SMP5
MECANIQUE ANALYTIQUE CHAPITRE II
VITESSES REELLES - VITESSES
VIRTUELLES.
I-Champ des vitesses réelles.
Soit un système ( ∑ ) ayant n paramètres qi principaux par rapport à R. Pour toute particule P de ( ∑ ) on définit le vecteur position par la donnée du champ:
IL s agit d’une fonction de ( n+1) variables indépendantes qi et t supposée de classe C2 au moins.
Le champ des vitesses réelles par rapport à R est défini par:
t t
t
n
i
P q O
q P O
P q O
q P O
(P/R)
V
i.
1 i
i i
n
1 i
soit
IL s agit d’une fonction de (2 n+1) variables indépendantes qi ,leurs dérivées et t supposée de classe C1 au moins.
P q O
q P O
...
q q
P q O
q P /R O
P dt O (P/R) d
V
2 n2 1
1
t t
nt t
) t , q ..., q
, q ( P O P O
) (
P
1 2 n
i .
q
Propriété 1 : i 1 ,..., n q
P O
q
(P/R) V
i .
i
Propriété 2 : i 1 ,..., n
q
(P/R) ) V
q P ( O
dt d
i i
Remarque: Si toutes les liaisons principales sont indépendantes du temps alors:
t 0 P O
) (
P
En effet; pour chaque i:
résultat.
le p as affecte
n' dérivation de
ordre l'
C classe de
étant t)
, (q P O car
n ,..., 1
i q
) / (
q q q
) q
P ( O
q q
) q
P ( O
) q
P ( O
dt d
2 i
i j
.
1 j
i
i j
.
1 j
i i
R P V t
P O P
O
t
n
j n
j
II-Energie cinétique et paramètres principaux.
P
2
P i
i .
1 i
P i k
i .
1 1
k .
i .
P
2
P
i .
1 i
P
k .
1 k
i .
1 i
P
k .
1 k
i .
1 i
jmax
1 j 2
P O 2
1 P
O q
P q O
q P O q
P O q
P O 2
q 1 q
) / T(
: donc affectés,
pas sont ne
q les et indices les
) ( parcourt P
lorsque
P O 2
1 P
q O q
P q O
q P q O
q P O 2
1
P q O
q P O P
q O q
P O 2
1 ) / T(
où dm
) / 2 (
) 1 / T(
: par donnée est
R à rapport par
) ( système du
cinétique énergie
L
t dm t dm
dm R
t dm t dm
dm
t dm R t
R P V R
n
i n
i n
k
n
i n
k n
i
n
k n
i
S P P
P j
En posant:
dm t )
P ( O 2 1 c et t dm
P O q
P O
b , q dm
P O q
P O 2
1
2i i
k
i
P P
P
a
ik
On obtient:
i . 0 1
2 n .
1 i
i k
. n .
1 j i,
q à rap p ort p ar
i degré de
termes des
ensemble l'
est
T
T T
T c b
q
) /
T(
i où
q q
a
R
ik i
i
Remarque : Si toutes les liaisons principales sont indépendantes du temps, alors:
q des ) 2 degré de
homogène (
e quadratiqu forme
une est cinétique énergie
L
T q
) / T(
et
0 T T
i . 2
k . n .
1 j i, 1
0
a
ikq
iR
(OA) à
lié ) , , u
; ( R ) , , u
; ( R
fixe ) , , x
; ( R
t de dép endante holonome
liaison :
constante
uniforme p récession
b/
t de te indép endan holonome
liaison :
0 z y x fixe p oint O
a/
: liaisons aux
soumise
m;
masse de
et G centre de
2L longueur de
, O axe d' , OA) ( homogène rectiligne
tige une considère on
) , , x
; ( R fixe direct orthonormé
rep ère au
rap p ort Par
conique.
Pendule :
Exemp le2
2 u O , 0 1
O , 0
0 0 0
.
0 0 0 0
0
z w O z
v O z
y O
z
z y O
z
w z
z w
z OA
z OA
m G OA
OA z w O
OA OA
OA
sin cos
car u sin
cos
) R / ( u
) R / (
0 0
0
3 0 0 4mL
0 3 0
4mL
0 0
0
0 ml
0
0 0
ml
0 0
0
3 0 0 mL
0 3 0
mL
) , ( II ) ( II ) ( II
: Koenig de
théorème le
utilisant en
, OA) (
de inertie d'
principal repère
un est ) , , u
; (
) R / ( . . ) ( II ) R / 2 (
) 1 /R ( T
: par donnée est
fixe, point O
a, liaison avecla
compatible OA)
( de ) /R ( T cinétique énergie
L'
et principaux
paramètres 2
aire complément b
et principale a
0 .
. .
0 .
0 . 0
R 2
2
R 2
2
R 2
2
0 G
0
0 0
0 0
a
0 a
2 2
2
t. de dépendant principale
liaison de
pas ya n' il car q aux rapport par
e quadratiqu est
cinétique énergie
cette
T ) sin
( 3 ) (4mL 2
1 ) /R ( T
: finalement donc
. 2
. 2 2
. 2 2
0 a
i
P O z
P O z z
P O OA
z
w z
OA
OA OA
OA
i
) u (
) u
(
)
R / ( ) (P/R V et //
P O tige P
: effet en vitesses;
des champ le
dans pas
intervient n'
elle car tige la de propre rotation
la considérer pas
ne à conduit
"
rectiligne tige
ion"
approximat L'
: Remarque2
) /R ( T de expression '
l dans b liaison la
de compte en tenant
obtenue être
peut b et a liaisons les
avec compatible
) /R ( T
: Remarque1
du temps dépend
b principale liaison
la car q aux rapport par
e quadratiqu plus
est n' cinétique énergie
cette
T T ) sin
( 3 ) (4mL 2 1 ) /R ( T
: finalement donc
u sin cos
) R / (
) R / ( . . ) ( II ) R / 2 (
) 1 /R ( T
: par donnée est
b et a liaisons les
avec compatible OA)
( de ) /R ( T cinétique énergie
L'
principal paramètre
1 s principale b
et a
. 0 . .
. 0 . 0
0
0 a
0 b
a,
. 0
2 . 2
2 2 2
0 b
a,
. 0
0 0
0 0
b a,
0 b
a,
III-Champ de vitesses virtuelles:
torseur de
moments de
champ un
donc est c' tif équiprojec q est
P O ) ( P champ le
...n 1 i
) S ( Q P, ce et 0 q
P O q -
Q . O
Q q P
Q . P
Q P q à rapport par
dérive On
cste Q
P ) S ( Q P, et ) ( ) S (
: effet en torseurs;
de moments de
champ un
d' agit s' Il /
*
s.
arbitraire scalaires
des sont q
les où q q (P/R) V
q q
P O
) ( V ) ( P
fixé A t : par CVV un définit on
: Définition /
*
) ( de solides ts
constituan différents
des rigidité la
respecter pas
ne de risque arbitraire
t totalemen champ
un d' donnée La
: Pb
arbitraire
) ( V ) ( P : par CVV un
définit on
fixé, t
i
j i
i i
i
2 j
j
i
* i
* 1
. i i
*
1 i
*
*
j
n
i n
i
S P
P A
P Q q
q
/R) q (S
q
(Q/R) q V
q
(P/R) V
: vient il
sommant, en
et arbitraire réel
q par équation chaque
t multiplian En
q de t indépendan P
Q puisque
P Q q
/R) (S
q (Q/R) V
q (P/R) V
...n, 1 i
: q à rapport par
dérive on
P Q )
/ S ( )
/ ( V )
/ ( V :
) S ( Q P,
) ( de
on Deteminati /
*
P Q )
( )
( V ) ( V
que tel ) ( de virtuelle e
instantané rotation
vecteur )
(
; ) ( ) S ( Q P,
torseur de
moments de
champ un
donc est
c' torseur de
moments de
champs de
linéaire n
combinaiso une
est q
q P O
) ( V
) ( P champ Le
*i 1
. i j
*i 1
. i
*i 1
. i
*i
i . .
i j .
i .
i
i .
j j
*
*
*
*
* j
*i
1 i
*
n
i n
i n
i
j j
j j
n
i
R R
Q R
P S S Q
P
S S
P
considéré.
instant t l'
à
q fonctions des
valeurs les
ont q
scalaires les
lequel pour
r particulie s
virtuelle vitesses
de champ un
est
réelles vitesses
des champ le
du temps, tes
indépendan sont
s principale liaisons
les toutes Lorsque
: Remarque
* . t
P O
- ) / ( V ) ( V
: fixé t à : conclusion En
q q
/R) ) (S
( avec P
Q ) ( )
( V ) ( V : ) S ( Q P,
: que tel ) ( , ) ( V virtuel e
cinématiqu torseur
le définit on
, ) ( de ) (S solide chaque
Sur
i
* . i
*
i
* 1
. i
* j
*
*
* j
*
* j
q q i
R P P
S S
Q P
S P
i
n
i j j
j
0) , x , (x ) ( V
; ) 0 , 1 , 1 (
5) , x , x ( ) / ( V
; 5t) x, (x, M
O
) y ou ( x principal paramètre
1 s principale b
et a
0) , y , (x ) ( V
) 0 , 1 , 0 (
; ) 0 , 0 , 1 (
5) , x , x ( ) / ( V
; 5t) y, (x, M
O
y et x principaux paramètres
2 principale
b et aire complément a
) z , x , (x ) ( V
) 1 , 0 , 0 (
; ) 0 , 1 , 1 (
) z , x , x ( ) / ( V
; z) x, (x, M
O
z et ) y ou ( x pricipaux paramètres
2 aire
complément b
et principale a
) z , y , (x ) ( V
) 1 , 0 , 0 ( );
0 , 1 , 0 ( );
0 , 0 , 1 (
) z , y , x ( ) / ( V
; z) y, (x, M
O
z et y x, : principaux paramètres
3 aires
complément liaisons
b et a
t 5 z b/
et y a/ x
: liaisons aux
soumise
R à rapport par
z) y, (x, s coordonnée de
M matérielle Particule
: Exemple1
*
*
*
. .
*
*
*
. .
*
*
*
*
. . .
*
*
*
*
. . .
M
x M R O
M M
z M O x
M R O
M M
z M O x
M R O
M M
z M O y
M O x
M R O
M
0 ) (O V avec G O ) ( )
(O V ) (G V : utiliser pu
aurait on
: Remarque
u sin L
) (G V : donc
(G/R) V
G et O
u sin L (G/R) V
G O
sin cos
: puisque
u sin L
L ) u
( G O ) R / ( )
(O/R V ) (G/R V
u
) ( u ) (OA/R et
)
(OA/R
u
) R / (
et principaux
paramètres 2
aire complément b
et principale a
(OA) à
lié ) , , u
; ( R ) , , u
; ( R
fixe ) , , x
; ( R
t de dépendante holonome
liaison :
constante
uniforme précession
b/
t de te indépendan holonome
liaison :
0 z y x fixe point O
a/
: liaisons aux
soumise
m;
masse de
et G centre de
2L longueur de
, O axe d' , OA) (
homogène rectiligne
tige une considère on
) , , x
; ( R fixe direct orthonormé
repère au
rapport Par
conique.
Pendule :
Exemple2
*
*
*
*
*
*
*
. .
0
. .
. 0 . 0
0 0
* 0
*
* .
0 . 0
. 0 0 . 0
2 u O , 0 1
O , 0
0 0 0
.
0 0 0 0
0
OA w
L
w L w
z z
w L z
z OA
z OA
z z
OA
z w O
z v O z
y O
z
z y O
z
ants.
correspond q
s arbitraire scalaires
les par q les remplace on
et q les pas contenant ne
termes les
champ ce
dans élimine on
puis liaisons ces
avec compatible réelles
vitesses de
champ le
abord d' construit on
liaisons certaines
avec compatible s
virtuelle vitesses
de champ un
construire Pour
: PRATIQUE EN
) (G V : donc (G/R)
V G O
sin cos
: puisque
u sin L L ) u
( G O ) R / ( ) (O/R V ) (G/R V
u ) ( u ) (OA/R
u
) R / (
principal paramètre
1 s principale b
et a
* i i
.
i .
*
* .
0
. .
0 0
0 0
*
* .
0 .
0 0
w L w
L w z
z
w L z
z OA
OA z
OA
