Epreuve 6

L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 6

4^ème Maths Révision

08/09

Révision

On considère l'équation (E) : 36x - 25 y = 5 , ( x , y ) Z².

1) Déterminez deux entiers relatifs u et v tels que 36u + 25v = 1.

2) Donnez alors une solution particulière de (E).

3) Quel est l'ensemble des solutions de (E) ?

4) ( x , y) étant une solution particulière de (E), on appelle d le PGCD de x et y.

a) Quelles sont les valeurs possibles de d?

b) Quelles sont les solutions (x , y) de (E) telles que x et y soient premiers entre eux?

Exercice 2:

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On désigne par M, N, P trois points distincts de ce plan d'affixes respectives m, n, p.

1. Démontrer que le triangle MNP est rectangle en N si et seulement si le complexe i^{p n}

m n



 est un réel non nul.

2. Dans cette question, M, N, P sont d'affixes respectives z, z², z⁴.

a. Quelles conditions doit vérifier z pour que M, N, P soient distincts deux à deux ?

b. Démontrer que l'ensemble des points M d'affixe z = x + iy du plan tels que le triangle MNP soit rectangle en N est une conique (H) d'équation

2

1 2 1

2 4

x y

    

 

  , privée de deux points que l'on précisera.

3. Préciser la nature de (H) et déterminer ses éléments géométriques (sommets, foyers, excentricité, asymptotes).

4. Représenter (H) et mettre en place sur la figure les sommets, les foyers et les asymptotes de (H).

Exercice 3 :

Dans le plan orienté P, on donne un carré ABCD de centre O tel que ]

2 2[ ) AD , AB

(  

 

. On désigne par I, J et K les milieux respectifs de [AB], [AD] et [CD].

1/ a) montrer qu'il existe un unique déplacement f qui envoie A en B et D en A.

b) déterminer les éléments caractéristiques de f.

c) montrer que l'antidéplacement g transformant A en B et D en A est une symétrie glissante que l'on caractérisera.

2/ soit S la similitude directe qui envoie A en D et B en J.

a) déterminer l'angle et le rapport de S.

b) construire le centre  de S.

c) déterminer S((AC)) et S((BC)).

En déduire que le triangle OC est rectangle.

d) déterminer l'image du carré ABCD par S.

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Problème:

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O i j; , ). L’unité graphique est 3 cm..

A .

On considère la fonction f définie sur [0 ; [ par f x( )ln(e^xe^x) et on désigne par (C) sa courbe représentative dans le repère (O i j; , ).

1. a. Déterminer la limite de f en .

b. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ; [, on a f x( ) x ln(1e^2x). En déduire que la courbe (C) admet comme asymptote la droite D d’équation y

= x.

c. Étudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote D.

2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Construire la courbe (C) et l’asymptote D,

B.

Pour tout x de l’intervalle [0 ; [ on pose ²

0

( ) ln(1 )

x t

F x 



cherchera pas à calculer F(x).

1. Soit a un réel positif. En utilisant la partie A , donner une interprétation géométrique de F(a).

2. Étudier le sens de variation de F sur l’intervalle [0 ; [ . 3. Soit a un réel strictement positif. Démontrez que :

Pour tout t de [0 ; a], ^{1 1} 1 1 a1 t

  . En déduire que ln(1 ) 1

a a a

a  

 .

4. Soit x un réel positif. Déduire de la question 3. que

2

2

0 2 0

( ) 1

x t x

t t

e dt F x e dt

e

 

  





puis que ¹ln 2 ¹ln(1 ² ) ( ) ^{1 1 2}

2 2 2 2

x x

e^ F x e^

     .

5. On admet que la limite de F(x) , lorsque x tend vers , existe et est un nombre réel noté L. Etablir que ¹ln 2 ¹

2  L 2.

6. Pour tout entier naturel n, on pose ¹ln(1 ² )

n t

n n

u e dt

 





a. On considère la fonction h définie sur [0 ; [ par h t( )ln(1e^2t). Étudier le sens de variation de h.

b. Démontrer que pour tout naturel n : 0u_nln(1e^2n). c. Déterminer la limite de (u_n) lorsque n tend vers . 7. Pour tout entier naturel n on pose

1

0 n

n i

i

S u









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