Déformation de poutre sous chargement transversal

RESISTANCE DES MATERIAUX (5)

Référence:

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Notes de cours:

J. Walt Oler

Texas Tech University

Déformation des

poutres en flexion

Déformation de poutre sous chargement transversal

• La relation entre le moment de flexion et la courbure pour une flexion pure reste valide pour les chargements transversaux classiques,

EI x M ( ) 1 =

ρ

• Pour une poutre cantilever soumise à une charge concentrée au bord libre,

1 Px ρ ⁼ EI

• La courbure varie linéairement selon x

• Au bord libre A, ⁼ A ^{= ∞} A

ρ ρ1 0,

• Au support B, ^B _PL^EI

B

=

≠ ρ

ρ ^0, 1

Déformation de poutre sous chargement transversal

• Pour une poutre sur appuis,

• Les réactions en A et C

• Diagramme du moment de flexion

• La courbure est nulle aux points où le moment de flexion est nul, c-a-d à chaque bout et en E.

• Une poutre est concave vers le haut où le moment est positif, et concave vers la bas où il est négatif.

• La courbure maximum apparaît où l’intensité du moment est maximum.

• Une équation pour la forme de la poutre ou une déformée est nécessaire pour déterminer la

courbure maximum et la pente.

EI x M( ) 1 =

ρ

Équation de la courbe élastique (ou déformée)

• A partir de calculs élémentaires et simplifiés pour les paramètres de poutre,

2 2 2

2 3 2 2

1 1

dx y d dx

dy dx

y d

≈

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛ ρ =

• En substituant et en intégrant,

( ) ( )

( )

0 0

1 0

2

1 2

C x C dx x M dx y

EI

C dx x dx M

EI dy EI

x dx M

y EI d

EI

x x

x

+ +

=

+

=

≈

=

=

∫

∫

∫

θ ρ

Équation de la courbe élastique (ou déformée)

( )

0 0

C x C dx x M dx y

EI

x x

+ +

=

∫ ∫

• Les constantes sont déterminées à partir des conditions aux limites

• Trois cas pour les poutres statiquement déterminées (cas isostatique),

– Poutre sur appuis simples

0 ,

0 =

= _B

A y

y

– Poutre surplombante sur appuis

0 ,

0 =

= _B

A y

y

– Poutre cantilever

0 ,

0 =

= _A

yA θ

• Des chargements plus compliqués demandent des intégrales multiples et des conditions de continuités de déplacement et de pente.

Détermination directe de la courbe élastique à partir de la distribution de chargement

• Les constantes sont déterminées à partir des conditions aux limites.

Poutre cantilever

Poutre sur supports simples

• Pour une poutre soumise à un chargement réparti,

• L’équation de déplacement de la poutre devient,

( )

dx w y EI d

dx M

d = = −

4 4 2

2

( ) ( )

4 2 3

2 2 3 1 6 1

1C x C x C x C

dx x w dx dx dx x

y EI

+ +

+ +

−

=

∫ ∫ ∫ ∫

• En intégrant quatre fois, on obtient (x)

dx w

dV =− et dMdx =−V

Problème 9.1

Pour la portion AB de la poutre suspendue, (a) dériver l’équation de la courbe

élastique, (b) déterminer la courbure maximum,(c) évaluer y_max.

SOLUTION:

• Développer une expression pour M(x) et dériver l’équation

différentielle pour la courbe élastique.

• Intégrer l’équation différentielle deux fois et appliquer les conditions aux limites pour obtenir l’équation élastique.

• Localiser le point de pente nulle ou le point de courbure maximum.

• Évaluer la courbure maximum correspondante.

Sont donnés : I, E, P, L, a

Problème 9.1

SOLUTION:

• Développer une expression pour M(x) et

dériver l’équation différentielle pour la courbe élastique.

- Réactions:

A B 1

Pa a

R R P

L L

⎛ ⎞

= − = ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

- Du diagramme des corps libres pour la section AB,

(

)

M P xa x L

= − L < <

2 2

d y a

EI P x

dx = − L

- L’équation différentielle pour la courbe élastique,

Problème 9.1

• Intégrer l’équation différentielle deux fois et appliquer les conditions aux limites pour obtenir l’équation élastique.

2 1

3

1 2

1 2 1 6

dy a

EI P x C

dx L

EI y P xa C x C L

= − +

= − + +

2 2

d y a

EI P x

dx = − L

2 3

6

PaL x x

y EI L L

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

= ⎢⎢⎣ − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎥⎥⎦

2 2

3

1 1

2 6 6 1 3

1 1

6 6

dy a dy PaL x

EI P x PaL

dx L dx EI L

EI y P xa PaLx L

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

= − + = ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥

⎢ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

= − +

En substituant,

2

3

1 1

à 0, 0 : 0

1 1

à , 0 : 0

6 6

x y C

x L y P La C L C PaL

L

= = =

= = = − + =

Problème 9.1

• Localiser le point de pente nulle ou le point de courbure maximum.

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

= ^{2 3}

6 L

x L

x EI y PaL

L L L x

x EI

PaL dx

dy m m 0.577

3 3 6 1

0

2 = =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

=

• Évaluer la courbure maximum (ou flèche) correspondante.

( )

[

]

2

max 0.577 0.577

6 −

= EI y PaL

EI y PaL

0642 6 .

0

2 max =

Méthode de Superposition

Principe de superposition :

• Les déformations des poutres soumises à des combinaisons de

chargements peuvent être obtenus par une combinaison linéaire des

déformations issues de chaque chargement.

• Cette procédure est facilité par l’utilisation de tables de solution pour des configurations classiques de chargements et de supports.

Problème 9.7

Pour une poutre et un chargement comme ci-contre, déterminer la pente et la courbure au point B.

SOLUTION:

Superposer les déformations dues aux chargement I et au chargement II comme montrés,

chargement chargement

Problème 9.7

Chargement II

( )

wL

C II

48

= 3

θ

( )

EI y_{C II} wL

128

= 4

Dans le segment de poutre CB, le moment de flexion est nul et la courbe élastique est une ligne droite.

( ) ( )

EI wL

C II B II

48

= 3

= θ θ

( )

wL L

EI wL EI

y_{B II} wL

384 7 2

48 128

4 3

4 ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= Chargement I

( )

B I

6

− 3

θ =

( )

EI y_{B I} wL

8

− 4

=

chargement

chargement

Problème 9.7

( ) ( )

EI wL EI

wL

B II B I

B 6 48

3 3 +

−

= +

= θ θ

θ

( ) ( )

EI wL EI

y wL y

y_{B B I B II}

384 7 8

4 4 +

−

= +

=

EI

B wL 48 7 ³ θ =

EI y_B wL

384 41 ⁴

=

Combiner les deux solutions,

chargement chargement