Fénelon Ste Marie – La Plaine Monceau 1 PC-PC*
Physique
TRAVAUX PRATIQUES
Thème : Echantillonnage d’un signal analogique
1 - Acquisition d’un signal
Objectif : Le signal analogique (continu) délivré par le GBF sera acquis par l’interface LATIS-PRO. Il est alors transformé par échantillonnage en signal numérique (discret), une succession de points de mesures.
On va mettre en évidence l’importance du paramétrage de l’acquisition pour visualiser un signal numérique comparable au signal analogique initial et pour visualiser le spectre de Fourier de signaux périodiques.
1.1 – Acquisition à l’oscilloscope
Un oscilloscope analogique capture la tension au cours du temps de telle sorte qu’il permet de visualiser à l’écran le graphe de la fonction à variable temps continue u(t).
Régler le GBF et l’oscilloscope de manière à visualiser un signal de fréquence f0 = 1 kHz d’amplitude U0 = 0,5 V.
On notera ce signal u(t) = U0.cos(2..f0.t).
1.2 – Acquisition numérique à l’aide d’une carte d’acquisition
La quasi-totalité des signaux que nous utilisons est numérique, c'est-à-dire une succession de nombres émis périodiquement. Ainsi, une tension u(t) est à variable temps discrète. On dit alors que le signal est numérique, ou digital. Si cette série de nombres n’est constituée que de « 0 » et de « 1 », le signal est dit binaire. Chaque chiffre se nomme un « bit » (binary digit).
Le GBF délivre un signal continu que la carte d’acquisition va numériser. Cette étape se nomme échantillonnage. Le signal est mesuré périodiquement, à la période d’échantillonnage Te , donnant ainsi comme image du signal d’entrée une image constituée d’une succession discrète de valeurs : le signal numérique.
En conservant le signal sur l’oscilloscope, brancher la sortie du GBF entre la masse et l’entrée EA0 de l’interface d’acquisition de l’ordinateur.
Lancer l’acquisition du signal u(t) à l’aide du logiciel LATIS-PRO©
La visualisation du signal peut se faire à l’aide du choix de quatre paramètres. Ils prennent des valeurs programmées par défaut. Le réglage manuel de ces paramètres permet de comprendre leur effet sur le signal affiché et le cas échéant de résoudre des incohérences entre l’affichage et le signal capté.
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i) Le nombre de points N Il est par défaut de 200.
Augmenter à 1000 le nombre N dans le menu acquisition du bandeau latéral, champ Points .
Observer la modification du signal échantillonné.ii) La période d’échantillonnage Te.
C’est la durée périodique qui sépare deux points de mesure. On nomme fréquence c’échantillonnage la grandeur
e
e T
f = 1 .
Est également donnée la durée d’échantillonnage T. Elle est liée aux deux précédents par la relation Te
. N T=
Modifier la durée d’échantillonnage afin de visualiser 10 cycles de u(t) : Menu acquisition du bandeau latéral, champ Total : T = ……… ……..
Relever Te = ……… et calculer fe = ………iii) Echelle verticale
Optimiser l’échelle verticale en effectuant un double clic sur l’étiquette de l’ordonnée.
iv) Calibre vertical
La numérisation d’un signal s’effectue horizontalement (échantillonnage dans le temps) et verticalement (quantification). La carte d’acquisition associe un nombre fini de valeurs équidistantes sur l’étendue du calibre vertical ( ici, -10V/+10V par défaut). Deux valeurs successives sont distantes du pas de quantification p. Nous allons relever ce pas.
Sur le GBF, régler l’amplitude à 50 mV.
Observer le signal après acquisition. Commenter et interpréter son allure. En déduire le pas de quantification p.………..
………..
………..
………..
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
t(ms) u(V)
T
T0
Te
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Dans le menu entrées analogiques du bandeau latéral, effectuer un clic droit sur l’entre EA0 et choisissez le calibre (-5V/ +5V) puis (-1V/ +1V) et constater l’amélioration par rapport au calibre par défaut (-10V/+ 10V).
En déduire le nombre de quantificateurs verticaux de la carte d’acquisition : ………...
Quelle est l’incertitude de mesure numérique de tension à l’instant t en fonction du pas de quantification p ? ……….2 – Caractérisation d’un signal à l’aide de son spectre
2.1 – Visualisation du spectre – Résolution
Le logiciel LATIS-PRO© permet de calculer la transformée de Fourier discrète d’un signal numérique. Il représente dans le spectre en fréquence de ce signal l’amplitude des sinusoïdes par les points échantillonnés.
Rétablir un signal sinusoïdal de fréquence f0 = 1 kHz et d’amplitude U0 = 5 V. On garde la fréquence d’échantillonnage fe = 100 kHz.
Dans le menu traitement du bandeau supérieur, rubrique Calculs spécifiques - Analyse de Fourier obtenir le spectre de ce signal.
On appelle résolution la grandeur
T 1 N f = fe =
le pas en fréquence obtenu dans le spectre.
Réitérer l’analyse de Fourier à l’aide de l’oscilloscope AGILENT© . Observer l’évolution de la résolution du spectre du signal en modifiant la vitesse de balayage et donc la durée d’échantillonnage
Nota bene : On ne retrouve pas la relation précédente car l’oscilloscope effectue un échantillonnage sur une durée valant 2,5 fois celle du signal affiché.
2.2 – Signal erroné – Repliement de spectre
Maintenir N = 1000 et paramétrer de telle sorte que fe = 2 kHz. Régler le GBF afin qu’il délivre une tension sinusoïdale d’amplitude 5V.
Pour des fréquences de 800 Hz, 900 Hz, 1000 Hz, 1100 Hz, 1200 Hz observer l’analyse de Fourier de ce signal. Que remarquez-vous ? A partir de quelle fréquence critique fc observez-vous ce phénomène ? On pourra effectuer quelques essais supplémentaires pour affiner la valeur de fc. Dégager une relation simple entre fc et fe.………..
………..
………..
………..
………..
Interprétation :
Considérons un signal sinusoïdal de fréquence f0 = 1,2 kHz et une fréquence d’échantillonnage fe = 2 kHz
Lorsqu’il n’y a pas assez de points de mesure par cycle du signal (cf schéma ci-contre), le signal échantillonné ne peut alors permettre de déterminer la fréquence du signal sans ambigüité.
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Le signal est échantillonné aux instants
e e
n f
T n . n
t = = ce qui entraîne que les signaux de fréquence f0 et
e 0 f
f − conduisent aux mêmes points :
Fréquence Signal analogique Signal échantillonné : échantillon n f0 u(t)=U0.cos
(
2..f0.t)
=
e 0 0
n f
f . n . . cos 2 . U ) t (
u
e 0 f
f − u(t)=U0.cos
(
2..f0−fe.t)
( )
=
−
=
−
=
e 0 0
n
e 0 0
e e 0 0
n
f f . n . . cos 2 . U ) t ( u
n . . f 2
f . n . . cos 2 . f U
f f . n . . cos 2 . U ) t ( u
On nomme ce phénomène néfaste pour l’analyse spectrale d’un signal, le repliement de spectre.
Par exemple, l’échantillonnage à la fréquence fe = 2 kHz de signaux sinusoïdaux de fréquences f1 = 1,2 kHz et f2 = 800 Hz donne le même pic spectral à 800 Hz car fe – f1 = f2.
A la limite, si fe – f0 = f0 ➔
2 f0 = fe
En conclusion, on en tire la règle suivante pour l’échantillonnage d’un signal dont le spectre de fréquence maximale f0,max.
Critère de Shannon : La fréquence 2 fe
appelée fréquence de Nyquist, doit être plus grande que la fréquence maximal fo,max du signal échantillonné.
fe > 2.f0,max où
2 Te T0,max
2.3 – Application
La capacité de mémoire et de calculs numériques du processeur augmente avec la fréquence d’échantillonnage. On ne peut pas toujours l’augmenter afin de satisfaire le critère de Shannon (c’est par exemple le cas pour la numérisation des images et du son sur des disques optiques).
Pour fe = 2 kHz, visualiser le spectre d’un signal créneau de fréquence f0 = 300 Hz. Quel étage faut-il ajouter au montage pour éviter le repliement de spectre ? Le réaliser.
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