C ∗ algèbre engendrée par S u

Dans cette partie, nous allons montrer que, siu(z) =zⁿ ouu(z) =bⁿ_λ(z), λ∈D alors laC^∗ algèbre engendrée parS_u n'est autre queMn(C), l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dansC.

Théorème 2.3.2. Soit u la fonction intérieure u(z) = zⁿ. On désigne par A la matrice de S_u par rapport à la base orthogonale S ={1, z, z², ..., zⁿ⁻¹} de K_u² alors

E_ij =A^{∗(n−1−i)}Aⁿ⁻¹A^∗j pour 0≤i, j ≤n−1 où (E_ij) désigne la base canonique de M_n(C) et A^∗ =A^t l'adjoint deA. Donc

C^∗(S_u) =M_n(C).

Démonstration.

Soit (f_k)_k la base canonique de Rⁿ. Il sut de remarquer que :

E_ij(f_k) =







−

→0 si k 6=j f_i si k =j et d'après la formule2.3.2, on a :

A^∗l(f_k) =







−

→0 si k < l fk−l si k >l et

A^m(fk) =







−

→0 si k 6= 0 f_m si k = 0 Alors

A^∗j(f_k) =







−

→0 si k < j fk−j si k >j Donc

1) si k < j on a :

A^{∗(n−1−i)}Aⁿ⁻¹A^∗j(f_k) = 0 2) si k >j on a :

Aⁿ⁻¹A^∗j(fk) =Aⁿ⁻¹(fk−j) =







−

→0 si k−j 6= 0 fn−1 si k−j = 0 D'où

A^{∗(n−1−i)}Aⁿ⁻¹A^∗j(f_k) =







−

→0 si k 6=j A^{∗(n−1−i)}(fn−1) si k =j

=







−

→0 si k 6=j f(n−1)−(n−1−i) si k =j

=







−

→0 si k 6=j f_i si k =j

= E_ij(f_k).

DoncE_ij est un produit des puissances deAetA^∗, alors{E_ij}0≤i,j≤n−1 ⊆C^∗(S_u), ce qui implique queC^∗(S_u) =M_n(C).

Le corollaire suivant est un résultat du Théorème 2.3.2, qui montre qu'on peut avoir le même résultat si la fonction intérieureu est un produit de Blaschke d'ordre n avec un seul zéro répété n-fois.

Corollaire 2.3.3. Avec les mêmes notations que le théorème précédent.

Si

u(z) =

z−λ 1−λz

n

alors

C^∗(S_u) =M_n(C).

Démonstration.

Rappellons que la transformation de Möbius dénie par b_λ :z 7→b_λ(z) = z−λ

1−λz

est une transformation conforme qui envoie0 àz et vice versa.

Cima, Garcia, Ross et Wogen dans leurs papier [11] ont montré que Tzⁿ ∼=T_(bλ)ⁿ. SiA est la matrice deS_zⁿ par rapport à la base orthogonale S ={1, z, z², ..., zⁿ⁻¹} de K_z²n et si B est la matrice de S_(bλ)ⁿ par rapport à la base orthogonale S = 1, k_λ, k_λ², ..., kⁿ⁻¹_λ deK_(b²

λ)ⁿ alorsAest unitairement équivalente àB, donc il existe une matrice unitaireU telle que

B =U^∗AU.

D'où

B^{∗(n−1−i)}Bⁿ⁻¹B^∗j = (U^∗AU)^{∗(n−1−i)}(U^∗AU)ⁿ⁻¹(U^∗AU)^∗j

= U^∗A^{∗(n−1−i)}U U^∗Aⁿ⁻¹U U^∗A^∗jU

= U^∗A^{∗(n−1−i)}Aⁿ⁻¹A^∗jU

= U^∗EijU =Eij. DoncC^∗(S_(bλ)ⁿ) =M_n(C).

2.4 Représentation matricielle d'un opérateur de Toe-plitz tronqué de type α

Dans cette section, nous donnons la représentation matricielle d'un opérateur de Toeplitz tronqué de typeα dans le cas où la fonction intérieureu est un produit de Blaschke d'ordre n, avec des zéros simples deux à deux distincts. La première ca-ractérisation matricielle des opérateurs de Toeplitz tronqués, dans le cas où l'espace

modèle est de dimension nie, a été obtenue par Cima, Ross et Wogen dans [12].

En utilisant leurs méthode pour déterminer les coecients de la matrice d'un opé-rateur de Toeplitz tronqué de type α.

En 2008, Cima, Ross et Wogen ont donnés dans [12] une caractérisation matri-cielle des opérateurs de Toeplitz tronqués dans le cas où la dimension est nie. Nous rappelons ici leurs résultats.

Théorème 2.4.1. Soit u un produit de Blaschke de degré n, avec des zéros deux à deux distincts et A une application linéaire sur K_u². Si M = (r_ij)_16i,j6n désigne la matrice de A relativement à la base {k_λ1, k_λ2, ..., k_λn} de K_u² alors A ∈ T_u si et seulement si :

rij = u⁰(λ_i) u⁰(λj)

λ₁−λ_i λj −λi

r1i−λ_j−λ₁ λj−λi

r1j

, pour 16i, j 6n et i6=j (2.4.1) Cette relation nous dit que la matrice d'un opérateur de Toeplitz tronqué est entièrement déterminée par la donnée des coecients de la première ligne et la diagonale. La relation2.4.1 qui s'écrit aussi

r_1i = u⁰(λ₁)

u⁰(λ_i) et r_ij = u⁰(λ_i) u⁰(λ_j). Par exemple sin = 2 la matrice





r11 r12

r₂₁ r₂₂





est une matrice d'un opérateur de Toeplitz tronqué dans la base{k_λ1, k_λ2} deK_u² si et seulement si

u⁰(λ₁)r₁₂ =u⁰(λ₂)r₂₁

Soit α∈D et soit A∈ B^α_u, il existe ϕ∈K_u² telle que A=A_ϕ+αS

uϕe.

Si u est un produit de Blaschke de degré n avec des zéros deux à deux dis-tincts, c'est-à-dire u(z) = Qn

k=1b_λk(z). D'après la relation 1.2.1, l'ensemble A =

{k_λ1, k_λ2, ..., k_λn}est une base non orthonormale deK_u², alors il existea₁, a₂, ..., a_n∈ Ctels que :

ϕ=a₁k_λ1 +a₂k_λ2 +...+a_nk_λn et

ϕe=a1kfλ1+a2kfλ2 +...+ankfλn.

Pour les calculs des coecients de la matrice d'un opérateur de Toeplitz tronqué, on aura besoin du lemmes suivants :

Lemme 2.4.2. Pour chaque i, j ∈ {1,2, ..., n}, on a : (i) hkf_λi,kf_λji= 1

1−λjλi

(ii) hkf_λi, k_λji=







0 si i6=j u⁰(λ_j) si i=j Démonstration.

Soit i, j ∈ {1,2, ..., n}, on a :

(i) hek_λi,ek_λji=hC[k_λi], C[k_λj]i=hk_λj, k_λii=k_λj(λ_i) = _1−λ¹

jλi

(ii) On a : hek_λi, k_λji=ek_λi(λ_j) car k_λj est un noyau reproduisant et ek_λi ∈K_u². Mais ek_λi(z) = u(z)

z−λ_i = 1 1−λiz

n

Y

p=1_p6=i

b_λp(z), pour z ∈T. On a deux cas :

1) si i6=j alors ek_λi(λ_j) = u(λ_j) λ_j −λ_i = 0

2) pour i=j, remarquons queu⁰(λ_s) = 1 1− |λ_s|²

Qn

p=1_p6=sb_λp(λ_s) et

ekλi(λi) = 1 1−λ_iλ_i

n

Y

p=1_p6=i

bλp(λi) =u⁰(λi) .

Lemme 2.4.3. Pour chaquei, j ∈ {1,2, ..., n}, les coecients de la matrice deA typeu(λ) et son symbole est la fonction

Φ =ek

Dans ce cas la matrice de A

ek_λj est A

ek_λj =diag 0,· · · ,0, u⁰(λ_j),0,· · · ,0

Lemme 2.4.4. Pour chaque s ∈ {1,2, ..., n}, notons (b_ij(s))1≤s,p≤n la matrice de

D

La fonction f est une fonction holomorphe sur chaque voisinage V du disque unité fermé D qui ne contient pas les points λ_i, λ_s, donc f admet un prolon-gement analytique qu'on va noté f^s avec

f^s(z) = zu(z)

2) Pour i=s, on a :

On considère la fonction g dénie par g(z) =zu(z).

Puisque la fonction g est holomorphe dans un voisinage de D, alors d'après la formule de Cauchy on a :

I_ss = 1

De l'équation 2.4.2 on obtient :

c_is= I_is

Nous allons maintenant déterminer la matrice de A_ϕ pourϕ∈K_u².

Lemme 2.4.5. Soitϕ∈K_u², notons par(r_ij)_1≤i,j≤nsa matrice dans la base{k_λ1, k_λ2, ..., k_λn}

Démonstration.

Démonstration.

Soit ϕ=a₁k_λ1 +a₂k_λ2 +...+a_nk_λn avec a₁, a₂, ..., a_n∈C, alors

ϕe=a₁kf_λ1+a₂kf_λ2 +...+a_nkf_λn. D'après la relation 1.3.3 on a :

Suϕe = a1Sukfλ1 +a2Sukfλ2+...+anSukfλn

Nous pouvons maintenant décrire la matrice d'un opérateur de Toeplitz tronqué de typeα.

où les a_i sont les coordonnées de la fonction ϕ relativement à la base A={k_λ1, k_λ2, ..., k_λn} de K_u².

Démonstration.

Soit ϕ∈K_u², ils existent a₁, a₂, ..., a_n ∈Ctels que : ϕ=a₁k_λ1 +a₂k_λ2 +...+a_nk_λn et

ϕe=a₁kf_λ1+a₂kf_λ2 +...+a_nkf_λn. Donc

A_ϕ+αS

uϕe = A_ϕ+A_αS

uϕe

= A_ϕ+αA_S

uϕe

Les coecients de la matrice A_ϕ+αS

uϕe sont la somme des coecients de la matrice A_ϕ décrites dans le Lemme 2.4.5 et les coecients de la matrice A_αS

uϕe donnés par le Lemme 2.4.6.

En eet, puisque la matrice de A_S

uϕe est diagonale alors (i) Si i=j

A_ϕ+αS

uϕe=A_ϕ+αA_S

uϕe

donc si on note par (t_ij)1≤i,j≤n les coecients de la matrice A dans la base {k_λ1, k_λ2, ..., k_λn}de K_u². Alors les t_ij sont donnés par :

tij =ai

1 + u⁰⁰(λ_i) u⁰(λ_i)

+λi

n

X

p=1_p6=i

a_p

λ_i−λ_p +αaiλiu⁰(λi) (ii) Si i6=j

A_ϕ+αS

uϕ =A_ϕ

et les coecients t_ij de la matrice de A dans la base {k_λ1, k_λ2, ..., k_λn} de K_u² sont donnés par :

tij =ai

λ_i λi−λj

+aj

λ_j λj−λi

u⁰(λ_j) u⁰(λi)

Opérateurs de composition sur l'espace de Hardy

Dans ce chapitre, nous allons nous intéréssés à l'étude de quelques propriétés des opérateurs de composition sur l'espace de Hardy H²(D). particulièrement il est consacré à l'étude de leur compacité.

Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe, l'opérateur de composition sur H²(D) de symbole ϕest déni par :

C_ϕ :H²(D) −→ H²(D)

f −→ C_ϕ(f) = f◦ϕ.

3.1 Opérateurs de composition

Sur l'espace de Hardy H²(D), l'opérateur de composition C_ϕ est toujours borné, cela d'après le principe de subordination de Littlewood (1925) [38], donné dans le théorème suivant :

Théorème 3.1.1. Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe et ϕ(0) = 0, pour tout

f ∈H²(D), alors C_ϕ est un opérateur borné sur H²(D) et kC_ϕfk₂ ≤ kfk₂.

Démonstration.

Soit S^∗ l'opérateur de décalage à gauche dénit sur H²(D), pour tout f ∈ H²(D), f(z) =

∞

X

n=0

fb(n)zⁿ alors

S^∗f(z) =

+∞

X

n=0

fb(n+ 1)zⁿ.

On remarque que pour toute fonction holomorphe f ∈ H²(D)on a :

f(z) = f(0) +zSf(z) (z ∈D), (3.1.1)

Sⁿf(0) = f(n)b (n= 0,1,2, ...),

on suppose quef est un polynôme. Il est clair, dans ce cas, quef est bornée sur D, alors f◦ϕest aussi borné. On déduit que f◦ϕ∈H²(D). On a :

kSfk₂ ≤ kfk₂ pour toutf ∈ H²(D).

En remplaçantz par ϕ(z)dans l'équation (3.1.1), on obtient : f(ϕ(z)) =f(0) +ϕ(z)(S^∗f)(ϕ(z)) (z ∈D).

On note par Mφ l'opérateur de multiplication par φ et on réecrit l'équation précé-dente, on aura :

C_ϕf =f(0) +M_ϕC_ϕS^∗f.

Puisque ϕ(0) = 0, le coecient constant de M_ϕC_ϕS^∗f est nul, donc M_ϕC_ϕS^∗f est orthogonale à la fonction constante f(0) dans H²(D). Ainsi,

kC_ϕfk²₂ = |f(0)|²+kM_ϕC_ϕS^∗fk²₂ ≤ |f(0)|²+kC_ϕS^∗fk²₂, (3.1.2) la dernière inégalité résulte de la propriété de contraction des opérateurs de multi-plication puisque kϕk∞ ≤1.

Remplaçons maintenantf, successivement, par S^∗f, S^∗2f,· · ·, S^∗nf dans (3.1.2) on obtient :

kC_ϕS^∗fk²₂ ≤ |S^∗f(0)|²+kC_ϕS^∗2fk²₂ kC_ϕS^∗2fk²₂ ≤ |S^∗2f(0)|²+kC_ϕS^∗3fk²₂

. . .

kC_ϕS^∗nfk²₂ ≤ |S^∗nf(0)|²+kC_ϕS^∗n+1fk²₂, on déduit que, pour tout entier n positif, on a :

kC_ϕfk²₂ ≤

n

X

k=0

|(S^∗kf)(0)|²+kC_ϕS^∗n+1fk²₂. (3.1.3) Rappelons que f est un polynôme, si n est son degré, alors Sⁿ⁺¹f = 0, donc l'inégalité 3.1.3devient :

kC_ϕfk²₂ ≤

n

X

k=0

|(S^∗kf)(0)|²

=

n

X

k=0

|fb(k)|²

= kfk²₂,

ceci nous montre queC_ϕ est une contraction de norme dans H²(D).

Soit

f_n(z) =

n

X

k=0

f(k)zb ^k,

on note parf_n la somme partielle de la série de Taylor d'ordren associé à f. On afn−→f en norme dansH²(D), alorsfn−→f uniformément sur tout compact deD.

Dans ce casfn◦ϕconverge uniformément vers f ◦ϕsur tout compact de D.

Ainsi pour chaquer, 0< r <1 xé, on a : 1

2π

2π

Z

0

|f_n(ϕ(re^iθ))|²dθ = lim

n−→∞

1 2π

2π

Z

0

|f_n(ϕ(re^iθ))|²dθ

≤ lim sup

n−→∞

kfn◦ϕk²₂

≤ lim sup

n−→∞

kf_nk²₂

≤ kfk²₂.

Pour chaque point a∈D, on dénit l'automorphisme spécial de D par : φ_a(z) = a−z

1−az, z ∈D,

c'est une transformation de Möbius. Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe.

On posea =ϕ(0), soit la fonction holomorphe ψ =φ_a◦ϕ. Siϕ=φ_a◦ψ, alors C_ϕ =C_ψC_φa.

Il est clair queC_ψ est borné, et le produit des opérateurs bornés est toujours borné.

On a le lemme suivant :

Lemme 3.1.2. [40] Pour tout a∈D, soit φa(z) = a−z

1−az

la transformation de Möbius de D.

Supposons d'abord que f est une fonction holomorphe dans (RD), avec RD={|z|< R}, pour certainR >1. On a :

Le théorème de Littlewood [38] nous donne l'estimation de la norme de l'opéra-teur de compositionC_ϕ,

Théorème 3.1.3. Soit ϕ une fonction holomorphe dans D.

AlorsC_ϕ est un opérateur borné dans H²(D), et

kC_ϕk ≤ s

1 +|ϕ(0) 1− |ϕ(0)|.

Démonstration.

Comme il est indiqué précédemment, on a :

C_ϕ =C_ψC_φa, où a=ϕ(0).

D'aprés les deux lemmes précédents, les opérateursC_ψ etC_φa sont bornés dansH², par concéquantCϕ est aussi borné. De plus

kC_ϕk ≤ kC_ψkkC_φak ≤ s

1 +|ϕ(0) 1− |ϕ(0)|.

3.2 Compacité des opérateurs de composition

Dans cette section nous allons étudier la compacité des opérateurs de composi-tion. Nous avons d'abord le résultat suivant sur les symboles de normes petites.

Théorème 3.2.1. Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe. Si kϕk∞ <1 alors C_ϕ est un opérateur compact sur H²(D).

Démonstration.

Pour chaque entier positif n on déni l'opérateur

T_nf =

n

X

k=0

f(k)ϕb ^k, f ∈H²(D).

T_n est donc borné. En eet, kϕk₂ ≤ kϕk∞<1, kT_nfk₂ ≤

n

X

k=0

|fb(k)|kϕ^kk₂

≤

^∞ X

k=0

|fb(k)|²

1/2 ^∞ X

k=0

kϕk^k₂ 1/2

≤ kfk₂

1 1− kϕk₂

1/2

.

Montrons quekC_ϕ−T_nk −→0. On a : k(C_ϕ−T_n)fk₂ = k

∞

X

k=n+1

f(k)ϕb ^kk₂

≤

∞

X

k=n+1

|f(k)|kϕb ^kk₂

≤

^∞ X

k=n+1

|fb(k)|²

1/2 ^∞ X

k=n+1

kϕk^k₂ 1/2

≤ kϕkⁿ⁺¹₂

p1− kϕk²₂kfk2

≤ kϕkⁿ⁺¹_∞

p1− kϕk²_∞kfk₂. Donc

kC_ϕ−T_nk ≤ kϕkⁿ⁺¹_∞

p1− kϕk²_∞ −→0, n−→ ∞,

puisqueT_nest de rang ni surH²(D), alorsC_ϕ est un opérateur compact surH²(D).

Remarque 3.2.1.

1) Soit ϕ(z) = 1 +z

2 , kϕk∞ = 1 alors l'opérateur de composition C_ϕ n'est pas compact surH²(D).

En eet, si α <1/2, soit f_α(z) = (1−z)^−α ∈H²(D), on a kf_αk −→ ∞ quand α−→1/2.

Soit g_α =f_α/kf_αk, alorsg_α converge uniformément vers zéro sur un sous-ensemble compact de D, quand α −→ 1/2. Puisque C_ϕf_α = 2^αf_α, chaque f_α est un vecteur propre de C_ϕ, de même pour tout g_α, mais

kC_ϕg_αk= 2^α −→√ 26= 0 donc C_ϕ n'est pas compact.

2) Pour 0 < λ < 1. Soit ϕ(z) = λz + (1−λ), alors l'opérateur de composition C_ϕ n'est pas compact sur H²(D).

Pour une fonction holomorpheϕ:D→D, on dénit l'ensemble de contact de ϕ par :

E(ϕ) = {θ∈[−π, π] :|ϕ(e^iθ)|= 1}.

La proposition suivante montre que l'ensemble de contact du symbole d'un opérateur de composition est de mesure nulle.

Soit E ⊂T,on désigne par |E| la mesure de Lebesgue de l'ensemble E.

Proposition 3.2.2. Soit ϕ : D → D une fonction holomorphe, et soit E(ϕ) l'en-semble de contact de ϕ.

Si Cϕ est compact sur H²(D), alors |E(ϕ)|= 0.

Démonstration.

Soit E =E(ϕ). On a :

kCϕ(zⁿ)k² = 1 2π

Z π

−π

|ϕ(e^iθ)|²ⁿdθ

≥ 1 2π

Z

E

|ϕ(e^iθ)|²ⁿdθ

≥ 1

2π|E|>0 Ainsi la suite C_ϕ(zⁿ) ne tend pas vers zéro en norme.

Puisque zⁿ(n ≥ 0) appartient a la boule unité de H²(D), zⁿ tend vers zéro unifor-mément sur un sous-ensemble compact de D, d'oùC_ϕ n'est pas compact.

Maintenant, nous allons dénir la fonction de comptage de Nevanlinna qui joue un rôle essentielle dans l'étude des opérateurs de composition.

Dénition 3.2.3. Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe. On dénit la fonction de comptage de Nevanlinna de ϕ pour tout z ∈D\ {ϕ(0)} par :

N_ϕ(z) =















X

w∈ϕ⁻¹({z})

1

log|w| z 6= 0

0 z = 0

où ϕ⁻¹({z}) désigne l'ensemble des antécédents de z par ϕ, chacun étant compté avec sa multiplicité (en tant que zéro de la fonction (ϕ−z)).

Le lemme suivant montre l'invariance de la fonction de comptage de Nevanlinna par la transformation de Möbius ([38]).

Lemme 3.2.4. Soit φ_a(z) = a−z

1−az la transformation de Möbius de D, pour tout a∈D, on a :

N_ϕ,1(φ_a(w)) =N_φa◦ϕ,1(w), w∈D.

Soit dA(z) = dxdy/π, ( avec z = x+iy), la mesure de Lebesgue planaire normalisée sur D.

Dans le théorème suivant, nous avons l'identité de Littlewood-Paley qui nous donne une autre expression de la norme de H²(D).

donckfk²₂ =|f(0)|²+ 2R

D|f⁰(w)|²log_|w|¹ dA(w).

Nous avons besoin aussi du théorème de changement de variable suivant : Théorème 3.2.6. Soit ϕ : D → D une fonction holomorphe et soit f ∈ H²(D), alors :

kC_ϕfk²₂ =|f(ϕ(0))|²+ 2 Z

D

|f⁰(w)|²N_ϕ(w)dA(w) Démonstration.

Appliquant l'identité de Littlewood-Paley a la fonctionf ◦ϕ, kf◦ϕk²₂− |f(ϕ(0))|² = 2

Z

D

|(f ◦ϕ)⁰(z)|²log 1

|z|dA(z)

= 2 Z

D

|(f⁰(ϕ(z))|²|ϕ⁰(z)|²log 1

|z|dA(z).

La fonction ϕest localement univalente surD, sauf sur un nombre dénombrable de points où la dérivée de ϕs'annule.

Donc l'ensemble Z = {z ∈ D : ϕ⁰(z) = 0} est dénombrable et D\Z peut s'écrire comme une union des rectangles disjoints R_j où sur chaque rectangle ϕest biholo-morphe. On note parψ_j l'inverse de la restriction de ϕ surR_j.

Par la formule de changement de variable usuel, siw=ϕ(z), alors dA(w) =|ϕ⁰(z)|²dA(z),

pour toutj on a : Z

Rj

|(f⁰(ϕ(z))|²|ϕ⁰(z)|²log 1

|z|dA(z) = Z

ϕ(Rj)

|f⁰(w)|²log 1

|ψ_j(w)|dA(w).

Par sommation sur j, où χ_j est la fonction caractéristique de l'ensemble ϕ(R_j),

on obtient : voir corollaire (3.2.8), ceci résulte de l'inégalité de Littlewood suivante :

Théorème 3.2.7. Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe.

Pour tout w∈D\ {ϕ(0)},

D'où

N_ψ(0) =X log 1

|z_j| ≤log 1

|ψ(0)|. (3.2.3)

Maintenant on considère la fonction

ψ(z) = w−ϕ(z)

Corollaire 3.2.8. Pour toute fonction ϕ:D→D holomorphe, on a : N_ϕ(w)≤ 1 +|ϕ(0)|

D'où

N_ϕ(w) log 1

|w|

≤ 1 +|ϕ(0)|

1− |ϕ(0)|.

La fonction de comptage de Nevanlinna vérie l'inégalité de la moyenne dans le théorème (3.2.10). Pour le montrer nous avons besoin du lemme suivant :

Lemme 3.2.9. Soit ψ :D→D une fonction holomorphe avec ψ(0) 6= 0, si0< R <|ψ(0)| alors

N_ψ(0) ≤ 1 R²

Z

RD

N_ψ(z)dA(z).

Démonstration.

Supposonsf une fonction holomorphe dans D avec f(0) 6= 0. Soit (a_n) la suite des zéros def, la formule de Jensen est :

n(r)

X

n=1

log r

|an| = 1 2

Z π

−π

log|f(re^iθ)|dθ−log|f(0)|, 0≤r <1.

Les termes de la somme du premier membre de l'équation sont tous positifs, alors log|f(0)| ≤

Z π

−π

log|f(re^iθ)|dθ.

Siw∈D, alors pour f(z) =z−w l'inégalité précédente devient :

log|w| ≤ 1 2π

Z π

−π

log|re^iθ−w|dθ, pour tout0≤r <1.

Par intégration sur l'intervalle [0, R] par rapport à la mesure2R⁻²rdr,on obtient : log|z| ≤ 1

R² Z

RD

log|z−w|dA(w). (3.2.4)

Soit

Intégrons les deux membres de cette identité par rapport à la mesure de probabilité R⁻²dA(w) on obtient : ce qui termine la preuve.

Théorème 3.2.10. Soit ϕ:D−→D une fonction holomorphe avec ϕ(0) = 0, alors :

avec

φ_z(ϕ(0)) = z−ϕ(0) 1−zϕ(0) =z et0< R <|φ_z(ϕ(0))|=|z|<1.

On pose :

ζ =φ_z(w), alors

w=φ_z(ζ), et

dA(w) = |φ⁰_z(ζ)|²dA(ζ)

=

"

1− |z|²

|1−zζ|²

#2

dA(ζ).

Notons aussi que siw∈D(0, R) alors ζ ∈φ_z D(0, R)

⊂D(z, R).

Donc

N_ϕ(z)≤ 1 R²

Z

D(z,r)

N_ϕ(ζ)

"

1− |z|²2

|1−zζ|⁴

# dA(ζ) Si|z|>1/2> R, d'après le lemme 4.3.3 de [42] on a :

N_ϕ(z)≤ 2 R²

Z

D(z,R)

N_ϕ(ζ)dA(ζ).

J.Shapiro dans [38,39] a caractérisé la compacité des opérateurs de composition sur l'espace de HardyH²(D) en utilisant la fonction de comptage Nevanlinna.

Théorème 3.2.11. Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe, alors C_ϕ est compact sur H²(D) si et seulement si

lim

|w|→1⁻

N_ϕ(w) log 1

|w|

= 0.

Démonstration.

Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe.

1)Supposons que

Soit(f_n)une suite de fonctions deH²(D)qui converge uniformément vers0sur tout compact deD.

D'apré le théorème de la convergence faible, il sut de montrer que : kC_ϕf_nk →0.

Soit ε >0 donné, de l'hypothèse de N_ϕ on choisit0< r <1tel que : Nϕ(w)< εlog 1

|w|.

Comme f_n → 0 uniformément sur tout compact de D, on peut choisir n_ε tel que

|fn|<√

2)On suppose queC_ϕ est compact sur H²(D)et on montre que : N_ϕ(w) = o(log 1

|w|) quand |w| →1⁻ qui est équivalent à :

lim

|w|→1⁻

N_ϕ(w) 1− |w| = 0.

Pour a∈D, le noyau reproduisant normalisé est : f_a(z) =

Appliquant la formule de changement de variable (le théorème (3.2.6)) et l'in-égalité de la moyenne (le théorème (3.2.10)), on obtient :

kC_ϕf_ak² ≥ 2

En appliquant l'inégalité de la moyenne a l'intégrale précédent, avec ψ =φ_a◦ϕ,

on obtient :

kC_ϕf_ak² ≥ 4 2|a|²

1− |a|²N_φa◦ϕ(0)

= 8|a|² 1 +|a|

N_ϕ(a) 1− |a|.

On notera que dans la première ligne de l'équation précédente, l'application de l'inégalité de la moyenne sur le disque 1

2Dnécessite que

|φa(ϕ(0))|> 1 2.

Mais|φa(ϕ(0))| →1 quand |a| →1⁻, alors cela reste vrai pour tout a . Par conséquent, pour toutes ces a,

kCϕfak² ≥cN_ϕ(a)

1− |a|, où c constant.

Comme la compacité de C_ϕ implique que kC_ϕf_ak → 0 quand |p| → 1⁻, alors la dernière inégalité donne l'estimation souhaitée de la fonctionN_ϕ.

Estimations de la fonction de

comptage généralisée de Nevanlinna

Dans ce chapitre, nous allons étudier les opérateurs de composition sur l'espace de Dirichlet. Nous allons nous intéressés plus particulièrement à la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée aux symboles.

4.1 Espace de Dirichlet et fonction de comptage gé-néralisée de Nevanlinna

Dans cette section nous allons dénir les espaces de Dirichlet et la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée aux espaces de Dirichlet.

4.1.1 Espace de Dirichlet

On pose :

dA_α(z) = (1 +α)(1− |z|)^αdA(z), z∈D,

oùdA(z) =dxdy/π, z =x+iy.

Les espaces de Dirichlet sont dénis par : D_α =

f ∈Hol(D) :kfk²_α =|f(0)|²+ Z

D

|f⁰(z)|²dA_α(z)<∞

. Notons que si :

f(z) =

∞

X

n=0

anzⁿ alors

kfk²_α

∞

X

n=0

(1 +n)^1−α|a_n|². (Voir proposition 4.1.1)

Notons que si α= 1, D1 = H² est l'espace de Hardy et lorsque α = 0, D0 =D est l'espace de Dirichlet classique.

On désigne par A.B, s'il existe une constante absolue c, telle que :

A≤cB AB signie que A.B et B .B.

Proposition 4.1.1. Soitf ∈ D_α. Si f(z) = P∞

n=0a_nzⁿ alors kfk²_α

∞

X

n=0

(1 +n)^1−α|a_n|².

Pour la preuve de la proposition nous avons besoin du lemme suivant : Lemme 4.1.2. Soit n un entier positif et 0< r <1, alors

Z 1 0

rⁿ(1−r)^αdr 1 (n+ 1)^1+α Démonstration.

Soit n un entier positif et 0< r <1.

(i)

Démonstration. (de la proposition 4.1.1) Soit f ∈ D_α. On a :

4.1.2 Fonction de comptage généralisée de Nevanlinna

La fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée à l'espace de Diri-chletD_α est donnée par :

N_ϕ,α(z) = X

z=φ(w)

(1− |w|)^α, z ∈D\ {φ(0)}, pour06α <1.

Notons que lorsque α = 1, N₁ est comparable a la fonction de comptage de Ne-vanlinna classique que nous avons dénis dans le chapitre précédent de la manière suivante :

N_ϕ,1(z) = N_ϕ(z).

La fonction de comptage généralisée de Nevanlinna joue un rôle essentiel dans l'étude des opérateurs de composition. En eet, on a déja vue que J.Shapiro [38] a caractérisé la compacité de l'opérateur de composition sur l'espace de HardyH²(D) par la fonction de comptage Nevanlinna, et sur les espaces de Dirichlet Dα, pour 0< α≤1, il a été montré dans [27, 43] que :

(i) C_ϕ est borné dans D_α ⇔N_ϕ,α(z) =O((1− |z|)^α) quand |z| →1⁻, (ii) C_ϕ est compact dans D_α ⇔N_ϕ,α(z) =o((1− |z|)^α)quand |z| →1⁻.

Dans la suite de notre travail, on aura besoin des lemmes suivants. Le premier lemme donne la formule de changement de variable en terme de la fonction de comptage de Nevanlinna généralisée, voir [38, 39].

Lemme 4.1.3. Pour0≤α≤1, soient ϕune fonction holomorphe dansD etf une fonction mésurable sur D, alors :

Z

D

(f ◦ϕ)(z)|ϕ⁰(z)|²dA_α(z) = (1 +α) Z

D

f(z)N_ϕ,α(z)dA(z).

Démonstration.

On suppose que ϕn'est pas constante.

L'ensembleZ ={z ∈D :ϕ⁰(z) = 0} est dénombrable et D\Z peut s'écrire comme une union des rectangles disjoints R_j où sur chacun d'eux,ϕ est biholomorphe. On note par ψ_j l'inverse de la restriction de ϕsurR_j.

Par la formule de changement de variable usuel, avecz =ψ_j(w), pour tout j on a : Z

Rj

(f◦ϕ)(z)|ϕ⁰(z)|²dA_α(z) = (1 +α) Z

ϕ(Rj)

f(w)|1−ψ_j(w)|^αdA(w).

Par sommation sur j, on déduit que : Z

D\Z

(f◦ϕ)(z)|ϕ⁰(z)|²dAα(z) = (1 +α) Z

D

f(w) X

j

χj(w)|1−ψj(w)|^α

!

dA(w).

Où χ_j est la fonction caractéristique de l'ensemble ϕ(R_j).

L'ensemble Z est dénombrable donc il est de mesure nulle, le premier membre de l'équation est égale à :

Z

D

(f ◦ϕ)(z)|ϕ⁰(z)|²dA_α(z),

et aussi le terme qui est entre parenthèse du second membre de l'équation estN_ϕ,α(z).

Le deuxième lemme nous arme que la fonction de comptage géneralisée Nϕ,α

vérie l'inégalité de la moyenne [27] comme dans le cas de Hardy (thérème 3.2.10).

Lemme 4.1.4. Soit 0< α≤1. Si ϕ:D→D est une fonction holomorphe, alors N_ϕ,α(z)≤ c

r² Z

D(z,r)

N_ϕ,α(w)dA(w), c∈R⁺. pour tout disque D(z, r) tel que D(z, r)⊂D\D(0,¹₂).

Démonstration. Puisque w est concave et décroissante alors :

∆(w(r)) = ∆(w(z)) = w⁰(r)/r+w⁰⁰(r)<0,

4.2 Lien entre la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna N

_ϕ,α

et D(ϕ

ⁿ

)

L'estimation de la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna N_ϕ,α s'avère compliquée en générale.

Dans ce qui suit nous allons donner une majoration de la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna par la normes des itérées de symbole ϕ, ce qui va nous permettre de construire quelques exemples d'opérateurs bornés et compacts dans l'espace de Dirichlet D_α.

Plus précisément, on pose : D_α(f) =

Z

D

|f⁰(z)|²dA_α(z).

Nous allons montrer que pour 0< α <1,

N_ϕ,α(1−1/n). D_α(ϕⁿ⁺¹), n ≥1, (4.2.1) pour une certaine constantec >0.

Théorème 4.2.1. Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe.

Alors pour 0< α≤1,

(i) C_ϕ est borné dans D_α ⇐⇒ N_ϕ,α=O(1− |z|)^α, |z| →1⁻. (ii) Cϕ est compact dans D_α ⇐⇒ Nϕ,α =o(1− |z|)^α, |z| →1⁻. Démonstration.

Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe.

(i)⇐) SoitN_ϕ,α =O(1− |z|)^α,|z| →1⁻, avec le changement de variable utilisé dans

le lemme 4.1.3 on a :

⇒) Supposons maintenant que C_ϕ est borné dansD_α. On considère la fonction test donnée par :

De la dernière inégalité de la moyenne (Lemme 4.1.4) (lorsque|λ| −→1⁻ ).

Nous concluons que : sup

qui est borné par l'hypothèse (C_ϕ borné dans D_α) et grâce au fait que kF_λkDα 1.

(ii)(⇐) Soient N_ϕ,α = o(1− |z|)^α,|z| → 1⁻ et (f_n)_n une suite dans D_α, qui converge faiblement vers0. Il sut de montrer que :

kC_ϕ(f_n)k_α →0, n→ ∞.

La convergence faible de f_n vers 0 implique que f_n(x)→0 et f_n⁰(x)→ 0 uniformé-ment sur tout compact deD.

Soit ε >0, il existe ρ_ε ∈(¹₂,1) tel que :

N_ϕ,α≤ε(1− |z|)^α, pour ρ_ε<|z|<1.

Par changement de variable on a : kC_ϕ(f_n)k_α = |f_n(ϕ(0))|²+

Z

D

|(f_n⁰ ◦ϕ)(z)|²|ϕ⁰(z)|²dA_α(z) |f_n(0)|²+ (1 +α)

Z

D

|f_n⁰(z)|²N_ϕ,α(z)dA(z)

≤ |f_n(0)|²+ Z

ρεD

|f_n⁰(z)|²N_ϕ,α(z)dA(z) +ε Z

ϕ(D)|ρεD

|f_n⁰(z)|²(1− |z|)^αdA(z)

≤ |f_n(0)|²+ Z

ρεD

|f_n⁰(z)|²N_ϕ,α(z)dA(z) +ε.

Nous avonsf_n⁰(x)→0 uniformément sur le disque ferméρ_εD, donc kC_ϕ(f_n)k_α →0, quand n → ∞.

⇒) Supposons que pourβ >0, la suite λ_n∈D tel que |λ_n| →1⁻ et N_ϕ,α(λ_n)≥β(1− |λ_n|)^α,

on a la fonction test

f_n(z) = (1− |λ_n|²)^1−α2

(1−λ_nz) , pour z ∈D.

C'est une suite bornée dansD_α, qui converge faiblement vers0. En eet, elle converge uniformément vers 0 sur tout compact, on a dans ce cas :

(1− |λ_n|²)^1−α2 ≤2(1− |λ_n|²)^(1−α2)/2

D'autre part, par le changement de variable et l'inégalité de la moyenne, on conclut

DoncC_ϕ n'est pas compact, d'où la contradiction.

Théorème 4.2.2. Soitϕ:D→D une fonction holomorphe et soitα ∈(0,1]. Alors

Il est facile de voir qu'il existe n₀ ≥n₁ assez grand de sorte que pour toutn ≥n₀, sup

D(z,1/2(n+1))

|w|⁻²ⁿ≤e⁴. Donc,

N_ϕ,α(z) ≤ 8e⁴(n+ 1)² Z

D(z,1/2(n+1))

N_ϕ,α(w)|w|²ⁿdA(w)

≤ 8e⁴(n+ 1)² Z

D

Nϕ,α(w)|w|²ⁿdA(w).

D'autre part, par le lemme4.1.3 il découle que : Z

D

N_ϕ,α(w)|w|²ⁿdA(w) = 1 1 +α

Z

D

|ϕ⁰(η)|²|ϕ(η)|²ⁿdA_α(η).

Ainsi

N_ϕ,α(z)≤ 8e⁴

1 +αD_α(ϕⁿ⁺¹), 1

n ≤1− |z| ≤ 1 n−1.

En conséquence de ceci, on obtient le résultat suivant :

Corollaire 4.2.3. Soitϕ:D→Dune fonction holomorphe et soitα ∈(0,1], alors : (i) Si D_α(ϕⁿ) = O(1/n^α) alors C_ϕ est borné sur D_α.

(ii) Si D_α(ϕⁿ) = o(1/n^α) alors C_ϕ est compact sur D_α. Démonstration.

La preuve du corollaire découle des Théorèmes 4.2.2 et4.2.1.

Dans ce qui suit, on se propose de donner une autre preuve de celle donnée par El-Fallah, Kellay, Shabankhah et Youss dans [19], dans le cas de Dirichlet(α= 0) voir Corollaire 4.3.4.

On considère la fonction test donnée par : F_λ(z) = (1− |λ|²)^1−α2

(1−λz) , λ, z ∈D. Nous rappelons le lemme suivant ([19]).

Lemme 4.2.4. Soit ϕ∈ D_α telle que ϕ(D)⊂D et 0< α≤1. Alors (i) Cϕ est borné sur Dα ⇐⇒ sup_λ∈DkFλ◦ϕkα <∞.

(ii) C_ϕ est compact sur D_α ⇐⇒ lim_|λ|→1⁻kF_λ ◦ϕk_α = 0.

Les résultats trouvés nous permettent de redémontrer le corollaire 4.2.3.

Deuxième preuve du Corollaire 4.2.3 On suppose que ϕ(0) = 0.

SiD_α(ϕⁿ) =o(1/n^α) alors D_α(C_ϕ(F_λ)) =

Z

D

|(F_λ(ϕ(w))⁰|²dA_α(w)

≤ c₁(1− |λ|²)^2−α Z

D

|ϕ⁰(w)|²

(1− |λϕ(w)|²)⁴dA_α(w)

≤ c₂(1− |λ|²)^2−αX

n≥0

(1 +n)³|λ|²ⁿ Z

D

|ϕ0(w)|²|ϕ(w)|²ⁿdA_α(w)

≤ c₃(1− |λ|²)^2−αX

n≥0

(1 +n)|λ|²ⁿD_α(ϕⁿ⁺¹)

≤ c4(1− |λ|²)^2−α h X

0≤n≤N

(1 +n)^1−α|λ|²ⁿ+o X

n≥N

(1 +n)^1−α|λ|²ⁿi o(1), |λ| →1⁻.

oùc1, c2, c3 et c4 sont des constantes positives.

Dans ce casC_ϕ est compact, pour la bornitude c'est la même preuve.

On associe à toute fonction ϕ, la fonction de comptage n_ϕ(z) =card{w:ϕ(w) =z}

c'est le nombre de zéros de la fonction(ϕ−z). Rappelons aussi que N_ϕ,0 =n_ϕ. Nous obtenons une majoration de n_ϕ par la norme dans D₀ des itérées de ϕ. Plus précisément, nous montrons dans la section suivante que :

1 inf

n+1≤1−|z|≤¹_n

n_ϕ(z).D₀(ϕⁿ⁺¹) (4.2.2)

4.3 Lien entre la fonction de comptage de Nevan-linna n

_ϕ

et D(ϕ

ⁿ

)

Nous avons besoin du lemme suivant :

Lemme 4.3.1. Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe. Alors Z

1−_m¹≤|z|≤1

n_ϕ(z)dA(z)≤ e⁴

(1 +m)²D₀(ϕ^m+1), m≥2.

Démonstration.

CommeN_ϕ,0 =n_ϕ, d'après le lemme4.1.3 on a : D₀(ϕ^m+1) = (m+ 1)²

Z

D

|ϕ⁰(z)|²|ϕ^m(z)|²dA(z)

= (m+ 1)² Z

D

n_ϕ(w)|w|^2mdA(w)

≥ (m+ 1)² Z

1−_m¹≤|w|≤1

n_ϕ(w)|w|^2mdA(w)

≥ (m+ 1)² 1− 1 m

2mZ

1−¹

m≤|z|≤1

nϕ(w)dA(w)

≥ e⁻⁴(m+ 1)² Z

1−_m¹≤|z|≤1

n_ϕ(w)dA(w), m≥2, donc

Z

1−_m¹≤|z|≤1

n_ϕ(z)dA(z)≤ e⁴

(1 +m)²D₀(ϕ^m+1), m≥2.

Le résultat suivant est le théorème principale dans cette section, il donne le lien entre le comportement en moyenne den_ϕ et la norme des itérés de ϕ^m.

Théorème 4.3.2. Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe. Alors inf

1−¹

m≤|z|≤1− ¹

m+1

n_ϕ(z)≤ e⁴

πD₀(ϕ^m+1), m≥2 Démonstration.

On a l'inégalité suivante : Z

1−¹

m≤|z|≤1

n_ϕ(z)dA(z)≥ π

(m+ 1)² inf

1−_m¹≤|z|≤1−_m+1¹

n_ϕ(z).

Alors d'après lemme (4.3.1), pour m≥2 on a : inf

1−¹

m≤|z|≤1− ¹

m+1

n_ϕ(z) ≤ (m+ 1)² π

Z

1−_m¹≤|z|≤1

n_ϕ(z)dA(z)

≤ (m+ 1)² π

e⁴

(1 +m)²D₀(ϕ^m+1)

≤ e⁴

πD₀(ϕ^m+1).

La fenêtre de Carleson est dénie par :

W(ζ, δ) ={z ∈D:|z|>1−δ; |arg(ζz)|< δ}, ζ ∈T. Pourζ ∈T etδ ∈(0,1), on pose :

N(ζ, δ) :=

Z

W(ζ,δ)

n_ϕ(w)dA(w).

Pour la suite on a besoin du lemme de Zorboska [43, 27] suivant : Lemme 4.3.3. Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe. Alors

(i) C_ϕ est borné sur D ⇐⇒ sup_ζ∈TN(ζ, δ) =O(δ²) δ →0. (ii) Cϕ est compact sur D ⇐⇒ sup_ζ∈TN(ζ, δ) =o(δ²) δ→0.

D'après le lemme4.3.2 et le lemme4.3.3 on obtient le résultat suivant, qui a été démontré par El-Fallah-Kellay-Shabankah-Youss [19].

Corollaire 4.3.4. Soit ϕ:D→D une fonction holomorphe. Alors (i) Si D₀(ϕⁿ) =O(1) alors C_ϕ est borné sur D.

(ii) Si D₀(ϕⁿ) =o(1) alors C_ϕ est compact sur D.

Démonstration.

Supposons queD₀(ϕⁿ) =O(1). Soitδ >0et soitm≥1tel que1/(m+1)≤δ ≤1/m. D'après le lemma 4.3.2 on a :

sup

sup

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