Correctif : Exercices sur les inéquations niveau 2 1)

4

Inéquations niveau 2

1

Correctif : Exercices sur les inéquations niveau 2

1) ^7−4𝑥 _𝑥+3 < 0

𝑆 = ]−∞; −3[ ∪ ] 7

4 ; +∞[

2) ^𝑥+3 _𝑥−3 ≥ 0

𝑆 = ]−∞; −3] ∪ ]3; +∞[

3) _5−𝑥 ^𝑥 ≥ 0

𝑆 = [0; 5[

4) ^1−5𝑥 ₂ + ^10−10𝑥 ₅ ≥ 1 ⇔ 5 − 25𝑥 + 20 − 20𝑥 ≥ 10 ⇔ −45𝑥 ≥ −15 ⇔ 𝑥 ≤ ⁻¹⁵ ₋₄₅ ⇔ 𝑥 ≤ ¹ ₃

𝑆 = ]−∞; 1 3 ]

5) ^1−5𝑥 ₂ − ^10−10𝑥 ₅ ≥ 1 ⇔ 5 − 25𝑥 − 20 + 20𝑥 ≥ 10 ⇔ −5𝑥 ≥ 25 ⇔ 𝑥 ≤ −5 𝑆 = ]−∞; −5 ]

6) ^𝑥+2 _𝑥+3 ≤ ^𝑥+4 _𝑥+5 ⇔ ^{(𝑥+2)(𝑥+5)} _{(𝑥+3)(𝑥+5)} ≤ ^{(𝑥+4)(𝑥+3)} _{(𝑥+3)(𝑥+5)} ⇔ ^𝑥

^{+7𝑥+10−(𝑥} _{(𝑥+3)(𝑥+5)}

^+7𝑥+12) ≤ 0 ⇔ _{(𝑥+3)(𝑥+5)} ⁻² ≤ 0

S = ]−∞; −5[ ∪ ]−3; +∞[

7) ^9𝑥+3 ₃ + ^8−16𝑥 ₄ ≥ 2 ⇔ 36𝑥 + 12 + 24 − 48𝑥 ≥ 24 ⇔ −12𝑥 ≥ −12 ⇔ 𝑥 ≤ 1 𝑆 = ]−∞; 1]

x -3 7/4

7-4x + + + 0 -

x+3 - 0 + + +

Quotient - ND + 0 -

x -3 3

x+3 (N) - 0 + + +

x-3 (D) - - - 0 +

Quotient + 0 - ND +

x 0 5

x(N) - 0 + + +

5-x(D) + + + 0 -

Quotient - 0 + ND -

x -5 -3

-2 - - - - -

(x+3)(x+5) + 0 - 0 -

Quotient - ND + ND -

4

Inéquations niveau 2

2 8) 𝑥 ≤ ³ _𝑥 ⇔ 𝑥 − ³ _𝑥 ≤ 0 ⇔ ^𝑥

_𝑥 ⁻³ ≤ 0 N : √3 𝑒𝑡 − √3 et D : 0

S = ]−∞; −√3 ] ∪ ]0; √3]

9) ^5𝑥

2

−4𝑥−1

−2𝑥

+𝑥−1 ≥ 2 ⇔ ^5𝑥

−4𝑥−1−2(−2𝑥

+𝑥−1)

−2𝑥

+𝑥−1 ≥ 0 ⇔ ^5𝑥

^{−4𝑥−1+4𝑥} _−2𝑥

_+𝑥−1

^−2𝑥+2 ≥ 0 ⇔ _−2𝑥 ^9𝑥

^−6𝑥+1

_+𝑥−1 ≥ 0 N : (3𝑥 − 1) ² = 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 ∶ ¹ ₃

D : delta<0, donc fonction tjs négative (car a<0)

S = { ¹ ₃ }

10) _2−𝑥 ^𝑥 < _𝑥

^2𝑥+10 _+3𝑥−10 ⇔ _2−𝑥 ^𝑥 < _{(𝑥−2)(𝑥+5)} ^2(𝑥+5) ⇔ −𝑥(𝑥+5)−2𝑥−10

(𝑥−2)(𝑥+5) < 0 ⇔ ^−𝑥 _{(𝑥−2)(𝑥+5)}

^{−5𝑥−2𝑥−10} < 0

⇔ ^−𝑥 _{(𝑥−2)(𝑥+5)}

^{−7𝑥−10} < 0 N = racines -5 et -2 D : 2 et -5

S =]−∞; −5[ ∪ ]−5; −2[ ∪ ]2; +∞[

x -√𝟑 0 √3

𝒙 ^𝟐 − 𝟑 + 0 - - - 0 +

x - - - 0 + + +

Quotient - 0 + ND - 0 +

x 1/3

N + 0 +

D - - -

Quotient - 0 -

x −𝟓 -2 2

N - 0 + 0 - - -

D + 0 - - - 0 +

Quotient - ND - 0 + ND -