On note par M

SP´ ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE

MATRICES D’ADJACENCES Soit n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2.

On note par M

( C ) l’alg`ebre de toutes les matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients complexes. Si A d´esigne une matrice carr´ee d’ordre n `a coefficients complexes son terme g´en´eral sera not´e a

. Pour tout (p, q) ∈ [[1, n]]

on note par Ω

la matrice dont tous les ´el´ements sont nuls sauf celui de la ligne p et de la colonne q qui vaut 1.

On note E =

A ∈ M

( C ) | ∀ (i, j) ∈ [[1, n]]

:

n

P

k=1

a

=

n

P

k=1

a

.

De plus on note par I la matrice unit´e d’ordre n et par J la matrice carr´ee d’ordre n dont tous les termes sont ´egaux `a 1. Il est clair que I et J sont ´el´ements de E.

L’objectif du probl`eme est d’´etudier des propri´et´es de matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients dans {0, 1} satisfaisant `a une ´equation matricielle. L’ensemble de ces matrices est not´e M

({0, 1}). On remarque que cet ensemble n’est stable ni pour l’addition ni pour la multiplication.

Partie I - Dimension de l’espace vectoriel E . Pour tout A ∈ E on note s(A) =

n

P

k=1

a

=

n

P

k=1

a

, expression ind´ependante de i et j.

I.1. Montrer que : ∀ A ∈ M

( C ) : A ∈ E ⇐⇒ AJ = JA.

I.2. Montrer que E est une sous-alg`ebre de M

( C ).

V´erifier que s est un morphisme de C −alg`ebre.

I.3. Trouver un suppl´ementaire simple de Ker s dans E.

I.4. Dimension de E

Montrer que J est diagonalisable et que A ∈ E ⇔ A stabilise les sous-espaces propres de J.

En d´eduire la dimension de E sur C en fonction de n.

Partie II - Matrice d’adjacence d’un graphe orient´ e.

Soit X un ensemble fini dont le cardinal est sup´erieur ou ´egal `a n.

Soit S = (x

, x

, . . . , x

) une suite ordonn´ee d’´el´ements de X deux `a deux distincts.

On appelle graphe orient´e de sommets S le couple G = (S, F ) o` u F est une partie non vide de S×S. Les ´el´ements de S sont appel´es les sommets du graphe et les ´el´ements de F sont appel´ees les arˆetes orient´ees ou fl`eches du graphe.

A ce graphe ` G on associe la matrice A ∈ M

({0, 1}) d´efinie par a

=

( 1 si (x

, x

) ∈ F 0 sinon

appel´ee matrice d’adjacence de G.

On appelle chemin du graphe toute suite finie non vide de fl`eches de la forme:

(x

, x

), (x

, x

), . . . , (x

, x

)

Le sommet x

est le d´ebut du chemin et x

est la fin du chemin; la longueur du chemin est p qui est le nombre de fl`eches successives du chemin. On peut avoir x

= x

pour certaines valeurs de k. On a toujours p ^> 1.

II.1. Soit k ∈ N

, on note par b

le terme g´en´eral de la matrice A

. Montrer que b

est ´egal au nombre de chemins deux `a deux distincts de d´ebut x

et de fin x

et de longueur k.

On pourra commencer par prouver le r´esultat pour k = 2.

1

2 SP ´ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE

II.2. Soit d et N deux entiers naturels tous deux non nuls. On consid`ere le graphe K(d, N ) d´efini de la fa¸con suivante. L’ensemble X est l’ensemble de toutes les suites finies de longueur N dont les ´el´ements sont les entiers appartenant `a [[0, d]]. On a X = [[0, d]]

. Chaque ´el´ement de X sera not´e comme une matrice uniligne de longueur N ; les notions de matrice uniligne, vecteur et liste seront consid´er´ees comme synonymes.

L’ensemble S des sommets est d´efini par:

S = {[x

, x

, . . . , x

] | ∀ t ∈ [[1, N ]], x

∈ [[0, d]] et ∀i ∈ [[1, N − 1]] : x

6= x

} Les fl`eches de ce graphe sont tous les couples de la forme

([x

, x

, . . . , x

], [x

, . . . , x

, y]) o` u y ∈ [[0, d]] et y 6= x

o` u [x

, x

, . . . , x

] est un ´el´ement quelconque de S.

a. Sur X = [[0, d]]

on d´efinit la relation suivante:

∀ (x, y ) ∈ X

: x ≺ y ⇐⇒



 

 

soit x = y soit x

< y

soit ∃k ∈ [[2, N ]] x

= y

, . . . x

= y

et x

< y

Montrer que ≺ est une relation d’ordre total sur X.

Cette relation d’ordre est appel´ee ordre lexicographique sur X.

b. Calculer les matrices d’adjacence de K(1, 2) et de K(2, 2).

L’ensemble des sommets de ces graphes sera class´e suivant l’ordre lexicographique stric- tement croissant d´efini par ≺ , ordre induit de X sur S.

II.3. Algorithmique et programmation. On reprend les notations pr´ec´edentes.

Les algorithmes demand´es dans cette question pourront ˆetre r´edig´es en MAPLE, ils pourront aussi ˆetre ´ecrits en fran¸cais en utilisant un m´etalangage simple mais non ambigu. Il ne sera tenu compte que de la consistance et de la correction des algorithmes.

Les sommets du graphe seront repr´esent´es par des listes d’´el´ements de [[0, d]]. Par exemple si d = 2 et N = 3 la liste [1, 0, 2] ∈ S.

On pr´esentera ces sommets dans l’ordre lexicographique croissant et rang´es dans un vecteur (tableau `a une dimension) ou une liste. Par exemple S = [[0, 1, 0], [0, 1, 2], . . . , [2, 1, 2]] ici.

On dispose des trois fonctions suivantes suppos´ees connues et qui pourront ˆetre adapt´ees en fonction du langage de programmation choisi.

• concat # qui prend en argument 2 vecteurs v1 et v2 dont les ´ el´ ements sont tous de m^ eme type (mais quelconque) et qui renvoie le vecteur v3 =[v1 | v2]

exemple: concat([a,b,c],[d,e]) renvoie [a,b,c,d,e]

• sousvect # qui prend en argument une liste non vide et un intervalle d’entiers a..b (a inf´ erieur ou ´ egal ` a b) et qui renvoie la sous-liste form´ ee des caract` eres d’indice de a ` a b (bornes comprises) ou un message en cas d’erreur.

exemple: sousvect([a,b,c,d,e],2..3) renvoie [b,c]

• longueur # qui prend en argument le vecteur v et qui renvoie sa dimension Les ´el´ements des vecteurs sont num´erot´es `a partir de l’indice 1.

a. Ecrire une fonction ou une proc´edure (nomm´ee ´ sommet ) qui prend en entr´ee les entiers d et N et qui renvoie la liste des sommets de K(d, N ) class´ee en ordre lexicographique croissant.

Les sommets pourront ˆetre rang´es dans un vecteur ou liste; le num´ero d’ordre du sommet

SP ´ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE 3

sera ´egal `a l’indice du tableau contenant ce sommet.

On pourra partir du cas N = 1 o` u S = [[0], [1], . . . , [d]].

b. Ecrire une fonction ou une proc´edure qui prend en entr´ee les nombres ´ d et N et qui renvoie la matrice d’adjacence du graphe K(d, N ). On utilisera la proc´edure sommet pr´ec´edente.

II.4. Calculer le cardinal de S en fonction de d et N.

II.5. Soit A la matrice d’adjacence d’un graphe G (voir le pr´eambule de cette partie). On suppose que A

+ A

= J o` u m et k sont deux entiers naturels avec k > 0.

Que peut-on dire du graphe G?

Partie III - Existence de solutions d’une ´ equation matricielle.

On consid`ere l’´equation matricielle (P

) :

( A

+ A

= J

A ∈ M

({0, 1}) et o` u m et k sont deux entiers naturels donn´es avec k > 0. La matrice A est l’inconnue.

III.1. Recherche de conditions n´ ecessaires.

a. Montrer que toute solution de l’´equation (P

) est ´el´ement de E.

b. Montrer que si (P

) admet une solution alors il existe d ∈ N

tel que n = d

+ d

. c. On note U =



 1 ...

1



 la matrice unicolonne de dimension n et dont tous les termes sont

´egaux `a 1. Dans cette question la matrice A peut ˆetre consid´er´ee comme une matrice `a coefficients complexes.

(i) Montrer que U est un vecteur propre de la matrice A associ´e `a la valeur propre γ que l’on calculera.

(ii) Montrer que dim

Ker(A − γI ) = 1.

(iii) Montrer que toutes les autres valeurs propres complexes de A sont nulles ou racines k−i`emes de −1.

(iv) Soit B (λ) la transpos´ee de la comatrice de A − λI o` u λ est une variable complexe.

On rappelle la formule

(A − λI)B(λ) = B(λ)(A − λI) = χ

(λ)I o` u χ

d´esigne le polynˆome caract´eristique de A.

[α] Montrer que Rg B (γ) ⁶ 1 et que la matrice B(γ) est de la forme [c

U |c

U| . . . |c

U ] o` u c

, c

, . . . , c

sont des scalaires.

[β] Montrer que Rg(B) = 1 puis, en consid´erant A

, montrer que c

= . . . = c

. [γ] Montrer enfin que γ est une valeur propre simple de A.

III.2. ´ Etude du cas o` u le nombre k est pair.

On suppose que k = 2h avec h ∈ N et qu’il existe une solution de (P

), not´ee A. On sait alors qu’il existe d ∈ N

tel que n = d

+ d

.

a. Montrer que A

(I + A

)(A

− d

I) = 0.

b. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que les valeurs propres de A

sont ´el´ements de l’ensemble {0, i, −i, d

}.

Montrer alors que la trace de la matrice A

est ´egale `a d

.

c. Si on note par c

le terme g´en´eral de la matrice A

, montrer que Tr A

^>

n

P

i=1

c

. En d´eduire que Tr A

> 0.

d. (i) On note par u

le terme g´en´eral de la matrice I + A

.

A l’aide de la question pr´ec´edente prouver qu’il existe ` q ∈ [[1, n]] tel que u

> 2.

4 SP ´ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE

(ii) Montrer que U = A



 u

.. . u



.

(iii) En d´eduire que l’´equation (P

) n’admet pas de solution.

III.3. ´ Etude du cas k impair.

On suppose dans cette partie que k = 2h + 1 avec h ∈ N et qu’il existe d ∈ N

tel que n = d

+ d

.

Soit N la matrice carr´ee d’ordre n d´efinie par N =









0 1 0

... . ..

0 1

1 0 . . . 0









a. Montrer que N est une matrice inversible et que N

est aussi un ´el´ement de M

({0, 1}) que l’on explicitera.

b. Montrer que N + N

+ . . . + N

= I + N + N

+ . . . + N

= J.

c. Pour i ∈ [[1, n]] on note L

= [0 0 . . . 0 1 0 . . . 0] la matrice uniligne de taille 1×n dont tous les termes sont nuls sauf celui de rang i qui vaut 1.

(i) Calculer L

B o` u B ∈ M

( C ) et 1 ⁶ i 6 n.

Que peut-on dire de deux matrices B et C, ´el´ements de M

( C ), qui v´erifient la relation:

∀ i ∈ [[1, n]] : L

B = L

C ?

(ii) Soit p ∈ Z donn´e. On cherche toutes les matrices carr´ees H d’ordre n qui v´erifient les deux conditions suivantes:

(C

) : L

H = L

; (C

) : N H = HN

[α] Montrer que si H v´erifie les conditions (C

) et (C

) alors H =







 L

L

N

...

L

N







 . On note Q

cette matrice.

[β] Prouver que l’unique matrice Q

ainsi obtenue v´erifie les conditions (C

) et (C

).

(iii) Montrer que ∀ (p, q) ∈ Z

: Q

Q

= Q

.

d. Soit le polynˆome f ∈ R [X] d´efini par f (X) = X + X

+ . . . + X

.

On introduit la matrice M d´efinie par M = Q

f(N ) o` u f(N ) est le polynˆome de matrice associ´e `a f et N .

(i) V´erifier que (−d)

= (−1)

n + (−d)

et montrer que Q

= Q

. (ii) Calculer f (X

)f (X) et plus g´en´eralement

f (X

)f (X

) . . . f (X

)f (X).

On exprimera ce r´esultat sous forme d’un polynˆome en X ou en X

. (iii) Pour tout s ∈ N

montrer que

M

= Q

f (N

)f (N

) . . . f (N

)f(N )

(iv) ` A l’aide du (ii) ci-dessus, trouver une expression r´eduite de M

la forme M

= Q

V

o` u V est une matrice que l’on explicitera comme polynˆome en N ou en N

en fonction de la parit´e de s.

(v) Montrer enfin que M est solution du probl`eme (P

).