Couplage planification-ordonnancement : une approche par décomposition et génération de coupes

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Submitted on 30 Sep 2010

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Couplage planification-ordonnancement : une approche par décomposition et génération de coupes

Nadjib Brahimi, Olivier Guyon, Eric Pinson, David Rivreau

To cite this version:

Nadjib Brahimi, Olivier Guyon, Eric Pinson, David Rivreau. Couplage planification-ordonnancement : une approche par décomposition et génération de coupes. FRANCORO V / 8ème congrès de la société française de recherche opérationnelle et d’aide à la décision (ROADeF), Feb 2007, Grenoble, France.

�hal-00481496�

déomposition et génération de oupes

N.Brahimi,O.Guyon,E.Pinson etD. Rivreau

UCO,InstitutdeMathématiquesAppliquées,EquipeOSPL

eri.pinsonima.uo.fr

1 Introdution

L'objetdeetteétudeest l'ordonnanementd'unensemble J ^den^{jobs (tâhes)}indépendants aumoyend'unensembleO ^deressoures(opérateurs)surunhorizontemporelH^{.Chaque jobest}

aratériséparuneduréepj^{,undomained'exéution}Dj = [rj, dj]^{,etrequiertpoursonexéution}

unopérateurquelonquedeO^{.Chaqueopérateurpossèdeunensemblederoulementsquipeuvent}

lui être aetés. Un roulement est omposé d'une suite ordonnée de Prols Horaires Hebdoma-

daires(PHH),dénissantunanevasd'horairesdepréseneoud'abseneàl'éhelled'unesemaine.

Typiquement, un PHH peut représenter leshoraires d'une semainede travail de nuit, du matin

oudusoir,quipeuventêtreombinésenunroulementdetrois-huit.Diérentesrèglesportantsur

leshorairess'appliquentselonlesopérateurs,denaturelégislative,ontratuelleouautres(ongés

posés...). Ces règles dénissent en outre le oût assoié aux diérents horaires aetables aux

opérateurs,parlebiaisdediérentssalaireshoraires.L'objetifduproblèmeestdedéterminerun

ordonnanementdel'ensembledesn^{jobs,enaetantàhaqueopérateurunesuitederoulements}

etenxantladuréed'appliation(planningdeprésene-absene),detellesortequelesbesoinsen

eetifsoientsatisfaits, ete,aumoindreoût.

2 Formalisation du problème

Apartirdesinformationsmentionnéespréédemment(basedePHHs,réglementationdutravail,

historiquedel'ativitédesopérateurs,...),onpeutagrégerlesroulementsaetablesauxdiérents

opérateursenunensembledeprolsΩ^,haqueprolω∈Ωdéterminantdemanièreexpliiteune suited'horairesdetravailaetablesàunopérateuràl'éhelledel'horizon.Ainsi,ω^{peutêtredéni}

parunveteurσω^{debooléenssur}H ^telqueσ_ω^t = 1^siω^ouvret,0^{sinon.L'objetifduproblème}

est alorsd'aeter unprol àhaqueopérateur, de manièreà e que le prol umulé (variable)

ainsigénérépermettel'ordonnanementdesn^{jobs,eteenminimisantleoûtdesprolsaetés.}

Une formalisationpossibledeetteproblématiqueentermedePLNEestdonlasuivante :

[P] : min X

o∈O

X

ω∈Ω_o

η^o_ωy^o_ω ⁽¹⁾

∀o∈O X

ω∈Ω_o

y^o_ω = 1 ⁽²⁾

∀j∈J X

t∈D_j

xjt =pj ⁽³⁾

∀t∈H X

j∈J

xjt ≤X

o∈O

X

ω∈Ω_o

σ_ω^ty_ω^{o (4)}

∀o∈O,∀ω∈Ωo y^o_ω∈0,1 ⁽⁵⁾

∀j∈J,∀t∈H xjt∈0,1 ⁽⁶⁾

oùy^o_ω = 1 ^{si leprol} ω ^{est aetéà} l'opérateuro^{, 0sinon,} xjt = 1^{si une unité dujob} j ^est

exéutéeàt^,0^sinon, η_ω^{o désignantla}valorisationnanièreduprolω relativementàl'opérateur

o^,etΩo^lessous-ensembledeprolsdeΩadmissiblespourl'opérateuro^.

3 Approhes de résolution

Diérentes approhesderésolutionsontproposéespoure problèmetrivialementNP-diile.

En partiulier:

Une borne inférieure basée sur une déomposition lagrangiennedes ontraintes ouplantes

(4),

Uneheuristiqueonstrutiveoupléeàune reherhetabou,

Uneapprohepardéompositionetgénérationdeoupes.L'idéesous-jaenteàetteapprohe

est la suivante.Supposons xéeune séletiony¯ ^{d'un prol à haun des opérateurs parle}

biaisdelarésolutionduProgrammeMaître[P M]^suivant:

[P M] :minP

o∈O

P

ω∈Ω_oη^o_ωy^o_ω ⁽⁷⁾

(2),(5)

Cut ⁽⁸⁾

Onobtientainsiune ourbededisponibilitédelaressoureopérateurdéniepar:

∀t∈H, bt=X

o∈O

X

ω∈Ω_o

σ_ω^ty^o_ω

et lesous-problèmesatellite[SP(¯y)]^:

[SP(¯y)] : maxz=P

j∈J

P

t∈D_jxjt ⁽⁹⁾

∀t∈H P

j∈Jxjt ≤bt ⁽¹⁰⁾

(3),(6) [SP(¯y)]^{est unproblèmedeotmaximal.Si} z=P

j∈Jpj^{,alorsnousdisposonsd'unesolution}

réalisableetoptimalede[P]^{.Sinon,ilestnéessairederéviserl'aetationdeprolsauxopérateurs}

par le biais de l'ajout d'une oupe valide à Cut ^dans [P M] ^permettant d'invalider l'aetation prols-opérateursourante.Cette oupeexploite enl'ourrene simplement lefait quelaoupe

minimaleassoiéeauotmaximalsolutionde[SP(¯y)]^{estinférieureà}P

j∈Jpj^.

4 Expérimentations Numériques

Cesdiérentsrésultatsontétéexpérimentéssurunensembledejeuxdedonnéesgénérésaléatoi-

rementdontlatailleatteintplusieursdizainesdejobsetd'opérateurs.Nousreportonsenpartiulier

uneomparaisondesperformanesentreunsolverMIP(XPRESS)surlaformalisation"brute"de

[P]^{,notrestratégiedegénérationdeoupes,ainsiquesurune}déompositiondeBenderslassique.

Danstouslesas,notreapprohes'avèreompétitiveenterme detempsalul.

Référenes

1. B.Detienne,L.Péridy,E.Pinson,D.Rivreau(2006).Générationdeoupespourlaplaniationd'agents.

MOSIM06,Rabat,avril2006.

2. A.T.Ernst,H.Jiang,M. Krishnamoorthy,D.Sier(2004).Stashedulingandrostering: Areview of