LIMITES DE FONCTIONS

(1)

LIMITES DE FONCTIONS

I. Définitions ... 1

I.1 Limite en un réel ... 1

I.2 Limite en l'infini ... 2

II. Calculer des limites ... 4

II.1 Limite d'une somme ... 4

II.2 Limite d'un produit ... 4

II.3 Limite d'un quotient ... 4

II.4 Limite d'une composée de fonctions ... 4

III. Limites et comparaison ... 5

III.1 Théorèmes de comparaison ... 5

III.2 Théorème des gendarmes ... 5

I. Définitions I. Définitions

I.1 Limite en un réel

Soit a ∈ℝ.

On suppose que Df contient un intervalle de la forme ]a−r;r[ ou ]a;a+r[ (r>0 ).

N O T A T I O N

N O T A T I O N D É F I N I T I O ND É F I N I T I O N lim

x→ a f (x)=l (l ∈ ℝ) Tout intervalle de la forme .………... contient tous les réels ………..

dès que ………..

lim

x→ a f (x)=−∞ Tout intervalle de la forme .………... contient tous les réels ………..

lim

x→ a f (x)=+∞ Tout intervalle de la forme .………... contient tous les réels ………..

Illustrations : lim

x→ a f (x)=l lim

x→ a f (x)=−∞ lim

x→ a f (x)=+∞

(2)

Définitions formelles plus rigoureuses (hors-programme) : lim

x→ a f (x)=l (l ∈ ℝ) ∀ ϵ>0,∃λ>0, x∈D_f∩ ]a−λ;a+λ [⇒f (x)∈]l−ϵ;l+ϵ[

ou ∀ ϵ>0,∃λ>0,

(

^x^∈^D^f^{et |x−a}^|<λ

)

^⇒^|^f ^(x^)−l^|^<ϵ

lim

x→ a f (x)=−∞ ∀A∈ℝ,∃λ>0, x∈D_f∩ ]a−λ;a+λ[ ⇒ f(x)∈]−∞; A[ ou ∀A∈ℝ,∃λ>0,

(

^x^∈^D^f^{et |x−}^a^|<λ

)

^⇒ ^f⁽^x)<^A

lim

x→ a f (x)=+∞ ∀A∈ℝ,∃λ>0, x∈D_f∩ ]a−λ;a+λ[ ⇒ f(x)∈]A ;+∞ [ ou ∀A∈ℝ,∃λ>0,

(

^x^∈^D^f^{et |x}⁻^a^|<λ

)

^⇒ ^f⁽^x^)>^A

D É F I N I T I O N .

D É F I N I T I O N . A s y m p t o t e v e r t i c a l eA s y m p t o t e v e r t i c a l e

Lorsque lim_{x→ a} f (x)=+∞ ou lim_{x→ a} f (x)=−∞, on dit que ……..………

………

I.2 Limite en l'infini

• L i m i t e s e n +∞

On suppose que Df contient un intervalle de la forme ]a;+∞[. N O T A T I O N

N O T A T I O N D É F I N I T I O ND É F I N I T I O N

x→+∞lim f(x)=l (l ∈ ℝ) Tout intervalle de la forme ]l−ϵ;l+ϵ[ (avec ϵ>0 ) contient tous les réels f (x) dès que x est assez grand.

lim

x→+∞ f(x)=−∞ Tout intervalle de la forme ]–∞; A[ contient tous les réels f (x) dès que x est assez grand.

x→+∞lim f(x)=+∞ Tout intervalle de la forme ]A ;+∞[ contient tous les réels f (x) dès que x est assez grand.

Il semble que lim

x→+∞

(

^sin ^x+^x¹⁺^0,3

)

⁼^0,3^.

(3)

• L i m i t e s e n −∞

On suppose que Df contient un intervalle de la forme ]−∞;a[. N O T A T I O N

N O T A T I O N D É F I N I T I O ND É F I N I T I O N

x→−∞lim f(x)=l (l ∈ ℝ) Tout intervalle de la forme .………... contient tous les réels ………..

lim

x→−∞ f(x)=−∞ Tout intervalle de la forme .………... contient tous les réels ………..

lim

x→−∞ f(x)=+∞ Tout intervalle de la forme .………... contient tous les réels ………..

Définitions formelles plus rigoureuses (hors-programme) :

x→+∞lim f(x)=l (l ∈ ℝ) ∀ ϵ>0,∃ λ>0, x∈D_f∩] λ;+∞[ ⇒ f(x)∈]l−ϵ;l+ϵ[

ou ∀ ϵ>0,∃ λ>0,

(

^x^∈^D^f^et^x^>λ

)

^⇒^|^f ⁽^x⁾⁻^l^|^<ϵ

x→+∞lim f(x)=−∞ ∀A∈ℝ,∃λ>0, x∈D_f ∩ ] λ;+∞[ ⇒ f(x)∈]−∞; A[ ou ∀A∈ℝ,∃λ>0,

(

^x^∈^D^f^et^x>λ

)

^⇒ ^f⁽^x)<^A

lim

x→+∞ f(x)=+∞ ∀A∈ℝ,∃λ>0, x∈D_f ∩ ] λ;+∞[ ⇒ f(x)∈]A ;+∞ [ ou ∀A∈ℝ,∃λ>0,

(

^x^∈^D^f^et^x>λ

)

^⇒ ^f⁽^x)>^A

lim

x→−∞ f(x)=l (l ∈ℝ) ∀ ϵ>0,∃ λ<0, x∈Df∩]−∞;λ [⇒ f(x)∈]l−ϵ;l+ϵ[

ou ∀ ϵ>0,∃ λ<0,

(

^x^∈D^f^et^x^<λ

)

^⇒^|^f ⁽^x)−l^|^<ϵ

x→−∞lim f(x)=−∞ ∀A∈ℝ,∃λ<0, x∈D_f ∩ ]−∞;λ [⇒ f(x)∈]−∞; A[ ou ∀A∈ℝ,∃λ<0,

(

^x^∈^D^f^et^x<λ

)

^⇒ ^f⁽^x)<^A

lim

x→−∞ f(x)=+∞ ∀A∈ℝ,∃λ<0, x∈D_f ∩ ]−∞;λ [⇒ f(x)∈]A ;+∞[

ou ∀A∈ℝ,∃λ<0,

(

^x^∈^D^f^et^x<λ

)

^⇒ ^f⁽^x)>^A

D É F I N I T I O N .

D É F I N I T I O N . A s y m p t o t e h o r i z o n t a l eA s y m p t o t e h o r i z o n t a l e

Lorsque lim_x→+∞ f(x)=l ou lim_x→−∞ f(x)=l, on dit que ……..………

………

(4)

II. Calculer des limites II. Calculer des limites

On considère deux fonctions f et g définies au voisinage de , où  désigne un réel ou + ∞ ou ‒ ∞.

II.1 Limite d'une somme

lim

x→α f(x) l l l + ∞ ‒ ∞ + ∞

lim

x→αg(x) l ' + ∞ ‒ ∞ + ∞ ‒ ∞ ‒ ∞

lim

x→α f(x)+g(x)

II.2 Limite d'un produit lim

x→α f(x) l l>0 l<0 l>0 l<0 + ∞ + ∞ ‒ ∞ 0

lim

x→αg(x) l ' + ∞ + ∞ – ∞ ‒ ∞ + ∞ ‒ ∞ ‒ ∞ + ∞ ou ‒ ∞

lim

x→α f(x)×g(x)

II.3 Limite d'un quotient lim

x→α f(x) l l + ∞ + ∞ ‒ ∞ ‒ ∞ + ∞ ou ‒ ∞

lim

x→α g(x) l '≠0 + ∞ ou ‒ ∞ l '>0 l '<0 l '>0 l '<0 + ∞ ou ‒ ∞ lim

x→α

f(x) g(x) lim

x→α f(x) l>0 ou + ∞ l>0 ou + ∞ l<0 ou ‒ ∞ l<0 ou ‒ ∞ 0 lim

x→αg(x) 0⁺ 0⁻ 0⁺ 0⁻ 0

lim

x→α

f(x) g(x)

II.4 Limite d'une composée de fonctions T H É O R È M E

T H É O R È M E . . Soient , ,  finis ou infinis.

Si lim_x→_αg(x)=β et lim_x→_βh(x)=γ alors lim_x→_αh(g(x))=γ.

Exemple : soit f la fonction définie pour tout réel x>0 par f (x)=

√

¹^x⁺²^x^.

Déterminer, si elle existe : lim_x→+∞ f (x).

Admis

(5)

III. III. Limites et comparaison Limites et comparaison

III.1 Théorèmes de comparaison T H É O R È M E S

T H É O R È M E S . . Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I , voisinage de  (où  désigne un réel ou + ∞ ou ‒ ∞).

a) Si : ∀ x ∈ I , g(x)⩽f(x) et lim_x→_αg(x)=+∞

alors ……….

b) Si : ∀ x ∈ I , g(x)⩾f(x) et lim_x→_αg(x)=−∞

alors ……….

Illustration du a) :

III.2 Théorème des gendarmes

T H É O R È M E " D E S G E N D A R M E S "

T H É O R È M E " D E S G E N D A R M E S " . .

Soient f , g , h trois fonctions définies sur un intervalle I , voisinage de  (où  désigne un réel ou + ∞ ou ‒ ∞).

source des images : chingatome.net

Admis