Exercices résolus de mathématiques.
TRI 45
EXTRI450-EXTRI459
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Jacques Collot
Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans Fabienne Zoetard
EXTRI450 – EPL, UCL, LLN, septembre 2017.
EPB, ULB, Bruxelles, septembre 2017
POLYTECH, UMons, Mons, septembre 2017 FACSA, ULiège, Liège, septembre 2017
2
1) Résolvez l'équation suivante en spécifiant les conditions d'existence.
2sin cot sin 3 sin 0
2) Représentez sur le cercle trigonométrique les solutions comprises entre et + x x+ x+ x=
−
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
18 septembre 2017
EXTRI451 – EPL, UCL, LLN, septembre 2017.
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
18 septembre 2017
EXTRI452 – EPL, UCL, LLN, septembre 2017.
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
Solution proposée par Nicole Berckmans
Cette solution se réfère aux mêmes dessins que ceux de la solution précédente.
1) Cherchons les angles du triangle dont on connait les 3 côtés.
On pourrait utiliser la rège aux cosinus pour l'angle ABC
2 2 2
et la règle aux sinus pour et .
70 80 50
arccos 0.666946 rad
2 70 80 sin sin
1.047198 rad 1.427448 rad.
70 50
2) Calculons l'aire du triangle . Vous connaissez peut-être les formules donna
A B
A B A
B A
B C
ABC
− −
+ −
= =
= = =
nt cette
1 1 1
aire : sin sin sin ou la formule de Héron utiisée ci-dessus.
2 2 2
On peut retrouver la première formule facilement. Soit le triangle et soit la hauteur issue du sommet . On
S S bc A ab C ac B
ABC h
C
= = =
2
2 2
2 2
2 2
a immédiatement :
1 1 1
S= . . . sin 80 70 sin 0.666946 1732, 0508 cm
2 2 2
3) Calculons l'aire des 3 secteurs circulaires.
1 50 833.6829 cm
2
1 30 471.2389 cm Total 1590.
2
1 20 285.4898 cm
2
AB h c b A
A B C
= = =
=
= =
=
2
2
4116 cm
4) De l'aire du triangle , on soustrait la somme des aires des 3 secteurs pour obtenir l'aire demandée : 1732, 0508 1590.4116 141.64 cm
ABC
− =
18 septembre 2017. Modifié le 14 mai 2018 (Nicole Berckmans)
EXTRI453 – EPB, ULB, Bruxelles, septembre 2016.
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
9 octobre 2017
EXTRI454 – EPB, ULB, Bruxelles, septembre 2016.
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
9 octobre 2017
EXTRI455 – POLYTECH, UMons, Mons, septembre 2017.
3 3
2
2
Vérifier l'identité suivante :
tan cot
tan cot tan 1
sin
−
= −
+
Solution proposée par Fabienne Zoetard
( )( )
( )
1
3 3 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
Transformons le premier membre de l'expression :
tan cot tan cot tan tan .cot cot
1 sin 1
tan sin cos sin
sin cos
1 sin
cos sin
tan cot
sin 1
cos sin sin
t
=
− = − + +
+ +
+ +
= −
+
= ( )
4 1
2 2
2 4 2
sin sin cos
an cot cos
sin 1
cos tan cot
+ +=
−
+
= −
22 octobre 2017
EXTRI456 – POLYTECH, UMons, Mons, septembre 2017
Soit le trapèze rectangle en , de hauteur . La grande base à une longueur
et la petite base une longueur . L'angle entre le côté oblique du trapèze et la hauteur est noté . La grande ba
ABCD A h AB a
CD b
=
=
se restant fixe, et la hauteur inchangée, on déplace ensuite la petite base parallèlement à la grande base, de telle sorte que le trapèze soit rendu isocèle.
Exprimer l'angle en fonction du rapport a
h (supérieur à 1) pour que les diagonales du trapèze isocèle ainsi obtenu soient de même longueur que la grande base.
( )
( )
L'examen des triangles rectangles et ' ' ' montre immédiatement que :
tan 2 tan ' ' arctan 1tan 1
2
D'autre part dans le triangle isocèle ' ' ', on a : ' 180 2 90 ' 2 '.
Or la hauteur de ce
SDC S E C
A C B A
= =
= − − =
( ) ( )
triangle est , donc sin 2 ' . Et en tenant compte de 1 sin 2 arctan 1tan
2 Transformons cette expression :
1 1
arctan tan arcsin
2 2
1 1 1
tan tan arcsin tan 2 tan arcsin
2 2 2
h h
a h
a
h a
h h
a a
=
=
=
= =
( ) 2
2 2 2
2
Cette expression peut être considérée comme la réponse. On va la transformer pour la rendre plus "jolie" en tenant compte des identités : tan sin et cos arcsin 1
2 1 cos tan 2
1 1
E
x x
x x
x h
a h
h a a h
a
= = −
+
= =
+ −
+ −
2
n posant , l'expression devient tan 2 avec 1 1
Exemple :
12 cm, 6.3396 cm, 1.89286, 8.3748 cm, 29.7374 , ' 15.9454 a
h
a h b
= =
+ −
= = = = = =
22 octobre 2017
EXTRI457 – POLYTECH, UMons, Mons, septembre 2017.
( )
Soient deux satellites assimilés aux points et , en orbite circulaire dans le même plan autour d'une planète sphèrique de centre et de rayon unitiare 1. Le premier satellite
point se situe à un
S T
O r
S
=
( )
distance minimale de la surface de la planète et le second point à une distance minimale .
Exprimer la distance en fonction de la distance , de telle manière que dans la plan orbital commun, l'a
p T
q
q p
rc de cercle visible depuis le point vaille le double de celui visible depuis le point .
S T
1 2 1 2 1 1
Voir figure pour la définition des points et des angles.
L'arc est le double de l'arc si l'angle est le double de l'angle .
1 1
cos arccos
1 1
On a alors :
cos 1 arccos
1
S PS T QT POS QOT
p p
q
= =
= =
+ +
= = +
( )2 ( )2
1 1
, Or 2 arccos 2 arccos
1 1 1
1 On réarrange et on prend le cos des deux membres.
1 1 1 1 1 1
arccos arccos arccos cos arccos arccos cos arccos
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
. 1 . 1
1 1 1 1
p q
q
p q q p q q
p q p q
= =
+ +
+
− = − =
+ + + + + +
+ − −
+ + + + ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
2
2 2 2 2
1 car sin arccos 1 1
On multiplie les deux membres par 1 1 et on chasse le dénominateur.
1 1 1 1 1 1 2 2
On élève au carré et ramène tout du même côté pour donner une équ
x x
q
p q
p p q p p p q q
= = −
+
+ +
+ = + + − + − = + +
( )
2
ation en . 2 0. On résoud cette équation et on en garde que la racine positive.
2
2 1
1 1 1
2 2
Par exemple : 3 75.5225 , 0.2649, 37.7613 Rappel: Pour l'équation du second degré
q q q p
p
p p
q q
p p
p q
+ − =
+
= − + = + −
+ +
= = = =
2
2
0, si est pair : 2 ', alors
' '
ax bx c b b b
b b ac
x a
+ + = =
− −
=
22 octobre 2017
EXTRI458 – FACSA, ULiège, Liège, juillet 2017.
, , désignant les mesures des angles d'un triangle non dégénéré, montrer que si : tan sin
1 cos alors le triangle est isocèle.
A B C
B C
= C
−
Nous reprenons la solution proposée par Prof. P. Dewallef et Prof. Q. Louveaux
24 octobre 2017
EXTRI459 – FACSA, ULiège, Liège juillet 2017.
On désire relier les sommets et de deux colines par un téléphérique. Afin de déterminer l'ampleur des travaux, des mesures topographiques sont effectués à partir de deux points et
distants de 5
A C
E F km et situés dans un même plan horizontale. Les points et représentent les bases des sommets et dans le plan d'observation. Les angles , et
valent respectivement 12.3672°, 157.1063° e
B D
A C AFE AEF AEB
t 5.8750° et les angles , et valent respectivement 80.2493°, 68.9063° et 3.1996°.
a) Calculer la hauteur des deux collines par rapport au plan d'observation (segments et ).
b) Calculer la dis
CFE CEF CFD
AB CD
tance entre les deux sommets (segment AC)
Nous reprenons la solution proposée par Prof. P. Dewallef et Prof. Q. Louveaux
24 octobre 2017
