Terminale STG Exercices sur le chapitre 3 : E4. Page n ° 1 2007 2008
E4 Résolution de problèmes d'optimisation à une variable.
N ° 8 ( extrait du bac de Polynésie en 2005 ).
Une entreprise fabrique et commercialise des appareils.
On suppose que cette entreprise est capable de répondre à la demande des consommateurs.
Le prix de vente d'un appareil, exprimé en milliers d'euros, est noté x.
Le nombre d'appareils demandés par les consommateurs et vendus peut être exprimé, en fonction du prix de vente unitaire x, par d ( x ) = - 40x + 220 pour x appartenant à l'intervalle [ 1 ; 5 ].
1. Calculons le nombre d'appareils vendus si le prix de vente unitaire est fixé à 1,2 milliers d'euros.
Donnons alors le chiffre d'affaires réalisé ( en milliers d'euros ) ?
x représente le prix de vente d'un appareil exprimé en milliers d'euros. Ici x = 1,2.
Le nombre d'appareils vendus est donné par la formule d ( x ) = - 40 x + 220.
Donc d ( 1,2 ) = - 40 1,2 + 220 = -48 + 220 = 172.
Ainsi le nombre d'appareils vendus si le prix de vente unitaire est fixé à 1,2 milliers d'euros est égal à 172. Le chiffre d'affaires est le produit du nombre d'appareils vendus par le prix de vente unitaire.
Dans ce cas, le chiffre d'affaires réalisé est donc égal à 172 1,2 = 206,4 milliers d'euros.
2.
f ( x ) est le chiffre d'affaires réalisé, en milliers d'euros, lorsque les appareils sont vendus au prix unitaire x.
a. Montrons que pour tout x élément de l'intervalle [ 1 ; 5 ], f ( x ) = - 40x² + 220x.
Soit x [ 1 ; 5 ] alors f ( x ) = d ( x ) x = ( -40 x + 220 ) x = - 40x² + 220 x b. Calculons f ' ( x ) où f ' désigne la dérivée de la fonction f.
f ' ( x ) = - 40 2x + 220 = - 80x + 220.
c. Etudions le signe de f ' ( x ). Déduisons en le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [ 1 ; 5 ].
Soit x [ 1 ; 5 ] alors f ' ( x ) = 0 - 80x + 220 = 0 -80x = - 220 x = = 2,75.
x 1 2,75 5
f ( x ) + 0
Si x [ 1 ; 2,75 [ alors f ' ( x ) > 0 Si x ] 2,75 ; 5 ] alors f ' ( x ) < 0 Si x = 2,75 alors f ' ( x ) = 0.
x 1 2,75 5
signe de f + 0
302,5 f
180 100
d. Reproduisons et complétons le tableau de valeurs :
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x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
f ( x ) 180 240 280 300 300 280 240 180 100
e. Représentons graphiquement la fonction f dans un repère orthogonal du plan.
Unités graphiques : axe des abscisses : 1 cm pour 0,5 milliers d'euros ; axe des ordonnées : 1 cm pour 20 milliers d'euros.
Voir feuille de papier millimétrée.
f. Déterminons le prix de vente unitaire pour lequel le chiffre d'affaires est il maximal.
Donnons le montant de ce chiffres d'affaires maximal.
D'après le tableau de variation, c'est pour un prix de vente de 2,75 milliers d'euros que le chiffre d'affaires est maximal et il est de 302,5 milliers d'euros.
3. Pour la fabrication de ces appareils, les coûts fixes s'élèvent à 75 milliers d'euros.
De plus, la fabrication de chaque appareil revient à 2 milliers d'euros.
On note c ( x ) le coût total de fabrication des appareils vendus, ( en milliers d'euros ) pour un prix unitaire x ( en milliers d'euros ).
a. Montrons que c ( x ) = 75 + 2 d ( x ). Déduisons en que c ( x ) = - 80x + 515.
c ( x ) est le coût total de fabrication des appareils vendus ( en milliers d'euros ) pour un prix
unitaire x en milliers d'euros. Ainsi le coût total est égal au coût fixe auquel il faut ajouter la fabrication de chaque appareil qui revient à 2 d ( x ).
Donc c ( x ) = 75 + 2 d ( x ) = 75 + 2 ( -40x + 220 ) = 75 - 80x + 440 = - 80x + 515.
b. Représentons graphiquement la fonction c dans le repère précédent.
( on indique les coordonnées des points utilisés pour le tracé ).
Voir repère la fonction c est représentée par une droite qui passe par les points ( 1 ; 435 ) et ( 5 ; 115 ).
4. A l'aide du graphique, et en justifiant la réponse, déterminons l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice ( valeurs arrondies à 0,1 millier d'euros ).
Voir graphique. L'entreprise réalise un bénéfice lorsque le chiffre d'affaires est supérieur au coût total . Autrement dit lorsque la courbe de f se situe strictement au dessus de la droite représentant c.
L'ensemble des solutions est [ 2,6 ; 4,8 ].
Autrement dit l'entreprise réalise un bénéfice pour des prix de ventes des appareils compris entre 2600 et 4800 euros.
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1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 -0.5
-1
40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320
-20 -40 -60
0 0.5 20
x y
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