MultiplicateursdeMikhlinpouruneclasseparticulièredegroupesnon-unimodulaires S M

A NNALES DE L ’ ^INSTITUT F ^OURIER

S ^AMI M ^USTAPHA

Multiplicateurs de Mikhlin pour une classe particulière de groupes non-unimodulaires

Annales de l’institut Fourier, tome 48, n^o4 (1998), p. 957-966

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Ann. Inst. Fourier, Grenoble 48, 4 (1998), 957-966

MULTIPLICATEURS DE MIKHLIN POUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES NON-UNIMODULAIRES

par Sami MUSTAPHA

1. Introduction.

Soit G un groupe de Lie réel connexe et X = {Xi^Xs, ...,X^;} un système de champs de vecteurs invariants à gauche sur G vérifiant la condition de Hôrmander (cf. [21]). Soit A = —^,X² le sous-laplacien associé au système X. On note dg = (S g (resp. : drg) la mesure de Haar invariante à gauche (resp. : à droite) sur G et 6(g) = d^lg / d^rg la fonction module sur G normalisée par 6(e) = 1, où e désigne l'élément identité de G. Le sous-laplacien A définit un opérateur positif formellement auto- adjoint sur -^(G, drg) et si m est une fonction borélienne bornée sur [0, oo[, l'opérateur m(A) défini par

/•oo

m(A) = / m(\)dE^

Jo

ou _/.oo

A = / XdEx Jo J o

est la décomposition spectrale de A (cf. [22]), est borné sur L2(G,drg).

On cherche des conditions sur m qui permettent d'assurer que l'opéra- teur m(A) soit aussi borné sur les espaces U" pour 1 < p < oo.

Mots-clés : Groupes de Lie - Multiplicateurs - Sous-laplaciens.

Classification math. : 22E25 - 22E30.

Si le groupe G est à croissance polynomiale du volume (cf. [21]) on montre qu'il suffit de contrôler un nombre suffisant de dérivées de m pour assurer la bornitude de m(A) sur les espaces LP (cf. [10], [11], [5], [1]). Les résultats obtenus sont du type MikhIin-Hôrmander (cf. [15]). Les problèmes ouverts dans cette direction concernent le nombre optimal de dérivées qu'il faut pour assurer la bornitude du multiplicateur m. Dans [1] Alexopoulos donne essentiellement comme nombre D / 2 + 1/2 4- e, e > 0, D désignant la croissance du volume du groupe. Le résultat [5] de Christ suggère D / 2 + e, comme dans le cas de M^ Les résultats plus récents de Mùller-Stein et Hebisch montrent que dans certains cas ce nombre dépend de la dimension topologique du groupe et non de son indice de croissance du volume fcf [17], [13]).

Pour un groupe de Lie G la non trivialité de la fonction module 6 entraîne que G est à croissance exponentielle du volume et ne constitue par conséquent pas un espace de type homogène (cf. [8]). C'est ce qui explique la difficulté de l'analyse sur de tels groupes.

L'idée généralement admise, dans le contexte de la croissance expo- nentielle du volume, était qu'il fallait imposer sur m une condition d'ho- lomorphie pour assurer la bornitude de m(A) sur les espaces 27 (cf. par exemple Taylor [19], pour le même problème dans le cas des variétés rieman- niennes à courbure de Ricci minorée). Dans le cas des espaces symétriques cette condition d'holomorphie est même nécessaire (cf. Anker-Lohoué [3], Clerc-Stein [7]). Cependant Cowling et al ont obtenu, dans [9], pour un groupe d'Iwasawa NA associé à un groupe réel semi-simple et pour un laplacien distingué sur ce groupe, un théorème des multiplicateurs sans imposer de condition d'holomorphie sur m. Un résultat précédent dans ce sens a été obtenu par Hebisch dans [12]. L'analyse du laplacien considéré dans ces deux cas repose sur l'utilisation de l'espace symétrique associé à NA.

Le même type de résultat a été établi par l'auteur (cf. [18]) et F.

Astengo (cf. [2]) dans le cas des extensions solubles des H-groupes. Il s'agit d'une classe de groupes de Lie non unimodulaires qui généralisent les groupes NA associés aux espaces symétriques de rang 1.

Plus récemment Hebisch (cf. [14]) et Christ et Mùller (cf. [6]) ont donné deux exemples de groupes résolubles à croissance exponentielle du volume et unimodulaires avec des multiplicateurs différentiables pour le premier et analytiques pour le second. D'une manière plus précise, Hebisch montre que pour le groupe produit semi-direct G = M2 X R où l'action

MULTIPLICATEURS DE MIKHLIN 959

est définie par (x,y) —^ (e^e"^), (x, y) e M2, t ç M et pour le laplacien invariant à gauche sur G, il suffit que m soit à support compact et appartienne à et appartienne 'erateur m(A) borné sur les espaces L^P(G).

Christ et Mùller montrent que pour le produit semi-direct G = H^AR où Un est le groupe de Heisenberg de dimension 2n + 1 et où l'action est définie par ( x ^ y ^ z ) —> (e^.e"*?/,^), ( x ^ y ^ z ) ç Hyi, t € M et pour le laplacien (ou sous-laplacien) invariant à gauche sur G, le mutiplicateur m doit être analytique.

L'idée de départ de ce travail a été de considérer, en contraste avec l'exemple de Christ et Mùller, le cas du produit semi-direct G = H^ÀM où l'action est définie par ( x ^ y ^ z ) —^ (etx^ety^e2tz), ( x . y ^ z ) e H^, t e R et d'examiner pour ce groupe non-unimodulaire le problème des multiplicateurs pour le sous-laplacien (pour le laplacien le résultat est déjà contenu dans le théorème obtenu pour les extensions solubles des H- groupes). On montre que pour cette action le calcul fonctionnel est alors différentiable.

C'est cette situation que nous généralisons ci-dessous. Nous obtenons un théorème des multiplicateurs avec une hypothèse de différentiabilité pour tous les groupes produits semi-direct d'un groupe niipotent stratifié et de R et pour les sous-laplaciens invariants à gauche naturels sur ces groupes.

2. Enoncé des résultats.

Soit Af une algèbre de Lie réelle niipotente stratifiée de rang r et soit 7V le groupe de Lie simplement connexe qui lui correspond. Rappelons qu'il existe V^,...Vr^ sous-espaces vectoriels de Af tels que AT se décompose comme somme directe

M=v^V2e...eVr

avec [Vi, Vj] C Vi-^-, j --= 1,..., r - 1, [Vi, Vr\ = 0 et Vi engendrant l'algèbre J\f. Pour v = v\ © V2 9 ... (B Vr € M et z ç. R on définit

Qz(v) = ezv\ C e22^ © .... ® erzVr'

On note G le produit semi-direct 7VAR associé à cette action. Etant une extension résoluble de 7V, le groupe G est lui-même résoluble. On identifie N à son algèbre de Lie par l'application exponentielle. Le produit de deux éléments de G est donné par

(u^)(^=(n.9,(H')^+^

ppw tout (n, z), ( u ' , z ' ) e G. Soient ci,..., e^ ç ./V, une base de Vi. On note X^, j = 1,..., m les champs de vecteurs invariants à gauche de J\f définis par les vecteurs ej et on note Xj, j = 1,..., m les champs de vecteurs invariants à gauche dans G définis par ces vecteurs, i.e.

ffoe^s} - f(a}

X,f{g) = Hrn^ J{9e ; J w, g ç G, / e Go°°(G).

Il est facile de voir que Xj = e^zXj. Les champs X^,...,Xm, TT- engendrent l'algèbre de Lie du groupe G et vérifient par conséquent la condition de Hôrmander. Notons

(

A - - X i + . . . + ^ + ^ J = - e 1,^-+^

\ 3~l /

le sous-laplacien invariant à gauche sur G associé aux champs Xi,...,X^, 9

~9z'

Le groupe G est non unimodulaire et la mesure de Haar invariante à droite sur G est donnée par (Tg = dndz g = (n, z) où dn est la mesure de Haar sur N et dz la mesure de Lebesgue sur R.

L'opérateur A possède une extension auto-adjointe positive sur L^G, d^rg) et si m est une fonction borélienne bornée sur [0, oo[, l'opérateur m(A) est borné sur L2(G^drg).

THÉORÈME 1. — Soient G et A comme ci-dessus. Alors, pour toute fonction m a support compact dans [0,oo[ et appartenant à l'espace de Sobolev ^^(R), e > 0, l'opérateur m(A) est borné sur LP(G,drg), pour 1 < p < , oo.

Notons (pt le noyau de la chaleur associé au semi-groupe Tt = e"^, t > 0, i.e. (j)t est donné par

Ttf(x) = f (t>t{y~^x)f{y)dy = / ^/(xy-^d^ f ç Go°(G).

JG JG

Le théorème 1 est une conséquence du théorème suivant :

THÉORÈME 2. — Les notations étant comme plus haut, il existe une constante G > 0 telle que pour tout t > 0 et pour tout s ç

i>Ws\\L^G^g) ^ C (l + Vt) exp (^-\ (l + l^)

\ / \ 4Î / \ t /

,'\ / i«h ³ / ²

« ^T

COROLLAIRE 1. — JJ existe une constante C > 0 teJie que

ll^l+«.l|Li(G,d-g) ^ C(l + Isl)372, S € R.

MULTIPLICATEURS DE MIKHLIN 961

Pour déduire le théorème 1 du corollaire 1, posons /(A) = m(\)ex', ce qui donne (par la formule d'inversion de Fourier) :

m ( A ) = ( 2 7 ^ ) -^l/^le - (^l- ^^À/ ( ^ ) ^ . D'où l'on déduit (par le théorème spectral)

m(A)=(27^)-ly>/(Oe-(l-^A^.

Si on désigne par km le noyau associé à m(A), i.e. le noyau défini par m(A)/(;r)= f kmÇy-'x)/^^ [ km(y~^lx}6{y)f(y)d^ry^ f ç C^(G\

<1 G J G

on peut alors estimer

\\m(^)\\Ll{G,drg)^L^{G,drg)

par

\\km\\L^G^g) < C f \J\Ç)\\\^_^\\^G^g)dÏi

^ G / l A O K l + I ^ ^ ^ O C

dès que m ç H2^. Il suffit ensuite de procéder par interpolation et dualité pour déduire le théorème 1.

Pour voir que l'indice 3/2 est optimal dans le corollaire 1, observons que dans le cas où G est le produit semi-direct G = H^ÀR le noyau <^ est donné par (cf. [4]) :

Ç-Z y. / y . 2 \

<^^ = ( A ^3/2 • i,/ ^ ex? ( - T7 )

(47^^)^d/² smh(r) \ 4^/

où g = ( ( x , y ) ' , z ) , (x,y) e R², z ç R, cosh(r) = cosh(^) + ^e—^ {x² +y²).

D'où 2

e"^ r ( r² \

\^Ws(g)\ = , , . ^ ^ . . . exp ( - ———— ) (47r(l + z s ) )³/² smh(r) \ 4(1 + s²) )

e~z__ r / r2 \

^ (1+|5|)3/2 sinh(r) exp V 'î<^~s2) )

..(l-^2)3 7 2 r ___1__ ( _ _r___\

(1 + |5|)3/2 sinh(r) (1 + ^2)3/2 ^P ^ 4(1 + ^2) ) - (l+H)^{3 7 2}^^).

Ce qui entraîne que

ll^l+-(^l|Ll(G,^)~(l+|5|)3/2.

3. Preuve du théorème 2.

Notons Z(t) = (n(t),z(t)), t > 0, n(t) <E N , z{t) e M, la diffusion associée au semi-groupe (Tt)^o- Observons que la projection de la diffusion

9²

de A sur R est la diffusion de générateur —-^—-> et que z(t) est par conséquent le brownien unidimensionnel standard. Notons Ht(n) = H(n,t) la solution fondamentale de l'équation de la chaleur sur N associée au sous- laplacien •^X'j. Pour calculer le noyau (f)t(g) -==- 4>t(ri,z), g = (n,z) ç G, il suffit de conditionner sur toutes les trajectoires z(s) démarrant en 0 et aboutissant en z au temps t et d'effectuer le changement de temps. Ce qui donne :

Pe[Z(t) e dg] = (t^tWg = (t)t(n,z)dndz

= Po[z(t) e dz}-E \H (n, ( e^^ds) / / z ( t ) = z\ dn, L \ Jo ) \ où E [ . / / z ( t ) = z} est l'espérance conditionnelle avec z(t) = z. L'idée de conditionner par les trajectoires z(s) pour exprimer à l'aide d'une espérance le noyau <f>t(') est issue de [20] où on peut voir le rôle que jouent les

rt

fonctionnelles browniennes / e^ds dans les estimations centrales de (pf II s'avère que ces fonctionnelles browniennes jouent un rôle important enJo mathématiques financières (cf. [23]). Notons

dt{z,u)du = Pô [ / e^ds e d u / / z ( t ) = z] . Uo ] On peut alors écrire

1 /^ ^\ />oc

^(n, z) = —== exp - — / Hn(n)at{z, u)du.

V^Trt \ 4t/ JQ

Nous allons maintenant utiliser l'expression de dt(z^u) donnée dans [23].

D'après [23], on a

^exp(-^)a<(^)

= (4^ ^ ^P (- ^ (1 + e2z)) ^P (^)^/n(t) où ^r(t), r > 0, t > 0 est définie par

^r(t) = exp ( - y ) exp (-r cosh(^/)) sinh(î/) sin (^) dy.

JQ \ 4t / \ Zt /

MULTIPLICATEURS DE MIKHLIN 963

D'OÙ

çz f^/K²\ f⁰⁰ 1 / 1 \

^^^T^î^^JJo ^(n)^exP^-2^(l+e2')J^/-Mdn• Effectuons dans cette intégrale le changement de variable u = vez. On obtient alors

CT^Qr^^^H

1>t{n,z)= - - - = e x p ( — ) / H^(n)^exp(--cosh(z))^/^t)dv v47r°^ V 4t / Jo î; \ v /

et donc

Mr ^ ⁼ ^ i . f^\ r° . .1 / i ^exp (^) Z ^ ^e2 ( ⁿ )^ ^ex p (-^ ^cosh ^))

x ( / exp ( -^- ) exp ( -- cosh(2/) ) sinh(^) sin ( ^y} dy } dv.

\Jo \ 4Ï; / \ v / \ z t / /

On peut ainsi écrire

1 /Tr2^ r00 f00 1

^^^

~7rT^ [ 47 / / ^

(

)^2

exp ( -- (cosh(^) + cosh(i/)) ) exp ( -^y ) sinh(^) sin (^) dydv.

\^ 1) y \. 4t j \ 2àL /

On peut, dans cette formule, complexifier le temps et déduire pour tout t > 0, s ç R, l'estimation :

^ / ^ \ roo roo

\(f>Ws(n,z)\ ^C—==exp / / H^{n)

^/t-\-\s\ \qi\L ' s ) / Jo Jo

^ exp ^ (cosh(^) + cosh(y))j exp (-4^ ^2))

exp (2(^2) ) e2/d^-

Estimons maintenant la norme L^l{G^d^rg) de ^Ws- O¹¹ a H^t+^IlL^G,^^) = \(j)t-}-is{'ri,z)\dndz, d'où, d'après l'estimation précédente :

ff\^^z)\dndz < ^^^exp (4(,^)

/ . o o / . o o / / . \ 1 / 1 \

/ / / H^Wdn —^ exp -- (cosh(z) + cosh(2/))

Jo Jo \J ) v2 \ v )

exp (-4(^)) exp [W^ eydydvdz'

En utilisant le fait que / Hve' (n)dn = 1 et en intégrant en v on peut alors estimer le premier membre de l'inégalité ci-dessus par

ex

? (ii^fey) y

y

i / ty

\

^TH Jo Jo cosh(2) + cosh(y) exp [~ ^t2 + s2) )

xexp {w^) ^evdydz •

Mais

r ° ° i r ° ° i

7o cosh(^) + cosh(?/) ~ Jo exp(z) + exp(?/) et en effectuant le changement de variable ez = n, on voit que

/>00 1 ^°° du C_

Jo exp(z) + exp(y) ~ J^ u(u + ev) - ^( + ^' On a par conséquent

e x p ( ^ ^ ) /•oo / ^2 \ ll^l^(^)^ ^^{) /}^ (^l+^^ex^-4(ï^))

^ l

!^ ^ ^

x e x pl , 2 ( Ï Ï T s 2 ) Jd î /•

et donc

(SIni^lAxj--^ ²

ll^ll.,.,^ ^ G⁶^ ^(l + |,| + H) exp (-4^) dy.

D'où

II^W,HLI(G,^) ^ C (¹ + ——) exp (^-} (t + |s|)³/² .

\ï î / \^ï/

Ce qui achève la preuve du théorème 2.

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Manuscrit reçu le 8 janvier 1998, accepté le 20 mars 1998.

Sami MUSTAPHA,

Université Pierre et Marie Curie Institut de Mathématiques 4, place Jussieu

75252 Paris Cedex 05 (France).