Structures de réalisabilité, RAM et ultrafiltre sur

Structures de réalisabilité, RAM et ultrafiltre sur N

Jean-Louis Krivine

Université Paris VII, C.N.R.S.

8 septembre 2008

Introduction

On montre ici comment transformer en programmes les démonstrations utilisant l’axiome du choix dépendant et l’existence d’unultrafiltre non trivial surN(qu’on peut, de plus, sup- posersélectif ¹). La méthode est une extension de la technique deréalisabilité en logique classiqueintroduite dans [3,4,5], et de la méthode du forcing bien connue en théorie des ensembles. Pour simplifier un peu l’exposé, on prend comme cadre axiomatique, l’arithmé- tique du second ordre classique avec axiome du choix dépendant (qu’on appelle aussi l’Ana- lyse). En suivant les idées développées dans [2], on peut étendre ce résultat à la théorie ZF (avec axiome du choix dépendant) en ajoutant l’axiome de l’ultrafiltre : « il existe un ultra- filtre sur toute algèbre de Boole ». On le fera dans un prochain article, où on traitera égale- ment des axiomes comme : « il existe un bon ordre surP(N) dont tout segment initial est dénombrable » (hypothèse du continu), ou « il existe un bon ordre surP(P(N)) ».

En fait, il est clair que la même méthode permet de traiter l’axiome du bon ordre (c’est-à-dire l’axiome du choix). Mais, à ce jour, je n’en ai pas rédigé la démonstration.

La signification informatique de ces résultats est intéressante : on a vu, dans [3,4,5], que l’on pouvait interpréter l’axiome du choix dépendant en introduisant une nouvelle instruc- tion designatureou d’horloge. Pour interpréter l’axiome d’ultrafiltre ou de bon ordre, il faut maintenant ajouter des instructions delecture et d’écrituredans unemémoire globale(ap- pelée aussi « tas » ou « Random Access Memory » en informatique).

Mais la manipulation logique de ces instructions n’est possible qu’au prix d’une extension de la réalisabilité classique ; c’est pourquoi on introduit la notion générale destructure de réalisabilité.

Il est remarquable que les axiomes pour les conditions de forcing (semi-treillis) s’interprè- tent ici comme les indispensablesprogrammes de gestion de la mémoire. Yves Legrandgérard a fait le rapprochement avec les instructions telles quemalloc^etfreedans le langage C. Or, la propriété essentielle de la mémoire globale est d’être indépendante de la pile, c’est-à-dire qu’elle n’est pas mémorisée par l’instructionccassociée au raisonnement par l’absurde.

Il est amusant de noter que cela explique, a posteriori, une constatation empirique bien con- nue des théoriciens des ensembles, qui est le « parfum intuitionniste » du forcing.

1Un ultrafiltreUsurNest ditsélectif(voir [1]) si, pour toute relation d’équivalence surN, dont aucune classe n’est dansU, il existe un élément deU qui choisit un élément de chaque classe. L’existence d’un ultrafiltre sélectif non trivial est indépendante de ZFC et conséquence de l’hypothèse du continu.

Je remercie Yves Legrandgérard, dont les connaissances approfondies en programmation système et réseau ont été capitales pour l’appréhension du sens informatique des résultats énoncés ici.

Nous comptons développer ensemble ce sujet dans un prochain article.

La sémantique des programmes

Structures de réalisabilité

Unequasi-preuve est unλ-termet[x₁, . . . ,x_k] avec la constante cc. Les variables libres de t[x₁, . . . ,x_k] se trouvent parmi x₁, . . . ,x_k. L’ensemble des quasi-preuves est notéQP, l’en- semble des quasi-preuves closes est notéQP0.

Toute démonstration, en Analyse ou dans ZF, de x₁:A₁, . . . ,x_k:A_k `t:A donne une quasi- preuvet[x₁, . . . ,x_k] (voir ci-dessous les règles de démonstration et de typage pour la logique classique du second ordre).

Unestructure de réalisabilitéest la donnée de trois ensemblesΛΛ,ΠΠ,ΛΛ ? ΠΠ(termes, piles et processus), avec les opérations suivantes :

• Une application (ξ,π)7→ξ

.

πdeΛΛ×ΠΠdansΠΠ(empiler).

• Une application (ξ,π)7→ξ?πdeΛΛ×ΠΠdansΛΛ ? ΠΠ(processus).

• Une applicationπ7→k_πdeΠΠdansΛΛ(continuation).

Une substitution, notée [ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k] est, par définition, un ensemble fini de couples {(x₁,ξ1), . . . , (x_k,ξk)}, oùx₁, . . . ,x_k sont des variablesdistinctesetξ1, . . . ,ξk∈ΛΛ.

On fixe un ensembleS de substitutions qui contient la substitution vide (notée []) et tel que si [ξ/x,ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]∈S, alors [ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]∈S.

• Pour chaque quasi-preuvet[x₁, . . . ,x_k] et chaque substitution [ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]∈S, on se donnet[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]∈ΛΛ.

Remarque. Dans la plupart des structures de réalisabilité considérées ici, on pourra définir une opération binaire surΛΛ, analogue àl’applicationdans lesλ-termes. Mais les axiomes de structure de réalisabilité ne comportent pas d’opération binaire surΛΛ.

On se donne un ensemble⊥⊥de processus et on définit surΛΛune relation de préordre en posant : ξ≤η⇔(∀π∈ΠΠ)(η?π∈ ⊥⊥ ⇒ξ?π∈ ⊥⊥).

On suppose l’ensemble⊥⊥saturé, ce qui veut dire qu’il a les propriétés suivantes : 1. Si [ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]∈S et si ξi?π∈ ⊥⊥, alorsx_i[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]?π∈ ⊥⊥; autrement dit x_i[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]≤ξi.

2. Si [ξ1/x1, . . . ,ξk/x_k]∈S et si, pour tousξ⁰₁≤ξ1, . . . ,ξ⁰_k≤ξkavec [ξ⁰₁/x1, . . . ,ξ⁰_k/x_k]∈S, on a t[ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k]?u[ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k]

.

π∈ ⊥⊥, alorst u[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]?π∈ ⊥⊥.

3. Si [ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]∈S et si, pour tousξ⁰≤ξ,ξ⁰₁≤ξ1, . . . ,ξ⁰_k≤ξk

avec [ξ⁰/x,ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k]∈S, on a t[ξ⁰/x,ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k]?π∈ ⊥⊥ alorsλx t[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]?ξ

.

π∈ ⊥⊥.

4. Si [ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]∈S, et siξ?k_π

.

π∈ ⊥⊥ alors cc[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]?ξ

.

π∈ ⊥⊥. 5.ξ?π∈ ⊥⊥ ⇒k_π?ξ

.

π⁰∈ ⊥⊥.

En itérant la condition 3, on obtient :

3. Si [ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]∈S et si quels que soientξ⁰₁≤ξ1, . . . ,ξ⁰_k≤ξk,η⁰₁≤η1, . . . ,η⁰_l≤ηl

avec [ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k,η⁰₁/y₁, . . . ,η⁰_l/y_l]∈S, on a t[ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k,η⁰₁/y₁, . . . ,η⁰_l/y_l]?π∈ ⊥⊥ alorsλy1. . .λylt[ξ1/x1, . . . ,ξk/x_k]?η1

.

. . .

.

ηl

.

π∈ ⊥⊥.

Réalisabilité en arithmétique du second ordre

Les formules considérées sont écrites en logique du second ordre, avec∀,→ et⊥comme seuls symboles logiques. Les variables d’individu sont notées x,y, . . . , et les variables de prédicatsX,Y, . . . Chaque variable de prédicat (on dira aussi variable de relation) a unearité qui est un entier. Une variable d’arité 0 est appeléevariable propositionnelle.

A chaque fonctionf :N^k→Nest associé un symbole de fonction d’ariték, noté égalementf. On utilisera la notation A₁,A₂, . . . ,A_k→Apour désigner la formule :

A₁→(A₂→(· · · →(A_k→A))).

Un paramètre du second ordre d’arité kest une applicationX :N^k→P(ΠΠ).

UneinterprétationI est une application qui associe un individu (entier) à chaque variable d’individu et un paramètre d’aritékà chaque variable du second ordre d’ariték.

I[x←n] (resp.I[X ←X]) est l’interprétation obtenue en changeant, dansI, la valeur de la variablex(resp. X) et en lui donnant la valeurn(resp.X).

Pour toute formuleA, on désigne par A^I laformule close avec paramètresobtenue en rem- plaçant, dansA, chaque variable libre par la valeur donnée parI.

On définitkA^Ik ⊂ΠΠpour toute formule A^I close avec paramètres ; c’est lavaleur de vérité de la formule A^I.

Pourξ∈ΛΛ,ξ||−A^I (lire «ξréaliseA^I») est, par définition, (∀π∈ kA^Ik)ξ?π∈ ⊥⊥. La définition dekA^Ikse fait par récurrence sur la longueur de la formuleA:

• Si A est atomique, on aA^I ≡ kX(t₁, . . . ,t_k)k, oùX est un paramètre d’ariték ett₁, . . . ,t_k des termes clos d’individu, qui ont donc respectivement les valeursn₁, . . . ,n_k∈N. On pose alorskA^Ik =X(n₁, . . . ,n_k).

• k(A→B)^Ikest, par définition, {ξ

.

π;ξ||−A^I,π∈ kB^Ik} ;

• k(∀x A)^Ikest, par définition,S

n∈NkA^I[x←n]k.

• k(∀X A)^Ikest, par définition,S

{kA^I[X←X]k;X ∈P(ΠΠ)^Nk}.

Remarques.

i) Siξ||−A^I etξ⁰≤ξ, alorsξ⁰||−A^I.

ii) On utilisera les notationsk|A^Ik|etξk|−A^I si on a déjà défini une autre structure de réalisabilité.

On donne ci-dessous les règles de démonstration et de typage en logique classique du se- cond ordre (voir [3,4,5]) ; dans ces règles,Γdésigne uncontexte, c’est-à-dire une expression de la formex₁:A₁, . . . ,x_n:A_n. Dans une expresssion comme «t:A»,test une quasi-preuve etAune formule du second ordre.

1.Γ`x_i:A_i (1≤i ≤n) (Axiome)

2.Γ`t:A→B, Γ`u:A ⇒ Γ`t u:B (Modus ponens)

3.Γ,x:A`t:B ⇒ Γ`λx t:A→B (Introduction de→)

4.Γ`cc: ((A→B)→A)→A (Loi de Peirce)

5.Γ`t:A ⇒ Γ`t:∀x A(resp.∀X A) (Introduction de∀)

six(resp. X) n’est pas libre dansΓ.

6.Γ`t:∀x A⇒Γ`t:A[τ/x] pour tout terme d’individuτ (Elimination de∀x) 7.Γ`t:∀X A⇒Γ`t:A[F/X x1. . .x_k] pour toute formuleF (Elimination de∀X)

Théorème 1(Lemme d’adéquation).

Si x1:A1, . . . ,x_k:A_k`t:A, si[ξ1/x1, . . . ,ξk/x_k]∈S et si ξi ||−A^I_i (1≤i≤k), alors t[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]||−A^I.

En particulier, si A est close et si `t: A, alors t[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]||−A pour toute substitution [ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]∈S. On écrira cette propriété, en abrégé, t[S]||−A ou même t ||−A.

Démonstration par récurrence sur la longueur de la preuve dex₁:A₁, . . . ,x_k:A_k`t:A. On considère la dernière règle utilisée.

1. Axiome. On aξi ||−A^I_i et doncx_i[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]||−A^I_i , d’après l’hypothèse 1 sur⊥⊥.

2. Modus ponens. On at=uv;x₁:A₁, . . . ,x_k:A_k`u:B→Aetv:B. Etant donnéeπ∈ kA^Ik, on doit montrer (uv)[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]?π∈ ⊥⊥.

D’après l’hypothèse 2 sur⊥⊥, il suffit de montrer :

u[ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k]?v[ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k]

.

π∈ ⊥⊥ pourξ⁰₁≤ξ1, . . . ,ξ⁰_k≤ξkavec [ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k]∈S.

Or, on a ξi ||−A^I_i et doncξ⁰_i||−A^I_i , puisqueξ⁰_i≤ξi. Par hypothèse de récurrence, on a : v[ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k]||−B^I et par suite, v[ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k]

.

π∈ kB^I →A^Ik.

Or, par hypothèse de récurrence, on a aussiu[ξ⁰₁/x1, . . . ,ξ⁰_k/x_k]||−B^I→A^I, d’où le résultat.

3. Introduction de→. On aA=B→C,t=λx u. On doit montrer :

λx u[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]||−B^I →C^I et on considère doncξ||−B^I,π∈ kC^Ik. On est ramené à montrerλx u[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]?ξ

.

π∈ ⊥⊥. Pour cela, d’après l’hypothèse 3 sur⊥⊥, il suffit de montreru[ξ⁰/x,ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k]?π∈ ⊥⊥, quels que soientξ⁰≤ξ,ξ⁰₁≤ξ1, . . . ,ξ⁰_k≤ξk, tels que [ξ⁰/x,ξ⁰₁/x₁, . . . ,ξ⁰_k/x_k]∈S.

Or, on aξ||−B^I et doncξ⁰||−B^I, puisqueξ⁰≤ξ. De même,ξ⁰_i ||−A^I_i ; d’après l’hypothèse de récurrence, on a doncu[ξ⁰/x,ξ⁰₁/x1, . . . ,ξ⁰_k/x_k]||−C^I, d’où le résultat, puisqueπ∈ kC^Ik.

4. Loi de Peirce. On montre d’abord :

Lemme 2. SoitA ⊂ΠΠune valeur de vérité. Siπ∈A, alors k_π||− ¬A.

Soientξ||−A etρ∈ΠΠ; on doit montrerk_π?ξ

.

ρ∈ ⊥⊥, soitξ?π∈ ⊥⊥, ce qui est clair.

C.Q.F.D.

On doit montrer quecc[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]||−(¬A→A)→A.

Soient donc ξ||− ¬A→Aetπ∈ kAk. On doit montrer que cc[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]?ξ

.

π∈ ⊥⊥, soit ξ?k_π

.

π∈ ⊥⊥. D’après l’hypothèse surξetπ, il suffit de montrer quek_π||−¬A, ce qui résulte du lemme 2.

5. Introduction de∀. On aA= ∀X B,X n’étant pas libre dansA_i. On doit montrer :

t[ξ1/x1, . . . ,ξk/x_k]||−(∀X B)^I, c’est-à-diret[ξ1/x1, . . . ,ξk/x_k]||−B^J avecJ =I[X ←X]. Or on a, par hypothèse,ξi ||−A^I_i doncξi||−A^J_i : en effet, commeX n’est pas libre dansA_i, on a kA^I_i k = kA^J_i k. L ’hypothèse de récurrence donne alors le résultat.

7. Elimination de∀X. On aA=B[F/X x₁. . .x_n] et on doit montrer :

t[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]||−B[F/X x₁. . .x_n]^I avec l’hypothèset[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]||−(∀X B)^I. Cela découle du :

Lemme 3. kB[F/X x₁. . .x_n]^Ik = kBk^I[X←X]oùX :Nⁿ→P(ΠΠ)est défini par : X(k₁, . . . ,k_n)= kF^{I[x1←k1,...,xn←kn]}k.

Preuve par récurrence surB. C’est trivial si X n’est pas libre dansB. Le seul cas intéressant de la récurrence estB= ∀Y C, et on a doncY 6=X. On a alors :

kB[F/X x₁. . .x_n]^Ik = k(∀Y C[F/X x₁. . .x_n])^Ik =S

YkC[F/X x₁. . .x_n]^I[Y←Y]k. Par hypothèse de récurrence, cela donne S

YkC^{I[Y←Y][X←X]}k, soit S

YkC^{I[X←X][Y←Y]}k c’est-à-direk(∀Y C)^I[X←X]k.

C.Q.F.D.

Définitions.

i) La formulex=yest, par définition,∀X(X x→X y).

ii) SoitE ⊂ΛΛetX ⊂ΠΠune valeur de vérité. On poseE →X ={ξ

.

π;ξ∈E,π∈X}.

Cela permet de donner une valeur de vérité à des « formules généralisées », du genre :

∀x∀X[E(x,X)→F(x,X)].

iii) Sit∈QP₀, on désignera par {t[S]} l’ensemble {t[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]; [ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]∈S}.

iv) Certains éléments deΛΛsont desinstructions. On impose alors à⊥⊥des conditions sup- plémentaires, qu’on appelle desrègles de réduction, notéesξ?πÂξ⁰?π⁰, ce qui veut dire : siξ⁰?π⁰∈ ⊥⊥, alorsξ?π∈ ⊥⊥.

Un premier exemple est donné dans le théorème 5.

Théorème 4. On définit le prédicat binaire6=parkm6=nk =ΠΠsi m=n et;sinon. Alors : i)λx x I[S]||− ∀x∀y[(x=y→ ⊥)→x6=y];

ii)λxλy y x[S]||− ∀x∀y[x6=y→(x=y→ ⊥)].

i) Il suffit de montrerλx x I[S]||−(m=m→ ⊥)→ ⊥, ce qui découle de :

`λx x I: (m=m→ ⊥)→ ⊥et du théorème 1 (lemme d’adéquation).

ii) On doit montrerλxλy y x[S]||− ⊥,m=m→ ⊥et>, (> → ⊥)→ ⊥ce qui découle de :

`λxλy y x:⊥,m=m→ ⊥, `λxλy y x:>, (> → ⊥)→ ⊥et du lemme d’adéquation.

C.Q.F.D.

Théorème 5. Soient U =(u_n)_n∈Nune suite d’éléments deΛΛ, et T_U,S_U ∈ΛΛdeux instructions avec les règles de réduction :

TU?φ

.

ν

.

πÂν?SU

.

φ

.

u0

.

π; SU?ψ

.

un

.

πÂψ?un+1

.

π. Alors : T_U ||− ∀n∀X[({u_n}→X),int(n)→X].

Soientn∈N, φ||−{u_n}→X, ν||−int(n) etπ∈X. On doit montrer T_U?φ

.

ν

.

π∈ ⊥⊥, c’est-à- direν?SU

.

φ

.

u0

.

π∈ ⊥⊥, d’après la règle de réduction deTU. Commeν||−int(n), il suffit de trouver un prédicat unaireY tel queS_U ||−∀y(Y y→Y s y),φ||−Y0 et u₀

.

π∈ kY nk.

On poseY i={u_n−i

.

π} pour 0≤i ≤netkY ik = ;pouri>n.

On au0

.

π∈ kY nkpar définition deY netφ||−Y0, par hypothèse surφ.

On montreS_U ||−Y i→Y si: c’est évident pouri≥n, puisqu’alorskY sik = ;.

Soienti <n,ψ||−Y i ; on doit montrerS_U?ψ

.

^un−i−1

.

π∈ ⊥⊥. D’après la règle de réduction deSU, il suffit de montrerψ?un−i

.

π∈ ⊥⊥, ce qui est évident, par hypothèse surψ.

C.Q.F.D.

Notation.Pour chaquen∈N, on désigne parnl’entier de Churchλfλx(f)ⁿx.

On poses=λnλfλx(f)(n)f x(opération de successeur dans les entiers de Church).

Théorème 6(Mise en mémoire des entiers). Soient T,S∈ΛΛdeux instructions avec les règles de réduction : T?φ

.

ν

.

πÂν?S

.

φ

.

0[]

.

π; S?ψ

.

^sn0[]

.

πÂψ?sⁿ⁺¹0[]

.

π. Alors :

i) T ||− ∀X∀n[({sⁿ0[]}→X)→(int(n)→X)]

et I[]||− ∀X∀n[(int(n)→X)→({sⁿ0[]}→X)]

lorsque X est une variable propositionnelle.

ii) T ||− ∀X[∀n({sⁿ0[]}→X n)→ ∀n(int(n)→X n)]

et I[]||− ∀X[∀n(int(n)→X n)→ ∀n({sⁿ0[]}→X n)]

lorsque X est une variable de prédicat unaire.

Rappelons que la notationξ?πÂξ⁰?π⁰, utilisée pour les « règles de réduction », signifie simplement : ξ⁰?π⁰∈ ⊥⊥ ⇒ ξ?π∈ ⊥⊥.

i) Pour la première formule, il suffit d’appliquer le théorème 5 avecun=sⁿ0[].

Pour la seconde, on a ` sⁿ0 : int(n), doncsⁿ0[]||− int(n) d’après le théorème 1 (lemme d’adéquation). Soient alorsξ||−int(n)→X etπ∈ kXk. On veut montrer :

λx x[]?ξ

.

^sn0[]

.

π∈ ⊥⊥. D’après la propriété 3 de⊥⊥, on doit montrerξ⁰?sⁿ0[]

.

π∈ ⊥⊥pour toutξ⁰≤ξ, ce qui est évident, puisqueξ⁰?sⁿ0[]

.

π∈ ⊥⊥par hypothèse surξ.

ii) Corollaire immédiat de (i).

C.Q.F.D.

La notation ∀n^intF[n] désigne la formule ∀n(int(n)→F[n]). Le théorème 6(ii) permet de remplacer cette formule par ∀n({sⁿ0[]}→ F[n]). Cette définition desquantificateurs res- treints aux entiersa l’avantage de permettre des calculs de valeurs de formules beaucoup plus simples. C’est pourquoi nous l’utiliserons dans la suite. Elle a néanmoins l’inconvénient de dépendre de la structure de réalisabilité considérée, par l’intermédiaire de {sⁿ0[]}, qui contient la substitution vide.

On considère un langage du second ordre pour l’arithmétique (avec symboles de fonctions, mais pas de constantes de prédicat), et le modèle standard pour ce langage (modèle plein, les individus sont les entiers, chaque symbole de fonction est interprété dans les entiers).

Alors toute équation vraie∀x₁. . .∀x_k(t(x₁, . . . ,x_k)=u(x₁, . . . ,x_k)) (t,u étant des termes du langage) est réalisée parI[S]. En restreignant les formules à int(x), on remplace l’axiome de récurrence par les axiomes :

Af ≡ ∀x₁. . .∀x_k(int(x₁), . . . , int(x_k)→int(f(x₁, . . . ,x_k)))

pour chaque symbole de fonction f. On s’intéresse donc aux fonctions f pour lesquelles Af est réalisé (par une quasi-preuve close). Ce sont des fonctions récursives, puisque cette quasi-preuve calculef.

Pour réaliserAf, il suffit de le démontrer, en logique du second ordre, à partir d’équations vraies (qui comportent éventuellement des symboles de fonction autres que f). On peut ainsi utiliser les symboles pour toutes les fonctions arithmétiques usuelles.

Pour le théorème 7 ci-dessous, on suppose l’existence des instructions suivantes :

• Etant donnésξ∈ΛΛetπ∈ΠΠ, une instruction notéeξk_π, avec la règle de réduction : ξk_π?$Âξ?k_π

.

$.

• Une instruction notéeV, avec la règle de réduction : V?ξ

.

η

.

πÂη?ξk_π

.

π.

Théorème 7. PourX ⊂ΠΠ, on définit X⁻⊂ΛΛen posant X⁻={k_π;π∈X}.

Alors, siX,Y ⊂ΠΠ, on a :

i) I[S]||−(¬X →Y)→(X⁻→Y); ii) V ||−(X⁻→Y)→((Y →X)→X).

i) Soientη||−¬X →Y,π∈X etρ∈Y. On doit montrer queI[ς]?η

.

^kπ

.

ρ∈ ⊥⊥, pour toute substitutionς∈S. Or, on a`I: (¬X →Y),¬X →Y et donc :

I[ς]||−(¬X →Y),¬X →Y d’après le théorème 1 (lemme d’adéquation).

D’après le lemme 2, on ak_{π||− ¬X}, d’où le résultat.

ii) Soientξ||−X⁻→Y, η||−Y →X etπ∈X. On doit montrer que V ?ξ

.

η

.

π∈ ⊥⊥, soit η?ξk_π

.

π∈ ⊥⊥. Il suffit donc de montrer ξk_π||−Y ; soit$∈Y. On aξ?k_π

.

$∈ ⊥⊥, puisque k_π∈X⁻; d’après la règle de réduction deξk_π, on a donc ξk_{π?$∈ ⊥⊥}.

C.Q.F.D.

Structures SR

₀

et SR

₁

On considère un modèle de réalisabilité usuel (voir[3,4,5]), donné par un ensemble saturé

⊥⊥ ⊂Λc×Π. Les éléments deΛc sont lesλ-termes clos comportant les continuationsk_π, les instructionscc,χ,χ⁰,σ(pour l’axiome du choix non extensionnel, lemme 24), et éventuelle- ment d’autres. Les instructionsT,S(pour la mise en mémoire des entiers, théorème 6) sont ici inutiles, car elles sont données par les deux quasi-preuves :

T₀=λfλn((n)λgλx(g)(s)x)f0 et S₀=λgλx(g)(s)x.

Pourπ∈Πetτ∈Λc,π^τdésigne la pile obtenue en ajoutantτau fond de la pileπ, juste avant la constante de pile :

siπ=ξ1

.

^{. . .}

.

ξn

.

π0, oùπ0est une constante de pile, alorsπ^τ=ξ1

.

^{. . .}

.

ξn

.

τ

.

π0. Les nouvelles instructionsχ,χ⁰ont les règles de réduction suivantes :

χ?ξ

.

π^τÂξ?τ

.

π (lecture) ; χ⁰?ξ

.

τ

.

πÂξ?π^τ (écriture).

Cette structure de réalisabilité sera désignée par SR₀. On va en construire une nouvelle, que nous désignerons par SR1.

On considère un ensembleP muni d’une opération binaire (p,p⁰)7→p p⁰, avec un élément distingué1. Pour chaquep∈P, on se donne un ensemble de termesC[p]⊂Λc.

On suppose qu’on a cinq quasi-preuves closesαi(0≤i≤4) telles que : τ∈C[pq]⇒α0τ∈C[p] ; τ∈C[pq]⇒α1τ∈C[q p] ;

τ∈C[p]⇒α2τ∈C[p p] ; τ∈C[p(qr)]⇒α3τ∈C[(p q)r] ; τ∈C[p]⇒α4τ∈C[p1].

Dans la suite, on considère des expressions de la formeγ=(αi1)(αi2) . . . (αi_k) avec 0≤i₁, . . . ,i_k≤4, qu’on appellera unecomposée deαi (0≤i ≤4).

Une telle expression n’est pas dansΛc, maisγτ∈Λc pour toutτ∈Λc ; le termeγτ=(αi1) . . . (αi_k)τsera aussi écrit (γ)τ.

Lemme 8. On a six expressionsγ0,γ1,γ2,γ3,γ4,γ5 qui sont des composées de αi (0≤i ≤3) telles que :

τ∈C[pq]⇒γ0τ∈C[p(p q)]; τ∈C[(p q)r]⇒γ1τ∈C[pr]; τ∈C[(pq)r]⇒γ2τ∈C[qr]; τ∈C[p(qr)]⇒γ3τ∈C[q(r r)]; τ∈C[p(qr)]⇒γ4τ∈C[q p]; τ∈C[(pq)r]⇒γ5τ∈C[p(qr)].

On aτ∈C[pq]⇒(α2)τ∈C[(pq)(p q)]⇒(α3)(α2)τ∈C[((pq)p)q)]

⇒(α0)(α3)(α2)τ∈C[(pq)p]⇒(α1)(α0)(α3)(α2)τ∈C[p(pq)].

On pose doncγ0=(α1)(α0)(α3)(α2). On a :

τ∈C[(pq)r]⇒(α1)τ∈C[r(pq)]⇒(α3)(α1)τ∈C[(r p)q)]⇒(α1)(α3)(α1)τ∈C[q(r p)]

⇒(α3)(α1)(α3)(α1)τ∈C[(qr)p)]⇒(α1)(α3)(α1)(α3)(α1)τ∈C[p(qr))].

On pose doncγ5=(α1)(α3)(α1)(α3)(α1).

Calculs analogues pour lesγi, 1≤i≤4.

C.Q.F.D.

Remarque.Soientt(p1, . . . ,pn),u(p1, . . . ,pn) deux termes écrits avec les variablesp1, . . . ,pn, un sym- bole de fonction binaire et un symbole de constante1.

On montre facilement que, si la formule ∀p₁. . .∀p_n[t(p₁, . . . ,p_n)≤u(p₁, . . . ,p_n)]

est conséquence de :

∀p∀q∀r((p q=q p)∧(p(qr)=(p q)r)∧(p p=p)∧(p1=p)),∀p∀q(p≤q↔p q=p), alors, il existe une composéeγdesαi(0≤i≤4) telle que l’on ait :

τ∈C[t(p1, . . . ,pn)]⇒γτ∈C[u(p1, . . . ,pn)].

Pour chaque expressionγqui est une composée deαi(0≤i≤4), on désigne parγ l’instruc- tion dont la règle de réduction est :

γ?ξ

.

π^τÂξ?π^γτpourξ∈Λc etπ∈Π.

On peut, en fait, poser γ=λx(χ)λy(χ⁰x)(γ)y.

On définit une nouvelle structure de réalisabilité en posant : Λ

Λ=Λc×P,ΠΠ=Π×P etΛΛ ? ΠΠ=(Λc? Π)×P. Les opérations sont définies comme suit :

(ξ,p)

.

(π,q)=(ξ

.

π,pq) ; (ξ,p)?(π,q)=(ξ?π,p q) ; k_(π,p)=(k^∗_π,p) avec k^∗_π=λx(χ)λy(k_π)(χ⁰x)(γ4)y.

On prend pourS l’ensemble des substitutions de la forme [(ξ1,p)/x₁, . . . , (ξk,p)/x_k].

Soitt[x₁, . . . ,x_k] une quasi-preuve dont les variables libres sont parmix₁, . . . ,x_k. On pose : t[(ξ1,p)/x₁, . . . , (ξk,p)/x_k]=(t^∗[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k],p)

oùt^∗[x₁, . . . ,x_k]∈QPest obtenu à partir detau moyen des règles suivantes : x^∗=x; (t u)^∗=γ₀t^∗u^∗; (λx t)^∗=α3λx t^∗[γ₂x/x,γ₁x₁/x₁, . . . ,γ₁x_k/x_k] ; cc^∗=λx(χ)λy(cc)λk((χ⁰x)(γ3)y)k^∗ avec k^∗=λx(χ)λy(k)(χ⁰x)(γ4)y.

Dans le cas de la substitution vide, notée [], on at∈QP0et on poset[]=(t^∗,1).

Lesλc-termescc^∗etk^∗_πs’exécutent donc comme suit :

cc^∗?ξ

.

π^τÂξ?k^∗_π

.

π^γ3τ; k^∗_π?ξ

.

$^τÂξ?π^γ4τ.

On pose⊥⊥⊥ ={(ξ?π,p);p∈P, (∀τ∈C[p])ξ?π^τ∈ ⊥⊥} (⊥⊥est le sous-ensemble saturé deΛc?Π qui définit la réalisabilité standard).

La structure de réalisabilité que nous venons de définir sera désignée par SR₁. Lemme 9. ⊥⊥⊥est un ensemble saturé, c’est-à-dire qu’il a les propriétés 1 à 5, page 2.

1. Trivial, puisquexi[(ξ1,p)/x1, . . . , (ξk,p)/x_k]=(ξi,p).

2. L’hypothèse estt[(ξ⁰₁,p⁰)/x₁, . . . , (ξ⁰_k,p⁰)/x_k]?u[(ξ⁰₁,p⁰)/x₁, . . . , (ξ⁰_k,p⁰)/x_k]

.

⁽π,q)∈ ⊥⊥⊥quels que soient (ξ⁰₁,p⁰)≤(ξ1,p), . . . , (ξ⁰_k,p⁰)≤(ξk,p). En fait, on utilisera seulement le fait que t[(ξ1,p)/x1, . . . , (ξk,p)/x_k]?u[(ξ1,p)/x1, . . . , (ξk,p)/x_k]

.

(π,q)∈ ⊥⊥⊥

c’est-à-dire (t^∗[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]?u^∗[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]

.

π,p(pq))∈ ⊥⊥⊥. On doit montrert u[(ξ1,p)/x₁, . . . , (ξk,p)/x_k]

.

⁽π,q)∈ ⊥⊥⊥, autrement dit :

((γ₀t^∗u^∗)[ξ1/x1, . . . ,ξk/x_k]?π,pq)∈ ⊥⊥⊥. On suppose donc τ∈C[pq], doncγ0τ∈C[p(pq)]

d’oùt^∗[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]?u^∗[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]

.

π^γ0τ∈ ⊥⊥et par suite : (γ₀t^∗u^∗)[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]?π^τ∈ ⊥⊥, ce qui est le résultat voulu.

3. On supposet[(ξ⁰,p⁰)/x, (ξ⁰₁,p⁰)/x₁, . . . , (ξ⁰_k,p⁰)/x_k]?(π,r)∈ ⊥⊥⊥ quels que soient (ξ⁰,p⁰)≤(ξ,q), (ξ⁰₁,p⁰)≤(ξ1,p),. . . ,(ξ⁰_k,p⁰)≤(ξk,p).

On doit montrerλx t[(ξ1,p)/x₁, . . . , (ξk,p)/x_k]?(ξ,q)

.

⁽π,r)∈ ⊥⊥⊥, c’est-à-dire : ((λx t)^∗[ξ1/x₁, . . . ,ξk/x_k]?ξ

.

π,p(qr))∈ ⊥⊥⊥ou encore :

(α3λx t^∗[γ₂x/x,γ₁ξ1/x1, . . . ,γ₁ξk/x_k]?ξ

.

π,p(qr))∈ ⊥⊥⊥.

Soit doncτ∈C[p(qr)]. On doit montrer α3λx t^∗[γ₂x/x,γ₁ξ1/x₁, . . . ,γ₁ξk/x_k]?ξ

.

π^τ∈ ⊥⊥ soit t^∗[γ₂ξ/x,γ₁ξ1/x₁, . . . ,γ₁ξk/x_k]?π^α3τ∈ ⊥⊥.

Lemme 10. On a(γ₁ξ,p q)≤(ξ,p)et(γ₂ξ,p q)≤(ξ,q).

Supposons (ξ,p)?(π,r)∈ ⊥⊥⊥, soit (ξ?π,pr)∈ ⊥⊥⊥. On doit montrer (γ₁ξ,p q)?(π,r)∈ ⊥⊥⊥, soit (γ₁ξ?π, (pq)r)∈ ⊥⊥⊥. On prend doncτ∈C[(pq)r], d’oùγ1τ∈C[pr]. On a doncξ?π^γ1τ∈ ⊥⊥, d’oùγ₁ξ?π^τ∈ ⊥⊥, ce qui est le résultat voulu.

Même preuve pour la deuxième partie du lemme.

C.Q.F.D.

On a donc (γ₂ξ,pq)≤(ξ,q) ; (γ₁ξi,p q)≤(ξi,p) pour 1≤i ≤k. D’après l’hypothèse surt, il en résulte que t[(γ₂ξ,pq)/x, (γ₁ξ1,pq)/x₁, . . . , (γ₁ξk,pq)/x_k]?(π,r)∈ ⊥⊥⊥, ou encore :

(t^∗[γ₂ξ/x,γ₁ξ1/x₁, . . . ,γ₁ξk/x_k]?π, (pq)r)∈ ⊥⊥⊥.

Or, on a τ∈C[p(qr)], doncα3τ∈C[(p q)r] ; il en résulte que :

t^∗[γ₂ξ/x,γ₁ξ1/x₁, . . . ,γ₁ξk/x_k]?π^α3τ∈ ⊥⊥ce qui est le résultat voulu.

Remarque.Lorsquek=0 (cas de la substitution vide), la preuve reste valable, avecp=1.

4. On doit montrer :

(ξ,q)?k_(π,r)

.

(π,r)∈ ⊥⊥⊥ ⇒cc[(ξ1,p)/x₁, . . . , (ξk,p)/x_k]?(ξ,q)

.

(π,r)∈ ⊥⊥⊥ ce qui s’écrit (ξ,q)?(k^∗_π,r)

.

⁽π,r)∈ ⊥⊥⊥ ⇒(cc^∗,p)?(ξ,q)

.

⁽π,r)∈ ⊥⊥⊥, ou encore : (ξ?k^∗_π

.

π,q(r r))∈ ⊥⊥⊥ ⇒(cc^∗_?ξ

.

π,p(qr))∈ ⊥⊥⊥.

On suppose doncτ∈C[p(qr)], d’où γ3τ∈C[q(r r)] et doncξ?k^∗_π

.

π^γ3τ∈ ⊥⊥.

D’après la règle de réduction pourcc^∗, on a donccc^∗?ξ

.

π^τ∈ ⊥⊥, ce qui est le résultat voulu.

5. (ξ,q)?(π,p)∈ ⊥⊥⊥ ⇒(k^∗_π,p)?(ξ,q)

.

($,r)∈ ⊥⊥⊥c’est-à-dire :

(ξ?π,q p)∈ ⊥⊥⊥ ⇒(k^∗_π?ξ

.

$,p(qr))∈ ⊥⊥⊥. On suppose doncτ∈C[p(qr)], d’oùγ4τ∈C[q p], d’oùξ?π^γ4τ∈ ⊥⊥. D’après la règle de réduction dek^∗_π, on en déduitk^∗_π?ξ

.

$^τ∈ ⊥⊥.

C.Q.F.D.

Notation.

Dans SR₁, on noterak|Fk|la valeur de vérité d’une formule closeF (sous-ensemble deΠΠ= Π×P) et (ξ,p)k|−F le fait que (ξ,p)∈ΛΛréalise cette formule, c’est-à dire :

∀π∀q[(π,q)∈ k|Fk| ⇒(ξ?π,pq)∈ ⊥⊥⊥].

Comme on veut utiliser, dans cette structure de réalisabilité, le théorème 6 de mise en mé- moire des entiers, on doit trouver, dansΛΛ, les instructions nécessaires.

Elles s’écrivent (T,1), (S,1), avec :

T=βλfλn(n)S f0 ;βest tel que τ∈C[1(p(qr))]⇒βτ∈C[q(1(p(1r)))].

S=αλgλx(g)(s)x;αest tel que τ∈C[1p]⇒ατ∈C[p].

On a alors, en effet,sⁿ0[]=(sⁿ0,1) et :

(ν,q)?(S,1)

.

(φ,p)

.

^(0,1)

.

(π,r)∈ ⊥⊥ ⇒ (T,1)?(φ,p)

.

(ν,q)

.

(π,r)∈ ⊥⊥.

(ψ,p)?(sⁿ⁺¹0,1)

.

(π,q)∈ ⊥⊥ ⇒ (S,1)?(ψ,p)

.

^(sn0,1)

.

(π,q)∈ ⊥⊥.

En effet, ces conditions s’écrivent :

(ν?S

.

φ

.

0

.

π,q(1(p(1r))))∈ ⊥⊥ ⇒ (T?φ

.

ν

.

π,1(p(qr)))∈ ⊥⊥.

(ψ?sⁿ⁺¹0

.

π,p(1q))∈ ⊥⊥ ⇒ (S?ψ

.

^sn0

.

π,1(p(1q)))∈ ⊥⊥.

Noter queα,βsont des composées desαi(0≤i≤3). L’élément1n’a aucune propriété parti- culière et peut donc être pris quelconque dansP.

On veut également pouvoir utiliser le théorème 7 ; pour cela, on remarque que cette struc- ture de réalisabilité contient les instructions nécessaires. En effet :

i) On définit une opération binaire surΛΛen posant :

(ξ,p)(η,q)=(γ₅ξη,p q) pour (ξ,p), (η,q)∈ΛΛ. On a alors :

(ξ,p)(η,q)?(π,r)Â(ξ,p)?(η,q)

.

(π,r) autrement dit :

(ξ,p)?(η,q)

.

⁽π,r)∈ ⊥⊥⊥ ⇒(ξ,p)(η,q)?(π,r)∈ ⊥⊥⊥. En effet, ceci s’écrit (ξ?η

.

π,p(qr))∈ ⊥⊥⊥ ⇒(γ₅ξη

.

π, (pq)r)∈ ⊥⊥⊥.

On suppose doncτ∈C[(pq)r] ; alorsγ5τ∈C[p(qr)], doncξ?η

.

π^γ5τ∈ ⊥⊥, d’oùγ₅ξη?π^τ∈ ⊥⊥, ce qui est le résultat voulu.

L’instruction cherchée est alors (ξ,p)k_(π,q), soit (ξ,p)(k^∗_π,q) c’est-à-dire (γ5ξk^∗_π,p q).

Remarque.L’opération binaire que nous venons de définir dansΛΛn’est pas compatibleavec la substi- tution dans les quasi-preuves, c’est-à-dire que :

si (ξ,p)=t[(ξ1,p)/x1, . . . , (ξk,p)/xk] et (η,p)=u[(ξ1,p)/x1, . . . , (ξk,p)/xk], alors (ξ,p)(η,p)6=t u[(ξ1,p)/x₁, . . . , (ξk,p)/x_k].

ii) L’instruction cherchée sera notée (V,1) et doit avoir la règle de réduction suivante : (V,1)?(ξ,p)

.

⁽η,q)

.

⁽π,r)Â(η,q)?(ξ,p)k_(π,r)

.

⁽π,r)

autrement dit (η,q)?(ξ,p)k_(π,r)

.

(π,r)∈ ⊥⊥⊥ ⇒(V,1)?(ξ,p)

.

(η,q)

.

(π,r)∈ ⊥⊥⊥.

Or, ceci s’écrit (η?γ₅ξk^∗_π

.

π,q((pr)r))∈ ⊥⊥⊥ ⇒(V?ξ

.

η

.

π,1(p(qr)))∈ ⊥⊥⊥.

On suppose doncτ∈C[1(p(qr))] et on a doncγτ∈C[q((pr)r)] pour une composéeγcon- venable desαi(0≤i ≤3). On veut montrerV?ξ

.

η

.

π^τ∈ ⊥⊥et on aη?γ₅ξk^∗_π

.

π^γτ∈ ⊥⊥.

On a donc (γη)(γ₅)ξk^∗_π?π^τ∈ ⊥⊥et on peut donc poser :

V =(χ)λτλxλy(cc)λk((χ⁰)(γy)(γ₅)xk^∗)τ

oùγest une composée desαi(0≤i≤3) telle que τ∈C[1(p(qr))]⇒γτ∈C[q((pr)r)]

et k^∗=λx(χ)λy(k)(χ⁰x)(γ4)y.

Forcing

Nous définissons ci-dessous deux classes de formules de formules du second ordre. Elles utilisent des variables d’individu x,y, . . ., des variables de prédicat X,Y, . . . ,X⁺,Y⁺, . . . (les variablesX etX⁺ont la même arité), des variables decondition p,q, . . . Ce sont :

1. Lesformules de forcing, ouformules de SR₀, qui peuvent être interprétées dans SR₀seule- ment.

2. Lesformules de SR₁, qui peuvent être interprétées dans SR1seulement.