Mathématique ECS 1 22 janvier 2018
Devoir libre 8.
Exercice 1. Soitn∈N∗ etpun entier tel que1≤p≤n.
On considère des vecteurse1,e2, . . . ,epdeRn identifié avecMn,1(R)(cela veut dire que les vecteursejsont écrits en colonne et non plus en ligne.).
On désigne parAla matrice de formatn×pobtenue en plaçant enj-ème colonne le vecteurej.
(1) Soit x =
x1 x2 ... xp
∈ Mp,1(R). Exprimer le produit Axsous forme d’une combinaison linéaire des vecteurs colonnes
e1, . . . ,ep.
(2) Soity∈Rn un vecteur donné (noté en colonne). Montrer que l’équationAx=yd’inconnuex∈Mp,1(R)admet une solution si et seulement si y∈Vect(e1, . . . ,ep).
(3) Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes : (a) la famille(e1,e2, . . . ,ep)est libre dans Rn
(b) l’équationAx= 0d’inconnuex∈Mp,1(R)admetx=
0 0 ... 0
pour unique solution.
(4) Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes : (a) la famille(e1,e2, . . . ,ep)est liée
(b) l’équation Ax= 0d’inconnue x∈Mp,1(R)admet au moins une solution non triviale (c’est à dire une solution
distincte de
0 0 ... 0
).
(5) Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes : (a) la famille(e1,e2, . . . ,ep)est génératrice deRn.
(b) pour touty∈Rn, l’équation Ax=yd’inconnue x∈Mp,1(R)admet au moins une solution.
(6) On supposep=n. A quelle condition sur la matriceA, la famille (e1,e2, . . . ,en)est-elle une base deRn. (7) A quelle condition sur le réels, les vecteurs
3
−6 1
,
−6 4
−3
et
9 s 3
forment-ils une base deR3(identifié àM3,1(R)) ?
Exercice 2. Une urne contient vingt jetons indiscernables au toucher. Cinq jetons portent le numéro 8, deux jetons portent le numéro 7, six jetons portent le numéro 0, quatre jetons portent le numéro 1 et trois jetons portent le numéro 2.
(1) On extrait quatre jetons l’un après l’autre sans les remettre dans l’urne et on les aligne dans l’ordre des tirages.
(a) Quel est le nombre de tirages possibles ? (b) Quelle est la probabilité de lire2018?
(c) Quelle est la probabilité de lire un nombre impair ?
(d) Quelle est la probabilité de lire un nombre divisible par3? (2) On extrait quatre jetons simultanément.
(a) Quel est le nombre tirages possibles ?
(b) Quelle est la probabilité de pouvoir former le nombre2018avec les quatre numéros tirés ? (c) Quelle est la probabilité de lire un nombre impair ?
(d) Quelle est la probabilité de pouvoir former un nombre divisible par3?
1
