Planification d'agents et ordonnancement de production : règles d'élimination et heuristique

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Submitted on 30 Sep 2010

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Planification d’agents et ordonnancement de production : règles d’élimination et heuristique

Olivier Guyon, Pierre Lemaire, Eric Pinson, David Rivreau

To cite this version:

Olivier Guyon, Pierre Lemaire, Eric Pinson, David Rivreau. Planification d’agents et ordonnancement

de production : règles d’élimination et heuristique. 9ème congrès de la société française de recherche

opérationnelle et d’aide à la décision (ROADeF), Feb 2008, Clermont-Ferrand, France. �hal-00363872�

Règles d'élimination et heuristique

O.Guyon

1·2

,P.Lemaire

2

, É.Pinson

1

etD. Rivreau

1

1

InstitutdeMathématiquesAppliquées,44rueRabelais-B.P.10808-49008AngersCedex1

{olivier.guyon, eri.pinson, david.rivreau}uo.fr

2

ÉoledesMinesdeNantes,LaChantrerie-4,rueAlfredKastler-B.P.20722-44307NantesCedex3

pierre.lemaireemn.fr

Mots-Clefs. Planiationd'agents,ordonnanement,générationdeoupes,FeasibilityPump

1 Introdution

Nousnousintéressonsàl'optimisationdessystèmesdeprodutionaved'untél'ordonnanement

de prodution, dont le but est d'aeter dans le temps des ressoures àdes tâhes àréaliser, et

d'unautretélagestiondupersonnelvisantgénéralementàminimiserlesoûtsdemaind'÷uvre.

Bienqu'ilsoitadmisque,pourobtenirl'optimumglobal,ilfailleprendreenomptesimultanément

es deux problématiques,en pratiqueleproblèmeglobal estsouventrésoludansunproessusde

déisionàdeuxniveaux.Dansetteétude,nousintégronsesdeuxphasesdedéisionetproposons

diérentesméthodespourrésoudreleproblèmerésultant.

2 Formalisation du problème

L'objetdeette étudeest l'ordonnanementd'un ensemble J ^den ^{jobs aumoyend'un ensemble} O ^de m ^{opérateurssur un horizon temporel} H^{. Chaque job (préemptif) est aratérisépar une}

durée pj^{, un domaine d'exéution} Dj = [rj, dj]^{, et requiert pour son exéution un opérateur} o∈O ^{maîtrisantune ompétene}cj∈C^{.Chaqueopérateurpossèdeunensembledeompétenes} Co⊆C^{qu'ilmaîtriseainsiqu'unensemblederoulements}Ωo⊆Ω^{quipeuventluiêtreaetés.Un}

roulementω∈Ω^{dénit unanevas d'horairesdepréseneoud'absene sur}H^{.Un oût demain}

d'÷uvreη_ω^{o estattribuéàhaqueoupleroulement}ω ^-opérateuro^{.L'objetifduproblèmeestde}

déterminerun ordonnanement desn^{jobs enaetantàhaqueopérateurunroulementde telle}

sortequehaquebesoinenmaind'÷uvre(eetifetompétene) soitrempliaumoindre oût.

Unepremièreformalisation,indexéesurle temps,de laproblématiquepeutdèslorsêtre pro-

posée.Cependant,defortesrédutionsdunombredevariablesdedéisionpeuventêtreeetuées.

Une premièreapprohereposesurlareprésentationdeH ^enintervalles detempsIk^{.L'idée sous-}

jaente est de ne plus s'intéresser qu'à des instants de temps signiatifs, à savoir, la date de

disponibilitérj ^{et ladateéhue}dj ^dehaquejob j∈J ^{ainsiquelesbornesdes}intervalles depré- senedehaqueroulementω∈Ω^{.Cesinstants,orretementappariés,formentalorsunensemble}

d'intervallesdetempsdisjointsreouvrantH^{.Uneseonderédutionviseàagrégerlesopérateurs}

en prols de ompétene θ ∈ Θ ^où Θ ⊆ P(C) ^{dans les ontraintes attribuant les ompétenes}

utiliséesauxopérateurs.Un uniqueprol deompéteneθo ^{estainsiattribué àhaqueopérateur}

o∈O^{.Deuxopérateursdistintssevoientattribuerlemêmeproldeompétenes}θ^{sietseulement}

s'ils maîtrisenttouslesdeuxuniquementetexatementtouteslesompétenesc∈θ^{.À partirde}

esnotations,uneformalisationdelaproblématiqueentermesdePLNEpeutalorsêtreproposée:

[P] : min

X

o∈O

X

ω∈Ω_o

η^o_ω·y^o_ω ⁽¹⁾

∀o∈O

X

ω∈Ωo

y_ω^o = 1 ⁽²⁾

∀j∈J

X

k∈K/

I_k⊆D_j

xjk =pj ⁽³⁾

∀k∈K,∀c∈C

X

j∈J/c_j=c

xjk =

X

θ∈Θ/

c∈θ

zθck ⁽⁴⁾

∀k∈K,∀θ∈Θ

X

c∈θ

zθck ≤

X

o∈O/

θo=θ

X

ω∈Ω_o/ I_k⊆ω

lk·yω^{o (5)}

∀o∈O,∀ω∈Ωo y_ω^o ∈ {0,1} ⁽⁶⁾

∀j∈J,∀k∈K xjk∈[0,min(pj, lk)] ⁽⁷⁾

∀θ∈Θ,∀c∈θ,∀k∈K zθck∈[0, lk· |{o∈O/θo=θ}|] ⁽⁸⁾

oùy_ω^o = 1^{sileroulement}ω ^{estaeté à}l'opérateuro^,0sinon; xjk ^{est lenombred'unités du}

jobj ^{exéutéessur}l'intervalleIk^;zθck^{désignelenombred'unitésdeompétene}c^{utiliséesparle}

proldeompétenesθ ^surIk ^et lk ^{représentelalongueurde}l'intervalleIk^.

Notons qu'ilest toujourspossibled'extraire, via unproblème de otde oût maximum, une

solutionoptimaleglobale(indexéesurletemps)àpartirdelasolutionde[P]^.

3 Tehniques de résolution

Les tehniques de résolution expérimentées exploitent la déomposition de [P] ^{en deux sous-}

problèmes. Un problème maître [M P] ^{détermine tout d'abord une aetation} y¯ ^{de roulements}

aux opérateursvériant lesseules ontraintes onernantles variablesy^o_ω^{. Utilisant es informa-}

tionsommedonnées,leseondsous-problème[SP(¯y)]^{vérieensuitela}réalisabilitéomplètedela solutionpréédemmentgénérée.UnetelledéompositionadéjàappliquéeavesuèsparDetienne

et al[1℄pourunproblèmedeplaniationd'agentsave unehargedetravailprédéterminée.

[M P]^et [SP(¯y)]^{s'ériventalors:} [M P] : min

X

o∈O

X

ω∈Ωo

ηω^o·y^oω [SP(¯y)] : maxfy¯=

X

j∈J

X

k∈K/

I_k⊆D_j

xjk

(2) , (6) ∀k∈K,∀θ∈Θ

X

c∈θ

zθck≤

X

o∈O/

θo=θ

X

ω∈Ωo/ I_k⊆ω

lk·y¯^oω

Cut (3) ,(4) ,(7) ,(8)

[SP(¯y)] ^{est un problème de otmaximal. Si} fy_¯ = P

j∈Jpj^{, alors nous disposons d'une solution}

réalisablede[P]^{.Sinon,ilonvientd'ajouterà}Cut^{uneoupeinvalidant}y¯^{dessolutionsde}[M P]^.

Laprinipalediultédeettedémarherésidedanslarésolutionde[M P]^.[M P]^{estl'approxi-}

mationd'unSaàDosMulti-ChoixMulti-dimensionnel (NP-diile). Unepremièreapproheest

la résolution optimalede [M P]^{, via unsolveur de PLNE, àhaque itération. Lapremière ae-}

tation y¯ ^{de roulements aux opérateurs permettant d'obtenir} fy_¯ = P

j∈Jpj ^{sera alors optimale}

pour [P]^{. Cettepremière approhe permet detrouverl'optimum de}[P] ^{en peu} d'itérations. Ce- pendant,étantdonné,que[M P]^{(NP-diile)doitêtrerésolu}optimalementàhaqueitération,la reherhes'avèreoûteuseentemps.And'aélérerette dernière,nousproposonsiideneplus

reherherquedessolutionsréalisablesà[M P]^{.Ainsi,dèsqu'uneaetationderoulementspermet}

l'aetation de toutes les unités de jobs, nous disposons d'une borne supérieure au problème. Il

onvientalorsd'ajouterà[M P]^{uneoupedeborneinvalidantlesaetationsdeoût plusélevé.}

Le proessus itère jusqu'àe qu'iln'existe plusde solutionréalisable.La diulté résidedansle

faitdetrouverrapidementunesolutionréalisableà[M P]^{.Uneapproheaété}expérimentéedans etteétude,elle-iexploiteuneheuristiquebaséesurleprinipedeFeasibilityPumpintroduitpar

Fishettiet al[2℄.

Notons ii que, dans nosexpérimentations, l'ensemble de oupes Cut^{a été} avantageusement initialisépardesoupessuivantleoneptderaisonnementénergétique [3℄.

4 Expérimentations numériques

Notreapproheaété expérimentée sur unensemble de jeux de donnéesdontlataille atteint

plusieurs dizaines de jobs et d'opérateurs. Ses performanes ont été omparées ave elles d'un

solveurMIP et d'unedéomposition deBenders.Ces premiersrésultats expérimentauxs'avèrent

onluantsquantàlaompétitivitédel'approheproposéedansetteétude.

Référenes

1. Detienne,B.,Péridy,L.,Pinson,E.,Rivreau,D.:Cutgenerationforanemployeetimetablingproblem.

EuropeanJournal ofOperationalResearhToappear(2007)

2. Fishetti, M., Glover, F., Lodi, A. : The feasibility pump. Mathematial Programming 104 (2005)

91104

3. Lopez, P., Ershler, J., Esquirol, P. : Ordonnanement de tâhes sous ontraintes : une approhe