EM3 : Magnétostatique

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ATS ATS

Jules Ferry

EM3 : Magnétostatique

^EM3

I. Champ magnétique

1. Définition

Le champ magnétique ⃗B(M , t) est défini à partir de la force de Lorentz s'exerçant sur une particule de charge q et de vitesse ⃗v dans le référentiel d'étude : F⃗_m=q⃗v∧ ⃗B .

⃗B(M , t) est donc un champ de vecteur : à tout point M de l'espace est associé un vecteur ⃗B(M , t).

∥

^⃗B

∥

s'exprime en tesla, noté T.

2. Sources de champ magnétique

Un champ magnétostatique est créé par des courants électriques stationnaires.

• Au niveau « macroscopique » : courant parcourant un circuit électrique.

• Au niveau microscopique : courant lié au mouvement des électrons autour du noyau.

Exemples : fil parcouru par l'intensité I, bobine de fil, courant électrique dans le noyau liquide terrestre, aimant permanent (origine microscopique).

Remarque : dans ce chapitre, on étudie la magnétostatique, donc les courants étudiés ici sont stationnaires (ainsi que les distributions de charge) : ∂ ⃗j

∂t=⃗0

(

^et^{∂ ρ}∂t=0

)

; on obtient les équations de Maxwell de la statique concernant le champ magnétique : div⃗B=0 et ⃗rot( ⃗B)=μ₀⃗j . C'est cette dernière qui montre que ⃗j est une source de champ magnétique.

3. Lignes de champ magnétique – carte de champ

Ligne de champ magnétique : courbe tangente à ⃗B en chacun de ses points et orientée dans le sens de ⃗B

Carte de champ magnétique : ensemble des lignes de champ.

Propriétés des lignes de champ magnétiques :

• courbes fermées qui tournent autour des sources de champ ;

• le sens des lignes de champ est donné par le sens de I et la règle du tire-bouchon ;

•

∥

^⃗B

∥

est plus intense là où les lignes de champ se resserrent.

Exemples :

• Pour un fil rectiligne en négligeant les effets de bord :

⃗B

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• Spire, bobine longue, aimant droit :

Spire Bobine longue Aimant droit

Pour un aimant, par convention d'un pôle nord et d'un pôle sud, les lignes de champ magnétique à l'extérieur de l'aimant partent du pôle nord et arrivent au pôle sud.

• Tore :

4. Création d'un champ magnétique uniforme

• Intérieur (entrefer) d'un aimant en U . Ce dispositif est simple mais coûte assez cher.

• Solénoïde infini : bobine telle que la longueur >> le rayon (bobine longue).

◦ Le champ à l'extérieur du solénoïde infini est nul.

◦ Le champ à l'intérieur du solénoïde infini est ⃗B=μ₀n Ie⃗_z où :

▪ μ₀=4π.10⁻⁷H.m⁻¹ est la perméabilité du vide ;

▪ n est le nombre de spire par unité de longueur (en m⁻¹ ; n=N L ) ;

▪ I est l'intensité parcourant la bobine ;

▪ e⃗_z est le vecteur unitaire suivant l'axe de la bobine dont le sens est donné par la règle du N

S

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• Bobines de Helmholtz : ensemble de deux bobines « plates » de même axe séparées d'une distance égale à leur rayon R et parcourues dans le même sens par la même intensité I .

Le champ magnétique régnant entre les bobines et sur l'axe des bobines est quasiment uniforme.

∥

^⃗B

∥

=

(

5⁴

)

³² ^.^μ⁰R^{N I} .

5. Ordres de grandeur

L'instrument permettant les mesures de

∥

^⃗B

∥

est appelé teslamètre.

• Pour un fil linéaire parcouru par une intensité d'un ampère, la norme du champ à 1cm du fil est

∥

^⃗B

∥

∼10⁻⁵T ;

• aimant au niveau des pôles : de 1mT à 1T ;

• RMN/IRM : de 1 à 10T (champ créé par des bobines supraconductrices) ;

• Champ magnétique terrestre en France : 4,7.10⁻⁵T pour le champ total et 2.10⁻⁵T pour la composante horizontale :

en nanoTesla

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II. Principe de superposition

On considère deux distributions de courant créant un champ magnétique total ⃗B dans tout l'espace.

Principe de superposition : si on appelle B⃗₁ le champ magnétique créé par la distribution de courant 1 et B⃗₂ le champ magnétique créé par la distribution de courant 2 alors ∀ (M),B(⃗ M)= ⃗B₁(M)+ ⃗B₂(M) Démonstration : oui on parle de principe mais c'est en fait un théorème (depuis que l'on sait comment définir le champ magnétique …) :

On considère une charge test q , en M de vitesse ⃗v . La force qu'elle subit de la part des 2 distributions de courant est F⃗=q⃗v∧ ⃗B(M).

Par additivité des forces, F⃗= ⃗F₁+ ⃗F₂=q⃗v∧ ⃗B₁(M)+q⃗v∧ ⃗B₂(M)=q⃗v∧( ⃗B₁(M)+ ⃗B₂(M)). Par identification, on obtient ⃗B(M)= ⃗B₁(M)+ ⃗B₂(M).

III. Propriétés de symétrie et d’invariance

1. Pour une distribution de courant

On raisonne sur les symétries et invariances du vecteur densité de courant ⃗j . a) Plans de symétrie et d’antisymétrie

• (Π) est un plan de symétrie pour la distribution de courant si et seulement si ∀ (M , M ') symétriques par rapport à (Π), ⃗j(M ')=sym_{( Π)}(⃗j(M)).

Exemple :

• (Π^∗) est un plan d’antisymétrie pour la distribution de courant si et seulement si ∀ (M , M ') symétriques par rapport à (Π^∗), ⃗j(M ')=−sym_{( Π}∗

)(⃗j(M)). Exemples :

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b) Invariances par translation ou rotation

• La distribution de courant est invariante par translation suivant l’axe (Oz) si et seulement si

∀z ,‖⃗j(x , y , z)‖=‖⃗j(x , y)‖. Exemple :

• La distribution de courant est invariante par rotation autour de l’axe (Oz) si et seulement si

∀θ,‖⃗j(r ,θ, z)‖=‖⃗j(r , z)‖. Exemple :

2. Conséquences sur le champ magnétostatique

Les propriétés de symétrie pour le champ ⃗B sont inversées par rapport au champ ⃗j ! Exemple : sur le fil infini

Remarques :

1. On ne peut pas le démontrer en ATS car il faut la loi de Biot et Savart qui définit l’expression du champ magnétostatique (analogue de l’expression de Coulomb) hors-programme en ATS.

2. On continue de parler de principe de Curie car la force magnétique F⃗_m le vérifie mais B⃗ étant défini par un produit vectoriel par rapport à F⃗_m, il possède cette particularité … On parle de vecteur axial.

Le champ magnétostatique possède les mêmes invariances que la distribution de courant qui le crée.

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IV. Théorème d’Ampère

1. Énoncé

La circulation du champ magnétostatique le long d’un contour fermé C_f orienté est égale au produit de la perméabilité du vide par la somme algébrique des intensités des courants enlacés par le contour fermé :

M

∮

∈Cf

⃗B(M).dl⃗_M=μ₀

∑

^I^alg/enl

Le signe de I_alg/enl par le contour fermé est donné par la règle du tire-bouchon.

Exemple :

Remarques :

1. Comme la loi de Biot et Savart n’est pas au programme, c’est le théorème d’Ampère qui nous permettra de calculer le champ magnétostatique.

2.

∮

M∈Cf

B⃗(M).dl⃗_M est facile à calculer si :

• B⃗(M)⊥ ⃗dl_M

• B⃗(M)//dl⃗_M et ‖⃗B‖=cte. 3. Un contour adapté est appelé contour d’Ampère.

2. Démonstration (à savoir)

L’équation de Maxwell-Ampère donne ⃗rot( ⃗B)=μ₀⃗j+μ₀ϵ₀∂ ⃗E

∂t . En statique, il vient ⃗rot( ⃗B)=μ₀⃗j.

∀surface orientéeS ,

∬

P∈S

⃗rot_P(⃗B).dS⃗ _P=μ₀

∬

P∈S

⃗j(P).dS⃗ _P avec

∬

P∈S

⃗j(P).dS⃗ _P=

∑

^I^alg/enl où I_alg/enl sont les intensités algébriques des courants traversant la surface orientée S.

Par le théorème de Stokes, ∀S ,

∬

P∈S

⃗rot_P(⃗B).dS⃗ _P=

∮

M∈C_f

⃗B(M).dl⃗_M où C_f est le contour fermé sur lequel s’appuie S et est orienté dans le sens de S.

Il vient alors ∀C_f,

∮

M∈C_f

⃗B(M).dl⃗_M=μ₀

∑

^I^alg/enl_oùI_alg/enl sont les intensités algébriques des courants traversant une surface orientée S s’appuyant sur C_f .

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Remarque : la suite du chapitre est vérifiée même en régime variable !

V. Flux du champ magnétique

Le champ magnétique est à flux conservatif :

∯

M∈Sf

B(⃗ M).dS⃗ _M=0 .

Démonstration : par l’équation de Maxwell-Flux div⃗B=0 donc

∭

P∈V

div_PB⃗.dτ_P=0. Par le théorème d’Ostrogradski, il vient

∯

M∈S_f

⃗B(M).dS⃗_M=0 . Remarque : vrai même en régime variable.

Conséquences :

1. Sur un tube de courant, ‖⃗B‖ augmente si les lignes de champ se resserrent et inversement (cf I.3).

2. Les monopôles magnétiques n’existent pas.

VI. Relation de passage du champ magnétique

On considère une surface conductrice S, parcourue par le vecteur densité de courant surfacique ⃗j_S, séparant l’espace en 2 domaines 1 et 2. En tout point M de S, on peut appliquer la relation de passage :

B⃗₂(M)− ⃗B₁(M)=μ₀⃗j_S(M)∧⃗n_1→2(M) . Remarques :

1. Attention, ‖ ⃗j_S‖ s’exprime en A.m⁻¹.

En effet, ⃗j_S=e⃗j et i=L_ye j=L_yj_S. Il s’agit d’une approximation qui est valable si :

• e≪L_y et e≪L_x ;

• distance d’observation ≫e.

2. On peut dissocier cette relation de passage en 2 :

• la composante normale de B⃗ à la traversée de S est continue ;

• la composante tangentielle de B⃗ à la traversée de S est discontinue telle que B⃗₂(M)− ⃗B₁(M)=μ₀⃗j_S(M)∧⃗n₁_→2 :

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VII. Densité volumique d'énergie magnétique

Tout comme le champ électrique, le champ magnétique contient une énergie, cette fois-ci de type magnétique.

Étant un champ, l'énergie qu'il contient est présente dans tout l'espace où ⃗B est non nul.

L'énergie volumique magnétique (ou densité volumique d'énergie magnétique) associée en M à l'instant t est w_magn(M , t)=1

2

⃗B²(M , t)

μ₀ en J.m⁻³.

L'énergie magnétique présente dans un volume V est E_magn(t)=

∭

M∈V

1 2

⃗B²(M , t) μ₀ dV_M . Remarque : on montrera la cohérence de cette définition avec le solénoïde infini (cf EM4).

VIII.Action d'un champ magnétique extérieur - Force de Laplace (physicien et mathématicien français 1749 – 1827)

On considère un circuit C parcouru par un courant d'intensité I . On considère un champ magnétique extérieur B⃗_ext (i.e. créé par une autre source que C ).

La force de Laplace F⃗_La est la force due à B⃗_ext exercée sur C . Elle s'exprime par F⃗_La=

∫

M∈C

Idl⃗_M∧ ⃗B_ext où dl⃗_M est un élément de longueur de C orienté dans le sens de I>0 .

Remarque : origine physique de la force de Laplace :

• courant I dans C donc des électrons sont en mouvement dans B⃗_ext

• les électrons subissent la force de Lorentz et sont déviés sur un côté du matériau (dans le sens de F⃗_La )

• l'autre côté du matériau se vide en électrons

• le réseau de cation est attiré par cet ensemble de charges négatives : c'est la force de Laplace.

Applications : moteur électrique et haut-parleur (cf EM4).