Produit d'opérateurs de Toeplitz et opérateur de composition

(1)

Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie

Département de Mathématiques

Thèse pour obtenir le titre de Docteur en Sciences

Option :Analyse Mathématique

Présentée par : Korrichi Fatima

*****************************************

Produit d'Opérateurs de Toeplitz et Opérateur de Composition

***********************************************************

Thèse dirigée par Dr. Bendaoud Zohra

Devant le jury composé de :

Dr.Khelil Nasser Université de Biskra Président Dr.Bendaoud Zohra Université de Laghouat Encadreur Dr.Strouse Elizabeth IMB Bordeaux-France Co-encadreur Dr.Mokhtari Zouhir Université de Biskra Examinateur Pr.Mokhtari Abdelkader Université de Laghouat Examinateur Dr.Allaoui Salah-Eddine Université de Laghouat Examinateur Pr.Kellay Karim IMB Bordeaux-France Invité

Année Universitaire : 2015-2016

(2)

paces de Dirichlet. Dans la première partie de la thèse on s'intéresse aux opérateurs de Toeplitz tronqués sur l'espace modèle, plus particu- lièrement a la stabilité du produit. Nous donnons une démonstration du théorème de Sedlock pour le produit de deux opérateurs de Toe- plitz tronqués par la méthode matricielle, ensuite nous proposons une caractérisation matricielle d'un opérateur de Toeplitz tronqué de type α dans le cas où la fonction intérieure u est un produit de Blaschke d'ordre n .

Dans la dexième partie de la thèse nous avons étudier les opérateurs de composition sur l'espace de Dirichlet. Nous somme intéressés plus particulièrement, à la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée aux symboles. Shapiro a caractérisé la compacité des opéra- teurs de composition sur l'espace de Hardy à l'aide de la fonction de comptage de Nevanlinna du symbole. Plus généralement sur les espaces de Dirichlet nous avons donner une majoration de la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna par la normes des itérées de symbole ϕ .

Mots-clés : opérateur de Toeplitz tronqué, matrice de Toeplitz, opérateurs de composition, espace modèle, espace de Dirichlet,fonction de comptage de Nevanlinna.

Abstract The main objectives of this thesis consist

1. In studying of truncated Toeplitz operators in the model space.

2. In studying of composition operators in the Dirichlet spaces.

We give another proof of the Sedlock theorem for the product of two truncated Toeplitz operators by the matrix method, then we propose a characterization of a the matrix of truncated operator Toeplitz of type α where the inner function u is a Blaschke product of order n . In the second part of the thesis we have studied the composition operators on the Dirichlet space. We are particularly interested in the generalized Nevanlinna counting function associa- ted with the symbols. Shapiro characterized the compactness of composition operators on Hardy space using Nevanlinna counting function of the symbol. More generally on Dirichlet spaces we obtain an estimation of generalized Nevanlinna counting function by the norme of symbol.

Keywords : Truncated Toeplitz operators, Toeplitz Matrix, Composition operators, Model

space, Dirichlet space, Nevanlinna counting function.

(3)

REMERCIMENTS

Cette thèse n'aurait pas été sans le soutien d'un certain nombre de personnes : c'est avec beaucoup d'émotion que je m'apprête à remercier tous ceux qui ont contribué, chacun à sa manière, à l'aboutissement de cette thèse.

Je tiens en premier lieu à exprimer ma sincère gratitude à Zohra Bendaoud pour avoir accepté de me diriger, je la remercie aussi pour ses conseils, ses encouragements, sa disponibilité, son énergie et son enthousiasme qui m’ont été fortement utiles pour effectuer ce travail.

Je remercie profondément Madame Elizabeth Strouse d’avoir accepté de me co- encadrer et me diriger, surtout pour ses qualités humaines, sa convivialité, son dynamisme et ses conseils précieux m'ont guidé et motivé tout au long de mes séjours à l'IMB-Université de Bordeaux I.

Je tiens à remercier sincèrement Monsieur Khelil Nasser Maître de Conférence à l'Université Mohamed Khider de Biskra, qui m’a fait l'honneur d'accepter de présider le jury de ma thèse de Doctorat. Je lui exprime mes profonds respects et toute ma gratitude.

Je remercie vivement Monsieur Zouhir Mokhtari, Maître de Conférence à l'Université Mohamed Khider de Biskra, Monsieur Mokhtari Abdelkader Professeur à l'Université de Laghouat et Monsieur Allaoui Salah-Eddine Maître de Conférence à l'Université de Laghouat d'avoir pris la peine d'examiner ce travail et m'honorer par leurs présences parmi les membres de jury.

Je remercie l'équipe d'Analyse de l'Université Bordeaux I et plus spécialement Mrs Kellay Karim, et Mohamed Zarrabi pour avoir toujours été prêt à répondre à mes questions et à m'indiquer des références ainsi que pour leurs conseils et encouragements. J'ai pu profiter de l'hospitalité de l'équipe d'analyse, que je remercie pour les excellentes conditions de séjour et de travail offertes.

Je remercie tous les membres du laboratoire de l’IMB, le personnel, les chercheurs,

les informaticiens, les secrétaires et techniciens, sans oublier tous les membres de la

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nature et de la vie de l'Université de Biskra pour m'avoir facilité toutes les taches, ainsi que le chef de Département de mathématiques, ainsi que toutes les personnes que j'ai contacté et qui ont été toujours disponible et satisfaisant que ce soit au Département ou à la post graduation.

Je tiens particulièrement à remercier les membres de mon Laboratoire, LMPA, au sein de l’université de Laghouat, à commencer par son directeur, Mme Fermeli-Bendaoud Zohra, qui a mis à notre disposition tous les moyens possibles pour qu’on puisse avancer. Je n’oublie pas de remercier les membres de mon équipe : Mrs Ali Chettih, Yagoub Ameur, Rahmoune Abdelaziz, sans oublié Melle Chafika Belabbaci, qui a toujours était présente.

Je n’oublierais pas mes enseignants de l’université de Laghouat : Mrs Belabbaci Youcef, Mokhtari Aek, ainsi que Mme Boukhatem Yamna enseignante au département de mats-info.

Milles merci à mes amis : Ahlem, Aicha, Samia, Fatima Zohra et Siham sans oublié Mr Habib Fermeli pour leur soutiens et aides, je n’oublie pas Mr Fanilo avec qui j’ai pu avancer lors de mes séjours à Bordeaux.

Un remerciement particulier à mon amie et sœur Ahlem ainsi qu’à toute sa famille Nasri, qui ont remplacé ma famille à Laghouat…

Le plus grand remerciement est celui que je dois à mon cher père, Ammar, sans lui je n’aurais jamais pu finir…je n’oublie pas bien sûr ma mère, ma grand-mère ainsi que mes chers frères.

(5)

Introduction 3

1 Espace de Hardy et Espace Modèle 11

1.1 Espace de Hardy . . . 11

1.2 Espace modèle . . . 15

1.2.1 Opérateurs de conjugaison . . . 19

1.3 Opérateurs de Toeplitz . . . 21

2 Opérateurs de Toeplitz tronqués 30 2.1 Produit d'opérateurs de Toeplitz . . . 30

2.2 Opérateurs de Toeplitz tronqués de type α . . . 32

2.2.1 Shift généralisé . . . 37

2.3 Matrice d'un opérateur de Toeplitz tronqué . . . 41

2.3.1 Exemples de matrices d'un opérateur de Toeplitz tronqué . . 41

2.3.2 Démonstration du théorème de Sedlock par la méthode matricielle . . . 43

2.3.3 C

^∗

algèbre engendrée par S

u

. . . 48

2.4 Représentation matricielle d'un opérateur de Toeplitz tronqué de type α 50

(6)

3 Opérateurs de composition sur l'espace de Hardy 61 3.1 Opérateurs de composition . . . 61 3.2 Compacité des opérateurs de composition . . . 66 4 Estimations de la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna 79 4.1 Espace de Dirichlet et fonction de comptage généralisée de Nevanlinna 79 4.1.1 Espace de Dirichlet . . . 79 4.1.2 Fonction de comptage généralisée de Nevanlinna . . . 82 4.2 Lien entre la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna N

_ϕ,α

et D(ϕ

ⁿ

) . . . 85 4.3 Lien entre la fonction de comptage de Nevanlinna n

_ϕ

et D(ϕ

ⁿ

) . . . 91 4.4 Exemples . . . 93

4.4.1 Exemples d'estimations de la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna . . . 97 4.4.2 Exemples des opérateurs de composition de la classe de Hilbert-

Schmidt . . . 100

(7)

Cette thèse se situe à l'interface entre l'analyse fonctionnelle, la théorie des opé- rateurs et l'analyse complexe. Elle est dédiée à l'étude de certains opérateurs sur plusieurs espaces fonctionnels. Nous nous intéressons aux opérateurs de Toeplitz tronqués sur l'espace modèle et aux opérateurs de composition sur l'espace de Diri- chlet.

On note par D le disque unité, T = ∂ D le cercle unité du plan complexe C, dm := dt

2π la mesure de Lebesgue normalisée sur T et L

²

( T ; dm) l'espace de Lebesgue usuel sur T.

On dénit l'espace de Hardy H

²

( D ) par l'espace des fonctions analytiques f : D −→ C sur le disque unité telle que la norme

kf k

²_H2

= sup

0<r<1

1 2π

Z

T

|f(rζ )|

²

|dζ|

soit nie.

H

²

( D ) peut être identié au sous espace fermé de l'espace de Hilbert L

²

( T , dm) déni par :

H

²

( T ) = {f ∈ L

²

( T ) : f(n) = 0, n < b 0}

muni de la norme de L

²

( T ) .

Le noyau reproduisant de H

²

( D ) (appelé aussi noyau de Cauchy Szegö), noté k

_λ

(8)

et donné par la formule :

k

_λ

(z) = 1

1 − λz , pour z ∈ T .

D'aprés le théorème de Beurling, les sous espaces fermés non-nul de H

²

, qui sont invariants par S , sont de la forme uH

²

pour une certaine fonction intérieure u ∈ H

²

. Il s'ensuit que les sous espace fermés non nul de H

²

, invariants par S

^∗

sont de la forme :

K

_u²

= H

²

uH

²

pour une certaine fonction intérieure u ∈ H

²

.

Le sous espace K

_u²

est appelé espace modèle associé à la fonction u .

Comme dans le cas de H

²

, chaque K

_u²

est un espace à noyau reproduisant noté k

^u_λ

et est déni par :

k

^u_λ

(z) = P

_u

[k

_λ

](z) = 1 − u(λ)u(z)

1 − λz , (λ, z) ∈ D × T K

_u²

est de dimension ni si u est un produit de Blaschke d'ordre ni.

L'opérateur de Toeplitz tronqué de symbole ϕ ∈ L

^∞

sur K

_u²

est déni par : A

^u_ϕ

(f) = P

_u

(ϕf ), pour chaque f ∈ K

_u²

.

L'étude des opérateurs de Toeplitz tronqués est un domaine de recherche d'ac- tualité dans la théorie des opérateurs. Sur l'espace modèle, ces opérateurs ont été introduits par Sarason en 2007 [33, 35]. En 2010, Sedlock a introduit une nouvelle classe d'opérateurs de Toeplitz tronqués, connus sous le nom d'opérateurs de Toe- plitz tronqués de type α [37]. Cette classe d'opérateurs donne des réponses à la question de stabilité :

"sous quelles conditions le produit de deux opérateurs de Toeplitz tronqués est aussi

un opérateur de Toeplitz tronqué ?"

(9)

Pour α ∈ D, un opérateur de Toeplitz tronqué A est dit de type α si et seulement s'il existe ϕ ∈ K

_u²

telle que :

A = A

_ϕ+αS

uϕ+ce

, c ∈ C

Dans [37], Sedlock a montré que le produit de deux opérateurs de Toeplitz tronqués est un opérateur de Toeplitz tronqué si et seulement si l'un des deux cas suivants est vérié :

(i) cas trivial : l'un des deux opérateurs est égal à cI avec c ∈ C.

(ii) cas non trivial : il existe α ∈ C

^∗

telle que les deux opérateurs sont tous les deux de type α , dans ce cas leur produit est aussi de type α.

Dans ce travail on s'intéresse particulièrement aux matrices des opérateurs de Toeplitz tronqués, car ce type de matrices joue un rôle essentiel dans plusieurs domaines.

La matrice d'un opérateur de Toeplitz tronqué A

_ϕ

est de la forme :

A =







a

0

a

−1

· · · · · · a

−n+2

a

−n+1

a

₁

a

₀

... a

−n+2

a

2

a

1

... ... ...

... ... ... ... ... ...

... ... ... a

0

a

−1

a

n−1

· · · · · · a

₂

a

₁

a

₀







(0.0.1)

Ces matrices interviennent dans :

* la théorie de la prédiction,

* les solutions numériques de certaines equations diérentielles,

* traitement du signal et de l'image,

* l'étude des processus gaussiens stationnaires...

(10)

Pour les opérateurs de composition sur les espaces de Dirichlet, le problème auquel nous nous intéressons concerne la compacité d'un opérateur de composition.

Les opérateurs de composition sur les espaces de Hardy ont été largement étudiés (voir par exemple [14, 26, 38, 39]).

Rappelons que pour une fonction holomorphe ϕ : D → D, un opérateur de composition sur H

²

( D ) de symbole ϕ est déni par :

C

_ϕ

: H

²

( D ) −→ H

²

( D )

f −→ C

_ϕ

(f) = f ◦ ϕ.

La continuité de C

_ϕ

est essentiellement assurée par le principe de subordination de Littlewood (1925) [38].

On dénit la fonction de comptage de Nevanlinna de la fonction ϕ , pour tout z ∈ D \ {ϕ(0)} par :

N

_ϕ

(z) =



 

 

 

 

X

w∈ϕ⁻¹({z})

1 log |w| z 6= 0

0 z = 0

La caractérisation de la compacité des opérateurs de composition à l'aide de la fonction de comptage de Nevanlinna du symbole due a Shapiro [38] qui a montré que pour une fonction holomorphe ϕ : D → D, l'opérateur C

_ϕ

est compact sur H

²

( D ) si et seulement si

lim

|w|→1⁻

N

_ϕ

(w) log 1

|w|

= 0.

Les espaces de Dirichlet sont dénis par : D

_α

=

f ∈ Hol( D ) : kfk

²_α

= |f(0)|

²

+ Z

D

|f

⁰

(z)|

²

dA

_α

(z) < ∞

,

(11)

avec

dA

_α

(z) = (1 + α)(1 − |z|)

^α

dA(z), z ∈ D , où

dA(z) = dxdy/π, z = x + iy.

Lorsque α = 1 , D

₁

= H

²

est l'espace de Hardy classique et lorsque α = 0 , D

₀

= D est l'espace de Dirichlet.

Kellay et Lefèvre dans [27] en 2012 ont montré que pour une fonction holomorphe ϕ : D → D,

(i) C

ϕ

est borné dans D

α

⇐⇒ N

ϕ,α

= O(1 − |z|)

^α

, |z| → 1

⁻

(ii) C

_ϕ

est compact dans D

_α

⇐⇒ N

_ϕ,α

= o(1 − |z|)

^α

, |z| → 1

⁻

pour 0 < α ≤ 1 .

Cette thèse est partagée en deux parties :

dans la première partie, qui est composée de deux chapitres, on s'intéresse aux opérateurs de Toeplitz tronqués sur l'espace modèle particulièrement aux matrices.

Le chapitre 1 est consacré à la présentation de l'espace de Hardy, à savoir les résultats fondamentaux, en particulier nous donnons la construction des espaces modèles qui sont les sous-espaces stables par l'adjoint de la multiplication par z . Nous rappelons quelques notions de base sur l'espace modèle et nous présentons les propriétés des opérateurs de Toeplitz tronqués.

Dans le chapitre 2 nous rappelons les opérateurs de Toeplitz tronqués de type α et nous donnons une démonstration du théorème de Sedlock pour le produit de deux opérateurs de Toeplitz tronqués par la méthode matricielle dans le cas où u(z) = z

ⁿ

. On montre dans le théorème 2.3.1 que :

Si A et B sont deux matrices de Toeplitz, le produit A × B est une matrice de

Toeplitz si et seulement si l'une des conditions suivantes est vériée :

(12)

1) A et B sont toutes les deux triangulaires inférieures ou triangulaires supé- rieures.

2) A ou B est un multiple de l'identité.

3) Il existe un α ∈ C tel que A et B sont de la forme :

A =







a

₀

αa

_n−1

· · · · · · αa

₂

αa

₁

a

₁

a

₀

... αa

₂

a

₂

a

₁

... ... ...

... ... ... ... ... ...

... ... ... a

₀

αa

_n−1

a

n−1

· · · · · · a

₂

a

₁

a

₀







B =







b

₀

αb

_n−1

· · · · · · αb

₂

αb

₁

b

₁

b

₀

... αb

₂

b

₂

b

₁

... ... ...

... ... ... ... ... ...

... ... ... a

₀

αb

_n−1

b

n−1

· · · · · · b

₂

b

₁

b

₀







Il est à remarquer que Sedlock a montré l'existence de α . Dans notre cas, nous avons obtenu une formule explicite de α .

Dans le théorème 2.3.2 on a démontré que, si la fonction intérieure u dénissant

l'espace modèle K

_u²

est un produit de Blaschke d'ordre n associé a un seul zéro (

u(z) = z

ⁿ

ou u(z) = b

ⁿ_λ

(z), λ ∈ D) alors la C

^∗

algèbre engendrée par S

_u

( où S

_u

est

l'opérateur de Toeplitz tronqué de symbole z ) n'est autre que M

_n

( C ) , l'ensemble

des matrices carrées d'ordre n à coecients dans C. D'autre part nous proposons

une caractérisation matricielle d'un opérateur de Toeplitz tronqué de type α dans le

cas où la fonction intérieure u est un produit de Blaschke d'ordre n avec des zéros

simples deux à deux distincts. Nous donnons la représentation d'une matrice d'un

(13)

opérateur de Toeplitz tronqué de type α en utilisant la méthode donnée par Ross dans [12].

Dans la deuxième partie, qui est composé de deux chapitres, on s'intéresse à l'étude des opérateurs de composition sur l'espace de Dirichlet.

Dans le troisième chapitre, nous présentons quelques propriétés des opérateurs de composition sur l'espace de Hardy H

²

( D ) , particulièrement consacré à l'étude de leur compacité.

Dans le dernier chapitre, nous allons étudier les opérateurs de composition sur l'espace de Dirichlet. Nous nous sommes intéressés plus particulièrement, à la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée aux symboles.

Nous avons donné une majoration de la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna par la normes des itérées de symbole ϕ .

On pose :

D

_α

(f ) = Z

D

|f

⁰

(z)|

²

dA

_α

(z).

Nous avons montrer que pour 0 < α < 1,

N

_ϕ,α

(z) . D

_α

(ϕ

ⁿ⁺¹

), n ≥ 1, pour une certaine constante c > 0 .

Et

inf

1−_m¹≤|z|≤1−_m+1¹

N

_ϕ,0

(z) ≤ e

⁴

π D

₀

(ϕ

^m+1

), m ≥ 2

Cette majoration nous permet de construire quelques exemples d'opérateurs bor- nés et compacts dans D

_α

. Dans l'espace de Hardy où α = 1 , nous avons montré une estimation de la fonction de comptage de Nevanlinna dans le théorème 4.4.6 : Soit K le Cantor généralisé associé à la suite (a

_n

)

_n

vériant

λ

_K

:= sup

n≥1

a

_n+1

a

n

< 1

2 ,

(14)

et soit Ω(t) = t

^β

telle que β > µ

_K

, où µ

_K

= 1 − log 2/log(1/λ

_K

).

Alors

N

_ϕ

(z) = O((1 − |z|)

^µ^K^/β

(log 1/(1 − |z|))

^µ^K^/β

), |z| → 1

⁻

.

Dans l'espace de Dirichlet D

_α

où 0 < α < 1 , nous avons montré le théorème 4.4.7 :

Soient 0 < α < 1 et K le cantor généralisé associé à la suite (a

_n

)

_n

qui vérie λ

K

:= sup

n≥1

a

_n+1

a

_n

< 1

2 , telle que α + µ

_K

≥ 1 . où µ

_K

= 1 − log 2/log(1/λ

_K

).

Soit Ω(t) = t

^β

telle que β < min{(1 − α)/2, α + µ

_K

− 1} . Soit ϕ = ϕ

_Ω,K

, alors N

_ϕ,α

(z) = O((1 − |z|)

^(α+µ^K^−1)/β

) (z → 1−).

Un travail similaire à ce qui va suivre a été démontré par El-Fallah, Kellay, Shabankhah et Youss [19] dans les espaces de Dirichlet où α = 0 .

Dans le théorème 4.4.9 nous avons considéré le cas où 0 ≤ α < 1 . Soit K le cantor généralisé qui vérie

λ

_K

:= sup

n≥1

a

_n+1

a

n

< 1 2 ,

soit Ω : [0, 2π] → R

⁺

une fonction croissante telle que t → Ω(t

^γ

) soit concave pour γ > 2/(1 − α) .

Si

Z

1 0

Ω

⁰

(t)

²

Ω(t)

^2+α

t

^α

|K

_t

|dt < ∞, (0.0.2) alors

C

_ϕ_Ω,K

∈ S

₂

(D

_α

).

(15)

Espace de Hardy et Espace Modèle

Dans ce chapitre on va rappeler quelques dénitions et résultats classiques concernant l'espace de Hardy H

²

et ses sous-espaces invariants par l'opérateur shift. Nous rappelons aussi certaines propriétés des éléments de cet espace, qu'on va utiliser pour caractériser les sous-espaces invariants par l'adjoint de l'opérateur shift, un tel espace est appelé espace modèle.

1.1 Espace de Hardy

On note par D le disque unité du plan complexe C , T = ∂ D le cercle unité et par dm := dt

2π la mesure de Lebesgue normalisée sur T. L

²

( T ) étant l'espace de Lebesgue usuel sur T.

L'espace de Hardy H

²

( T ) est l'ensemble des fonctions f ∈ L

²

( T ) dont les coecients de Fourier de signe négatifs sont nuls, autrement dit

H

²

( T ) := {f ∈ L

²

( T ) : f(n) = 0, b n < 0}, avec f b (n) = R

T

f(ζ)ζ

ⁿ

dm(ζ) les coecients de Fourier d'ordre n .

(16)

On peut identier H

²

( T ) à l'espace H

²

( D ), l'espace des fonctions holomorphes f ∈ Hol( D ) tel que

kfk

²_H2(D)

= sup

0<r<1

1 2π

Z

T

|f (rζ )|

²

|dζ| < +∞, car l'application

χ : H

²

( D ) −→ H

²

( T )

f −→ f

^∗

est un isomorphisme isométrique, où f

^∗

est la limite radiale de f .

D'aprés le théorème de Fatou, la limite radiale de toute fonction f ∈ H

²

( D ) , qui est une fonction dénie sur T par :

f

^∗

(ζ) := lim

r−→1⁻

f (rζ) ζ ∈ T , existe presque partout sur T.

On peut montrer que f

^∗

∈ H

²

( T ) , f(n) = 0 b pour n < 0 et que Z

T

log |f

^∗

||dζ| > −∞.

(Voir [32]).

Puisque H

²

( T ) est un sous-espace fermé de l'espace de Hilbert L

²

( T ) , il est aussi un espace de Hilbert muni du produit scalaire induit par celui de L

²

( T ) déni par :

hf, gi = 1 2π

Z

T

f (ζ)g(ζ)|dζ|, et muni de la norme

kf k

²₂

= Z

T

|f

^∗

(ζ)|

²

dm(ζ).

On déni l'espace H

^∞

( D ) par :

H

^∞

( D ) := {f ∈ Hol( D ) : sup

z∈D

f (z) < ∞}.

(17)

Soit X un ensemble non vide et H un espace de Hilbert de fonctions à valeurs complexes sur X . Un noyau reproduisant en λ ∈ X d'un espace de Hilbert H est une fonction k

_λ

telle que hf, k

_λ

i = f(z), f ∈ H.

Pour chaque point λ ∈ X, l'application

Φ

_λ

: H −→ C

f −→ Φ

λ

(f) = f(λ)

est linéaire continue. Donc, et d'aprés le théorème de représentation de Riesz, il existe une fonction unique k

_λ

∈ H telle que f(λ) = hf, k

_λ

i pour tout f ∈ H .

H

²

( D ) contient une telle fonction en chaque point λ ∈ D , car pour chaque λ ∈ D, f (λ) est linéaire continue.

Ce noyau reproduisant de H

²

( D ) en λ ∈ D est donné par : k

_λ

(z) = 1

1 − λz , z ∈ D , et

hf, k

_λ

i = hf

^∗

, k

_λ^∗

i, f ∈ H

²

,

La projection orthogonale P de L

²

sur H

²

peut être exprimée en terme d'un opérateur noyau

P (f )(z) = 1 2π

Z

T

f(ζ)

1 − zζ |dζ| f ∈ L

²

( T ).

Une fonction u ∈ H

²

( D ) est dite intérieure si

|u

^∗

(z)| = 1 presque partout sur T .

Rappelons aussi que, par le théorème de factorisation, chaque fonction f ∈ H

²

admet une factorisation unique, à une constante près, de la forme

f = BSF

(18)

où B est un produit de Blaschke, S est une fonction intérieure singulière et F une fonction extérieure (pour plus de détail voir [14]).

Un produit de Blaschke B , est déni par : B (z) = Y

n

|z

_n

| z

n

z

_n

− z 1 − z

n

z

, z ∈ D

avec (z

n

) une suite de D compté avec leurs multiplicités et qui vérie la condition de Blaschke

X

n

(1 − |z

n

|) < ∞.

Une fonction intérieure singulière S est de la forme S(z) = exp

− Z

T

ζ + z ζ − z dσ(ζ)

, z ∈ D

où σ est une mesure de Borel positive nie et singulière par rapport à la mesure de Lebesgue sur T.

BS est appelé le facteur intérieur de la fonction f .

Une fonction extérieure F est une fonction qui peut être exprimée par : F (z) = exp

1 2π

Z

T

ζ + z

ζ − z log φ(ζ)|dζ|

, z ∈ D

où φ est une fonction positive mésurable tel que log |φ| ∈ L

¹

( T ) , si φ = f on dit que F est le facteur extérieur de la fonction f .

Ces résultats vont nous permettre de voir une fonction de l'espace de Hardy

comme une fonction holomorphe sur D ou comme une fonction de L

²

( T ) . On pourra

alors utiliser la richesse de la théorie des fonctions holomorphes (principe du maxi-

mum etc...) ou la structure de L

²

( T ) pour calculer des normes ou utiliser les pro-

priétés des coecients de Fourier. Dans la suite, on notera l'espace de Hardy par

H

²

.

(19)

1.2 Espace modèle

L'opérateur de décalage à droite (ou shift) sur H

²

est déni par : S[f ](z) = zf(z) pour f ∈ H

²

et z ∈ T ,

et son adjoint l'opérateur de décalage à gauche S

^∗

: H

²

→ H

²

est déni par : S

^∗

[f ](z) = f (z) − f(0)

z pour f ∈ H

²

et z ∈ T .

Un sous-espace M de H

²

est dit invariant par S s'il est fermé et tel que SM ⊆ M.

Le théorème de Beurling donne une caractérisation complète des sous espaces invariant par le shift dans H

²

, ils sont tous de la forme :

uH

²

= {uh, h ∈ H

²

},

où u est une fonction intérieure de H

²

. Le fait que si E est un sous espace fermé invariant par S dans H

²

si et seulement si E

^⊥

est invariant par S

^∗

implique que les sous espaces fermés non nul de H

²

, invariants par S

^∗

sont de la forme :

K

_u²

= (uH

²

)

^⊥

= H

²

uH

²

pour une certaine fonction intérieure u ∈ H

²

.

Le sous espace K

_u²

est appelé espace modèle correspondant à la fonction intérieure u , qui est un sous-espace fermé de L

²

( T ) .

On note par P

_u

la projection orthogonale de L

²

( T ) sur K

_u²

et par M

_u

et M

_u

les opérateurs de multiplication par u et u respectivement.

Proposition 1.2.1. Soit u une fonction intérieure de H

²

. (i) M

_u

P M

_u

est la projection orthogonale sur uH

²

. (ii) la projection orthogonale de L

²

( T ) sur K

_u²

est

P

_u

= P − M

_u

P M

_u

.

(20)

Pour tout f ∈ L

²

( T ) , on a :

hf, k

_λ

i = hf, P

_u

k

_λ

i = hP

_u

f, k

_λ

i

= (P

_u

f )(λ)

= 1

2π Z

T

f(ζ) 1 − u(λ)u(ζ) 1 − λζ |dζ|.

Comme dans le cas de H

²

, chaque K

_u²

est un espace à noyau reproduisant. On sait que, si E un sous espace de H

²

et k

_λ

est le noyau reproduisant de H

²

, alors la projection orthogonale P

^E

k

_λ

de k

_λ

sur E est le noyau reproduisant de E , donc

k

_λ

− P

^E

k

_λ

est le noyau reproduisant de E

^⊥

, c'est-à-dire le noyau reproduisant de K

_u²

est la projection orthogonale de k

_λ

sur K

_u²

, il est donné par :

k

^u_λ

(z) = 1 − u(λ)u(z)

1 − λz , (λ, z) ∈ D × T . En eet, si f = uh ∈ uH

²

, alors

f (λ) = u(λ)h(λ) = u(λ)hh, k

λ

i

= u(λ)huf, k

λ

i

= hf, u(λ)uk

λ

i, donc le noyau reproduisant de uH

²

est u(λ)u(z)k

_λ

.

Si f ∈ K

_u²

alors

f(λ) = hf, k

_λ

i

= hf, k

_λ

i − u(λ)hf, uk

_λ

i

= hf, (1 − u(λ)u)k

_λ

i.

(21)

De plus (1 − u(λ)u)k

_λ

∈ K

_u²

car, pour tout h ∈ H

²

,

huh, (1 − u(λ)u)k

_λ

i = u(λ)h(λ) − u(λ)huh, uk

_λ

i

= u(λ)h(λ) − u(λ)hh, k

_λ

i

= u(λ)h(λ) − u(λ)h(λ) = 0.

On déduit que :

f(λ) = hf, k

_λ^u

i, f ∈ K

_u²

.

Une fonction f analytique sur D admet une limite non-tangentielle l au point ω ∈ T si pour tout θ > 0 f(z) → l quand z → ω sur toute région non-tangentielle Γ

_θ

(ω) = {z ∈ D : |z − ω| < θ(1 − |θ|)} .

On dit que la fonction u admet une dérivée angulaire au sens de Carathéodory au point η ∈ T si u a une limite non-tangentielle au point η et u

⁰

admet une limite non-tangentielle u

⁰

(η) au point η .

On sait que u admet une dérivée angulaire au sens de Carathéodory au point η si et seulement si chaque fonction dans K

_u²

possède une limite non-tangentielle η [36].

Donc il existe un noyau reproduisant k

_η^u

telle que hf, k

_η^u

i = f (η) .

Autrement dit k

_η^u

est la limite de k

_λ^u

en faisant tendre λ vers η non-tangentiellement dans le disque et donc

k

^u_η

= 1 − u(η)u(z)

1 − ηz , z ∈ T . Proposition 1.2.2. Soit u une fonction intérieure.

L'espace modèle K

_u²

est l'ensemble des fonctions f ∈ H

²

telles que f = uzg presque partout sur T pour une certaine fonction g ∈ H

²

.

Autrement dit,

K

_u²

= H

²

\

uzH

²

Démonstration.

(22)

Pour chaque f ∈ K

_u²

, on a f ⊥ uH

²

donc

hf, uhi = 0, ∀h ∈ H

²

⇔ huf, hi = 0, ∀h ∈ H

²

⇔ uf ∈ (H

²

)

^⊥

= L

²

H

²

= zH

²

⇔ f ∈ uzH

²

car |u| = 1, p.p sur T , alors f ∈ (uH

²

)

^⊥

si et seulement si f ∈ uzH

²

.

Pour chaque fonction intérieure u , les compressions de S et S

^∗

sur K

_u²

sont notées respectivement par S

u

et S

_u^∗

.

Dans ce qui suit nous allons proposer quelques exemples d'espaces modèles de dimension nie où on peut décrire explicitement les éléments.

Proposition 1.2.3. Soit u une fonction intérieure.

1) Si u(z) = z

ⁿ

alors K

_u²

est l'ensemble des polynômes de degré (n − 1) à coecients dans C . C'est-à-dire

K

_u²

=

a

₀

+ a

₁

z + a

₂

z

²

+ ... + a

n−1

z

ⁿ⁻¹

; a

₀

, a

₁

, ..., a

n−1

∈ C .

2) Si u est un produit de Blaschke d'ordre ni avec des zéros λ

₁

, λ

₂

, · · · , λ

_n

, comp- tés avec leurs ordre de multiplicité alors :

K

_u²

=

a

₀

+ a

₁

z + a

₂

z

²

+ · · · + a

n−1

z

ⁿ⁻¹

(1 − λ

₁

z)(1 − λ

₂

z) · · · (1 − λ

_n

z) ; (a

_i

)

0≤i≤n−1

∈ C

(1.2.1) 3) Si u est un produit de Blaschke d'ordre ni avec des zéros deux à deux distincts

λ

₁

; λ

₂

; ...; λ

_n

d'ordre de multiplicités respectifs m

₁

; m

₂

; ...; m

_n

alors : K

_u²

= span

d

^l^j−1

dz

1 1 − λ

_j

z

; 1 ≤ j ≤ n et 1 ≤ l

j

≤ m

j

.

(23)

Démonstration.

On va montrer directement la deuxième propriété car la première propriété est un cas particulier de la deuxième.

On suppose que les zéros λ

₁

, λ

₂

, · · · , λ

_n

du produit de Blaschke sont simples et deux à deux distincts. On a :

huh, k

_λ_j

i = u(λ

_j

)h(λ

_j

) = 0, pour tout h ∈ H

²

et pour tout j ∈ {1, 2, ..., n} , alors

span{k

_λ_j

; 1 ≤ j ≤ n} ⊆ K

_u²

.

Si f(λ

_j

) = hf, k

_λ_j

i pour tout j ∈ {1, 2, ..., n} , alors u divise f et donc f ∈ uH

²

. Ainsi

span{k

_λ_j

; 1 ≤ j ≤ n}

^⊥

⊆ (K

_u²

)

^⊥

.

Comme K

_u²

= span{k

_λ_j

; 1 ≤ j ≤ n} , alors toute combinaison linéaire des k

_λ_j

pour j ∈ {1, 2, ..., n} peut être exprimé comme une fonction rationnelle du même type de (1.2.1).

Et réciproquement, tout expression du type (1.2.1) peut être décomposée comme combinaison linéaire des fonctions k

_λ₁

, k

_λ₁

, ..., k

_λ_n

.

Si λ est un zéro d'ordre m de u , il faut remplacer k

_λ

par ses dérivées d'ordre in- férieure ou égal à m − 1 , c'est-à-dire k

_λ

, k

_λ⁰

, k

_λ⁰⁰

, · · · , k

_λ^(m−1)

à la place de k

_λ

dans la démonstration précédente.

1.2.1 Opérateurs de conjugaison

Dénition 1.2.4. Soit H un espace de Hilbert sur C. Un opérateur de conjugaison sur H est un opérateur C : H → H vériant

(i) hCx, Cyi = hy, xi .

(24)

(ii) C

²

= Id

_H

Un opérateur T déni sur H est dit C-symétrique s'il existe un opérateur de conjugaison C sur H tel que T

^∗

= CT C .

Chaque espace modèle K

_u²

admet un opérateur de conjugaison C : K

_u²

−→ K

_u²

déni par

C[f ](z) = u(z)zf(z), f ∈ K

_u²

, z ∈ T . (1.2.2) Dans ce qui suit, l'image de chaque fonction f par l'opérateur de conjugaison C déni dans la relation 1.2.2 est notée f e c'est-à-dire f e = C[f] .

Nous rappelons dans ce qui suit quelques résultats concernant les noyaux reproduisant et l'opérateur de conjugaison.

Lemme 1.2.5. Pour chaque λ ∈ D et z ∈ T, on a : 1) k e

^u_λ

(z) = u(z) − u(λ)

z − λ , en particulier, si u(λ) = 0 , k e

_λ^u

(z) = u(z) z − λ . 2) f e (λ) = h k e

^u_λ

, f i, f ∈ K

_u²

.

Démonstration.

Montrons d'abord (1).

Puisque |u| = 1 p.p sur T, pour tout z ∈ T, nous avons k e

_λ^u

(z) = u(z)zk

_λ^u

(z)

= u(z)z 1 − u(λ)u(z) 1 − λz

= z u(z) − u(λ) 1 − zλ

= u(z) − u(λ) z − λ . La propriété (2) découle des égalités suivantes :

h k e

^u_λ

, f i = hCk

_λ^u

, fi = hCk

_λ^u

, C

²

f i = hCf, k

_λ^u

i = h f , k e

^u_λ

i = f e (λ).

(25)

1.3 Opérateurs de Toeplitz

Dans cette partie nous nous intéressons aux opérateurs de Toeplitz tronqués sur l'espace modèle et aux opérateurs de composition sur l'espace de Hardy et plus généralement les espaces de Dirichlet.

Pour une fonction ϕ ∈ L

^∞

, l'opérateur de Toeplitz de symbole ϕ sur H

²

est déni par :

T

_ϕ

: H

²

−→ H

²

f −→ T

_ϕ

(f) = P (ϕf ), où P est la projection orthogonale de L

²

sur H

²

.

Brown et Halmos ont montré qu'un opérateur T borné sur H

²

( T ) est un opérateur de Toeplitz si et seulement si

S

^∗

T S = T.

La matrice A = (a

_ij

)

_i,j

de l'opérateur de Toeplitz T

_ϕ

dénit sur H

²

dans la base {1, z, z

²

, z

³

, · · · } est donnée par :

a

ij

= hT

ϕ

z

^j

, z

ⁱ

i = hP (ϕz

^j

), z

ⁱ

i = hϕz

^j

, P z

ⁱ

i = hϕ, z

^i−j

i = ϕ(i b − j) c'est-à-dire

A =







ϕ(0) b ϕ(−1) b ϕ(−2) b · · · ϕ(1) b ϕ(0) b ϕ(−1) b · · · ϕ(2) b ϕ(1) b ϕ(0) b · · · ... ... ... ...







(1.3.1)

Où

ϕ(k) = b 1 2iπ

Z

2π

ϕ(t)e

^−ikt

dt

(26)

L'opérateur de Toeplitz tronqué de symbole ϕ ∈ L

²

sur K

_u²

est déni par : A

^u_ϕ

: K

_u²

−→ K

_u²

f −→ A

^u_ϕ

(f ) = P

_u

(ϕf ), où P

_u

est la projection orthogonale de L

²

( T ) sur K

_u²

.

L'ensemble des opérateurs de Toeplitz tronqués sur K

_u²

est noté par T

_u

. L'adjoint (A

^u_ϕ

)

^∗

de A

^u_ϕ

∈ T

_u

est l'opérateur de Toeplitz tronqué de symbole ϕ . On note par K

_u^∞

= K

_u²

∩ H

^∞

.

Il est à remarquer que K

_u^∞

est dense dans K

_u²

( [24, 33]).

Lemme 1.3.1. ([23]) Les opérateurs de Toeplitz tronqués sur K

_u²

sont C-symétriques par l'opérateur de conjugaison C déni dans la relation (1.2.2).

Démonstration.

Soit ϕ ∈ L

²

telle que A

^u_ϕ

∈ T

_u

, pour tout f ∈ K

_u^∞

et g ∈ K

_u²

, on a : hCA

^u_ϕ

Cf, gi = hCg, A

^u_ϕ

Cfi

= Z

T

u(ζ)ζg(ζ)ϕ(ζ)u(ζ)ζf(ζ)dm(ζ)

= Z

T

ϕ(ζ)f(ζ)g(ζ)dm(ζ)

= hA

^u_ϕ

f, gi = h(A

^u_ϕ

)

^∗

f, gi.

Pour ϕ ∈ K

_u²

l'opérateur de Toeplitz tronqué A

^u_ϕ

commute avec S

_u

, et son adjoint (A

^u_ϕ

)

^∗

commute avec S

_u^∗

.

L'opérateur de Toeplitz tronqué A

^u_ϕ

est la compression sur K

_u²

de l'opérateur de

Toeplitz T

_ϕ

déni sur H

²

, et S

_u

est la compression de S sur K

_u²

donc, puisque

ϕ ∈ K

_u²

⊂ H

²

, T

_ϕ

commute avec S alors A

^u_ϕ

commute avec S

_u

et son adjoint (A

^u_ϕ

)

^∗

commute avec S

_u^∗

.

(27)

Lemme 1.3.2. Soit u une fonction intérieure. Soit k

^u_λ

le noyau reproduisant de K

_u²

. (i) Pour λ ∈ D on a :

S

_u^∗

k

_λ^u

= λk

^u_λ

− u(λ) k e

₀^u

, (1.3.2)

S

_u

k e

_λ^u

= λ k e

^u_λ

− u(λ)k

₀^u

. (1.3.3) (ii) Pour λ ∈ D \ {0} , on a :

S

_u

k

_λ^u

= 1

λ (k

_λ^u

− k

₀^u

), (1.3.4)

S

_u^∗

k e

_λ^u

= 1

λ ( k e

_λ^u

− k f

₀^u

). (1.3.5)

Ces égalités sont aussi vraies pour λ ∈ T et si u admet une dérivée angulaire au sens de Carathéodory au point λ .

Démonstration.

Soit u ∈ H

²

une fonction intérieure.

(i) Par dénition de S

^∗

, pour f et g deux fonctions on a : S

^∗

(f g) = f g − f (0)g(0)

z

= f g − f g(0) + f g(0) − f(0)g(0) z

= f g − g(0)

z + f − f (0) z g(0)

= f S

^∗

(g) + S

^∗

(f )g(0).

Pour λ ∈ D on a :

S

_u^∗

k

^u_λ

= S

^∗

(1 − u(λ)u)k

λ

(28)

Posons f = (1 − u(λ)u) et g = k

_λ

, l'équation précédente devient : S

_u^∗

k

_λ^u

= (1 − u(λ)u)S

^∗

k

_λ

+ k

_λ

(0)S

^∗

(1 − u(λ)u)

= (1 − u(λ)u) k

_λ

− k

_λ

(0)

z − u(λ)S

^∗

u (k

_λ

(0)S

^∗

(1) = 0)

= (1 − u(λ)u)

1 1−λz

− 1

z − u(λ) u − u(0) z

= (1 − u(λ)u)λk

_λ

− u(λ) k e

₀^u

= λk

_λ^u

− u(λ) k e

^u₀

,

Pour la deuxième égalité en appliquant l'opérateur de conjugaison C à la première égalité, on obtient :

S

_u

k e

_λ^u

= CS

_u^∗

CCk

_λ^u

= CS

_u^∗

k

_λ^u

= C λk

_λ^u

− u(λ) k e

^u₀

= λ k e

_λ^u

− u(λ)k

^u₀

. (ii) Pour λ ∈ D \ {0} , on a :

S

_u

k

_λ^u

= P

_u

Sk

_λ^u

= P

_u

S (1 − u(λ)u)k

_λ

= P

_u

Sk

_λ

( car P

_u

Su(λ)uk

_λ

= 0).

Comme

Sk

_λ

(z) = zk

_λ

(z)

= z

1 − λz

= 1 λ

1 − 1 + zλ 1 − λz

= 1 λ

1 1 − λz − 1

= 1

λ (k

_λ

(z) − 1),

(29)

donc

S

_u

k

^u_λ

= 1

λ P

_u

(k

_λ

(z) − 1)

= 1

λ (k

^u_λ

− k

₀^u

),

la deuxième égalité découle de la première égalité, si en appliquant l'opérateur de conjugaison C , on a :

S

_u^∗

k e

^u_λ

= CS

_u

CCk

_λ^u

= CS

_u

k

^u_λ

= C 1

λ (k

^u_λ

− k

₀^u

)

= 1

λ ( k e

^u_λ

− k f

₀^u

).

Dénition 1.3.3. Soient H un espace de Hilbert sur C et x, y ∈ H . Le produit tensoriel de x et y est l'opérateur sur H déni par :

x ⊗ y : z ∈ H −→ hz, yi.x ∈ H Ce produit tensoriel est de rang 1.

Dans le lemme suivant on présente quelques propriétés du produit tensoriel.

Lemme 1.3.4. Soit H un espace de Hilbert sur C et soient x, y, z, t ∈ H. Soit A un opérateur continu sur H , alors

1) A(x ⊗ y) = A(x) ⊗ y et (x ⊗ y)A = x ⊗ A

^∗

(y) , 2) (x ⊗ y)(z ⊗ t) = hz, yix ⊗ t ,

3) (x ⊗ y) + (z ⊗ y) = (x + z) ⊗ y ,

4) x ⊗ y = z ⊗ t ⇔ ∃ α ∈ C \ {0} : x = αz et y = αt .

(30)

Lemme 1.3.5. [33] Soit u ∈ H

²

une fonction intérieure. Alors a) I − S

u

S

_u^∗

= k

₀^u

⊗ k

^u₀

,

b) I − S

_u^∗

S

_u

= k e

₀^u

⊗ k e

^u₀

.

Le symbole de l'opérateur de Toeplitz T

_ϕ

déni sur l'espace de Hardy est unique car T

_ϕ

= 0 si et seulement si ϕ = 0 .

Par contre dans l'espace modèle ce n'est pas le cas, le symbole d'un opérateur de Toeplitz tronqué n'est pas unique, on peut voir par exemple que l'opérateur de symbole ϕ sur K

_u²

est souvent nul même si ϕ 6= 0 . On a le théorème de Sarason [33]

Théorème 1.3.6. Soit ϕ ∈ L

²

. Alors

A

^u_ϕ

= 0 si et seulement si ϕ ∈ uH

²

+ uH

²

. Démonstration.

Soit ϕ ∈ L

²

.

On suppose que ϕ ∈ uH

²

+ uH

²

, alors il existe ψ, χ ∈ H

²

telles que : ϕ = uψ + uχ.

Pour tout f ∈ K

_u^∞

on a :

ϕf = uψf + uχf

qui est orthogonale à K

_u²

car uK

_u^∞

⊂ uH

^∞

et uK

_u^∞

⊂ uH

^∞

.

Donc A

^u_ϕ

= 0 pour tout f ∈ K

_u^∞

et ainsi A

^u_ϕ

= 0 (car K

_u^∞

est dense dans K

_u²

).

Réciproquement, on suppose que A

^u_ϕ

= 0 , et ϕ = ψ + χ avec ψ, χ ∈ H

²

. Donc A

^u_ψ

= −A

^u_χ

.

Les opérateurs A

^u_χ

et S

_u^∗

commutent, ainsi que les opérateurs A

^u_ψ

et S

_u

, alors les opérateurs A

^u_ψ

et A

^u_χ

commutent avec S

_u

et S

_u^∗

. Donc

A

^u_ψ

(I − S

_u

S

_u^∗

) = (I − S

_u

S

_u^∗

)A

^u_ψ

,

(31)

et

A

^u_ψ

(I − S

_u

S

_u^∗

)k

^u₀

= (I − S

_u

S

_u^∗

)A

^u_ψ

k

₀^u

. (1.3.6) En appliquant le lemme 1.3.5 on obtient :

A

^u_ψ

(I − S

_u

S

_u^∗

)k

^u₀

= A

^u_ψ

(k

^u₀

⊗ k

₀^u

)k

₀^u

=

(A

^u_ψ

k

₀^u

) ⊗ k

^u₀

k

^u₀

= hk

₀^u

, k

^u₀

iA

^u_ψ

k

₀^u

et aussi

(I − S

_u

S

_u^∗

)A

^u_ψ

k

^u₀

= (k

^u₀

⊗ k

^u₀

)A

^u_ψ

k

₀^u

= hA

^u_ψ

k

^u₀

, k

₀^u

ik

₀^u

. Donc l'équation 1.3.6 devient :

hk

₀^u

, k

₀^u

iA

^u_ψ

k

₀^u

= hA

^u_ψ

k

^u₀

, k

₀^u

ik

₀^u

.

D'òu A

^u_ψ

k

₀^u

est un multiple de k

^u₀

, c'est-à-dire il existe un scalaire c ∈ C tel que : A

^u_ψ

k

₀^u

= ck

₀^u

.

Par conséquent

0 = (A

^u_ψ

− cI)k

₀^u

= P

_u

h

(ψ − c)(1 − u(0)u) i

= P

_u

(ψ − c), ( car (ψ − c)(−u(0)u) ∈ uH

²

, donc

P

_u

h

(ψ − c)(−u(0)u) i

= 0.

Ce qui implique que

ψ − c ∈ uH

²

(32)

alors

A

_ψ−c

= 0, et de plus on a :

A

^u_ψ

= cI.

Comme A

^u_ψ

= −A

^u_χ

alors

A

^u_χ

= −cI.

En répétant le même raisonnement ci-dessus, on trouve que χ + c ∈ uH

²

donc χ + c ∈ uH

²

.

D'où

ϕ = ψ − c + χ + c ∈ uH

²

+ uH

²

.

Dans la proposition suivante nous donnons un exemple très simple d'un opérateur de Toeplitz tronqué qui a plus qu'un seul symbole.

Proposition 1.3.7. Soit u une fonction intérieure. Soient A

1

, A

k₀^u

et A

_k^u

0

les opé- rateurs de Toeplitz tronqués des symboles 1 , k

₀^u

et k

^u₀

respectivement. Alors

I = A

₁

= A

_k^u

0

= A

_ku 0

. Démonstration.

Soit f ∈ K

_u²

.

On a : A

₁

f = P

_u

(1 · f) = P

_u

(f) = f, alors A

₁

= I .

(33)

Et on a :

A

₁

(f ) − A

_k^u

0

(f) = A

_1−1+u(0)u

(f)

= A

_u(0)u

(f )

= P

_u

u(0)uf

= u(0)P

_u

uf

= 0 ( car uf ∈ uH

²

= (K

_u²

)

^⊥

), donc A

₁

= A

_k^u₀

, mais A

₁

est auto-adjoint, donc

A

_k^u

0

= A

^∗_ku

0

= A

_ku 0

.

Théorème 1.3.8. (Sarason [33]) Pour λ ∈ D,

1) les opérateurs k e

_λ^u

⊗ k

^u_λ

et k

^u_λ

⊗ k e

_λ^u

sont des opérateurs de Toeplitz tronqués de rang 1,

2) Si u admet une dérivée angulaire au sens de Carathéodory au point η ∈ T alors k

^u_η

⊗ k

_η^u

est un opérateur de Toeplitz tronqué de rang 1,

3) Les seuls opérateurs de Toeplitz tronqués de rang 1 sont des multiples des opérateurs dénis dans (1) et (2).

Dans [33] Sarason a montré aussi que pour λ ∈ D :

1) l'opérateur de Toeplitz tronqué k e

_λ^u

⊗ k

_λ^u

est de symbole u z − λ 2) l'opérateur de Toeplitz tronqué k

_λ^u

⊗ k e

_λ^u

est de symbole u

z − λ

3) pour η ∈ T, l'opérateur de Toeplitz tronqué k

^u_η

⊗ k

_η^u

est de symbole k

^u_η

+ k

_η^u

− 1 .

(34)

Opérateurs de Toeplitz tronqués

Dans le chapitre precédent, on a déni l'espace modèle K

_u²

correspondant à la fonction intérieure u ∈ H

²

ainsi que les opérateurs de Toeplitz tronqués sur les espaces modèles. Pour la suite de cette partie on va s'intéresser à une classe spéciale d'opérateurs de Toeplitz tronqués sur les espaces modèles introduit par Sedlock dans [37], les opérateurs de Toeplitz tronqués est de type α . On s'intérèsse particulière- ment aux matrices de ces opérateurs dans certaines bases de K

_u²

.

2.1 Produit d'opérateurs de Toeplitz

Parmi les problèmes qui nous intéressent pour les opérateurs de Toeplitz est leur produit, car l'ensemble des opérateurs de Toeplitz n'est pas stable par la multiplication et c'est rare où le produit de deux opérateurs de Toeplitz est aussi un opérateur de Toeplitz. Sur l'espace de Hardy, Brown et Halmos [8] en 1962 ont donné une condition nécéssaire et susante pour que le produit de deux opérateurs de Toeplitz sur H

²

( T ) soit un opérateur de Toeplitz.

Théorème 2.1.1. Soient ϕ et ψ deux fonctions bornées sur T. Le produit T

_ϕ

T

_ψ

(35)

est un opérateur de Toeplitz si et seulement si ψ est anti-analytique ou si ϕ est analytique. Dans les deux cas on a :

T

_ϕ

T

_ψ

= T

_ϕψ

. Démonstration.

Soient (a

_i−j

)

_i,j≥0

, (b

_i−j

)

_i,j≥0

et (c

_ij

)

_i,j≥0

les matrices de T

_ϕ

, T

_ψ

et T

_ϕ

T

_ψ

respectivement, c'est-à-dire que pour tout n ∈ Z, les (a

_n

) sont les coecients de Fourier de ϕ et les (b

_n

) sont ceux de ψ . Pour tout couple (i, j ) d'entiers positifs, on a :

c

_ij

=

∞

X

k=0

a

i−k

b

k−j

et c

_i+1,j+1

= a

_i+1

b

−j−1

+

∞

X

k=0

a

i−k

b

k−j

, c'est-à-dire

c

i+1,j+1

= c

ij

+ a

i+1

b

−j−1

. Il vient que, pour tous entiers positifs i et j ,

si c

_i+1,j+1

= c

_ij

alors a

_i+1

b

−j−1

= 0.

Si la matrice (c

_ij

)

_i,j≥0

est une matrice de Toeplitz, donc le produit T

_ϕ

T

_ψ

est un opérateur de Toeplitz, alors

(i) soit a

_i+1

= 0 pour tout entier positif i ou bien b

−j−1

= 0 pour tout entier positif j , ce qui est équivalent à dire que soit ϕ(n) = 0 b pour tout entier n ≥ 1 et donc ϕ est anti-analytique,

(ii) ou bien ψ(n) = 0 b pour tout entier n ≤ −1 , donc ψ est analytique.

Réciproquement, si ψ est analytique alors T

_ψ

est l'opérateur de multiplication par ψ et donc pour toute fonction f dans H

²

T

_ϕ

T

_ψ

f = T

_ϕ

(ψf) = P (ϕψf ) = T

_ϕψ

f.

Et si ϕ est anti-analytique alors son adjoint ϕ est analytique, alors

(T

_ϕ

T

_ψ

)

^∗

= T

_ψ

T

_ϕ

= T

_ψϕ

= (T

_ϕψ

)

^∗

.

(36)

Par un deuxième passage à l'adjoint, on obtient que T

_ϕ

T

_ψ

= T

_ϕψ

.

2.2 Opérateurs de Toeplitz tronqués de type α

En 2010, Sedlock [37] a introduit la notion d'opérateur de Toeplitz tronqué de type α .

Dénition 2.2.1. Soit α ∈ D. Un opérateur de Toeplitz tronqué A est dit de type α si et seulement s'il existe ϕ ∈ K

_u²

telle que

A = A

_ϕ+αS

uϕ+ce

, c ∈ C .

On note par B

_u^α

l'ensemble des opérateurs de Toeplitz tronqués de type α . Proposition 2.2.2. Si A

_φ

est de type α , alors il existe ϕ

₀

∈ K

_u²

et c ∈ C telle que ϕ

0

(0) = 0 et A

φ

= A

_ϕ

0+αSuϕf0+c

.

Comme exemple d'opérateurs de Toeplitz tronqués de type α , on a les opérateurs de Toeplitz tronqués de rang 1 donnés par Sedlock dans [37].

Lemme 2.2.3. (Sedlock [37]) Soit λ ∈ D alors,

(i) Si λ ∈ D, l'opérateur k e

^u_λ

⊗ k

^u_λ

est un opérateur de Toeplitz tronqué de type α, où α = u(λ) , son symbole est la fonction φ = k e

^u_λ

+ u(λ)S

_u

k

^u_λ

(ii) Si λ ∈ T et u admet une dérivée angulaire au sens de Carathéodory en λ ,