxangles rapides

λ ₁ , ..., λ _n

^:

h H i = H ₀ + ǫ Z

T ⁿ

H ₁ dλ ₁ · · · dλ _n .

Elleonsisteeneetàremarquerque, aupremierordreen

ǫ

^{etendehorsdesrésonanes,}

lavariationmoyennedes

Λ _j

^{estdonnée par}l'hamiltonienmoyenné.

L'hamiltonienmoyennénedépendantpasdeslongitudesmoyennes,les

Λ _j

^sontonstants

pour

h H i

^{, et peuvent être onsidérés omme des} paramètres. Ainsi,

h H i

^{induit un ha-}

miltonien sur l'espae des

n

^{-uplets d'ellipses} keplériennes de grand demi-axe xé. Ce dernierestl'espae séulaire,diéomorpheà

R ⁴ⁿ

^{(omptetenudes}restritionsfaitesan- térieurement), et

(ξ, η, p, q)

^{en sont des} oordonnées. La dynamique séulaire dérit la dynamiquedelalentedéformationdesellipseskeplériennessousl'eetdesperturbations,

paroppositionà ladynamiquerapide derévolutiondesplanètes autourdu Soleil.

L'origine

(ξ, η, p, q) = 0

^{orrespond aux}

n

^{-uplets d'ellipses irulaires} horizontales di- retes. Par symétrie, il est faile de se onvainre qu'elle est un point xe du système

séulaire.Àuneépoqueoùl'algèbrelinéairen'existaitpasenore,LaplaepuisLagrange

dansle as général,alulèrent les valeurs propresdu système séulairelinéarisé, et

obtinrentlethéorèmeretentissantsuivant,montrantlastabilitélinéairesdesexentriités

etdesinlinaisons.

SeondthéorèmedestabilitédeLagrange-Laplae. L'originedel'espaeséulaire

estun point xe elliptique dusystème séulaire.

En eet, il s'avère que l'hamiltonien moyenné possède le développement remarquable

suivant :

h H ₁ i = C ₀ (m, a) + Q _h · ξ ² + Q _h · η ² + Q _v · p ² + Q _v · q ² + O(4),

où lesformesquadratiques horizontale etvertiale

Q _h

^et

Q _v

^{sont de laforme}



 

 

 

 

 

 

Q _h · ξ ² = X

1≤j<k≤n

m _j m _k C ₁ (a _j , a _k ) ξ _j ² Λ _j + ξ ² _k

Λ _k

!

+ 2C ₂ (a _j , a _k ) ξ _j ξ _k p Λ j Λ _k

!

Q v · p ² = X

1≤j<k≤n

− m j m _k C 1 (a j , a _k ) p j

p Λ _j − p _k

√ Λ _k

! 2

;

lesoeients

C _j

^sontanalytiquesréelsparrapportauxmassesetauxgrandsdemi-axes, etpeuventêtre exprimésen fontion desoeientsde Laplae.

Soient

ρ _h

^et

ρ v

^{des opérateurs} orthogonaux de

R ⁿ

^, diagonalisant

Q _h

^et

Q v

^(dépendant

analytiquement desmasses etdesgrands demi-axes):

ρ ^∗ _h Q _h = X

j

σ j dξ ² _j

^and

ρ ^∗ _v Q v = X

j

σ n+j dp ² _j .

Dansl'espae desphases séulaireomplet,l'appliation

ρ : (ξ, η, p, q) 7→ (ρ _h · ξ, ρ _h · η, ρ _v · p, ρ _v · q)

estsympletique etleproblème estdon ramenéà unhamiltonien delaforme

(10)

H ₀ (Λ) + ǫ X

j

σ _j (Λ)(ξ _j ² + η _j ² ) + σ _n+j (Λ)(p ² _j + q ² _j )

+ ǫO ₄ (ξ, η, p, q) + O ₂ (ǫ).

La partieprinipaleestintégrable :quandon laonsidère surl'espae desphases entier

(nonséulaire),elle estle produitgauhe de

n

^rotateurs (mouvements keplériens)et de

2n

osillateurs harmoniques déouplés (dynamique séulaire), et ses ourbes intégrales

sont quasipériodiques

(8)

à

3n

^fréquenes

ν 1 , ..., ν n , ǫσ 1 , ..., ǫσ n , ǫσ n+1 , ..., ǫσ 2n .

Àlavuedeesdeuxthéorèmes,lastabilitéduSystèmesolaireparutaquise:lesgrands

demi-axes,exentriitésetinlinaisonsnesubissentquedepetitesvariations,sansdérive,

et les ellipses keplériennes des planètes ne peuvent pas se roiser. Cependant, l'image

obtenue deladynamiqueduSystème solaireest toutenouvelle :lesellipseskeplériennes

desplanètesnesontplusxes,maissoumisesàundoublemouvementdepréessiondans

leur propre plan (ave des périodes allant de quelques dizaines de milliers d'années à

quelquesmillionsd'années)etdepréessiondesn÷uds,'est-à-direderotationdesplans

desellipsesdansl'espae.

Lesfréquenesséulaires

σ _j

^{aluléesparLagrange sontd'ailleurs}étonnamment prohes desvaleursadmises aujourd'hui. Onpeutattribuerlapetiteerreurommise

À l'inertitude des masses de Merure et Vénus, qui ne possèdent pas de satellites

permettant d'établir leur masse ave préision par la troisième loi de Kepler; quant

auxsatellitesde Mars,PhobosetDeimos,ils furent déouverts plustard.

Àl'approximationommiseennégligeantles diérentsrestes, dontLe Verrier, élèbre

pour avoir déouvert la planète Neptune par le alul (en 1846, après Adams mais

indépendamment de lui),examina l'eet.

Mieux,Le Verrierposaune questionfondamentale nouvelle [59 ℄, elledesavoir

si,parlaméthodedesapproximationssuessives,lesintégralessedéveloppent

eetivement en séries assez onvergentes pour qu'on puisse répondre de la

stabilité du système solaire (Le Verrier, Annales de l'Observatoire de Paris,

partieIIIde l'additionIII,Paris,éd. MalletBahelet,1856).

4. Les premiers signes d'instabilité

Séries de Lindstedt. Considéronsprovisoirementun hamiltonien

H(θ, r) = H ₀ (r) + ǫH ₁ (θ, r) + ǫ ² H ₂ (θ, r) + · · · ,

sur

T ⁿ ×R ⁿ = { (θ, r) }

⁽

T ⁿ = R ⁿ /2π Z ⁿ

^),quidépendanalytiquementd'unpetitparamètre

ǫ

^{etdontlavaleurquand}

ǫ = 0

^estunhamiltonienintégrable

H ₀ (r)

^{.Poinaréa déritla}

proéduregénéralepouréliminerformellementlesangles

θ

^de

H

^{,endehorsdesrésonanes}

de

H 0

^,enonstruisantuneonjugaisonformelle

φ

^{[90 ,66 ℄;'estunhangementdepoint}

devueradialparrapportàeluisefoalisantsurl'expressionanalytiqued'unesolution

partiulière donnée. Poinaré attribua la méthode à Lindstedt (qui avait onstruit les

premierstermes) etla qualia de nouvelle, paropposition auxaniens développements

évoqués àla nde la partie2,utilisés pendant toutle xixesièle parDelaunay,Bohlin

etd'autres(voir[28 ℄parexemple).

Une onjugaisonformelle

φ

^{peutêtre onstruiteommeletemps}

1

^{duotd'unhamilto-}

nienauxiliaire

K ǫ

^{-petit :}

φ = exp X K , K = ǫK 1 (θ, r) + ǫ ² K 2 (θ, r) + · · · .

8. Unefontion

f : R → R

^estquasi-périodiquedeveteurfréquene

ω = (ω ¹

^,...,

ω k )

^{siellesefatorise}

parleotlinéairedefréquene

ω

^sur

T ^k

^{,i.e.s'ilexisteunefontion}

F : T ^k = R ^k /2πZ ^k → R

^{telle que}

f(t) = F (tω)

^.

L'image réiproqueformelle de

H

^par

φ

^est

H ◦ φ = H + X _K · H + 1

2 X _K ² · H + · · · ,

où le hamp de veteurs hamiltonien

X K

^de

K

^{peut être vu omme un opérateur de}

dérivationou,utilisant lefaitque

X _{K j} · H ₀ = − X _H 0 · K _j

⁽

=

^{lerohetdePoisson}

K _j

^et

de

H ₀

^),

H ◦ φ = H 0 + ǫ (H 1 − X _H 0 · K 1 ) + ǫ ²

H 2 + X _K 1 · H 1 + 1

2 X _K ² ₁ · H 0 − X _H 0 · K 2

+ · · · .

Onvoudraittrouversuessivement

K 1

^,

K 2

^{,...,tels quehaquetermede}

H ◦ φ

^dedegré

donné

≥ 1

^en

ǫ

^{nedépendepasde}

θ

^{.Onobtientunsystèmeinni}triangulaired'équations auxdérivéespartielles linéairessur

T ⁿ

^{,paramétréparles ations}

r

^:

X _H 0 · K ₁ = { H ₁ } := H ₁ − Z

T ⁿ

H ₁ dθ X _H 0 · K ₂ =

H ₂ + X _K 1 · H ₁ + 1

2 X _K ² ₁ · H ₀ ...

où

X _H 0 = α · ∂ _θ

^{, ave}

α := (∂ _r 1 H ₀ , · · · , ∂ _{r n} H ₀ )

^{. En} développant en séries de Fourier, onvoitquelapremière équationpossède une solutionformelle endehors desrésonanes

k · α = 0

^,

k ∈ Z ⁿ

^{(rappelons que}

α

^{dépend des ations).} Choisissons par exemple la solution demoyennenulle :

K ₁ = X

k∈Z ⁿ \{0}

H ˆ ₁ ^k

i k · α e ^ik·θ , H ₁ = X

k∈Z ⁿ

H ˆ ₁ ^k e ^ik·θ .

Lespetits dénominateurs

k · α

^{peuvent empêherlasériedeFourierde}

K ₁ (r)

^{de onver-}

ger. Intuitivement, ei signie que, près des résonanes, l'eet déstabilisant de laper-

turbation, au lieu de s'annuler en moyenne, s'aumule. En dehors des résonanes, les

oeientsdeFourierde

K ₁

^{sontbiendénis.Alorslaseondeéquationpeutêtrerésolue}

defaçonanalogue.MaisommelemembrededroiteestmaintenantunesériedeFourier

formelle,

K ₂

^{est une série de Fourier formelle dont les oeients eux-mêmes sont des}

séries deFourierformelles, et.

Pouréviteresproblèmesdeonvergene,danslaonstrutiond'unnombrenidetermes

de la sériede Lindstedt, on peuttronquer les séries de Fourier à un ertain ordre assez

élevé qui tend vers l'inni quand

ǫ

^{tend vers zéro, au prix de perdre} l'analytiité du développement parrapportà

ǫ

^{.Une façonderendrerigoureusetoutelaonstrutiondes}

séries deLindstedt estde serestreindred'abordauxveteursfréquenes diophantiens:

| k · α | ≥ γ k k k ^−τ

pour des onstantes

γ, τ > 0

indépendantes de

k ∈ Z ⁿ \ { 0 }

^{, puis de onstruire le}

jet inni des séries le long de l'ensemble (transversalement) de Cantor des fréquenes

diophantiennes, en dérivant formellement les équations dans les diretions transverses.

Lesoeientsainsiobtenusseprolongentàtoutl'espaedesphases,ommeunthéorème

de Whitney lemontre[16℄.

Les séries de von Zeipel généralisent elles de Lindstedt au as où l'hamiltonien non

perturbé

H ₀

^{ne dépend pas de toutes les variables d'ation. C'est le as du problème}

planétairepuisque,omme onl'a vu,

H ₀

^{ne dépend,parmiles oordonnéesdePoinaré,}

quedes

Λ _j

^.

La question suivante est elle de la onvergene de es séries de perturbation formelles

H ◦ φ

^{, etde ellede la onjugaisonformelle}

φ

^{elle-même(bien sûr, laonvergene de}

φ

implique elle de

H ◦ φ

^{). La réponse n'est pas direte. Des exemples où la onjugaison}

divergeapparaissent dansertainesonstrutions d'Anosov-Katok[1℄. Voii un exemple

simple [4℄.Sur

T ² × R ² = { (θ, r) }

^,onsidéronsl'hamiltonien

H = α ₁ r ₁ + α ₂ r ₂ + ǫ



r ₁ + X

k∈Z ²

a _k sin(k · θ)



 ,

où

a _k = exp( −k k k )

^et

α

^est diophantien. L'angle

θ

^{tourne à la fréquene onstante}

α _ǫ = (α ₁ + ǫ, α ₂ )

^:

θ(t) = θ(0) + tα _ǫ

^{.Ilexistedesvaleurs}arbitrairementpetitesde

ǫ

^telles

que

α _ǫ

^{soit résonnant:}

(α ₁ + ǫ)/α ₂ = p/q ∈ Q

^{.Alorson a}

˙

r _j = − ǫ X

k

k _j a _k cos(k · θ), j = 1, 2.

Les termes tels que

k · α _ǫ 6 = 0

^{sont de moyenne nulle. Mais d'autres, préisément eux}

pour lesquels

k

^{estde la forme}

k = κ( − q, p)

^pour

κ ∈ Z

^{ont une} ontribution onstante généralement non nulle, de sorte que

r

^{tend vers l'inni. D'un autre té, si les séries}

de Lindstedt et la onjugaison orrespondante onvergent, l'ation

r

^{ne subit que des}

osillations bornées. Don la onjugaison ii diverge. (Le fait que la série de Lindstedt

elle-mêmediverge,ii, nesedéduit pasdiretement de etargument.)

Les exemples i-dessus ne sont pas génériques, pare qu'ils sont des perturbations

d'hamiltoniens dégénérés. Mais Poinarédémontra quela divergene est générique [90,

Chap. xiii℄. Son argument est shématiquement le suivant. Si une onjugaison de

Lindstedtonverge pouruneertaine ation

r

^,letore

T ⁿ × { r }

^{estinvariantetquasipé-}

riodique pour

H ◦ φ

^{.Sa fréqueneest}

α _ǫ (r) = ∂ _r (H ◦ φ)(r) = ∂ _r H ₀ + · · ·

^{.La fréquene}

nonperturbée

α ₀ (r)

^{étaithoisienon} résonnante,mais, pour

ǫ > 0

arbitrairement petit, lafréqueneperturbée

α _ǫ

^sera résonnante. Enonséquene,letoreinvariantestfeuilleté en toresinvariantsde dimensioninférieure. Or,unteltore invariant résonnant n'estpas

générique.Don,génériquement,lessériesdeLindstedtdivergent.Poinarémontraaussi

queles onjugaisonsde Lindstedt duproblème destroisorps divergent généralement.

MaisPoinarénepouvaitexlurelapossibilitéquelessériesetonjugaisonsdeLindstedt

onvergent parfois, non uniformément (les notations dans la itation ne sont pas les

notationsoriginales) :

Nousavonsreonnuque leséquations anoniques [...℄ peuvent être satis-

faitesformellementpardesséries de laforme

θ _i = θ ⁰ _i + ǫθ _i ¹ + ǫ ² θ _i ² + ..., r _i = r ⁰ _i + ǫr ¹ _i + ǫ ² r _i ² + ...,

oùles

θ ^k _i

^etles

r _i ^k

^{sont desfontions}périodiquesdesquantités

w _i = α _i t + ̟ _i , (i = 1, 2, ..., n),

[dequoi℄nousavonstiré

r _i ^k = X B sin(k ₁ w ₁ + k ₂ w ₂ + ... + k _n w _n + h) k ₁ α ⁰ ₁ + k ₂ α ⁰ ₂ + ... + k _n α ⁰ _n + A ₀ .

[Cette℄sérieonverge-t-elleabsolumentetuniformément?[...À℄deuxde-

quand

r ₁ ⁰

^et

r ₂ ⁰

^{ontétéhoisisde tellesortequelerapport}

^α _α ¹

2

soitinom-

mensurable,etquesonarré soitau ontraireommensurable(ouquand

le rapport

α 1

α ²

^{est assujetti à une autre ondition analogue à elle que je}

viensd'énonerun peu auhasard)?[90,ŸŸ 146149℄

Envisageant les onséquenes déraisonnables d'une onvergene uniforme, en termes

d'existene d'orbitespériodiquesauxrésonanes, ilspéula:

LesraisonnementsdeeChapitrenepermettentpasd'armerqueefait

neseprésenterapas.Toutequ'ilm'estpermisdedire,'estqu'ilestfort

invraisemblable. [ibid.℄

HilletWeierstrassdoutaient desargumentsdePoinaréontrelaonvergene desséries

de Lindstedt [5, 40 ℄, malgré leur propre éhe à démontrer la onvergene. La théorie

KAM, danslaseonde moitiédu xxesièle,leurdonnera raison.

Non-existene d'intégrales premières supplémentaires. Un autre ritère de

régularitédynamiqueonernel'existened'intégralespremières.Lesintégralespremières

sont autant de ontraintes qui ironsrivent les solutions, et même, si es intégrales

sonten nombresusant,leséquationsdumouvements'intègrentparquadrature(alul

d'intégrale)etélimination(appliation duthéorème d'inversion loale).

Dansleproblèmedestroisorps,Brunsdémontralanon-existened'intégralespremières

quisont algébriquesparrapportauxpositions

x _j

^{etauximpulsions}

m _j x ˙ _j

^{,mis àpartles}

intégrales premièreslassiques[9 , 42 ℄.Le résultatestvraipourtouthoixde masses,et

Painlevé suggéra plus tard qu'il est susant de supposer que l'intégrale est algébrique

parrapportauximpulsions [87 ℄.

Poinaré,lui,démontraque, dansleproblèmedestroisorps,iln'existeauunenouvelle

intégralepremièrequisoitanalytiqueparrapportauxélémentselliptiquesetauxpetites

masses (il sut même de herherune intégralepremière admettant un développement

formel en les masses, ave des oeients analytiques) [90 , Volume II℄ : Le problème

[...℄n'admet pas d'autreintégrale uniforme que elles des fores vives etdes aires [90,

Chap. v, Ÿ 85℄. La stratégie de démonstration de Poinaré est la suivante. Soit

F

^une

intégralepremièredel'hamiltonien

H

^duproblèmeplanétaire.Endéveloppantl'équation

{ H, F } = 0

^{parrapportaupetitparamètre}

ǫ

^,puisdéveloppantlesoeientseux-mêmes ensériesdeFourier,PoinarémontrequebeauoupdeoeientsdeFourierde

F

^doivent

s'annulerà ertainesrésonanes bienhoisies.L'unedes diultésestladégénéresene

propre de

H

^{, dont la limite quand}

ǫ

^{tend vers}

0

^{ne dépend pas de toutes les variables}

d'ation.

Plusréemment,lanon-existened'intégralesméromorphessupplémentairesdanslevoi-

sinage bien hoisi de solutions périodiques partiulières a été démontrée en étudiant le

groupe de monodromiede l'équation auxvariationsdees solutions;voir [43, 102℄par

exemple.La méthode aété appliquée avesuès àlasolution parabolique de Lagrange

du problème des trois orps [100 ℄, en utilisant les théories de Ziglin et de Morales-

Ramis, à masses xes. Certains ranements ont onduit à la théorie de Galois dié-

rentielle [75 , 76 ℄, le groupe de Galois étant une extension du groupe de monodromie.

Combot a généralisé les résultats existants pour la méanique éleste de façon signi-

ative [23 , 24 , 26℄, et les équations aux variations d'ordre supérieur semblent donner

des informations supplémentaires dans les as indéterminés [25 , 26 , 78 , 77, 71 ℄. La

que a priori il pourrait existerune intégrale première supplémentairedansun domaine

de l'espaedes phasesqui seraitbornéparune frontièrenaturelle.

Divergene des série de Bohlin. Poinaré déouvrit aussi l'éart des solutions

séparatriesd'unpointd'équilibrehyperbolique,etl'enhevêtrementquienrésulte(l'his-

toire intéressante de son erreur initiale, dans son mémoirequi lui a valu le prix du roi

OsarIIde Suède [89 ℄, quil'a ultérieurement onduit àsa déouverte,est raontéepar

exemple dans[5, 6℄) :

Onsera frappé de laomplexité de ette gure, queje ne herhe même

pasàtraer.Rienn'estplus propreànousdonnerune idéede laompli-

ationduproblème destroisorps eten généraldetouslesproblèmesde

Dynamiqueoù iln'ya pasd'intégrale uniformeetoù lesséries deBohlin

sont divergentes.

[...℄Cetteremarqueestdenatureànousfaireomprendre[...℄ombienles

transendantesqu'ilfaudraitimaginerpourrésoudre[leproblèmedestrois

orps℄dièrent de toutes ellesque nousonnaissons.[90,ŸŸ 397398℄

La gure i-dessousdonne une idéede e quePoinarén'osait pas dessiner,dans leas

de l'appliationstandard

T ² → T ² , (x, y) 7→ (x + y ^′ , y + ǫ sin x)

^(iiave

ǫ = 0.3

⁾

introduite par Chirikov [22 , 65℄ omme modèle universel des ouhes haotiques au

voisinage d'une séparatrie d'une appliation twist de l'anneau. En deux dimensions,

e type de non-intégrabilité dynamique impliquelanon-existene d'intégrales premières

supplémentaires[79 ℄.

MaisLagrangeétantmort99ansavantPoinaré,nousnouspermettronsderenvoyeraux

reensionsbeauoup plus omplètesdes travauxde Poinaré qui ont étéfaites en 2012,

etnotammentleséminaire de Cheniner[18 ℄.

Mentionnonsqueledébutduxxesièlevitl'avènementde laRelativité Généraled'Ein-

stein,quiexpliquaertainsfaitstelsquel'avanedupérihéliedeMerure.Ladynamique

lassique s'avéra don un as limite, déjà inextriablement ompliqué en même temps

5. Les théorèmes d'Arnold et de Nekhoroshev

À la moitié du xxe sièle, Kolmogorov t une avanée prodigieuse en démontrant que

les séries de perturbation pour un tore invariant de fréquene xée onvergent, bien

que non uniformément, si l'on suppose que la fréquene est diophantienne et qu'une

ondition de non-dégénéresene adéquate est vériée. Kolmogorov utilisa l'algorithme

deNewtonen dimensioninnie ettrouvales solutionsquasipériodiquesorrespondantes

parpassageà lalimite.La onvergene rapidede l'algorithmebatl'eetdesrésonanes,

eteiestl'unedesidéesprinipalesàlabasedelathéoriedeKolmogorov-Arnold-Moser;

voir[3 , 8, 20 , 88 , 95 , 97 ℄ pourplusde détails etdesréférenes.

L'hypothèse de non-dégénéresene requise pour appliquer le théorème de Kolmogorov

n'est passatisfaite dansle as du problème planétaire, pour plusieurs raisons, la pre-

mièreetlaplusinontournableétantladégénéresenepropredupotentielnewtonien(le

faitdéjàmentionnéque, dansleproblèmedesdeuxorps,touteslesorbitesbornées sont

périodiques alorsque génériquement elles seraient quasipériodiques à deux fréquenes).

En1963, Arnold prouvaune versionabstraite du théorèmede Kolmogorovdestinéeaux

asdégénéréstelsqueleproblèmeplanétaireetpublialerésultatremarquablesuivant[2℄.

Théorème d'Arnold. Quelles que soient les masses

m ₀ , m ₁ , ..., m _n > 0

^{et quels que}

soient les grands demi-axes

0 < a 1 < ... < a n

^{, il existe}

ǫ 0 > 0

^{tel que, pour tout}

0 < ǫ < ǫ ₀

^{, dans l'espae des phases au voisinagedes mouvements keplériens irulaires}

et oplanaires de grands demi-axes

a 1 , ..., a n

^{, il existe un} sous-ensemble de mesure de Lebesgue stritement positive de onditions initiales onduisant à des mouvements qua-

sipériodiquesà

3n − 1

^fréquenes.

Les solutions dérites par e théorème sont don bornées, sans ollision ni éjetion, et

l'ensembledestellessolutionsvoitsadensitétendrevers

1

^quand

ǫ

^tendvers

0

^.Maisela

n'empêhepasque,si

ǫ ∈ ]0, ǫ ₀ [

^{estxé,lestoresinvariantsoexistentaveunensemblede}

mesurede Lebesgue stritement positive dessolutionsbeauoupmoins régulières.Nous

renvoyonsau séminairede Cheniner [18℄pourdesexpliationssur ettegure :

Ladémonstrationd'Arnoldétaitomplèteuniquementpour

n = 2

^{planètesdansleplan.}

Le théorèmefut démontrépourdeuxplanètesdansl'espae parRobutel [96℄. Pourplus

dedeuxplanètes, larédutionparlasymétrie derotationest moinsexpliite etHerman

remarqua unerésonane mystérieuse :la trae

σ 1 + · · · + σ 2n = 0

desfréquenes séulaires estnulle. Hermansurmonta ette diulté etdérivit une dé-

monstrationomplèteetplusoneptuelledansuneséried'exposés[32 ℄;voiraussi[21℄.

Pouréviterlealuldelatorsiondel'hamiltonienplanétaire(déterminant delamatrie

destermes d'ordre

4

^{non éritsdans}l'expression (10)),Hermanutilisa uneondition de non-dégénéresene due à Arnold et Pyartli, qui nous ramène à vérier que l'image de

l'analogue del'appliation fréqueneséulaire

Λ = (Λ ₁ , ..., Λ _n ) 7→ (σ ₁ (Λ), ..., σ _2n (Λ))

aprèsrédutionparlasymétriederotationn'estontenuedansauunhyperplanvetoriel.

Un théorème de la théoriedes approximations diophantiennespermet alorsde voir que

lafréqueneestdiophantiennepourun ensemblede valeursde

Λ

^{demesuredeLebesgue}

stritementpositive,e dont lethéorèmed'Arnold déoule.

Cependant, les diultés pour appliquer le théorème d'Arnold au problème plané-

taire sont patentes. Une première est que la petitesse requise pourles masses n'estpas

réaliste. Hénon alula qu'ave la démonstration d'Arnold, il faudrait que la masse de

Jupiter rapportée à elle du Soleil soit de l'ordre de

10 ⁻³⁰⁰

^{[38℄! En revanhe, Robu-}

tel a montré numériquement que ertaines parties du Système solaire, en partiulier

le système Soleil-Jupiter-Saturne, ont une dynamique quasipériodique [58 , 96 ℄. Aussi,

Celletti-Chierhia[14 ,15℄etLoatelli-Giorgilli[67 ℄ontmontrédesversionsquantitatives

duthéorème KAM, qu'ilsont appliquéesauxsystèmes SoleilJupiterastéroïde Vitoria

et SoleilJupiterSaturne;es appliations sont assistées par ordinateurs, et requièrent

dans leseond asla manipulation de séries de dix millions de termes.Que les mouve-

mentsbornésformentunensembledemesuredeLebesguestritementpositivepourtous

les

ǫ

^{(etpasseulement pour}

ǫ ≪ 1

^{) resteune question}omplètement ouverte.

Un autre point de méontentement pour appliquer la théorie KAM en astronomie est

que l'ensembledes tores invariantstrouvés est (transversalement)un ensemble de Can-

tor(paramétréparlesfréquenesdiophantiennes),topologiquementmaigre.Étantdonné

l'approximation faite en passant du Système solaire réel au problème planétairenewto-

nien, la question de savoir si les moyens mouvements et les fréquenes séulaires des

planètessontdiophantiensn'estpaspertinente. Ainsi,laonlusiondireteduthéorème

d'Arnold,surunintervallede tempsinni,estillusoireenastronomie. Pourtant,lathéo-

rieKAMestdevenueunoutilfondamentalendynamiqueonservative.Pourparaphraser

Poinaré,quiavaittantinsistésurl'importanedesorbitespériodiques,lesorbitesquasi-

périodiquesellesaussifontmaintenantpartiedelabrèheparlaquelleonpeuts'attaquer

au problèmeplanétaire.

UnthéorèmeparentetplusréalisteestlethéorèmedeNekhoroshev[80℄,quiarmeque

les mouvements au voisinage d'une solution KAM quasipériodique sont stables sur un

temps exponentiellement long parrapport à

ǫ

^{.En appliquant un théorème de e type,}

Niederman a montré la stabilité d'un système solaire à deux planètes ave des masses

planétaires pastout à fait égalesaux masses réelles, maisnettement plus réalistes [86℄.

Onpourraitenore iterlathéoriedesinvariantsadiabatiquesde Neishtadt, qui fournit