TRAVAUX PRATIQUES

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Physique

TRAVAUX PRATIQUES

Thème : Analyse et synthèse de Fourier d’un signal

Un peu d’étymologie pour commencer !

Analyse : Action de décomposer un tout en ses éléments constituants (cf dictionnaire Robert).

Synthèse : Action qui procède du simple au composé, de l’élément au tout (cf dictionnaire Robert).

Objectif de la séance :



Effectuer l’analyse spectrale d’un signal périodique à l’aide d’un oscilloscope numérique ou d’une carte d’acquisition.

L’objet d’étude est donc un signal électrique périodique émis par un GBF.

Joseph Fourier (1772-1837) lorsqu’il se penche sur l’équation de la chaleur et ses solutions, établit ce qu’on appelle depuis le théorème de Fourier :

Tout signal T-périodique continu u(t) est décomposable en une somme de fonctions sinusoïdales soit :

( ) ( )

 



^

=

+ +

=

1 k

k k

0 a .cos 2. .k.f t. b .sin 2. .k.f t.

a ) t (

u  

où T

f = 1 ^a⁰ ⁼_T¹^.



₀^T^u⁽^t^).^dt : valeur moyenne



= ^T

k .0 u(t).cos(2. .k.f t.).dt T

a 2 



= ^T

k .0 u(t).sin(2. .k.f t.).dt T

b 2 

k = 1 : terme fondamental de la décomposition en série de Fourier k > 1 : termes harmoniques de la décomposition en série de Fourier

A l’aide du logiciel Latis-Pro (que vous trouverez dans le dossier Sciences Physique-Chimie sur le bureau), nous effectueront l’analyse puis la synthèse harmonique de différents signaux.

On revoit ici et on approfondit des notions vues en TP de PCSI à l’occasion du filtrage.

Montage



Alimenter l’entrée EA1 de l’interface d’acquisition LATIS-PRO© à l’aide du GBF SIGLENT©, et permettre la visualisation en temps réel de ce signal sur l’oscilloscope AGILENT©.

1 – Analyse et synthèse d’un signal sinusoïdal 1.1 – Réglages préliminaires



Régler le GBF afin qu’il délivre une tension sinusoïdale de fréquence f1 = 100 Hz et d’amplitude 1 V.



Sur le logiciel LATIS PRO© , après avoir rendue active la voie EA1, dans le menu acquisition, demander l’acquisition de 2000 points sur une durée totale de 100 ms (Ceci permet d’afficher 10 cycles de la tension d’entrée). Lancer l’acquisition

1.2 – Analyse du signal : obtention de son spectre



Sur le logiciel LATIS PRO©,

menu traitement > Calculs spécifiques > Synthèse harmonique > Synthèse simplifiée Apparaît une petite fenêtre qu’on laissera ouverte pour toute la suite

* Depuis le menu faire glisser EA1 dans le cadre « courbe ».

(2)

* Cliquer sur calcul. Il apparaît dans une nouvelle fenêtre le spectre¹ du signal. Il représente en abscisse la fréquence et en ordonnée l’amplitude 𝐴_𝑘 = √𝑎_𝑘²+ 𝑏_𝑘². Double cliquer éventuellement sur l’étiquette d’ordonnée pour calibrer l’échelle verticale. Double cliquer sous l’axe des abscisses puis imposer une fréquence maximale d’affichage de 1 kHz.



Le spectre du signal sinusoïdal est-il



discret ?



^{continu ?}



A l’aide du réticule (accessible par clic droit dans le menu contextuel) relever la fréquence et l’amplitude du pic observé.

On relève 100 Hz, soit la fréquence du signal émis par le GBF. Ce signal sinusoïdal de fréquence 100 Hz et d’amplitude 1 V se traduit dans le graphe de son spectre par un unique pic d’abscisse 100 Hz et de hauteur 1 V.

1.3 – Synthèse d’un signal



Lors de la manipulation précédente est apparue aussi sur la fenêtre 1 le signal obtenu par synthèse de Fourier à partir du spectre de la fenêtre 2.

Sur la petite fenêtre synthèse depuis courbe le menu séquence permet d’ajouter ou de supprimer successivement les harmoniques. Tester ces fonctionnalités. Elles seront davantage mises à profit dans la suite. En particulier, cliquer successivement sur séquence permet de réinitialiser l’affichage du signal synthétisé.

1.4 – Cas d’un signal sinusoïdal décalé



Régler le GBF afin qu’il délivre une tension sinusoïdale de fréquence f1 = 100 Hz, d’amplitude 1 V et décalée (offset) vers le haut de 1V (voir figure en fin de sujet). Relancer l’acquisition



Pour observer ce décalage sur l’oscilloscope, faut-il y choisir le couplage à l’entrée de l’oscilloscope :



AC(CA) ?



DC (CC) ? Le couplage AC d’entrée de l’oscilloscope coupe la composante continue du spectre du signal reçu.

Le couplage CC transmet à l’oscilloscope sans filtrage toutes les composante du signal reçu.



Confirmer votre réponse en essayant successivement les deux couplages



Compléter le tableau ci-dessous à l’aide de mesures au réticule sur le spectre obtenu.

Fréquence (Hz) 0 100

Amplitude Ak (V) 1 1



Interpréter la présence de ce nouveau pic dans le spectre.

Le signal sinusoïdal décalé (i.e. avec offset) s’écrit : 𝑒(𝑡) = 𝐸 + 𝐸 cos(2𝜋𝑓𝑡) où E = 1 V ici, et f = 100 Hz.

Qu’on peut réécrire : 𝑒(𝑡) = 𝐸 cos(2𝜋0𝑡) + 𝐸 cos(2𝜋𝑓𝑡)

Le spectre de ce signal ainsi écrit comme une somme de Fourier discrète comporte donc 2 pics : à 0 Hz et à 100 Hz, tous deux de hauteur 1 V .



Estimer sur l’oscillogramme, la valeur moyenne du signal Environ 1 V

Mesurer au réticule sur le spectre, la valeur moyenne du signal C’est la hauteur du pic d’abscisse 0 Hz.

Interpréter ces deux résultats

Dans la décomposition d’un signal périodique en série de Fourier (cf début d’énoncé), la valeur moyenne du signal est le terme a0 et dont la valeur est la hauteur du pic de fréquence 0 Hz.

(3)



Dans le menu séquence de la fenêtre pop-up, supprimer et ajouter successivement les composantes du spectre du signal et observer l’effet sur le signal synthétisé.

………

2 – Analyse et synthèse d’un signal rectangulaire



Régler le GBF afin qu’il délivre une tension rectangulaire NON décalée, de fréquence f1 = 100 Hz et d’amplitude 1 V. Lancer l’acquisition.

2.1 – Analyse du signal



Rang de

l’harmonique k 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fréquence (Hz) 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Amplitude Ak (V) 1,2 0 0,4 0 0,24 0 0,17 0 0,13

k.Ak (V) 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2



En déduire la loi de décroissance de l’amplitude des harmoniques en fonction de son rang k. 𝐴_𝑘 =^𝐴¹

𝑘

2.2 – Synthèse du signal



Réduire le domaine des fréquence affichées dans le spectre à l’intervalle [0 ; 1 kHz]. Dans le menu séquence de la fenêtre pop-up synthèse depuis courbe, ajouter ou supprimer les harmoniques un à un.



Décrire qualitativement le rôle des harmoniques d’ordres élevés et celui des harmoniques d’ordres bas.

Les harmoniques de rangs faibles construisent le « squelette » principal du signal et ont le plus fort poids tandis que les harmoniques de rangs élevés en construisent les détails et en particulier les sauts de discontinuité.

3 – Analyse et synthèse d’un signal triangulaire



Régler le GBF afin qu’il délivre une tension triangulaire NON décalée, de fréquence f1 = 100 Hz et d’amplitude 1 V. Lancer l’acquisition.



Rang de

l’harmonique k 1 2 3 4 5 6 7

Fréquence (Hz) Amplitude Ak (V) k².Ak (V)



En déduire la loi de décroissance de l’amplitude des harmoniques en fonction de son rang k. 𝐴_𝑘 =^𝐴¹

𝑘²

(4)

3.2 – Synthèse du signal



Réduire le domaine des fréquence affichées dans le spectre à l’intervalle [0 ; 1 kHz]. Dans le menu séquence de la fenêtre pop-up synthèse depuis courbe, ajouter ou supprimer les harmoniques un à un.

4 – Analyse et synthèse d’un signal non périodique

Un tel signal ne peut être généré par le GBF (à part une tension continue). Le GBF SIGLENT© permet cependant de générer une tension créneau périodique de rapport cyclique ajustable² appelée pulse.



Régler le GBF afin qu’il délivre un pulse (logo ), de fréquence f1 = 100 Hz et d’amplitude 1 V, de durée de pulse 100 µs.





Le spectre du signal non périodique est-il



discret ?



^{continu ?}

On retiendra que le spectre d’un signal non périodique est continu, tandis que le spectre d’un signal périodique est discret.

4.2 – Modélisation du spectre

Les pics du spectre sont très resserrés et dessinent plus clairement leur enveloppe. A la limite d’un signal réellement non périodique, le spectre est continu. La décomposition en série de Fourier se transforme en décomposition en intégrale de Fourier :



^+ ⁺ ^+

= 0 a( f ).cos(2. .k.f t.).df 0 b( f ).sin(2. .k.f t.).df )

t (

u  

où a( f )=.



−^+u(t).cos(2..k.f t.).dt : transformée de Fourier en cosinus



−^+

=. u(t).sin(2. .k.f t.).dt )

f (

b  transformée de Fourier en sinus

On peut par exemple trouver le spectre du signal étudié à l’aide d’un spectre en sinus et on montre qu’il prend la forme :

( )

+

= +

t.

f .

t.

f . .sin Cte ) f (

b 





Faire glisser amplitude de EA1dans le cadre courbe à modéliser.

Imposer le modèle utilisateur : Abs(sin(Pi*Fréquence*t+)/(Pi*Fréquence*t+)) où t+ sera remplacée par sa valeur, la durée du pulse.

Ajuster les coefficients a posteriori qui multiplie cette expression afin que la courbe modélise au mieux le spectre du signal.

2 rapport cyclique :

T t période

positive alternance

durée

r= = ⁺

t+

T

t

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