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Exercice 1 On pose f(x, y) =x3y2(1−x+y)

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Academic year: 2022

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Université des Sciences et Technologies de Lille 1 2011/2012 Licence M, GM, GC Semestre 3

Éléments de Calcul Diérentiel Math 32

Interrogation 2

21 novembre 2011 à 9h30. Durée : 30min.

Documents, calculatrices, téléphones et appareils électroniques interdits.

Barème indicatif : 2+4+4=10. On justiera ses réponses soigneusement.

Question de Cours.

Soit V~ = P(x, y)~i+Q(x, y)~j un champs de vecteurs de classe C1 sur R2. Énoncer le théorème de Poincaré pour V~.

Exercice 1 On pose

f(x, y) =x3y2(1−x+y).

(1) Montrer qu'il existe un point critique def pour lequelx6= 0 ety6= 0. (2) Déterminer la nature de ce point critique.

Exercice 2 On pose

ϕ(x, y) = (xy, yx).

(1) Donner le domaine de dénition D deϕ. (2) Calculer le jacobien de ϕsurD.

(3) Peut-on appliquer le théorème d'inversion à ϕsur D? On justiera sa réponse.

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