 C vitesse absolue de l’écoulement

C_2x

C₂

C_2u C_2m

C_1u C_1m C_1x

Moyeu Carter

R_my

X C_m

C_x C

Ω

intrados extrados

surface S₁

surface S₂ Rayon moyen

θ

x

Zone aubée

U =ω r

Cliquez pour aller sur Youtube

Rotor

Stator

Dans une turbomachine, l’ensemble stator-rotor est appelé étage.

W₂

C₃ U

W₃ U C₁

W₃

U

C₂ 1

2

3

W₂

U

C₂

C₃ W₃

U

C₁ W₁

Rotor U

Stator

C

W

U

 C vitesse absolue de l’écoulement

 W vitesse relative de l’écoulement

 U vitesse périphérique du rotor

U₂

Stator

C₂

U₃ W₃

Rotor

Stator

Rotor

U2

W₂

Rotor

Stator

C2

U3

W3

C3

Stator

Rotor

Extrados

Intrados

L

D

Profil isolé Grille d’aubes

b

c

w₁ s

w₂

L ’échange d’énergie entre le fluide et le rotor utilise la variation de la quantité de mouvement (changement de direction et/ou d’accélération)

L’étude unidimensionnelle utilise le concept de triangle de vitesse

Le triangle de vitesse est appliqué à l’entrée et à la sortie du canal inter-aube (grille d’aubes )

Approche classique

Le triangle de vitesses est composé de:

la vitesse absolue c

la vitesse relative w dans le repère en rotation

la vitesse périphérique du rotor

U

C_u C_m

C_u

Plan normal Plan méridional

BA BF

C vitesse absolue de l’écoulement W vitesse relative de l’écoulement

U vitesse périphérique du rotor

C_u, C_m, C_x, composante tangentielle, radiale et axiale de la vitesse absolue du fluide

W_u, W_m, W_x, composante tangentielle, radiale et axiale de la vitesse relative du fluide

α

l’angle des vitesses absolues mesurés par rapport à la direction axiale

β

l’angle des vitesses relatives mesurés par rapport à la direction axiale La forme des pales du rotor dépend des angles β

(des vitesses relatives dans le repère du rotor) La forme des pales du stator dépend des angles α

(des vitesses absolues dans le repère fixe)

Lorsqu’on garde ρA=cte, la vitesse périphérique U et la composante axiale c_x demeurent constantes également

W₂

C₂ U

U W₃

C₃

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue pour le stator et relative pour le rotor) sont considérés tangents à la ligne de squelette de l’aube

β₂

β₃ W₃

W₂

Pour les machines axiales (U= U

_ent

= U

_sort

) le triangle de vitesse donne lieu à des équations scalaires telles que:

c

_u

=w

_u

+u

c

_x

=w

_x

^c

^x=

^{= w}

^x

^c

u

w

w

_u

c

_u

Pour les machine à étages multiples on suppose une condition de cinématique répétitive

Une cinématique répétitive implique: C

_2x

= C

_3x

= C

_x

= cnte Cette condition jumelée à: U

₂

= U

₃

= U

Implique que les triangles de vitesse à l’entrée et à la

sortie peuvent être superposés

Ajourd’hui

LE TRIANGLE DE VITESSE POUR LES

Machines axiales

c

₁

w

₁

u

c

w u

C₂

W₂ C₃

W₃

Stator Rotor

C_2u C_3u

W_3u α₂

β₂

β₃

α₃

∆C_u= ∆W_u

U W_2u

3 1

3 1

x

U cte c cte c c

α α

=

=

=

=

. .

Parfois est considéré positif pour les turbines et négatif pour les compresseurs

Coefficient de charge

Ψ = W

^e2

U

Coefficient de charge

2 e

U

= W

ψ h

⁰² ₂

h

⁰¹

h

₂⁰

U U

− ∆

= =

^s

h

₂^0s

U η ∆

=

= 

e

 W W

m

Coefficient de débit

Φ = c

^x

U

Cx

Φ = ρRT U p

= RT ρ C^x RT

U p = RT m RT

U Ap

Cx

Φ = U

1

2( 1)

0 2

0

1 1

2

m RT M M

P A

γ

γ

γ

γ

− +

−

−

 

=   +  



α

₂

β

₂ ^{C2 W3}

β α

₃₃

C₃ W₂

c_3u - c_2u= w_3u - w_2u

W_3u W_2u

U

C_X C_X

(

3 2

)

e

/

u u

W U = C − C

L’opération est vectorielle Turbine

W₂

C₂

C₃ W₃

U

C₁ W₁

U

U

α₂

β₁ C₂ W₁

C₁ W₂

U

β₂ α₁

W_2U C_1U

C_X

1

2

2

(

2 1

)

e

/

u u

W U = C − C

c_2u - c_1u= -(w_2u - w_1u ) L’opération est vectorielle

C_2U

α

₂

β

₂ ^{C2 W3}

β α

₃₃

C₃ W₂

c_3u - c_2u= w_3u - w_2u

W_3u W_2u

U

C_X C_X

( )

2

3 2

/ /

e u u

W U C C U

Ψ = = −

L’opération est vectorielle

2_x / 3_x / _x /

C U C U C U

Φ = = =

α

₂

β

₂

β α

₃₃

1 C₂/U

C₃/U W₃/U

W₂/U

Turbine

3

2

3 3

2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

u

u

u u

u u

c R

U

c R

U

w c

U U R

w c

U U R

= − + Ψ

= − + Ψ

= − = Ψ +

= − = Ψ −

2 2

2 2

3 2

2 2

2 2

3 2

1 1

2 2

2 2

c c

R R

U U

w w

R R

U U

Ψ Ψ

   

= Φ + − +  = Φ + − + 

Ψ Ψ

   

= Φ + +  = Φ + − 

3 2

3 2

1 / 2 1 / 2

/ 2 / 2

R R

atan atan

R R

atan atan

− + Ψ − + Ψ

   

=  Φ  =  Φ 

Ψ + Ψ −

   

=  Φ  =  Φ 

α α

β β

α₂

β₁ C₂/U

W₁/U

C₁/U

W₂/U β₂ α₁

Compresseur

Φ

C₂/U

C₃/U W₃/U

W₂/U

ψ

1

ψ

Φ

C₂/U

C₃/U W₃/U

W₂/U

1

Il faut définir un troisième paramètre pour différencier ces deux triangles de vitesses ayant le même Φ et le même ψ.

rotor 3 2

étage 3 1

h h h

R h h h

∆ −

= =

∆ −

Variation d ' enthalpie dans le rotor R = Variation d ' enthalpie dans l' étage

❸

❶

❷

Rotor Stator

R=0 machine d’action ( Δh

_rotor

=0, Δh

_étage

= Δh

_stator

)

R=1 machine à réaction ( Δh

_stator

=0, Δh

_étage

= Δh

_rotor

)

rotor 3 2

étage 3 1

h h h

R h h h

∆ −

= =

∆ −

R indique la répartition du saut d’enthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor



La vitesse absolue à l’entrée du stator est égale à celle à la sortie du rotor (c₁= c₃ : étage répétitif )

2

3 1 03 01 0

2 2 2 2 3 = 1

− = − = ∆ = Ψ

c / c /

h h hh h U



On néglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

03 − 01 = 03 − 02 = ∆ 0(3 2)−

h h h h h

1 3

02

03 h h h

h − = − c₃² / 2 = c₁² / 2

0(3 2) 03 02 3 1

h ₋ h h h h

∆ = − = −

3 2

3 1

rotor étage

h h h

R h h h

∆

∆

= = −

−

2 2

0 3 2 2 3

0 3 2

2 2

( )

( )

h c / c / h

∆

∆

−

−

+ −

=

2 2

0(3 2) ( 3 3 / 2) ( 2 2 / 2)

h ₋ h c h c

∆ = + − +

2 2

3 2 0(3 2) 2 / 2 3 / 2

h − h = ∆h ₋ + c −c

2 2

3 2

3 2

1 2 ( )

= − −

u − u

c c

R U c c

2 2 2 2

0 3 2 2 3 3 2

0 3 2 0 3 2

2 2 2 2

( ) 1

( ) ( )

h c / c / c / c /

R h h

∆

∆ ∆

−

− −

+ − −

= = −

0(3 2) ( 3 2 )

∆h ₋ =U c _u −c _u

2 2

3 2

3 2

1 2

= − −

u − u

c c

R U ( c c )

3 2

1 2

= − c

^u

+ c

^u

R U

2 2

3 2

3 2

1 2

= − −

−

u u

u u

c c

R U ( c c ) cx = cte

2 = 2_x+ _u2

c c c

3 2 3 2

3 1

1 2

u u

h h c c

R h h U

− +

= = −

−

2 2

3 2

2 3

2 2

w h + w = h +

2 2

3 2

2 3

2 2

w w

h − h = −

2 2 2 2

3 3 2 2

2 3

2 2

u x u x

w w w w

h − h = + − +

Machine axiale U₂ = U₃ !

La composante axiale de la vitesse demeure constante W_3x = W _2x ( équation expliquée plus tard lors de la rothalpie)

2 2

3 2

2 3

2 2

u u

w w

h − h = −

3 2 3 2

2 3

( )( )

2

u u u u

w w w w

h − h = − +

rotor 3 2 3 2

étage 3 1 03 01

h h h h h

R h h h h h

∆ − −

= = =

∆ − −

( ) ( )

03 01 3u 2u 3u 2u

h − h =U c − c =U w − w

Étage répétitif c₃ = c₁

Si les pertes dans le stator sont négligées

( ) ( )

03 01 3u 2u 3u 2u

h − h = U c − c =U w − w

rotor 3 2 3 2

étage 3 1 03 01

h h h h h

R h h h h h

∆ − −

= = =

∆ − −

(w_3u w_2u)

R 2U

= − +

3 2 3 2

3 2

( )( )

2

u u u u

w w w w

h − h = − − +

2 2

3 2

2 2

W W

R U

= −

ψ (w_3u w_2u)

R 2U

= − +

3 2

1 2

u u

c c

R U

= − +

3 2

3 1

h h R h h

= −

−

01 = 02

h h h₁ −h₂ = (c₂² −c₁²) / 2

2 2 2 2

2 3 ( 2 3) / 2 ( 2 3) / 2

∆h_rot = h − =h u −u − w −w

2 2 2 2 2 2

3 2 3 2 3 3

2 2 2

− − −

= + −

e

I II III

u u c c w w W

  

2 2

3 2

2 2

= −

ψ

w w

R U

2 2 2 2

2 3 2 3

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 3

( ) ( )

( ) ( ) ( )

− − −

= − + − − −

u u w w

R c c u u w w

3 2

= =

U u u

Équation détaillée plus tard

α

₂

β

₂ ^{C2 W3}

β α

₃₃

C₃ W₂

C_3u C_2u

U

C_X C_X

( 2 3 )/ Ψ = C _u −C _u U

2 / 3 / /

Φ = C _x U = C _x U = C_x U

3 2

1 ( _{u u}) / 2

R = − C +C U

W_2u

c_2u – c_3u= w_2u - w_3u

2_u /U = 2_u /U −U U/ =( 2_u −C3_u) / 2 − +1 ( 2_u +C3_u) / 2

W C C U C U

Ψ / 2 −R

α

₂

β

₂

β α

₃₃

1 φ

ψ

C₂/U

C₃/U W₃/U

ψ/2 −R ψ/2 +R-1

W₂/U

α₂ β₁ C₂/U

W₁/U

C₁/U W₂/U

φ

R- ψ/2

1

1-R-ψ/2 ψ

β₂ α₁

C’est le temps de faire

un peu d’exercise

Cliquez pour aller sur Youtube

The engine is a half size replica of the Rolls-Royce Trent 1000 which powers the Boeing 787 Dreamliner aircraft. It took four people eight weeks to lump together 152,455 Lego bricks. The engine weighs 307 kg and is over 2 meters long and 1.5 meters wide.

Pour un compresseur axial, on a les données suivantes:

Nétages=5 U= 313 m/s T

₀₁

=293 K p

₀₁

=0.1 Mpa Ψ =0.393 R=0.5 m=19kg/s R

_g

=287 J/kg K γ=1.4 r

_ext

=0.339m r

_int

=0.271m η

_p

=0.9

1

•Écrire l’ensemble d’équations qui vous permettrait de calculer T, p et ρ à l’entrée 1 du compresseur. Est-il possible d’utiliser une forme abrégée pour obtenir le même résultat ?

2

•Calculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluide

•Obtenez les angles α₁,β₁et β₂

•Calculez le rendement η_tt

•Calculez les conditions T_02et p₀₂ à la sortie 2

3 • Supposez p₀₂ /p₀₁=5 (pour l’ensemble des étages) . Vérifiez cette hypothèse! Considérez c_1x=c₁

1 1

3 1

1

284 0.0897 1.1 /

132 /

x

T K

p MPa

kg m

c m s

ρ

=

=

=

=

1 2( 1)

0 2

0

1 1

2

m RT M M

P A

γ

γ γ

γ

− +

− −

 

=  + 



1 2 2

1 1 1

19

(0.339 0.271 )

x

c m

ρ A ρ π

= =

−



1 1

1

1 287 1

p p

RT T

ρ = =

×

2 2

1 1

1 01 293

2 _p 2 1004

c c

T T

= − c = −

×

1.4

1 0.4

1 6 1

1 01

01

0.1 10

293

T T

p p

T

γ γ−

   

=   = ×  

 

 

Nétages=5 U= 313 m/s T₀₁=293 K p₀₁=0.1 Mpa Ψ =0.393 R=0.5

m=19kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 rext =0.339m r_int =0.271m η_p=0.9 Écrire l’ensemble d’équations qui vous permettrait de calculer T, p et ρ à l’entrée 1 du

compresseur. Est-il possible d’utiliser une forme abrégée pour obtenir le même résultat ?

01 2 1

1 1

2

T M

T

γ −

= +

1 2( 1)

0 2

0

1 1

2

m RT M M

P A

γ

γ γ

γ

− +

− −

 

=  + 



1 1

3 1

1

284 0.0897 1.1 /

132.7 /

x

T K

p MPa

kg m

c m s

ρ

=

=

=

=

α₂ β₁

C₂/U

W₁/U

C1/U

W₂/U

φ

R- ψ/2

1

1-R-ψ/2 ψ

β₂

α₁

2 2 2

0.393 (313) 5 192509.1( / )

We =ψU = × × = m s

3.657

W = mW e = MW

1 2

1 2

(tan tan ) (tan tan ) / 2 R

ψ φ β β

φ β β

= −

= +

1 132.7

0.424 313

c x

φ = U = =

1

2 2 0.5 0.393

tan 1.63

2 2 0.424

R ψ

β φ

+ × +

= = =

×

0

1 58.7

β =

Nétages=5 U= 313 m/s T₀₁=293 K p₀₁=0.1 Mpa Ψ =0.393 R=0.5

m=19kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 rext =0.339m r_int =0.271m η_p=0.9 Calculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluide. Obtenez les angles

α1,β1et β2. Calculez le rendement ηtt. Calculez les conditions T₀₂ et p₀₂ à la sortie 2

?

2

2 2 0.5 0.393

tan 0.715

2 2 0.424

R ψ

β φ

− × −

= = =

×

0 2 35.58 β =

0.5

R = α₁ = β₂ = 35.58⁰

( )

( )

( 1)/

( 1)/

02 01

02 01

/ 1

/ 1

tt p

p p

p p

γ− γ

γ− γη

 − 

 

η =  − 

( ) ( )

( 0.4 )/1.4

( 0.4 )/(1.4 0.9 )

5 1

0.875

5 1

tt ^×

 − 

 

η = =

 − 

 

Nétages=5 U= 313 m/s T₀₁=293 K p₀₁=0.1 Mpa Ψ =0.393 R=0.5

m=19kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 r_ext =0.339m r_int =0.271m η_p=0.9

• Supposez p₀₂ /p₀₁=5 (pour l’ensemble des étages) . Vérifiez cette hypothèse!

Considérez c_1x=c₁

Calculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluide. Obtenez les angles α1,β1et β2. Calculez le rendement ηtt. Calculez les conditions T₀₂ et p₀₂ à la sortie 2

02 01 02 01

02 01 02 01

( )

s s

tt p

h h T T

c cte

h h T T

− −

η = = =

− −

( 1)/

02 01

( 1)/

02 01

1

1

tt pol

p p p p

γ− γ

γ− γη

  

−

  

  

 

η =   

  − 

  

 

02 01

( )

e p

W = c T − T

( 1) /

02 02

01 01

p T s

p T

γ− γ

 

=  

 

Nétages=5 U= 313 m/s T₀₁=293 K p₀₁=0.1 Mpa Ψ =0.393 R=0.5

m=19kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 rext =0.339m r_int =0.271m η_p=0.9

02 01

( )

e p

W = c T −T

02 01

02 01

s tt

T T

T T

 − 

η =  − 

01 293

T = K

02 484.7

T = K

02_s 460.12

T = K

0.875 η =tt

( 1)/ (0.4)/1.4

02 02

01 01

460.12 293 p T s

p T

γ− γ

   

=  = 

 

 

02 01

p 4.84

p =

192509.1( / )2

We = m s

Pour une turbine axiale, on a les données suivantes:

Φ=0.8 n= 250 rps T

_env

=1100 K p

_env

=4 bar p

₀₁

/p

₀₃

=1.873 m=20kg/s R

_g

=287 J/kg K α

₃

=10

⁰

γ=1.33 U=340 m/s ΔT

_01-03

=145 K η

_tt

=0.9

1 •Calculez ψ, β₃, R ,β ₂, α₂, c₂ ,Τ₂ , p₂, ρ₂ et A₂ (normale à c_x)

2

•Calculez les surfaces annulaires aux sections 1, 2 et 3

•Calculez la hauteur des aubes aux sections 1, 2 et 3

3

• Considérez c _p=cte= 1148 J/kg K

• Considérez les variables thermodynamiques de ‘‘l’environnement” comme étant des quantités totales ou d’arrêt.

Marcelo Reggio

Image pour fins d’illustration. L’aubage correspond à celui d’un compresseur

❷

❸

❶ ❷

Stator 1-2 Rotor 2-3

T_env = 1100K P_env = 4 bar

U = 340 m/s

m = 20 /k s

/ m = 20k s

013 145

T K

∆ =





01 03

1.873 p

p =

Chambre de combustion

❶

❷

❸