Tanguy ALTHERR. Laboratoire d'annecy-le-vieux de Physique des Particules. Thèse. L'Université de Savoie. Docteur ès-sciences. pour obtenir le titre de

'.T-

Laboratoire d'Annecy-Le-Vieux de Physique des Particules

BP 110 - 74941 Annecy-Le-Vieux Cedex France

Thèse

présentée à

L'Université de Savoie

pour obtenir le titre de

Docteur ès-Sciences

Spécisdité : Sciences Physiques (Physique des Particules) par

Tanguy ALTHERR

ETUDE PERTURBATIVE EN THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS A TEMPERATURE FINIE,

APPLICATION A L'EMISSION DE PAIRES DE LEPTONS PAR UN PLASMA DE QUARKS ET DE GLUONS

Soutenue le 7 décembre 1989 devant la commission d'examen

Examinateurs D. DECAMP Président P. AURENCHE

R< BAIËR Rapporteur M. LE BELLAC Rapporteur H. SATZ

Laboratoire d'Annecy-Le-Vieux de Physique des Particules

BP 110 - 74941 Annecy-Le-Vieux Cedex France

Thèse

présentée à

L'Université de Savoie

pour obtenir Je titre de

Docteur ès-Sciences

Spécialité : Sciences Physiques (Physique des Particules) par

Tanguy ALTHERR

ETUDE PERTURBATIVE EN THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS A TEMPERATURE FINIE,

APPLICATION A L'EMISSION DE PAIRES DE LEPTONS PAR UN PLASMA DE QUARKS ET DE GLUONS

Soutenue le 7 décembre 1989 devant la commission d'examen

Examinateurs D. DECAMP Président P. AURENCHE

R. BAIER Rapporteur M. LE BELLAC Rapporteur H. SATZ

TABLE DES MATIERES

Avant-propos

Notations

CHAPITRE I. THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS A TEMPERATURE FINIE

1. Introduction 3 2. Quelques rappels de la théorie des champs à temperature nulle ... 4 A. Opérateurs d'évolution 4 B. Propagateur à température nulle et graphes de Feynman 7 3. Règles de Feynman à température finie 10 A. Opérateur densité 10 B. Propagateur à température finie 12 C. Développement en série 13 D. Formalisme à temps réel 14 4. Application aux fonctions de Green à deux points 20 5. Appendice : Le théorème de Wick 23 Références 27

CHAPITRE IL REGLES DE COUPURES

1. Introduction 29

2. Règles de coupures à T = 0 30

3. Règles de coupures à T £ 0 34

4. Application aux self-énergies 39

CHAPITRE III. SINGULARITES INFRA-ROUGE ET DE MASSE

EN QCD PERTURBATIVE DANS UN PLASMA DE QUARKS ET DE GLUONS 1. Introduction 45 2. Expression générale pour la production de photons virtuels 47 3. Calcul du taux de paires de leptons 56 A. Terme de Born , 56 B. Termes virtuels 57 C. Termes réels 63 4. Généralisation au cas d'un potentiel chimique non nul 69 5. Conclusion 70 Références 71

CHAPITRE IV. COMPENSATION DES SINGULARITES INFRA-ROUGE ET DE MASSE DANS LE TAUX DE DILEPTONS THERMIQUES

1. Introduction 77

2. Règles de coupure à température finie 78

3. Terme de Born et contribution à "T = 0" 80

4. Topologie de type Self-energie 81

A. Compensation des produits de fonctions S 81

B. Contribution virtuelle de la self-energie du quark 82

C. Contribution réelle 85

5. Topologie de type vertex 89

A. Compensation des produits de fonctions S 89

B. Contribution virtuelle 90

C. Contribution réelle 90

6. Conclusion 91

7. Appendice 92

Références 94

CHAPITRE V. CORRECTIONS QCD A TEMPERATURE FINIE POUR LA FORMATION DE PAIRES DE LEPTONS DANS UN PLASMA DE QUARKS ET DE GLUONS

1. Introduction 99 2. Le taux à l'ordre as 99 A. La contribution de la Self-energie 101 B. Contribution des termes "réels" 103 3. Absence de singularités 105 4. Comportement des corrections thermiques 106 5. Conclusion 109 6. Appendice 110 Références 114

CHAPITRE VI. CORRECTIONS A LA SELF-ENERGIE FERMIONIQUE EN THEORIE PERTURBATIVE A TEMPERATURE FINIE

1. Introduction 121 2. Les résultats 122 3. La méthode de sommation 123 4. Le calcul direct 127 5. Discussion des résultats 128 6. Conclusion 132 Références 133

CONCLUSION

Règles de Feynman en QED et QCD 137

Remerciements 139

AVANT-PROPOS

Cette thèse comprend principalement des articles rédigés en anglais et publiés, ou

soumis à publication, dans des revues scientifiques internationales. Toutefois, afin de

faciliter la compréhension du lecteur, les deux premiers chapitres, rédigés en français, in-

troduisent les notions indispensables pour la lecture des articles. Le premier chapitre

développe le formalisme de la Théorie Quantique des Champs à Température Finie. Le

deuxième chapitre discute des "règles de coupures" à température finie, règles qui per-

mettent le calcul des processus de diffusion. Les trois chapitres suivants, III, IV et V,

appliquent les développements précédents au calcul des corrections QCD au taux de pro-

duction de paires de leptons émises pax un plasma de quarks et de gluons en équilibre. Le

chapitre VI contient des travaux particuliers à la self-énergie fermionique en QED.

NOTATIONS

Dans toute cette thèse, j'ai utilisé la notation usuelle de la Physique des Particules, à savoir pour les constantes fondamentales,

h = c = k = 1

où k est la constante de Boltzmann. On notera donc /3 = 1/T l'inverse de la température.

Etant donné la différence des contextes, il ne peut y avoir de confusion avec l'opérateur chronologique noté aussi T. La métrique utilisée est

g»" = diag(l, - 1 , - 1 , - 1 )

On trouvera les conventions de la régularisation dimensionnelle, abondament utilisée dans

cet ouvrage, dans l'article de W.J. Marciano, Phys.Rev.D12 (1975) 3861.

C H A P I T R E I. THEORIE Q U A N T I Q U E DES C H A M P S A T E M P E R A T U R E FINIE

1- Introduction

La théorie quantique des champs a été initialement introduite dans le but de calculer les probabilités de transition entre états quantiques, reliées aux processus de diffusion de particules.

L'originalité et le succès de la physique des particules tiennent beaucoup au fait que l'on s'intéresse habituellement à des processus où interviennent très peu de particules : diffusion proton-proton, electron-positron,etc . . . La notion de température n'intervient donc pas dans l'étude de tels systèmes.

On ne peut néanmoins se satisfaire d'une vision aussi restrictive des mécanismes physiques de la Nature. H faut aussi espérer connaître et prédire le comportement de grands systèmes quantiques où la notion de température prend toute sa signification.

Les domaines d'application d'une telle théorie ne manquent pas, on pense d'abord à la cosmologie où les effets de température et de densité interviennent à toutes les étapes de l'expansion de l'Univers, mais aussi aux étoiles à neutrons, trous noirs et autres objets cosmiques. Mais le présent travail a d'abord été motivé par les récentes expériences au CERN et à Brookhaven qui essayent de mettre en évidence l'existence du "quagma", le plasma de quarks et de gluons, grâce à des collisions d'ions lourds ultra-relativistes. Ainsi, l'interprétation théorique des signaux dès à présent observés nécessite la compréhension du comportement d'un plasma de particules élémentaires relativistes.

Quels sont les outils à notre disposition pour étudier un tel système ? Plusieurs approches ont été développées aux cours des années : Matsubara [1] a été le premier a con- struire un modèle en remplaçant la variable temporelle réelle intervenant dans l'opérateur d'évolution d'un état par un temps purement imaginaire t = —i/3 (/? = 1/T est l'inverse de la température). Puis sont venues des contributions de Schwinger [2], Mills [3] et Keldysh [4] qui ont développé un formalisme basé sur le choix d'un contour dans le plan complexe.

Plus récemment, Umezawa [5] a choisi une autre méthode appelée dynamique des champs thermiques qui aboutit aux mêmes résultats. Le formalisme présenté ici est celui du "temps réel", nanti des développements successifs de ces dernières années [6], mais toujours avec la méthode de la quantification canonique. Le lecteur intéressé par une approche au moyen des intégrales de chemin pourra se référer à la revue de Landsman et van Weert.

2- Quelques rappels de la théorie des champs à température nulle A-Opérateurs d'évolution

En mécanique quantique non relativiste, l'état d'un système gouverné par le hamil- tonien H(t) est représenté par le vecteur d'état \tp(t) > qui obéit à l'équation de Schrôdinger

if ^t m) >=

Ici, nous sommes en formalisme de seconde quantification et le hamiltonien H décrit un système de plusieurs particules en interaction. (H est une somme de produits d'opérateurs de création et d'annihilation).

Plutôt que de travailler sur des états dépendants du temps, il est préférable d'écrire les équations sous forme opératorielle en faisant intervenir l'opérateur d'évolution U(tJo) tel que

>= \m >, (2.2)

t). (2.3) Cet opérateur satisfait les équations

ij

U(t,to) = H(t)U(t,t

),

U(t

,t

) = h que l'on peut écrire sous forme intégrale

t, to) = 1 - i I

U(t, to) = 1 - i I HihWih, t

)dh. (2.5)

Si [H(t),H(t')] = 0, cette équation a pour solution

( ^ (2.6)

et c'est seulement dans le cas particulier où H est indépendant du temps, par exemple le cas d'un système isolé, que l'opérateur d'évolution revêt la forme simple suivante

(2.7)

Il est maintenant nécessaire d'introduire quelques définitions dont l'utilité nous appa- raitra par la suite. Il s'agit des différentes représentations dans lesquelles nous pouvons travailller ainsi que les règles de passage d'une représentation à une autre. Un indice sera attaché à chaque représentation.

La représentation de Schrôdinger est celle dont nous sommes partis. Les vecteurs d'état \il>s(t) > "tournent" avec U(t,to) et les opérateurs As sont en général indépendants du temps. Il est possible d'avoir des vecteurs d'état fixes et de garder toute la dependence en temps dans les opérateurs, c'est la représentation de Heisenberg définie par

\xp

>= Iv

(O) >= tft(t)lrMO > • (2.3) Les vecteurs sont fixés une fois pour toute au te:*ips t = 0. On a aussi défini un opérateur de rotation U(t) tel que

U(t,to) = U(t)uHt

). (2.9)

Pour les opérateurs, on a

U (2.10)

Dans le cas qui nous intéresse, on veut décrire la diffusion d'une particule par un potentiel. On part d'un état libre k t = —oo, on applique une faible perturbation autour de t = 0 que l'on annule ensuite pour i = +00.

Le hamiltonien peut être décomposé comme H = HQ + V(O, où HQ est le hamiltonien libre indépendant du temps et V(O représente l'interaction supposée petite devant Ho.

Les états libres sont donc gouvernés par un opérateur d'évolution

;*o). (2.11) On définit alors la représentation d'interaction, analogue à la représentation de Heisenberg en l'absence d'interaction, comme étant

(2.12)

Pour passer d'une représentation à une autre, on utilise le fait qu'elles doivent être équiva- lentes,

< .4 > = < 05|.45|4's > = < 0wM»|0ff > = < 0/1-4/10/ > • (2.13)

Ainsi, pour passer de la représentation de Heisenberg à la représentation d'interaction, on a

AH(t) = ITJ(OAZ(OCTJ(O,

(2.14) WH > = tTj!(O|0j(O **>

où CT/(0 est donné par

(2.15)

= CTJ(OCT(O-

Ce qui permet de définir un opérateur d'évolution en représentation d'interaction, (2.16) Appliquant (2.4) on trouve l'équation différentielle et la condition aux limites suivantes

(2.17) Ces équations peuvent être écrites sous une forme intégrale analogue à (2.5), en remplaçant H(t) par V(t). Mais cette fois-ci, puisque le terme d'interaction V(O est supposé petit, on peut réaliser un développement perturbatif appelé encore développement de Born. Soit

(2.18) On peut changer l'ordre d'intégration dans le troisième terme

/ dti I <ft2VK*i)V/(t2) = j dt2 I d

Jt0 Jt0 Jt0 Jt3 ft ft

= dti I dt2Vi(t2)V[{ti) (2.19) Jt0 Jti

= 1 fdh f*dttT{Vi(ti)Vi(t

)).

<* Jt0 Jt0

Où Ton a défini l'opérateur chronologique T comme étant (0 est la fonction de Heaviside) T(A(h)B(t2)) = 9(U - t2)A(ti)B{t2) + 6(t2 - ti)B(t2)A(h). (2.20)

On peut généraliser cette expression à tous les ordres de sorte que Ui s'écrive

^ dit... ! (HnT(V1H1)...Vi(in)). (2.21)

n=0 "" Jt J

Utilisant soit cette équation, soit (2.15) et (2.16) , on remarque que cet opérateur satisfait les lois d'unitarité et de transitivité,

(2-22)

B-Propagateur à température nulle et graphes de Feynman

Devant le nombre très resticint de problèmes qui peuvent être complètement résolus en théorie quantique des champs (en fait principalement l'oscillateur harmonique), on a été amené à formuler les équations du champ non pas sous forme différentielle (éq.(2.1)), maii sous forme d'intégrales de propagation. Pour cela, on se rappelle du principe de Huygens qui consiste à associer à chaque point de l'espace une source fictive émettant des ondes sphériques. On utilise alors le propagateur, ou fonction de Green, pour se propager d'un point à un autre.

De plus, dans le formalisme de seconde quantification, cette propagation peut se voir comme une succession de création et d'annihilation de la particule qui se propage, de sorte

que le propagateur du point x au point y pour un champ <j> s'écrit * . (2.23)

T est l'opérateur chronologique et x et y sont des quadrivecteurs. G(x — y) décrit la propagation d'une particule si XQ > yo et d'une antiparticule si XQ < XJQ. La moyenne est effectuée sur les états du système, c'est à dire sur l'état du vide à température nulle.

Etudions le propagateur avancé (XQ > yo) intervenant dans l'éq.(2.23)

>=

° » '

^

° ^ * ^ * » ' ^ t f a >

^ > '

' >. (2.24)

On a besoin de relier le vide perturbé |0j/ > au vide non perturbé, seul état sur lequel on sait faire les moyennes. On résout ce problème en faisant l'hypothèse adiabatique, où le potentiel est local non seulement dans l'espace mais aussi dans le temps, soit

V(t) = c-'1", (2.25)

avec e > O, et donc V(+oo) = V(—oo) = 0. On fera tendre e vers zéro à la fin du calcul, et le résultat doit être indépendant de g. Dans cette hypothèse, le théorème de Gell-mann et Low permet de relier les deux vides de la manière suivante (pour plus de détails, on pourra se référer à l'ouvrage de Fetter et Walecka)

, ±oo)|0>' ( 2 < 2 6 )

où |0 > est le vide non perturbé (états asymptotiques à ±00). Après substitution, on trouve

>* (y) >= < Q|tM+<». so)Mg)ffj(ao» yo)rf(y)P>(yo» °°)io >

< 0|C^/(+oo, —oo)|0 >

On peut alors remplacer Ui par son développement de Born, éq.(2.18) . Le numérateur de (2.27) s'écrit comme

/(«fc)*+l+m

fc,/,m=0 (2.28)

avec *i > <2 > • • • > *fc+/+m« Soit, en utilisant le produit-T,

V^ -—— / dti •.. / dtn < T(V/(<x)... V/(<n)^/(x)<^î(j/)) > . (2.29)

71=0

Tandis que le dénominateur peut s'écrire sous une forme analogue au numérateur, en omettant les opérateurs 4>{x) et 4>'{y).

Grâce au théorème de Wick dont la démonstration est donnée en annexe on peut décomposer le T-produit de ces n + 2 opérateurs en une somme de tous les termes obtenus en contractant les créateurs et annihilateurs pris deux à deux. Ce théorème se résume ainsi

2n

< T(JJ 6

) >= ^ ( - l )

JJ < T(b

b

) >, (2.30)

1

où les b sont des combinaisons d'annihilateurs et de créateurs. En d'autres termes, chaque excitation du vide se propage librement jusqu'à être annihilée. On n'a pas de processus de double excitations (en un même point d'espace-temps) qui sont considérés comme trop improbables. A un ordre donné du développement perturbatif correspond donc une somme finie de toutes les contractions sur le vide, contractions qui correspondent aux propagateurs libres. Représentant la propagation d'une excitation par une ligne dirigée du point de création de la particule vers le point d'annihilation, chaque terme de la somme (2.29) peut

être représenté par un diagramme de Feynman. Considérons le cas simple d'un potentiel du type \<f>

. Les trois premiers termes de (2.29) sont représentés par les graphes,

8-0 oo+O

Le dénominateur de (2.27) est représenté aussi par les graphes,

(2.31)

00+000+ "•

De sorte que le quotient des termes représentés par (2.31) par ceux de (2.32) soit seulement la somme des graphes "connexes", c'est à dire

è

> +

4

i

0 + •

i

^

I

! i >

* i\

I J Â %

^ • ^ è \

I t

(2.33)

Le calcul d'un processus quantique consiste donc à calculer cette série de graphes dont les

termes sont en ordre croissant en la constante de couplage. Si cette constante est faible,

ces termes sont de moins en moins importants. L'ordre zéro est rarement satisfaisant. En

QED où le couplage est faible (a = 1/137), des calculs à l'ordre a

sont devenus nécessaires

par la précision expérimentale atteinte (voir le calcul du moment magnétique de l'électron

par T. Kinosbita). Le nombre de diagrammes devient alors impressionnant et avoisinne le

millier ! En QCD, la situation est beaucoup plus complexe du fait des nombreux couplages

différents qui interviennent et personne n'est encore allé au-delà de l'ordre a | .

3- Regies d e F e y n m a n à t e m p é r a t u r e finie A - O p é r a t e u r d e n s i t é

La température non nulle a pour principal effet de changer l'opération de moyenne.

En effet, le système peut occuper des états accessibles |V>i >,|V>2 >>•••> chaque état

\ij>k > ayant une probabilité d'occupation pk qui dépend de la température. Si l'on définit l'opérateur densité comme étant

(3.1)

k

la moyenne d'un opérateur quelconque s'écrit alors

< A > = I r pA. (3.2) p contient donc toute l'information concernant le système. D'autre part, on a aussi 'la propriété suivante

Ttp = l. (3.3) Dans la représentation de Heisenberg et pour un système isolé, dpn/dt = 0. La trace étant indépendante de la représentation, nous déduisons que pour toute fonction F(p), la quantité Tr F(p) est indépendante du temps. Ceci est le cas de l'entropie 5 = - T r p log p.

Si Ton introduit une perturbation dépendante du temps dans le Hamiltonien, on peut alors montrer (théorème H de Boltzmann, voir par exemple l'ouvrage de Toîmann) que cette quantité évolue uniquement dans un sens, soit

—Trphgp<0. (3.4) La matrice densité d'un système à l'équilibre est donc celle qui minimise la quantité

Tr p log p = J ^ pk log pu. (3.5)

Avec les conditions

J^ (3.6)

J^ -

Tr pH = 2 ^ PkEt = 25 = este.

k

La méthode des multiplicateurs de Lagrange conduit à

(3.7)

où Z — £

e~

est la fonction de partition. On en déduit l'expression de l'opérateur densité

p = Z'

Cette expression est valable pour un ensemble canonique (nombre de particules déterminé).

Dans le cas d'un ensemble grand-canonique (nombre de particules indéterminé), on doit avoir

P = Z -

C - * * - " * ) , (3.9) où fx est le potentiel chimique. En théorie quantique des champs, H et N s'expriment en termes de produits d'opérateurs de création et d'annihilation. Les traitements d'une théorie des champs à température ou à densité finies sont donc parallèles.

La température d'un ensemble canonique ou grand-canonique est fixée grâce au contact avec un thermostat. Un tel thermostat n'existe pas dans le cas de la formation de l'univers ou du plasma de quarks et de gluons où on applique la théorie des champs à température ou densité finie. U serait donc plus juste de traiter ces systèmes à énergie fixée (représentation micro-canonique). Cette dernière approche venant tout juste d'être explorée [7], je me contenterais de la description des systèmes à l'équilibre et à température fixée.

Pour un système en équilibre, le hamiltonien est indépendant du temps. Alors, on a pour les opérateurs d'évolution (voir éqs.(2.7) ,(2.11) et (2.16) )

(3.10) U(t,t

) = e-'^'-'o); (3.11) (3.12) Notons que Ui(t,to) ^ eURo-HW-to)

ff

t H

ne commutent pas nécessairement entre eux. On voit qu'il est possible de relier l'opérateur densité à l'opérateur d'évolution par

p = Z - V

* = Z-

Cf(T -i/3,r), (3.13) où T est arbitraire et complexe. La fonction de partition s'écrit aussi

Z = I r fi""*

= Tr e-

= Z0<Ul(T-ip,T)>Q,

où < A >o est la valeur moyenne d'un opérateur A pour un système libre, c'est à dire sans interaction

<

>«=

-

«

• (3-15) On peut donc facilement introduire la température en théorie des champs en prenant un temps imaginaire. Toutefois, les expressions ci-dessus ne sont pas convergentes pour toutes valeurs de r. Il faudra donc faire attention au domaine d'analyticité des opérateurs.

Le pilier de la théorie, qui est le développement perturbatif de l'opérateur U\ (eq.(2.21) ), peut se généraliser au cas de variables temporelles complexes. Il faut alors choisir un chemin d'intégration C allant du point to au point t dans le plan complexe. On définit la fonction 9

par

#c(*i — '2) = 1 si *2 précède t\ sur le contour,

#c(<i — t%) = 0 si ti précec

^ <2 sur le contour.

Avec le produit chronologique sur le contour C, l'éq.(2.21) devient alors, sous une écriture condensée,

Ui{t, t

) = T

exp [ - 1 J

. (3.16) B-Prcpagateur à température finie

Partons de l'expression du propagateur

G(x - y) =< T

(^(*)4(y)) >

( - ya)G

(x -y) + 8

(yo - x

)G-(x - y),

où l'indice c tient compte du fait que la composante temporelle des quadrivecteurs est com- plexe. Alors, en passant de la représentation de Heisenberg à la représentation d'interaction et en utilisant la cyclicité de la trace ainsi que l'éq.(3.14) , on écrit

G

(x - y) =

- i0)u}(xo)<t>i(*)Ui(xo)uUyo)<t>Uy)Ui(yo) G

(x - y) = I? < U

(T - i/9,x

)^(

)^/(a:o,yo)4(î')^/(yo,r) >

.

(3.18) Cette expression, qui diffère sensiblement de son analogue à T = 0 (éq.(2.28)), nous indique que le chemin d'intégration à choisir est un contour dans le plan complexe partant du point r pour finir au point r — t/? et passant par a?o et yo.

Voyons maintenant le domaine d'analyticité de G+. Il dépend de la convergence de la somme

0H

)4t(y)' (3.19)

Evaluons cette trace dans la base des vecteurs propres de H : H\m >= E^m\m >

Tr e-

X

m\(f>(0,x)\n X

(3.20) Cette expression converge pour

-/? < Im(x⁰ - yo) < 0 pour 0^c(x^o - y⁰) = 1. (3.21) De même, pour G_, la somme

Tr e-

<^

{y)4>H{x) = J ] e

" ^ - » V * <

' - » - W < m|^(0,f)|n >< n|0t(O,y)|m >,

r»,Tn

(3.22) converge dans le domaine

0 < Im(X⁰ - yo) < £ pour 0^c(y^o - x⁰) = 1. (3.23) Remarques :

• On peut étendre le domaine d'analyticité aux bornes car pour Ixn(x⁰ — yo) = 0 la somme converge grâce à e~^^E. De plus, la fonction G(x — y) étant continue, elle est donc définie sur toute la bande — 0 < Im(x⁰ — y⁰) < 0.

• Les fonctions (?+ et G- obéissent à la relation de de Kubo-Martin-Schwinger (KMS),

G⁺(X⁰ - (yo + i'0), x - y) = G_(x - y), (3.24) qui découlent de l'invariance de la trace par permutation circulaire.

C-Développement en série

De même qu'à T = 0 un développement perturbatif en V/ peut être écrit pour les opérateurs en représentation de Heisenberg. Nous trouvons ainsi pour la fonction de par- tition

JL =< U

(T -i/3,r)>o

=

du dt

...

^r

ni J

Jc Jc ^c

et pour la fonction de Green

G(x - y) = § • T t i £ I dh...l dt

< UV

[U)... VK<

W/(*)4(V))

'

Pratiquement, on veut fixer C de telle façon que la fonction de Green soit définie quels que soient les arguments xo et j/o-

Soient <i,<2 deux points du contour. On a vu que si t% précède t\ sur le contour,

#c(*i — tz) = 1. Pour que G soit définie il faut que

-/? < Im(<! - t2) < 0. (3.27) Cela veut dire qu'un point se déplaçant le long du contour doit voir sa partie imaginaire décroître. Ainsi les contours a) et b) de la figure suivante sont permis tandis que le contour c) est interdit.

X

T -i P

b)

II reste maintenant à décomposer le produit d'opérateurs. Pour cela il faut disposer d'un analogue du théorème de Wick à température finie que l'on obtient effectivement en prenant la moyenne des opérateurs sur un ensemble statistique d'états et non plus sur l'état du vide (voir l'appendice). L'éq.(2.30) s'exprime alors comme

2n

br) >o=

D-Formalisme à temps réel

Nous allons maintenant calculer le propagateur de Feynman à température finie, en prenant l'exemple simple d'un champ scalaire réel. Le champ scalaire <f> s'écrit

(3.29)

= J ^ j ^ [ a t ( * ) e " * + a(k)e-

%

avec u = ko = y\k\2 + m2. Les opérateurs a et at sont les opérateurs d'annihilation et de création satisfaisant la relation de commutation

Z). (3.30)

Le théorème de Wick à T ^ 0 appliqué à ce produit d'opérateurs conduit aux relations suivantes (voir eq.(A.17) dans l'appendice)

< at(*)a(p) >o = n

{u)6

(k - p),

< a(k)aUp) >

= (1 + n

(u))6

(k - /7),

où l'on a défini la fonction de distribution de Bose-Einstein ns(u/) = l/(e^

— 1). Tous les ingrédients sont maintenant réunis pour calculer le propagateur de Feynman, ou propaga- teur libre (c'est à dire au premier ordre de la théorie des perturbations)

Gc{x - y) =< Tc((t>(x)<f>Uy)) >o

y )

(*-

~'

l»M + D + « ^ M ) (3.32)

où xo et yo sont des variables complexes situées sur un contour C. On cherche maintenant la transformée de Fourier de G mais avec des variables temporelles réelles afin d'obtenir des énergies réelles. A priori le contour le plus simple est celui-ci

Im(O '

h

t

- i P

Re(O

C'est celui choisi par Matsubara en 1955 et qui aboutit au formalisme à temps imaginaire.

Dans cette approche, la condition de périodicité de KMS impose une discrétisation des énergies. Malheureusement, la variable temporelle ayant disparu, on a perdu la notion dynamique du système. Ce formalisme est donc bien adapté à l'étude de variables statiques (potentiel thermodynamique, etc ...) mais pas aux calculs de sections efficaces. De plus, du fait de cette périodicité, les propagateurs sont assez différents de ceux utilisés à T = 0 et de nouvelles techniques de calculs sont alors requises.

Si Ton veut retrouver la forme du propagateur à T = 0, il est nécessaire de parcourir

au moins une fois l'axe réel de — oo à +ce, ou dans notre cas de U à tj en faisant ensuite

tendre ces valeurs vers Tinfini puisque Ton veut un résultat indépendant des conditions

initiales. Le chemin le plus simple se présente ainsi

I m ( t ) ^ . tf R e ( t )

t.

R

^SJ

où (T peut prendre la valeur que l'on désire. Comme on le verra par la suite, ce choix offre certains avantages et permet de travailler avec des jeux de propagateurs différents selon l'usage. Les observables ne doivent pas bien sûr dépendre de la valeur de a.

D'autre part, rien n'interdit de prendre un chemin plus compliqué, par exemple de faire plusieurs allers et retours. A chaque choix de contour correspondent des règles de Feynman différentes [8].

Dans le calcul de G(x — y) il faut maintenant considérer les différents cas selon que X

et yo appartiennent aux différents contours

En fait, on peut montrer que, si yo est situé sur Ca ou sur C4, G est nulle quel que soit XQ. Ceci est dû au fait que l'on prend les limites U -* —00 et tj —> +00. Cette opération revient à ne pas tenir compte des conditions initiales (voir Landsman & Van Weert). II reste donc à a?o et Vo d'être sur Ci ou sur Ci-, ce qui nous laisse quatre possibilités et donc quatre expressions du propagateur (selon les valeurs de Xo et de yo)> que l'on écrit habituellement sous forme matricielle (2x2).

On part de l'expression de G

(3.32) que l'on récrit

J («*,-*» L (3.33)

de manière à séparer les parties T = 0 et T ^ 0 (première et deuxième ligne). Considérons maintenant les quatres possibilités (par la suite XQ et j/o seront des variables réelles), i) I

et yo S C\

- y) = I j0^ [

n

(u) (e"<«-»> + «-'*(•-»)) 1 (3.34)

L'intégrale sur Jb0 étant effectuée par la méthode des résidus (2 pôles à k0 = ±(w - itf)), il est nécessaire d'introduire ce petit paramètre rj > O qui assure la convergence à l'infini de

l'intégrale dans le plan complexe. On doit prendre la limite 77 —• 0 à la fin du calcul. Ce propagateur est celui obtenu dans les premières ébauches du formalisme à temps réel [9].

On y observe immédiatement l'avantage de cette approche en retrouvant le propagateur à T = 0 (premier terme) plus un terme venant des effets du bain thermique (deuxième terme). Néanmoins, l'utilisation de ce seul propagateur amène rapidement à la présence de pathologies dues à des produits de fonctions delta, ^es termes mal définis sont compensés par des termes provenant de G(x — y) avec £ ou y sur le contour C2, comme on le verra par la suite,

ii) xo — icr et yo — iv € C2

- y) = J j0^ [*(yo ~ *o)e-'*<*-»> + 0(x

- y

)e"f-»>

( " < >

l ï ) I (3.35)

Ce n'est que le complexe conjugué de Gn(x — y).

iii) Xo € C\ et yo — ia 6 C2

12

(X - y) = J J

(3.36)

iv) X⁰ — «o¹ € C² et yo € Ci

G

i(x - y) = J j

(2*)*

(3.37) Nous écrivons la transformée de Fourier du propagateur sous forme matricielle,

0

(3.38)

Dans cette équation le propagateur dépend en fait de ko et de k séparément.

Le choix de a = 0/2 permet de retrouver la forme exacte des propagateurs dans le formalisme de la dynamique des champs thermiques que l'on peut écrire sous une forme assez esthétique,

-17-

(3.39) avec

( œshdk s i n h M

e - "u' /2( l - e - ^u' ) " 2 . (3.41) A est le propagateur de Feynman à température nulle

<3-4 2>

Ce choix du contour C aboutit donc à résultat qui peut être interprété comme un dou- blement des degrés de liberté. A toute particule sont associés des degrés de liberté (1) et (2). Les composantes G;;- permettent la propagation d'un degré i à un degré j . le degré (I), qui correspond à une interaction ayant lieu à un temps réel, est un degré de liberté physique. Le degré (2), qui correspond à une interaction ayant lieu à un temps complexe, est un degré de liberté fantôme. G n engendre un champ physique à partir d'un champ physique. A température nulle il se réduit au propagateur habituel. De même G22 engen- dre un champ fantôme à partir d'un champ fantôme. Les éléments non diagonaux G12 et G21 changent un champ physique en un champ fantôme et inversement. Le couplage a lieu entre les champs physiques et les fantômes séparément. A la limite T —> 0 les fantômes se découplent du monde physique car les propagateurs non diagonaux s'annulent.

Pour faire apparaître ce doublement des champs moins artificiel, il suffit de prendre une valeur différente de c, le paramètre du contour Ci. Pour a = 0 on retrouve le formalisme développé par Keldysh [4], et aussi les propagateurs des règles de coupure que nous verrons dans le chapitre suivant, soit

*, ... ( A(Jb) e(-kQ)2TS(k2 - m2)\ , . r /,2 2, , x / l l \ (3.43) où l'on a mis explicitement dans le premier terme les propagateurs des règles de coupure à T = 0, et dans le deuxième terme la contribution à température finie parfaitement symétrique.

L'avantage de ce formalisme à temps réel (quel que soit a) est d'avoir les formes parti- culières des propagateurs (3.39) et (3.43) qui permettent d'affirmer immédiatement que la théorie est renormalisable, pourvue qu'elle le soit à T = 0. En effet, excepté dans le terme T = O, les facteurs thermiques détruisent toute contribution aux grandes impulsions. La température n'introduit donc aucune divergence ultraviolette supplémentaire. Par contre, on n'est pas à l'abri de singularités infra-rouges plus catastrophiques qu'à T = 0, le fac- teur statistique de Bose-Einstein étant divergent aux petites impulsions. Nous verrons ces problèmes dans les chapitres III et IV.

Nous avons pris ici la méthode de la quantification canonique, dont l'avantage est de donner une idée plus "physique" de la théorie des champs. L'approche fonctionnelle, dont la puissance se révèle surtout dans le cas des théories de jauge, a aussi été effectuée à température finie [6]. Ainsi, bien que l'on ait pris ici le cas le plus simple d'un champ scalaire, les propagateurs à T ^ O pour des champs de jauge, fermions et bosons, en QED ou en QCD, s'obtiennent d'une façon analogue. On aura toujours cette partie scalaire (3.39) spécifique de la température finie. Notons que l'on associe aux champs fantômes de jauge une distribution statistique de Bose-Einstein, bien que ces champs soient des champs pseudo-fermioniques.

Les règles de Feynman sont sensiblement les mêmes qu'à T = O. Pour le calcul du terme d'ordre N du développement perturbatif d'une fonction de Green, on trace tous les diagrammes topologiquement inéquivalents. Les facteurs de symétrie associés à chaque diagramme, ainsi que les intégrations sur les impulsions, sont identiques au cas T = O Toutefois, on doit distinguer les deux types de vertex, (I) et (2). A une ligne reliant le vertex (a) au vertex (b) et transportant l'impulsion A; est associée le propagateur G

b(k).

Le couplage pour le vertex (I) est le même qu'à T = O, mais celui du vertex (2) a un signe

opposé. Pour une fonction de Green "physique" (dont les lignes externes représentent

des états physiques) on distingue les vertex externes (auquels aboutit au moins une ligne

externe) des vertex internes (reliés à des champs virtuels). Les vertex externes sont toujours

du type (1) tandis que les vertex internes peuvent être du type (1) ou (2).

4- Applications aux fonctions de Green à deux points

Avant d'aller plus loin dans les généralités, nous allons appliquer le formalisme précé- dent au calcul de fonctions de Green à deux points, appelées aussi self-énergies et notées ici —iS. La structure des propagateurs thermiques engendre temporairement des termes mal définis sous forme de (6(k))². Utilisant l'équation de Dyson, nous allons voir quelle est la structure de la self-énergie, et comment cette structure permet de se débarrasser de toutes ces pathologies à tous les ordres du développement perturbatif. La plupart des résultats présentés ici ne sont pas nouveaux et ont été obtenus par Kobes et Semenoff [10].

La fonction de Green à deux points T>ai, avec a, b € {1,2}, devant satisfaire les conditions de KMS, on peut montrer [11] qu'elle possède à tous les ordres la structure matricielle que l'on a obtenu pour le propagateur libre (éq.(3.39) )

). (4-1) Le propagateur renormalisé est défini via l'équation de Dyson qui resomme les contributions à tous les ordres de la self-energie, soit

*—ÇJJfy *

(4.2)

= Dab + Dae (-«

La self-energie doit donc être elle aussi de la forme suivante (éqs.(4.1),(4.2))

-iSaè(ft) = U~\0,k) ( - ' £ ( * ) , . j , ? ^ ) CT1O?,ft). (4.3) On voit ainsi que l'équation de Dyson (4.2) ressemble fort à celle que l'on obtient à T = 0.

En effet, elle admet la solution

V{k) = -T= ' . (4.4) k2 — m2 - S + ITf

Mais les équations (4.3) permettent aussi d'obtenir les relations suivantes entre les différen- tes self-energies, à savoir dans le cas bosonique

^ _ ImSu . cosh(/?*

/2)'

(4.5)

ReS = ReSn , ImS = tanh(/?fco/2)

D'une façon analogue, on déduit dans le cas fermionique avec un potentiel chimique nul les relations

. ImS11

sinh(/?p⁰/²) EM = - E I¹;

ReS = ReS¹¹ , ImS = coth(/9&⁰/2) ImS¹¹.

On peut montrer dès maintenant l'absence de pathologies dans l'équation de Dyson, les insertions du type

D^ab(-iV^bc)D^cd, (4.7) ne contenant pas de produits de fonctions 6. En effet, considérons à titre d'exemple l'ordre (1) de l'équation de Dyson pour le propagateur 11, soit

. (4.8) EK utilisant les relations établies sur S^aj, eqs.(4.5), et les propagateurs (cas bosonique)

(4.9)

on arrive à montrer, après un peu d'algèbre, que l'équation (4.8) devient

(4.10)

Toutes les singularités "pincées", A(k)A*(k), ayant disparues. Notons bien que ce sont effectivement celles-ci qui sont ambiguës. Les propagateurs thermiques présents dans la théorie permettent ainsi de faire disparaître de tels termes. En notant les relations entre S u et S, cette dernière equation peut encore s'écrire comme

(4.11)

21-

On peut aisément généraliser à tous les ordres, et pour les différents propagateurs, on obtient une structure analogue aux éqs.(4.9) :

2 sinh *y-

(4.12) 2 sinh ^r

II est trivial d'étendre ces équations aux autres composantes Di\ et D22 du propagateur.

Des relations similaires s'obtiennent aussi dans le cas fermionique. Nous avons ainsi prouvé l'absence de pathologies (termes en 6

(k)) à tous les ordres du développement perturbatif, puisque ceux-ci n'apparaissent que dans l'équation de Dyson. C'est grâce à la structure matricielle du propagateur thermique qu'un tel résultat a pu être obtenu, contrairement à l'approche initiale du formalisme à temps réel qui n'utilisait que la composante (11) des propagateurs.

Les résultats précédents peuvent encore se simplifier si l'on note la relation suivante, appelée "formule de la dérivée en masse" [12],

1 / A/;,\\n+l _ *

ni On obtient alors les deux relations

(4.14)

où le symbole PP indique la partie principale (à utiliser bien sûr dans une intégrale). En décomposant S" en partie réelle et partie imaginaire, on aboutit à

fc) = c o t h ^ ™ f ^ J Re(2

(fc)A(fc)),

(4.15)

Ces relations permettent de calculer facilement des diagrammes à N boucles. Pour effectuer

l'intégration, on peut procéder de la manière suivante. On remplace (d/dm?)

par {d/dml)

de l'intégrale que l'on effectue à l'aide du

[12],

Appendice : Le théorème de Wick

Revoyons d'abord la formulation du théorème de Wick à T = 0, où les moyennes d'opérateurs sont effectuées sur l'état du vide noté |0 >.

Soit 2n opérateurs bosoniques ou fermioniques 1, , r = 0,1...2n en représentation d'interaction. Chaque b

est une combinaison d'opérateurs de création et d'annihilation, associés à un temps t

,

br = br + b^er, (AA)

avec

6?|0>=0 et <0\b

= 0. (A.2)

Pour plus de clarté notons : < A >=< 0\A\0 >.

Le théorème de Wick permet d'écrire le produit-T de ces 2n opérateurs moyennes sur le vide comme la somme de toutes les contractions possibles entre opérateurs pris deux à deux, soit

< T(fl ^) >=

1

où P est le nombre de permutations qui permettent de passer de l'arrangement à gauche à l'arrangement à droite.

On démontre ce théorème par récurrence: le cas n = 1 est évident

< T(bih) > = < T(I

It

) > . (AA) On suppose la propriété vraie pour 2(n — 1) opérateurs b

et on la démontre pour 2n opérateurs. Soit c i , . . . , c

un réarrangement des b

dans l'ordre des temps décroissant.

On a alors

Ci = b

où q = max(i

), (-4.5)

et puisque les <v sont rangés dans l'ordre des temps décroissant

Y[ Y[. (.4.6)

L 1

Ainsi

2n 2n

1 1 2

où Pi est le nombre de permutations nécessaires pour passer de la suite b

à la suite c

.

De même

2n 2n

2

2n (.4.8)

= (-l)*<c?JJc

>.

On va maintenant faire passer c\ à travers le produit des cr. Si on définit le commutateur (ou anticommutateur) comme

[c\,cr]a = c\cr + <rcrc\, (.4.9)

2n 2n 2n

on a alors

< T(JJ b

) > = ( - l )

( < [c?, C

J

J J c

-a < C

C? J J c

>). (A.10)

I 3 3

On recommence avec le deuxième terme jusqu'à retrouver c* complètement à droite ce qui donne zéro. Soit

2n 2n In

< T(JJ ^r) >= ( - , * ] . < JJ c, > .

Puisque [c^Cr],, est un c-nombre, il peut être sorti de la moyenne. Utilisant [cî,cr],, = < [c?,cr],, >

on arrive a

ou encore

=< T(cicr) >,

2r> In

br) >= (~l)

^ (

1 r=2

2n

T(JJ br) >= ( -

2n

r a i

In

X T(JJ

• • »

2n

T(

« a l

(.4.12)

(A13)

Le deuxième terme est un produit-T de 2(n — 1) opérateurs supposé vérifié le théorème de Wick. Ce théorème est donc vérifié pour 2n opérateurs, à un signe près. On vérifie aisément que c'est le bon signe puisque les permutations étant des bijections, le fait de passer de la suite br à la suite cr puis à la suite br ne change pas le signe.

A T 76 O la formulation du théorème de Wick est identique, sauf que les moyen- nes ne sont plus effectuées sur le vide mais sur les états de l'ensemble canonique. Con- sidOrons d'abord la valeur moyenne pour un système sans interaction du commutateur d'un opérateur A avec un annihilateur ou un créateur br,

< [br,AU >0 = Z0"lTr(e-*H°(brA + a Ab1.)) b1. + <Tbre~ Wo)A)

On utilise ensuite le fait que HQ s'écrit comme une combinaison linéraire de produits d'annihilateurs et de créateurs, de sorte que [6r,/f0] = ±eèr, où l'on a le signe (—) si br

est un créateur et le signe (+) si br est un annihilateur. Alors

= b^r- j3b^rH^Q + ^b^rH% + ...

= b

- 3(H

b

±eb

)+

J[HlK + e

6

± 2eH

b

) + ...

= b

- 0(H

± e)b

+ C(H

± e ) \ + ...

En remplaçant cette expression dans (A.15) on aboutit à

< [br,A]9 >o = Z0

Par analogie avec la démonstration à T = O on aura

2n 2n

1 2 2n

= (-l)

<[ci,JJc

], >o(l + e

2

2n 2n

= (-l)Pl([ci,C2]<, < J J Cr >0 -<T < C2[Cl, J J Cr] >o)(l

3 3 2n 2n

= ( — 1 ) ' x ( — ^ )r[cl »cr l < r < I I C» > o ( 1 +O1C l ) ~ ,

r=2 ••»

(.4.18) où l'on a utilisé

[A, 5C ] = [.4, B]9C - (TB[A, C]9;

(.4.19) [^i, BC]0 = H, B]0 C - cB[A, C].

Or

[Cl, C1.],, = < [cuCT]a >0

= ( 1 + <7e^^El ) < C¹Cr >⁰ (A.20)

et donc

i f

>o= (-l)

ir,(-cr)

< T(C

Cr) >

< T(f[c.) >o •

r = 2

On retrouve la même expression (A. 14) qu'à T = 0 et le théorème est donc vérifié. Notons

que ce théorème est valable pour n'importe quel arrangement des temps t

défini par

l'opérateur chronologique T, en particulier pour le produit-T

défini pour des variables

temporelles complexes.

References

[Ij T. Matsubara, Prog.Theor.Phys.14 (1955) 351.

[2] J. Schwinger, J.Math.Phys.2 (1961) 407.

[3] R. Mills, Propagators for Many-Particle Systems (Gordon and Breach, New-York, 1969).

[4] L.V. Keldysh, Sov.Phys.20 (1964) 1018.

[5] H. Umezawa, H. Matsumoto and M. Tachiki, Thermo Field Dynamics and Condensed States (North Holland, Amsterdam, 1982).

[6] C W . Bernard, Phys.Rev.D12 (1974) 3312;

R.L. Kobes, G.W. Semenoff and N.Weiss, Z.Phys C29 (1985) 371.

[7] H.A. Weldon, à paraître dans Annals of Physics.

[8] H. Matsumoto, Y. Nakano and H. Umezawa, J.Math.Phys. 25 (1984) 3076.

[9] L. Dolan and R. Jackiw, Phys.Rev.D9 (1974)3320.

[10] R.L. Kobes and G.W. Semenoff, Nucl.Phys.B260 (1985) 714.

[11] G.W. Semenoff and H. Umezawa, Nucl.Phys.B220 (1983) 196.

[12] Y. Fujimoto and R. Grigjanis, Z.Phys.C28 (1985) 395.

• Pour des revues assez succintes sur la Théorie des Champs à Température Finie voir par exemple

[A] L. Van Hove, Phys.Rep.137 (1986) 11.

[B] M. Marinaro, Phys.Rep.137 (1986) 81.

• Pour une revue assez complète voir

[C] N.P. Landsman and Ch.G. Van Weert, Phys.Rep.145 (1987) 141.

• Citons enfin trois autres sources utiles,

[D] A.L. Fetter and J.D. Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Systems, (Mc- Grawhill, New-York, 1971).

[E] Quantum Field Theory, ed F. Mancini, (North-Holland, Amsterdam, 1986).

[F] R. C. Tolman, The Principles of Statistical Mechanics, (Oxford University Press, 1938).

CHAPITRE II. REGLES DE COUPURES

1- Introduction

II reste maintenant à trouver et à définir quelles sont les quantités mesurables à tempé- rature finie. En physique statistique on pense bien sûr à la pression, l'entropie, etc Ces quantités se dérivent des fonctions thermodynamiques comme l'énergie libre F = —T log Z qui admet elle aussi un développement perturbatif (voir l'éq.(3.25), chap.I). Dans le cas d'un système en équilibre, il s'agit là bien évidemment de quantités statiques qui peuvent être calculées dans le formalisme à temps imaginaire. Mesurer ces observables, surtout dans le cas d'un plasma de quarks et de gluons, est un autre problème.

Avec le formalisme à temps réel, nous pouvons étudier des quantités dynamiques,

par exemple les diffusions de particules. Comment définir une diffusion à température

finie? On peut très bien imaginer que notre système quantique se compose de particules

4>i en équilibre thermodynamique et confiné dans une certaine région de l'espace-temps,

il est possible de "sonder" ce système sans affecter ses caractéristiques à l'aide d'un autre

type de particules <t>2 qui interagissent faiblement avec ce système. Nous retrouvons ainsi

un processus de diffusion comme à T = 0. On peut calculer la diffusion de la particule

4>2 avec le système thermique, à savoir les taux de production et d'absorption de cette

particule, ainsi que les processus inélastiques profonds. Toutes ces quantités peuvent être

reliées à des discontinuités de fonctions de Green, lesquelles sont obtenues grâce à ce qu'on

appelle les règles de coupures. Nous allons maintenant voir la généralisation de ces règles

à température finie.

2- Règles de coupures à T = 0

A T = 0, il existe des règles [1] qui relient la partie imaginaire d'un diagramme à des produits d'amplitudes de Feynman. Très récement, Kobes et Semenoff [2] ont montré que des règles similaires existent aussi à T ^ 0, dans le cas où toutes les pattes externes représentent des particules physiques ce qui est bien évidemment le cas qui nous intéresse ici.

Revoyons d'abord le cas T = O (pour plus de détails, on pourra se référer à l'article de t'Hooft et Veltman [I]). On considère un diagramme de Feynman de topologie donné noté G(xi,... , xn) . C'est la partie de la fonction de Green à n points qui correspond à cette topologie (on ne somme pas sur les topologies).

Chaque propagateur de Feynman peut être décomposé deux parties, A*, avec énergie positive et négative respectivement.

A(x) = 9(xo)A

(x) + 9(-X

)A-(X). (2.L)

a) prendre A(xj — Xj ) entre un vertex x,- et un vertex Xj b) prendre A+(Xj — Xj) entre un vertex Xj et un vertex Xj

c) prendre A ~ ( X J — Xj) entre un vertex x» et un vertex Xj d) prendre A*(x,- — Xj) entre un vertex x^ et un vertex Xj

e) renverser le signe de la constante de couplage du vertex si celui-ci est souligné.

Il est alors évident que la fonction de Green physique est

G ( x i , . . . , xn) = F(X1,.. . , xn) . (2.2) Considérons une de ces quantités, F(... , x,-,. . . , x ^ , . . . ) à n points d'espace-temps x<.

Prenons maintenant parmi ces points celui dont la coordonnée de temps x? est la plus grande. Alors,

A(x,- -Xj) = A+(Xi- xj) V i , (2.3)

ce qui donne dans un diagramme, selon les points b) et e) de nos règles définies précédem- ment,

F ( a r i , . . . , X i , . . . , £

, . . . , x

) = - F ( a ; i , . . . , x

, . . . , £

, . . . , a ;

) Vj. (2.4)

Cette équation, appelée équation du plus grand temps, possède pour corrolaire la suivante F(X1,...,X1,...,xn) = 0, (2.5) où l'on somme sur toutes les façons possibles de souligner ou non les x,-. L'éq.(2.5) est simplement l'addition de l'éq.(2.4) sur tous les j avec l'expression à droite mise à gauche.

On reconnaît dans cette somme deux termes particuliers, celui où aucun des vertex n'est souligné, F(X1,...,x,-,...,Xn), identique à G(xi,...,Xn) et celui où tous sont soulignés, F(xj_,... , £ i , . . . ,X2) qui est le complexe conjugué du précédent,

F ( X1, . . . , X l , . . . , X n ) = F ( X1, . . . , X i , . . . , Xn) *

= G(xi,.. .,Xn)*.

La conjugaison complexe définie ici concerne seulement la partie scalaire des propagateurs et les couplages; en aucun cas elle ne concerne les matrices 7 qui apparaissent en QED ou en QCD.

En isolant ces deux termes dans l'éq.(2.5) on obtient ce qu'on appelle l'équation des règles de coupure,

I m ( i G ( x i , . . . , Xn) ) Z S - L ^ F ( X1, . . . , X i , . . . , Xn) (2.7)

<•)

où la somme s'étend sur toutes les façons possibles de souligner ou non les i,- sauf les deux cas où aucune et où toutes les variables sont soulignées. L'éq.(2.7) relie la partie "imagi- naire" d'un diagramme aux diagrammes "coupés". Notons qu'en fait il s'agit bien de la par- tie réelle de la fonction de Green, c'est à dire la quantité physique intéressante, mais l'usage est de parler de la partie imaginaire par un changement de notation. L'interprétation en termes de coupures s'opère dans l'espace des impulsions.

En effectuant une transformée de Fourier des équations précédentes, on intègre sur toutes les coordonnées d'espace-temps. Toutefois, la nature des vertex, soulignés ou non soulignés, n'est pas affectée par cette opération. Dans l'espace des impulsions, on qualifie respectivement cerclé/non cerclé les vertex soulignés/non soulignés que l'on avait dans l'espace des x. Ainsi, les éqs.(2.7) ,(2.5) restent valables dans l'espace des impulsions, à condition de remplacer la somme sur les vertex soulignés z» par une somme sur les vertex cerclés u,\ Notons que l'éq.(2.4) n'a pas d'équivalent dans l'espace des impulsions car la coordonnées d'espace-temps x$ y joue un rôle particulier. Les transformées de Fourier des propagateurs introduits par l'éq.(2.1) sont (toujours dans le cas d'un champ scalaire)

A(k) A-(k) \ _ ( i/(k2 - m2 + ir,) *(-*O)2JT*(*2 _ m2} x

A+(ib) A*(/fe) ) ~ \O(ko)2v6(k2 - m2) -if{k2 -m2- it}) J '

Les contraintes exercées par les propagateurs "coupés", A*, forcent le flux d'énergie à se diriger vers les vertex non cerclés. De cette manière, de nombreux termes sont appelés à disparaître dans la partie droite de l'éq.(2.7) . Seuls vont rester des graphes tels que les vertex cerclés et les vertex non cerclés, chacun séparément, forment des domaines connexes.

Il est alors possible de "couper" ces diagrammes le long de la frontière séparant les deux régions. Considérons par exemple le graphe suivant représentant la polarisation du vide, de quadri-impulsion externe q telle que qo > 0,

ZJT \~~= —<Q J _(2.9)

II est bien connu que la partie imaginaire du tenseur polarisation du vide est reliée au processus de création d'une paire fermion-antifermion, soit

Im(

* - 7*) = i(7* - /

/ " )

( 7 * -> /

D - (2.10) Ce qui, à tous les ordres, peut s'écrire comme

Im(

* -> 7*) = \ £ ( 7 * - P)

(T* - P), (2.11)

p

où l'on somme sur tous les états intermédiaires \p >. Cette équation ne reflète rien d'autre que l'unitarité de la matrice S. En effet si l'on écrit 5 = 1 + iT, on a alors

(2.12) où Tji =< f\T\i >. Les diagrammes correspondant à la matrice T

peuvent être obtenus à partir de ceux correspondant à T en renversant les sens des propagateurs et en prenant

L'éq.(2.7) est plus puissante dans le sens qu'elle agit pour une topologie donnée, tandis que l'éq.(2.12) , même considérée ordre par ordre, tient compte de toutes les topologies contribuant au processus étudié. En ce sens, l'avantage de l'éq.(2.7) est de rendre plus transparent le mécanisme de compensation des singularités de masse qui a lieu a l'intérieur de chaque topologie [3]. En effet, considérons une correction radiative au processus de l'éq.(2.9). On aura alors les diagrammes suivants,

1

^

v_y ^(2.13)

1

Les deux premiers diagrammes correspondent, en termes d'amplitudes, à la correction à

la self-energie multipliée par le terme de Born. Le troisième diagramme correspond à la

partie diagonale du processus réel d'émission d'un photon, processus dont la probabilité

est le carré d'une somme de deux amplitudes (le photon peut être sur l'une des deux pattes

au choix). La partie non diagonale est associée à une autre topologie. La compensation

des singularités de masse (In m) s'opère entre les deux premiers graphes (la correction

virtuelle) qui ont un signe global négatif par le point e) des règles de construction de ces

graphes et le troisième (la correction réelle) qui a un signe global opposé.