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CONCOURS MESSAGE 2008.

Q 1. Les nombres de tickets vendus par les 5 cinémas d’une ville de province le samedi 20 janvier 2007 sont respectivement 209 ; 232 ; 178 ; 231 ; 229. La valeur médiane de cette série statistique est :

A. 209 B. 205 C. 231 D. 229

E. Aucune réponse ne convient

Q 2. Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles dont l’espérance vaut 3 et la variance vaut 2. L’espérance de la variable aléatoire Y = X² a pour valeur :

A. 9 B. 4 C. 11 D. 1

Q 3. Dans une agence de voyages, la durée (exprimée en minutes) de 200 appels téléphoniques est synthétisée par le tableau suivant :

Le quartile de la variable durée est égal à : A. 2,23

B. 6,63 C. 9,54 D. 8,56

Q 4. Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(5 ; 1/2).

Proba(X - 4) vaut : A. 0

B. 1 C. 31/32 D. 4/5

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1

Q 5. La solution du système d’équations

2 3

2 4

x y z

y z y z

+ + =

⎧⎪ + =

⎨⎪ − =

⎩ est :

A. ¨x = 2, y = 3, z = –1 B. x = –2, y = –3, z = –1 C. x = –2, y = 3, z = –1 D. x = 2, y = –3, z = 1

Q 6. Le coefficient de corrélation linéaire de 2 séries statistiques, observées sur un même échantillon, est toujours

A. Plus grand que 3 B. Entre –1 et 1 C. Plus petit que –3 D. Compris entre 2 et 3 E. Aucune réponse ne convient

Q 7. Une urne contient 10 petites lampes bleues et 16 petites lampes rouges. La probabilité qu’une lampe bleue fonctionne est de 1/2 et la probabilité qu’une lampe rouge fonctionne est de 1/4. On tire au hasard une lampe dans l’urne. Quelle est la probabilité que la lampe tirée soit rouge et fonctionne ?

A. 1/4 B. 16/26 C. 1/13 D. 2/13

Q 8. La suite numérique u_n définie par u₀ =1 et ₁ ₂ 1

n n

n

u u

+ = u

+ ^est décroissante et a pour limite

A. –1 B. 1/2 C. –∞

D. 0

Q 9. Un questionnaire à choix multiples propose 5 réponses pour chaque question. La probabilité qu’un étudiant connaisse la bonne réponse à la question numéro 39 vaut 1/2. S’il ignore la bonne réponse, il choisit au hasard l’une des réponses proposés.

La probabilité qu’un étudiant connaisse vraiment la bonne réponse lorsqu’il la donne est de :

A. 5/6 B. 1/2 C. 1/5 D. 2/3

E. Aucune réponse ne convient Q 10. Quelle est la limite de la fonction

2 2

2 3

( ) 3 2

x x

f x x x

= − −

+ +

lorsque x tend vers –1 ? A. +∞

B. –∞

C. –5 D. 0

Q 11. On lance 2 fois de suite un dé non pipé qui comporte 6 faces. La probabilité que les deux résultats obtenus soient différents est de :

A. 5/6 B. 2/3 C. 3/4 D. 15/36

Q 12. On dispose de 2 séries statistiques x = (x1, x2, …, x15) et y = (y1, y2, …, y15).

On constate que l’écart type de x vaut 3/2 celui de y vaut 5/2 et que la droite d’ajustement de y sur x par la méthode des moindres carrés ordinaires a pour expression y = 3 – (4/3)x.

Alors le coefficient de corrélation linéaire de x et y est égal à : A. 3/2

B. 4/5 C. –4/5 D. –2/3

Q 13. Soit la fonction f définie par f x( )= x²+1. Soit f′ sa dérivée.

Alors :

A. 1 5

2 5

f′⎛ ⎞⎜ ⎟=

⎝ ⎠ B. 1

2 0 f′⎛ ⎞⎜ ⎟=

⎝ ⎠ Durée [0 ; 5] ]5 ; 10] ]10 ; 15] ]15 ; 20]

Effectifs 35 45 105 15

(2)

C. 1 5

2 2

f′⎛ ⎞⎜ ⎟=

⎝ ⎠ D. 1

2 1 f′⎛ ⎞⎜ ⎟=

⎝ ⎠

Q 14. Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre non nul. On sait que Proba(X = 2) = Proba( 1)

2 X =

Alors Proba(X = 3) est égale à : A. Proba(X = 3) = 1

6e B. Proba(X = 3) =

3 22 e⁻ 3!

C. Proba(X = 3) = 1 4 D. Proba(X = 3) = 1

3e E. Aucune réponse ne convient Q 15. Soit la série statistique double :

Alors la covariance des variables x et y vaut :

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A. –5 B. –19/4 C. 4 D. 19/4

E. Aucune réponse ne convient Q 16. La fonction f qui à x réel associe

2 1

( ) ln( 1) f x x

x

= −

−

a pour ensemble de définition A. ]1 , +∞[

B. ] –∞ , –2]∪[2 , +∞[

C. ]1, 2[∪]2 , +∞[

D. ]2 , +∞[

Q 17. Une variable aléatoire X peut prendre l’une des valeurs 0 ; 1 ou 2 avec les probabilités respectives 0,25 ; 0,25 ; 0,5. L’espérance de la variable aléatoire Y = X(X – 1) vaut :

A. 1,25 B. –1 C. 0 D. 1

Q 18. Soit la suite numérique un définie par u0 = 1 et

1

n n 2

u ₊ =u + alors ¹⁰ vaut :

0 n n

u

∑

=

A. 35 B. 77/2 C. 6 D. 37

Q 19. On lance 2 fois de suite un dé non pipé à 6 faces. La probabilité d’obtenir 6 au moins une fois est :

A. 1/3

B. 1/36 C. 11/36 D. 1/6

Q 20. Soient les deux matrices 1 0 et

2 1

A ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠

1 2 3

2 0 1

B ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠^. Le produit C = AB donne …

A. C = 1 2

2 1

⎛ ⎞

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

B. C =

1 2 1

1 2 3

2 0 1

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

C. C = 1 2 3 1 0 1

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

D. C = 1 2 3 0 4 7

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

E. Produit impossible

Q 21. Une compagnie d’assurance répartit ses clients en deux classes R1 et R₂ : les bons risques et les mauvais risques. Les effectifs de

ces deux classes représentent 40% de la population totale pour la classe R₁ et 60% pour R₂ . Les statistiques indiquent que les probabilités d’avoir un accident au cours de l’année pour une personne de l’une de ces deux classes sont respectivement 0,1 et 0,25. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population totale ait un accident au cours de l’année vaut : A. A,22

B. 0,19 C. 0,15 D. 0,24

Q 22. La distribution des revenus de l’année 2006 (exprimés en kiloeuros) de 100 anciens étudiants d’une promotion d’une université est synthétisée par le tableau suivant :

La valeur estimée du revenu médian est égale à : A. 31,4

B. 27 C. 40 D. 31,25

Q 23. On introduit les symboles de programmation suivants qui concernent le corps des réels : + pour l’addition, – pour la soustraction, × pour la multiplication, / pour la division et := pour l’affectation ( x := a signifie que l’on affecte à x la valeur a). cette suite d’opérations entre guillemets est précédé par l’introduction des paramètres utilisés, ici (x, y, z, t). On considère la suite séquentielle :

« [x := t]

[y := 3/t]

[z := x × y]

[t := –x]

[x := x + y]

[y := z] »

Si au départ x = 1, y = 2, z = 5 et t = 4, en fin de séquence on obtient :

A. x = 0, y = 3/4, z = 3, t = 3/4

xi 7 6 5 2

yi 1 3 4 8 Revenus [20 ;25] ]25 ; 30] ]30 ; 35] ]35 ; 50]

Effectifs 10 30 40 20

(3)

B. x = 1, y = 2, z = 5, t = 4 A. 3

C. x = 0, y = 3, z = 3, t = –4 B. 7

C. 11 D. x = 0, y = 3, z = 3, t = 4

D. 13 E. Aucune réponse ne convient

E. Aucune réponse ne convient Q 24. La droite d’équation y = -1 est asymptote au graphe de la fonction

( 2) 1

( ) ( 1)

x x

f x x x

+ +

= −

lorsque :

Q 30. Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(9 ; 0,5). Alors

¨Proba(X = 10) vaut : A. 0,5

B. C₁₀⁹ ×(0,5)⁹ A. x tend vers +∞

C. (0,5)¹⁰ B. x tend vers 0

C. x tend vers 1 D. 0,25

D. x tend vers –∞ E. Aucune réponse ne convient

Q 25. Soit u_n une suite arithmétique de premier terme u₀ = 0 et de raison ln(2). Alors ⁶ vaut :

0 un

n

e

∑

=

A. 63 B. 127 C. –127 D.

7( 6 1) 2 e +

Q 26. Soit la matrice A = 1 1 1 , le déterminant de A vaut :

1 3 2

⎛ − ⎞

⎜⎝ ⎠⎟ A. –1

B. 1 C. 2 D. 0

Q 27. On souhaite répartir 60 malades entre 3 médecins. Chacun de ces médecins doit s’occuper de 20 malades. Le nombre n de répartitions possibles vaut :

A. n = 60³ B. n = 60! 40!₂

(20!)

×

C. n = 60!₃ (20!) D. n = 40!

Q 28. Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(4 ; p). Le paramètre p est inconnu, on sait cependant que l’espérance de X est égale à 1.

proba(X = 1) vaut : A. 1/4

B. 1/2 C. (1/4)³ D. (3/4)³

Q 29. A l’issue d’une enquête concernant le nombre d’enfants par ménage dans une résidence, on a obtenu les résultats suivants :

Le nombre moyen d’enfants par ménage dans cette résidence vaut 2,5. Quel est le nombre de ménages de cette résidence qui ont 2 enfants ?

Nombre d’enfants

0 1 2 3 4 5

Effectifs 4 6 ? 10 5 2

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∑

∑

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