Cours de terminale S Récurrence
A. OLLIVIER
Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer
2019-2020
A. OLLIVIER Cours de terminale S Récurrence
En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d’un entier natureln.
Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 ànest égale
à n(n+1)
2
On peut vérifier l’exactitude de ce résultat pourn=2,n=3, etc :
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d’un entier natureln.
Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 ànest égale
à n(n+1)
2
On peut vérifier l’exactitude de ce résultat pourn=2,n=3, etc :
Pourn=2 : . . . .
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En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d’un entier natureln.
Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 ànest égale à
n(n+1) 2
On peut vérifier l’exactitude de ce résultat pourn=2,n=3, etc :
Pourn=2 : 1+2=3 et 2(2+1)
2 =3
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d’un entier natureln.
Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 ànest égale à
n(n+1) 2
On peut vérifier l’exactitude de ce résultat pourn=2,n=3, etc :
Pourn=2 : 1+2=3 et 2(2+1)
2 =3
Pourn=3 : . . . .
A. OLLIVIER Cours de terminale S Récurrence
En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d’un entier natureln.
Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 ànest égale
à n(n+1)
2
On peut vérifier l’exactitude de ce résultat pourn=2,n=3, etc :
Pourn=2 : 1+2=3 et 2(2+1)
2 =3
Pourn=3 : 1+2+3=6 et 3(3+1)
2 =6
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Même si on le vérifie jusqu’àn=100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour toutn.
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Même si on le vérifie jusqu’àn=100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour toutn.
Pour effectuer cette démonstration, on dispose d’un outil particulier : le raisonnement par récurrence.
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Même si on le vérifie jusqu’àn=100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour toutn.
Pour effectuer cette démonstration, on dispose d’un outil particulier : le raisonnement par récurrence.
Idée : le raisonnement par récurrence "est un instrument qui permet de passer du fini à l’infini" (Poincaré).
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Le principe est le suivant : si on peut se placer d’abord sur un barreau d’une échelle, et si on peut ensuite passer d’un barreau quelconque à son sui- vant, alors on peut gravir tous les bar- reaux de cette échelle.
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A. OLLIVIER Cours de terminale S Récurrence
Pour démontrer par récurrence qu’une propositionPnest vraie pour tout entier natureln≥n0, (n0un entier naturel
quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes :
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pour tout entier natureln≥n0, (n0un entier naturel
quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie quePn0 est vraie, c’est-à-dire que Pnest vraie pourn=n0.
C’est le premier barreau de l’échelle.
A. OLLIVIER Cours de terminale S Récurrence
Pour démontrer par récurrence qu’une propositionPnest vraie pour tout entier natureln≥n0, (n0un entier naturel
quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie quePn0 est vraie, c’est-à-dire que Pnest vraie pourn=n0.
C’est le premier barreau de l’échelle.
Hérédité : On suppose que pour un entierk quelconque, la propositionPk est vraie. Sous cette hypothèse, on
démontre que la propositionPk+1est vraie.
C’est le passage d’un barreau quelconque au suivant.
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pour tout entier natureln≥n0, (n0un entier naturel
quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie quePn0 est vraie, c’est-à-dire que Pnest vraie pourn=n0.
C’est le premier barreau de l’échelle.
Hérédité : On suppose que pour un entierk quelconque, la propositionPk est vraie. Sous cette hypothèse, on
démontre que la propositionPk+1est vraie.
C’est le passage d’un barreau quelconque au suivant.
Conclusion :Pnest vraie pour tout entiernou pour tout entiern≥n0.
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Exemple
Montrons que
n
X
q=1
q=1+2+. . .+n= n(n+1)
2 .
On note cette propositionPn(pourn∈N).
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Montrons que
n
X
q=1
q=1+2+. . .+n= n(n+1)
2 .
On note cette propositionPn(pourn∈N).
Initialisation : . . . . . . . .
. . . .
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Exemple
Montrons que
n
X
q=1
q=1+2+. . .+n= n(n+1)
2 .
On note cette propositionPn(pourn∈N).
Initialisation :Montrons quePnest vraie au rang 1, c’est-à-dire queP1est vraie :
1(1+1)
2 =1 ; c’est vérifié.
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Hérédité : . . . .
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Hérédité : Supposons que, pour un certain rangk,Pk est vraie, c’est-à-dire que :1+2+. . .+k = k(k +1)
2 .
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est vraie, c’est-à-dire que :1+2+. . .+k = k(k +1)
2 .
Montrons alors quePk+1est vraie : c’est-à-dire que :
1+2+. . .+ (k+1) = (k +1)(k+2)
2 .
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Hérédité : Supposons que, pour un certain rangk,Pk est vraie, c’est-à-dire que :1+2+. . .+k = k(k +1)
2 .
Montrons alors quePk+1est vraie : c’est-à-dire que :
1+2+. . .+ (k+1) = (k +1)(k+2)
2 . Or
1+2+. . .+k+ (k+1) =
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est vraie, c’est-à-dire que :1+2+. . .+k =
2 .
Montrons alors quePk+1est vraie : c’est-à-dire que :
1+2+. . .+ (k+1) = (k +1)(k+2)
2 . Or
1+2+. . .+k+ (k+1) = k(k+1)
2 + (k +1) =
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Hérédité : Supposons que, pour un certain rangk,Pk est vraie, c’est-à-dire que :1+2+. . .+k = k(k +1)
2 .
Montrons alors quePk+1est vraie : c’est-à-dire que :
1+2+. . .+ (k+1) = (k +1)(k+2)
2 . Or
1+2+. . .+k+ (k+1) = k(k+1)
2 + (k +1) = (k+1) k
2+1
!
=
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est vraie, c’est-à-dire que :1+2+. . .+k =
2 .
Montrons alors quePk+1est vraie : c’est-à-dire que :
1+2+. . .+ (k+1) = (k +1)(k+2)
2 . Or
1+2+. . .+k+ (k+1) = k(k+1)
2 + (k +1) = (k+1) k
2+1
!
= (k +1)(k+2)
2 .
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Hérédité : Supposons que, pour un certain rangk,Pk est vraie, c’est-à-dire que :1+2+. . .+k = k(k +1)
2 .
Montrons alors quePk+1est vraie : c’est-à-dire que :
1+2+. . .+ (k+1) = (k +1)(k+2)
2 . Or
1+2+. . .+k+ (k+1) = k(k+1)
2 + (k +1) = (k+1) k
2+1
!
= (k +1)(k+2)
2 . DoncPk+1est vraie
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est vraie, c’est-à-dire que :1+2+. . .+k =
2 .
Montrons alors quePk+1est vraie : c’est-à-dire que :
1+2+. . .+ (k+1) = (k +1)(k+2)
2 . Or
1+2+. . .+k+ (k+1) = k(k+1)
2 + (k +1) = (k+1) k
2+1
!
= (k +1)(k+2)
2 . DoncPk+1est vraie
Conclusion : La propriétéPnest vraie pour toutn≥1,
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Hérédité : Supposons que, pour un certain rangk,Pk est vraie, c’est-à-dire que :1+2+. . .+k = k(k +1)
2 .
Montrons alors quePk+1est vraie : c’est-à-dire que :
1+2+. . .+ (k+1) = (k +1)(k+2)
2 . Or
1+2+. . .+k+ (k+1) = k(k+1)
2 + (k +1) = (k+1) k
2+1
!
= (k +1)(k+2)
2 . DoncPk+1est vraie
Conclusion : La propriétéPnest vraie pour toutn≥1,
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est vraie, c’est-à-dire que :1+2+. . .+k =
2 .
Montrons alors quePk+1est vraie : c’est-à-dire que :
1+2+. . .+ (k+1) = (k +1)(k+2)
2 . Or
1+2+. . .+k+ (k+1) = k(k+1)
2 + (k +1) = (k+1) k
2+1
!
= (k +1)(k+2)
2 . DoncPk+1est vraie
Conclusion : La propriétéPnest vraie pour toutn≥1, c’est-à-dire : 1+2+. . .+n= n(n+1)
2 .
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