Introduction à l’optimisation
Yannick Privat
IRMA, univ. Strasbourg
Introduction à l’optimisation
Sommaire
1 Quelques exemples de problèmes d’optimisation
2 Le vocabulaire de l’optimisation
Le problème du voyageur de commerce
Problème du voyageur de commerce Comment trouver le chemin le plus court (à vol d’oiseau) qui passe par Paris, Lyon, Marseille, Lille, Toulouse, Bordeaux, Nice, Nantes, Strasbourg et Toulon, et revienne à son point de départ ?
Formalisation (Problème général) A partir d’une matrice
C= (Cij)1≤i,j≤n oùCij représente le coût du déplacement entre la villei et la villej
Problème : trouver une permutationσ=
1 σ(1)
2 σ(2)
···
···n σ(n)
qui minimise la fonction
σ7→Cσ(1)σ(2)+Cσ(2)σ(3)+· · ·+Cσ(n−1)σ(n)+Cσ(n)σ(1).
Le problème du voyageur de commerce
Problème NP-complet
En théorie de la complexité, un problèmeNP-completest un problème de décision vérifiant les propriétés suivantes :
Il est possible de vérifier une solution efficacement (en temps polynomial) ; la classe des problèmes vérifiant cette propriété est notée NP ;
Tous les problèmes de la classe NP se ramènent à celui-ci via une réduction polynomiale ; cela signifie que le problème est au moins aussi difficile que tous les autres problèmes de la classe NP.
Un problèmeNP-difficileest un problème qui remplit la seconde condition, et donc peut être dans une classe de problème plus large et donc plus difficile que la classe NP.
! Le problème du voyageur de commerce est un problème NP-difficile et le problème de décision associé est un problème NP-complet
! On ne peut pas caractériser les solutions en calculant une dérivée (conditions d’optimalité difficiles à écrire)
Problème de type “moindres carrés”
On s’intéresse à l’évolution du chiffre d’affaire d’une entreprise sur plusieurs années. Y a-t-il une corrélation (linéaire) entre l’année et le chiffre d’affaire ?
année (xi) 1999 2000 2001 2002 2003 2004
chiffre d’affaire (yi, en Me) 15 20 32 26 33 55 Problème d’optimisationTrouver m(coefficient directeur) etp (ordonnée à l’origine) minimisant
(m,p)7→
6
X
i=1
(yi−mxi−p)2,
Problème de type “moindres carrés”
On s’intéresse à l’évolution du chiffre d’affaire d’une entreprise sur plusieurs années. Y a-t-il une corrélation (linéaire) entre l’année et le chiffre d’affaire ?
année (xi) 1999 2000 2001 2002 2003 2004
chiffre d’affaire (yi, en Me) 15 20 32 26 33 55 Problème d’optimisationTrouver m(coefficient directeur) etp (ordonnée à l’origine) minimisant
(m,p)7→
6
X
i=1
(yi−mxi−p)2,
Optimisation d’un portefeuille d’action
! On possèdenactions, que l’on représente par des variable aléatoiresR1, ...,Rn
! Chaque action rapporte en moyenne à l’actionnaireei=E(Ri)(espérance deRi) au bout d’un an.
! On investit une sommeS donnée, et l’on notexi∈R, la proportion de la somme investie dans l’actioni, de sorte que
n
X
i=1
xi =1
,→Le portefeuille total est représenté par la variable aléatoireR=
n
X
i=1
xiRi
! Rendement du portefeuille=E(R) =
n
X
i=1
xiei.
! Risque du portefeuille=σ2(x) =E[(R−E(R))2].
Un calcul simple montre queσ2(x) = (x,Ax)avecA= (aij)1≤i,j≤n et
∀(i,j)∈ {1, ...,n}2, aij=E[(Ri−E(Ri))(Rj−E(Rj))].
Optimisation d’un portefeuille d’action
! Le rendement se réécrit
n
X
i=1
xiei = (e,x)
! On poseu= (1, . . . ,1). Somme des proportions d’actions = 1= (x,u)
On dit qu’un portefeuillex est efficients’il assure à la fois un rendement maximalεpour un risque donnéσet un risque minimalσpour un rendement imposéε.
Pourε∈Retσ∈R+ donnés, on définit les ensembles :
C1(ε) = {x∈Rn: (u,x) =1et(e,x) =ε}, C2(σ) =
x ∈Rn: (u,x) =1et 1
2(Ax,x) =σ
.
On cherche à résoudre les problèmes
(P−) inf
x∈C1(ε)
1
2(Ax,x) et (P+) sup
x∈C2(σ)
(e,x)
Positionnement de capteurs pour la tomographie thermo-acoustique
Imagerie médicale
L’exemple de la tomographie thermo acoustique :comment positionner les capteurs de façon optimale afin de garantir la “meilleure”
reconstruction de l’objet à imager ?
Inconnues
Nombre, position, et éventuellement forme des capteurs
Optimisation de forme
La légende de la Reine Didon
Au IXèmesiècle avant J.-C., la reine Didon dut s’enfuir après que son frère Pygmalion eut assassiné son époux afin de prendre le pouvoir.
Elle accosta à Byrsa, citadelle proche du Tunis actuel, et demanda asile aux autochtones. On ne lui concéda que“ce que pourrait couvrir la peau d’un bœuf”.
Elle découpa la peau en de si fines lanières qu’elle obtint, bout à bout, une longueur fantastique de près de 4 km. Puis elle fit disposer cette corde sur le sol de façon à enclore la plus grande surface possible.
Question : comment a-t-elle fait ?
Optimisation de forme
Mathématiquement, le problème à résoudre est très proche du problème isopérimétrique : DéterminerΩ, un domaine plan solution du problème d’optimisation
maximiser aire(Ω)
sachant que périmètre(Ω) =4km.
Le problème consiste à trouver la courbe plane de longueur ` fixée qui enclot avec le segment reliant ses deux extrémités, la portion plane d’aire maximale, autrement dit, on résout pourb>a≥0,
sup
y∈E
Z b
a
y(x)dx
où
E={y ∈Y | Z b
a
p1+y02(x)dx=`ety(a) =y(b) =0}
avecY, un espace fonctionnel donné (choisi par exemple de sorte que ce problème possède une solution).
Optimisation de forme
La preuve
Zénodore(IIèmesiècle avant J.C.) sait démontrer cette inégalité dans le cas particulier Ω= polygone.
Jusqu’au XIXèmesiècle, on admet ce résultat
sans savoir le prouver.
Steiner(mathématicien suisse du XIXèmesiècle) publie une démonstration, mais. . .cette preuve est fausse !
Weierstrass(mathématicien allemand du XIXèmesiècle) conclut la démonstration, en utilisant les outils modernes ducalcul des variations.
Généralisation à l’espace seulement connue depuis 1960 (théorie géométrique de la mesure)
Sommaire
1 Quelques exemples de problèmes d’optimisation
2 Le vocabulaire de l’optimisation
Notations, vocabulaire
SoitV, un espace vectoriel normé, muni de la normek · k. On s’intéresse au problème
x∈Kinf f(x) ou sup
x∈K
f(x)
oùK ⊂V etf :K−→Rest une fonction, appeléefonction coûtoucritère.
! SiK=V, on parle de problème d’optimisationsans contrainte.
! SiK(V, on parle de problème d’optimisationsous contrainte.
! SidimK<+∞(resp.dimK = +∞), on parle de problème d’optimisationen dimension finie (resp. infinie).
Remarque importante résoudre le problème sup
x∈K
f(x)est équivalent à résoudre le problème inf
x∈K−f(x)
! x0 min local def :∃ε >0 tel que inf
x∈K∩B(x0,ε)f(x) =f(x0).
! x0 min global def :∀x∈K,f(x)≥f(x0).
Idem pour les définitions de max local/global. . .
Notations, vocabulaire
Dans le cadre de ce cours, on étudiera essentiellement l’optimisation en dimension finie.
Définition : suite minimisante
SoitX, une partie minorée non vide deR. Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :
1 m= inf{x,x ∈X};
2 ∀x ∈X,m≤x et∀ε >0, ∃x∈X |x<m+ε;
3 mest un minorant deX et il existe(xn)n∈N∈XN, appelée “suite minimisante”
convergeant versm.
Exemples
Déterminer le parallélépipède rectangle de volume maximal parmi ceux dont la surface extérieure vaut 6. En introduisanta,betc, les longueurs des côtés du parallélépipède, on se ramène à la résolution du problème
supV(a,b,c) =abc ab+ac+bc=3, a≥0, b≥0, c≥0.
Le problème de la reine Didon.
Plan d’étude d’un problème d’optimisation
! Ce problème possède t-il une solution ?
! 1er cas de figure.
Si ce problème possède une solution, on cherchera à la caractériser (par exemple, est-elle unique ?) ou mieux, à la déterminer lorsque ce sera possible. On exploitera pour cela les conditions nécessaires d’optimalité (aux premier et deuxième ordres).
! 2ème cas de figure.
Si ce problème ne possède pas de solution, on cherchera à exhiber une suite minimisante, i.e. une suite d’éléments de l’ensembleK convergeant vers inf{f(x),x∈K}.
! Enfin, on se posera la question, lorsque l’on ne sait pas déterminer explicitement les solutions du problème d’optimisation, du choix deméthodes numériquesadaptées pour déterminer le minimum et ses minimiseurs.
