M1 Physique et Chimie, Phys. Stat., 05–06 1
E
XAMEN DEJ
UIN2006
Calculette et feuille manuscripte A4 recto–verso autorisées
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Marche au hasardUn ivrogne sort d’un bar et décide aléatoirement à chaque réverbère soit de descendre la pente de l’avenue, avec une probabilitép, soit de cheminer dans le sens de la montée, avec une probabilité q = 1−p. L’originex= 0est prise au réverbère situé à la sortie du bar, l’axe est orienté dans le sens de la descente et l’espacement des réverbères esta= 10m.
a) Quelles sont les valeurs possibles dexavecN cheminements ?
b) Exprimer l’abscissexatteinte aprèsncheminements descendants etN−nremontants. Quelle est la probabilitéP(n, N)correspondante ?
c) Vérifier quePn=N
n=0 P(n, N) = 1.
d) En préambule aux questions suivantes, montrer que sixdépend linéairement deu, soitx = αu+β, avecαetβconstants, la valeur moyenne et la variance vérifienthxi=αhui+βetσx =α2σu. e ) Si l’expérience de l’ivrogne avec N cheminements était répétée un grand nombre de fois, quelle serait la valeur moyenne,hxi, de l’abscissexatteinte par l’ivrogne ?
f) Calculer la variance dexpourN cheminements. En déduire l’écart quadratique moyen de la distribution.
g) On suppose quep = 0,6et doncq = 0,4, ainsi quea = 10m. Calculer numériquement la probabilité pour que l’ivrogne ait avancé dex = 30m pourN = 5, et dex = 60m pourN = 20.
Expliquer comment on pourrait s’y prendre pour évaluer approximativement les probabilités associées aux différentes valeurs dexpourNgrand, sans prendre le risque de dépasser les capacités d’une petite calculette.
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Mélange de gazDans de l’hydrogène moléculaire H2 majoritaire (98%), un peu (1%) d’hydrogène semi-lourd (HD) et un peu d’hydrogène lourd(D2)(1%également) sont mélangés. On rappelle que si le noyau atomique deHconsiste d’un seul proton, celui deDcomprend un proton et un neutron.
Les proportions indiquées, 98%, 1% et 1% correspondent à des nombres de moles, pas aux masses.
a) À une température donnée, quels seront les rapports des vitesses quadratiques moyennes des différents constituents,v(HD)/v(H2)etv(D2)/v(H2)?
b) On perce un petit trou dans le récipient et recueille rapidement le premier jet avant de rebou- cher. Quelle seront, dans le prélèvement, les proportions molaires deH2,HDetD2?
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Énergie d’un gaz diatomiquea) Rappeler très qualitativement pourquoi la chaleur spécifique molaire d’un gaz diatomique, quand la température monte, est susceptible de passer par des paliers successifs de valeur 3R/2, 5R/2,7R/2et3R.
On s’intéresse désormais à la première transition, de3R/2à 5R/2. On adopte le modèle d’un rotateur rigide, dont les énergies, selon la mécanique quantique, sont
J =AJ(J+ 1), J = 0,1,2, . . .
oùAest une constante et où chaque niveau a une multiplicité(2J+ 1). La première énergie non nulle est1 =kT1, avecT1 = 60◦K.
b) Écrire, à une température donnée, la probabilité des différents niveaux J et la fonction de partition associée.
c) On se place à une température deT = 20◦K, pour laquelle on ne tient compte que des niveaux J = 0etJ = 1. Calculer la contributionErot des rotations à l’énergie molaire. Exprimer le résultat sous la formeErot'αRT et donner la valeur numérique deα.
d) Même question àT = 95◦Ken tenant compte aussi du niveauJ = 2.
e) Quelle serait la limite de Erot à haute température,T T1, si on se tenait au modèle ci- dessus, en négligeant les autres phénomènes comme la déformation, l’ionisation ou la dissociation ?
f) Commenter qualitativement l’importance des effets quantiques pour les propriétés thermody- namiques des gaz polyatomiques.
Formulaire
Certains des résultats ci-dessous peuvent être utilisés.
π = 3,1415927, e= 2,7182818, γ= 0,57721566, n! = 1×2×. . .×n , (p+q)N =
N
X
n=0
CNnpnqN−n, CNn = N! n!(N −n)! , N p(p+q)N−1=
N
X
n=0
nCNnpnqN−n, N p(q+pN)(p+q)N−2 =
N
X
n=0
n2CNnpnqN−n, n!'nnexp(−n)(2πn)1/2, formule de Stirling,
Z +∞
−∞
exp(−ax2) dx= rπ
a ,
Z +∞
−∞
x2 exp(−ax2) dx= π1/2 2a3/2 , P(x) = 1
√
2πσexp
−(x−x)¯ 2 2σ
, distribution gaussienne normalisée, Z +∞
0
xnexp(−ax) dx= n!
an+1 , (a >0),
Z +∞
0
xdx
exp(x) + 1 = π2 12 Z ∞
0
(2x+ 1)x(x+ 1) exp[−ax(x+ 1)] dx
Z ∞ 0
(2x+ 1) exp[−ax(x+ 1)] dx
= 1
a . (a >0)
