MODÈLE DE FROTTEMENT INTÉRIEUR RÉSULTANT DE L'INTERACTION ENTRE LES DISLOCATIONS ET LES IMPURETÉS. APPLICATION AU CAS DE L'ALUMINIUM

(1)

HAL Id: jpa-00214553

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00214553

Submitted on 1 Jan 1971

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

MODÈLE DE FROTTEMENT INTÉRIEUR RÉSULTANT DE L’INTERACTION ENTRE LES

DISLOCATIONS ET LES IMPURETÉS.

APPLICATION AU CAS DE L’ALUMINIUM

J. Perez, P. Peguin, P. Gobin

To cite this version:

J. Perez, P. Peguin, P. Gobin. MODÈLE DE FROTTEMENT INTÉRIEUR RÉSULTANT DE L’INTERACTION ENTRE LES DISLOCATIONS ET LES IMPURETÉS. APPLICATION AU CAS DE L’ALUMINIUM. Journal de Physique Colloques, 1971, 32 (C2), pp.C2-127-C2-136.

�10.1051/jphyscol:1971227�. �jpa-00214553�

(2)

JOURNAL DE PHYSIQUE

CoIloque C2, supplément au

no

7, tome 32, Juillet 1971, page C2-127

MODÈLE DE FROTTEMENT INTÉRIEUR RÉSULTANT DE L'INTERACTION ENTRE LES DISLOCATIONS ET LES IMPURETÉS.

APPLICATION AU CAS DE L'ALUMINIUM

J. PEREZ, P. PEGUIN et P. GOBIN

Institut National des Sciences Appliquées, 69-Villeurbanne

Résumé.

-Afin de pouvoir interpréter un maximum de frottement intérieur observé dans l'aluminium et attribué

à

un phénomène de désancrage thermomécanique des lignes de dislocation, les auteurs présentent un modèle où il est tenu compte, non seulement des ancrages ponctuels qui se trouvent sur la ligne de dislocation, mais également de l'atmosphère diluée qui se forme au voisinage de la ligne. L'étude de la répartition des défauts et du désancrage catastrophique et thermiquement activé conduit

à

une relation entre le frottement intérieur et la température, la fréquence et la contrainte. Cette relation est discutée en fonction des résultats expérimentaux.

Abstract.

- A

new model of internal friction due to thermally activated dislocation depinning from solute atoms is presented in order to interpret an internal friction

^peak

in aluminium observed at room temperature. In this model, we take into account not only single pinning points on dislo- cations but also dilute atmosphere around the dislocation line. The study of the thermomechanical depinning leads to relations giving the variation on internal friction and relative period anomaly against the temperature, the frequency and the applied stress. These relations are compared with experimental results.

1. Introduction. - Il est maintenant bien établi que i'interaction entre dislocations et défauts ponctuels peut conduire

à

un frottement intérieur dépendant de l'amplitude [l,

21.

Ainsi, de nombreux résultats expé- rimentaux ont été interprétés avec le modèle de Granato-Lucke bien qu'en toute rigueur ce modèle ne soit valable qu'à O OK. Plusieurs chercheurs ont proposé des modifications de ce modèle soit en précisant la distribution des défauts ponctuels

à

proximité de la ligne de dislocation [3,

41,

soit en tenant compte de l'activation thermique

:

Friedel [5] a montré que l'on peut utiliser cette notion d'activation thermique pour décrire la variation du frottement intérieur résultant du désancrage des dislocations, avec la température, contrainte et fréquence

;

Koiwa et Hasiguti 161 ont développé un modèle analogue mais des approxima- tions de calcul les ont conduits

à

trop simplifier le rôle de la contrainte.

L'analyse du désancrage thermomécanique d'une ligne de dislocation

à

partir d'un seul point d'ancrage a été faite par Teutonico, Granato et Lucke [7] et a été étendue au cas de plusieurs points d'ancrage [8]

;

cependant, aucune relation 6

=

F(a, T, v) explicite n'a été obtenue. Peguin et Birnbaum [9], en utilisant les relations de Teutonico et al.

[7],

ont calculé numéri- quement le frottement intérieur dans le cas d'une ligne de dislocation piégée en plusieurs points équi- distants. On aboutit ainsi

à

un frottement intérieur présentant un maximum en fonction de la température, de la contrainte ou de la fréquence

;

toutefois ce

modèle numérique ne fournit évidemment pas d'expression analytique décrivant le frottement inté- rieur.

Un grand pas a été fait dans la description mathé- matique du frottement intérieur dépendant de I'am- plitude par Alefeld [IO] d'une part, Lucke, Granato et Teutonico [ I l ] d'autre part. Le premier, supposant que la vitesse de déformation résultant du mouvement des dislocations est donné par

:

(H étant l'énergie d'activation apparente

à

contrainte nulle, v, le volume d'activation), a montré comment une variation de contrainte (ou température) modifie la position du pic de frottement intérieur en fonction de la température (ou contrainte)

;

on a alors la possibilité d'obtenir H et

v à

partir de mesures de frottement intérieur. Les seconds, utilisant leur analyse antérieure du désancrage thermoméca- nique d'une ligne de disIocation

à

partir d'un point d'ancrage unique, ont montré qu'une telle configura- tion de défauts présente un comportement intermé- diaire entre l'effet d'hystérésis et l'effet de relaxation et conduit

à

une perte d'énergie

à

haute fréquence ou basse température

;

ces derniers résultats sont en accord, pour l'essentiel avec ceux de Peguin et Birn- baum [9] mais ne permettent pas l'interprétation des résultats expérimentaux obtenus avec un aluminium

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1971227

(3)

C2-128 3. PEREZ, P. PEGUIN ET P. GOBIN

99,999 % (') dans le domaine de l'Hertz et vers la

température ambiante. Ces résultats sont résumés par les figures 1, 2 et 3

(').

FIG. la. - Frottement intérieur (trait plein) et anomalie de période (tirets) en fonction de la température. La mesure a été

faite à E = 12 X 10-6.

b. - Courbes 6 = f (T) vers le sommet du pic Pc mesurées à 3 fréquences.

Dans un travail précédent [13], il a pu être montré qu'un segment de dislocation ancré en plusieurs points peut, lors du désancrage, dissiper de l'énergie pendant une mesure de frottement intérieur dans le domaine de l'Hertz et vers la température ambiante.

Nous admettrons, donc, cette configuration de défauts et nous allons voir, dans ce qui suit, comment

à

partir du modèle de Friedel

[5],

il est possible de décrire le désancrage thermomécanique des lignes de dislocation et d'interpréter les phénomènes d'anélasticité que nous avons observés expérimentalement. Ce travail com- prend trois parties

:

-

Ia répartition des défauts et le modèle de désan- crage thermomécanique,

-

le calcul du frottement intérieur et de l'anomalie de période,

-

la comparaison de la théorie avec les résultats expérimentaux.

(1) L'analyse spectroscopique donne Fe 2,s p. p. m., Cu 0,5 p. p. m., si 1 p. p. m. Impuretés totales (par rapport de résisti- vité) : 15 à 20 p. p. m.

(2) Les mesures ont été faites avec

un

pendule de torsion inversé déjà décrit [12].

FIG. 2.

-

Courbes 6 = g ⁽⁸⁾mesurées à 153 O K (O), 275 ^{O K}(O), 306 OK (X) et 355 O K

(a).

FIG. 3.

-

Courbes 6 = g ⁽⁸⁾mesurées à 3 fréquences et à la température ambiante.

2. Distribution des défauts et désancrage thermo-

mécanique. - Dans le cas de métaux très purs et bien

recuits, Friedel [5] a considéré le cas simple d'une ligne

de dislocation de longueur L piégée par des défauts

régulièrement répartis

à

une distance L, les uns des

autres (L

9

L, + ^b)

^;

de plus, tous les atomes piégeant

(4)

MODÈLE DE FROTTEMENT INTÉRIEUR RÉSULTANT D'INTERACTION ENTRE LES DISLOCATIONS C2-129

sont supposés être sur la dislocation. L'énergie d'acti-

vation permettant le désancrage

à

partir d'un défaut est

:

WM

:

énergie d'interaction défaut ponctuel-dislocation.

Friedel admet alors que la fréquence de désancrage

à

partir du défaut voisin est plus grande que celle correspondant au premier défaut

:

on aboutit ainsi

à

un désancrage catastrophique

;

cette hypothèse est acceptable si ab2 Lc > kT ou eLC/b > IO-' (E ampli- tude de la déformation lors de la mesure). Par exemple,

à E =

IO-' on doit avoir L, - IO3 b ce qui correspond

à

des matériaux avec une concentration Co en impu- retés inférieure

à

IO-'. En réalité, les matériaux que nous avons utilisés ont une concentration en impu- retés

Co

comprise entre IOp4 et IO-'. Nous devons donc établir le modèle de désancrage

à

partir d'hypo- thèses légèrement différentes de celles de Friedel. En effet,

à

ces concentrations d'impuretés, nous ne pou- vons plus négliger le rôle des atomes de soluté se trou- vant en dehors du plan de glissement de la dislocation et pouvant former une atmosphère de Cottrell. 11 résulte de la présence de cette atmosphère l'existence d'une contrainte interne a i s'opposant au mouvement de la dislocation. La valeur de ai, dans le cas d'une dislocation en équilibre thermodynamique

à

la tempé- rature Tr avec les atomes d'impuretés est donnée par

:

U(y) étant l'énergie d'interaction entre la ligne de dislocation et l'atmosphère d'impuretés ou, en d'autres termes, la variation d'énergie quand le défaut linéaire est déplacé de sa position d'équilibre dans l'atmo- sphère. Si la forme de l'atmosphère n'est pas modifiée et si une dislocation coin se déplace d'une distance y le long de son plan de glissement, cette variation par unité de longueur de dislocation est donnée par

:

br2 sin 8

X

dr dû (2)

r2 +

^{Y 2}^-

2 yr

COS û

ro rayon du cœur de la dislocation.

Nous prendrons pour C(r, 8) la forme simple de Cottrell et Bilby [14]

C(r, 8)

=

C, exp

- ---

"'1

valable pour Co << 1 et C(r, 8) << 1. W(r, 8) est l'éner- gield'interaction entre la dislocation et l'atome de soluté de coordonnées polaires r et

B

L'expression (2) a été calculée pour des interactions faibles, c'est-à-dire W(r,

O)

< kT, [15, 161. Une solu- tion approchée mais plus générale de (2) peut être obtenue en utilisant une méthode d'interpolation ; le résultat de l'intégration est donné par (annexe A) :

d est la largeur de la zone où l'on admet une interaction entre la dislocation et l'atmosphère et peut être prise de l'ordre de 6 b (voir annexe A). Les expressions (1) et (3) donnent alors la valeur de a i

Comme on peut le voir dans l'annexe A, ce résultat apparaît être une bonne approximation pour

1 0 - ~ < c0 ^c 1 0 - ~ ,

250 OK < T, < 400

^{O K}

et 0,l eV < WM < 0,2 eV.

On peut se demander maintenant comment sont distribués les points d'ancrage le long de la ligne de dislocation. La distance 1 entre deux points d'ancrage a, dans l'hypothèse L

%

Lc 4 b, la valeur moyenne

1 w ~ I

1

=

Lc

=

b/Co exp

---

kTr

mais il existe une distribution des valeurs de Z. De nombreux auteurs ont considéré la distribution expo- nentielle de Koehler [l] N(1) dl

=

L / ~ z exp(- Z/Lc) dl.

En tenant compte de l'entropie de vibration des arcs de dislocations libres, Bauer [17] et Alefeld [18] ont montré qu'au-delà d'une certaine température (proche de la température ambiante), la loi de distribution devient

ce qui signifie que le nombre de très grandes boucles et le nombre de très petites boucles augmentent. Comme l'a montré Alefeld [18], la signification physique de ce résultat est la suivante

:

la tendance

à

l'augmentation de l'entropie de vibration de la dislocation provoque des regroupements d'atomes piégeants. Cela nous conduit tout naturellement

à

considérer des lignes de dislocation de longueur L ancrées par des groupes d'atomes de soluté (en moyenne n atomes), la dis- tance moyenne entre groupes étant nLc. Dans nos conditions expérimentales et si la valeur de n est convenable

^(3),

le désancrage

à

partir d'un groupe d'atomes piégeants conduit au désancrage catastro-

(3) Cette hypothèse sera vérifiée a posteriori.

(5)

C2-130 J. PEREZ, P. PEGUIN ET

P.

GOBIN

phique de toute la ligne. L'hypothèse du désancrage l 2 oi

%

simultané

à

partir de n atomes d'impureté a d'ailleurs v,

=

v, 0 [1 + .

1 n

z

été avancée par Friedel [5] dans le cas des faibles

amplitudes de déformation

OU

des fortes concentra- On peut voir que pour les faibles interactions, v, tiens et par Lucke [191 dans le cas des températures est de l'ordre de v,(b/l) tandis que pour Ies fortes

élevées. interactions

(4) V,

ne dépend pas de I et est donné par

:

L'énergie d'activation pouvant provoquer le désan- crage est alors

~,

E

=

nW, - (o - oi)nb2 L,

v, augmente avec cri et se situe entre IO1' et 1011, et avec l'expression (4) donnant la valeur de a i on a résultat en accord avec ceux Granato et al. [21].

Dans ce travail, la fréquence de réancrage est négli- E = E o - o u .

₍₅₎

gée sauf pour

^O=

O. D'autre part, le désancrage

4 d'une ligne de dislocation s'accompagne d'une défor-

E,

= -

3 n

)

W, 1 énergie d'activation sous contrainte mation donnée par

:

nulle.

v

⁼

nb2 L, volume d'activation.

&dis1 =

--

6

G (7)

Nous pouvons déjà remarquer que la détermination

expérimentale de E, et v nous conduit

à

obtenir une (G est le module de cisaillement).

valeur moyenne de n et une valeur de WM puisque Cela étant, nous pouvons exprimer la vitesse de l'on a admis que L, est donnée par désancrage

:

1 w~ 1

Lc

=

b /co exp -

kTr

(

^E0

^{et o}

⁼

^{o, sin}

^ot.

3. Calcul du frottement intérieur et de 19anomalie avec P(t)

⁼

v0 exp - de ~ériode. - Considérons une population de No

segments de dislocation de longueur-L. La fréquence P ( t ) et N(t) sont la fréquence de désancrage et le Eo - ou nombre d'éléments désancrés au temps

t .

de désancrage est de la forme vo exp (- -T)

^O'

Nous pouvons déduire de la relation (8) une expres- v, est la fréquence propre de vibration de la disloca- sion identique

à

celle de Koiwa et Hasiguti [6]

tion.

En fait, la fréquence de vibration d'un segment de dislocation dans une vallée de potentiel n'est pas bien connue. Dans le cas simple où seules les longueurs L, de dislocation qui n'ont pas de point d'ancrage en leur cœur peuvent vibrer, la fréquence de vibration de tels segments est donnée par v,(b/L,), v, étant la fréquence de Debye

;

s'il y a LIL, segments dans la ligne de dislocation, Guyot 1201 a proposé la valeur de la fréquence propre vo

⁼

V,(~L/L:). Granato et al. 1211 ont tenu compte du terme d'entropie dans un cas simple

:

celui de la boucle ancrée uniquement en son milieu. Dans notre cas, ayant admis l'existence d'une atmosphère de Cottrell, nous avons utilisé l'analyse de Leibfried [22] décrivant l'effet de l'agitation ther- mique sur une dislocation située dans une vallée de potentiel. Le mode fondamental de vibration d'un tel défaut de longueur 1 est donné par

:

avec

z = o t .

L'intégrale 1' P(r) dz ne peut pas être calculée

O

simplement. Koiwa et Hasiguti [6] ont développé P(z) en série de façon

à

intégrer les trois premiers termes mais cette méthode de calcul ne permet pas la descrip- tion du frottement intérieur dépendant de la contrainte.

Aussi avons-nous utilisé une autre méthode qui consiste

à

remplacer la fonction P(z) par une autre fonction Q(z) équivalente dans l'intervalle O <

z

<

^TC

(Fig. 4) mais plus facile

à

intégrer. Nous avons choisi

E,

^-

o, v Q(z)

= vo

sinz

z

exp

Ainsi nous obtenons

:

~ ~ ~ Q ( Z ) ~ Z = I X ( ~ - ~ ) (IO) où c est la vitesse de propagation des ondes sonores

(4) En prenant 1 = nLc (n = 5) et ci étant calculé à partir

transversales et

z

la tension de ligne de la dislocation.

_del'expression (4), on que dans le cas d'alliages dilués

Sachant que c

=

(G/p)% et que v, + + (112 b) (G/p)%

¹²

nous pouvons utiliser la forme - >

1

~2 T

(6)

MODÈLE DE FROTTEMENT INTÉRIEUR RÉSULTANT D'INTERACTION ENTRE LES DISLOCATIONS C2-131

I Le frottement intérieur est donné par

:

FIG. 4.

-

Comparaison entre les fonctions

Pz

et Qz. En trait plein, nous avons la fonction :

Avec des tirets nous avons la fonction

avec a0 u = 0,05 eV (a) et oo v = 0,l eV (b) ; dans tous les cas kT = 0,025 eV.

avec

:

a

= -

vo exp 2 w

L'énergie dissipée pendant un demi-cycle de contrainte peut être calculée

:

AW= $ a d E

=

- $ & d a . Avec l'expression (7) nous obtenons

:

et avec (9) et (10)

n exp [-

^{E ( Z} ^-

@F)] .sin 2 z d z . C'est-à-dire (annexe B)

nNo L~

6 = -

18 [exp(- 0,285 a) - exp(- 2,85 a)] . _{(1 1)}

Nous obtenons une expression donnant la variation du frottement intérieur en fonction de a, c'est-à-dire en fonction de la contrainte, de la température et de la fréquence. Cette expression montre que le frotte- ment intérieur passe par un maximum en fonction de a.

De la même façon, il est possible de calculer l'ano- malie de période qui accompagne le pic de frottement intérieur. On suppose généralement que l'anomalie de module est donnée par

:

En fait, cette relation ne paraît pas décrire valablement l'anomalie de module au voisinage du pic de frotte- ment intérieur. En effet, la courbe effort-déformation d'un phénomène de désancrage montre que le rapport a/&, c'est-à-dire le module, varie pendant ce phéno- mène [23]. Ainsi, au cours de la demi-période de l'appli- cation de la contrainte, le module varie continûment, et il paraît donc préférable de calculer l'anomalie de période qui est une donnée expérimentale.

Le désancrage des lignes de dislocation au cours d'un essai de frottement intérieur s'accompagne d'une augmentation de la période d'oscillation qui peut être calculée par intégration des variations élémentaires de période

:

En admettant

E,~,,,

#

f

o/G et en utilisant les expres- sions

(7),

(9) et (10) nous avons

:

Nous arrivons finalement

à

(annexe C )

:

AT

-

No L3

-

To

-

- 72 [s

^-

e p ( - na)

-

4eep(- 1 . ⁽¹²⁾

La figure 5 montre les courbes 6 et AT/To en fonc-

tion de Log a suivant les relations (1 1) et (12). Il peut

être intéressant de comparer ce résultat avec celui

que nous aurions plus facilement obtenu si nous avions

utilisé la fonction de contrainte simplifiée

(7)

J. PEREZ, P. PEGUIN ET P. GOBIN

o = + a o pour

O < z <

n o = - o o pour n < z < 2 n .

Log 'or.

FIG. 5. - Variation du frottement intérieur 6 et de l'anomalie de période AT/To en fonction de :

En trait plein : courbes issues des expressions (11) et (12).

Avec des tirets : courbes issues des expressions (14) et (15) (contrainte carrée).

le nombre d'éléments dépiégés est négligeable devant le nombre d'éléments total.

La différence avec les résultats de Friedel concerne la signification de E,

:

il ne s'agit plus de l'énergie d'interaction W,, mais de l'énergie d'activation du processus de désancrage sous contrainte nulle ; comme nous le verrons plus loin, on trouve expérimentale- ment que E, > ^{W M .}

Le frottement intérieur est alors donné par

:

I

4. Discussion et comparaison avec les résultats expérimentaux. -Ainsi, les résultats réunis sur la figure 5 montrent que le désancrage thermomécani- que des lignes de dislocation pourrait conduire

à

un frottement intérieur présentant un maximum en fonc- tion de Log a, c'est-à-dire Log o, 1/T et a,. En outre, l'anomalie de période accompagnant ce maximum présente deux points particuliers

:

a) Une fraction importante (environ 77 %) de l'anomalie de période est obtenue au maximum de frottement intérieur. On doit noter qu'avec un phéno- mène de relaxation simple décrit par le modèle de Zener, une anomalie de période symétrique par rap- port au maximum de frottement intérieur aurait été obtenue. Or, expérimentalement cette symétrie n'est pas observée comme on peut le voir sur la figure 6

( 5 ) .

soit

:

N o L~ 1 - exp(- na) %

a=---

3 1 + a2 ⁽¹⁴⁾

⁺^;

-

@ 1 -

de même

: ^cg

AT

_-

N o L~ exp(- na) + ^na

^-

¹ _. ₍₁₅₎

To 1 2 n

0:

1 I

-5 -4 -3

Les résultats correspondant aux relations (14) et (15) -=

ⁱ_.^0'_.

sont également représentés sur la figure 5 et l'on peut

constater diffèrent de ceux correspondant aux

^FIG.^6.-Frottement intérieur (trait plein) et anomalie de période (tirets) en fonction de 1/T. Ces résultats sont obtenus

relations (11) et (12). Cet écart provient essentielle-

partir des courbes expérimentales de la figure l(a) en tenant

ment du fait que l'intégrale (13) prend en compte un

compte d'un fond continu de frottement intérieur variant

plus grand nombre d'éléments qu'il ne peut s'en

exponentiellement avec la température.

dépiéger réellement pendant le premier quart de période.

b) L'anomalie de période totale est reliée au maxi- De même, il peut être intéressant de comparer nos

mum de frottement intérieur par

:

résultats avec ceux proposés par d'autres auteurs et

qui concernent le début de la croissance du frottement intérieur c'est-à-dire qui correspondent

à

a petit.

Pour a 4

0,9,

l'expression (11) peut être simplifiée

et mise sous la forme : Le modèle de Zener conduit au facteur 3,14 et Koiwa et Hasiguti donnent 0,79. Expérimentalement, on a, E ,

-

o0

u

6

# #

0,036 N o L~ 5 exp d'après la figure 6, la relation

: Y

(5) La figure 6 a été tracée à partir de la figure l a après

Cette expression est analogue

à

celle proposée par

soustraction d'un fond continu de 6 variant exponentiellement

Friedel [5] et par Saul et Bauer [24] en supposant que

avec la température.

(8)

Le pic P l étudié par Koiwa et Hasiguti présente la

relation On a donc l'équation transcendante

On voit que le facteur expérimental reliant dont la résolution donne n et, par conséquent W,.

L'expression El71 appliquée aux courbes de la figure 2 (6) conduit à [12]

n'est pas trop éloigné de la valeur issue du modèle Tc

=

385

OK

proposé.

L'expression (11) donne le maximum de 6 pour a

=

0,9 et

à

ce moment 94 % des lignes de disloca- tion sont désancrées comme l'indique l'intégrale (9)

:

cette valeur est tout

à

fait en accord avec celle du modèle numérique de Peguin et Birnbaum [9].

La valeur de a donnée par l'expression (10) peut s'écrire

:

où v est la fréquence de la contrainte appliquée.

Comme l'a souligné Alefeld [IO], il est possible d'appliquer cette relation aux résultats expérimentaux tels que 6

=

f(T)

à

différentes fréquences (Fig. lb), 6

=

g ( ~ )

à

différentes températures (Fig. 2) ou 6

= g ( ~ ) à

différentes fréquences (Fig. 3). Les courbes expéri- mentales conduisent aux résultats suivants

:

a) En utilisant une loi d'Arrhenius, une valeur de E est tirée de la pente de Log v

=

F(1IT). Une évaluation de va peut également être obtenue. A partir des courbes de la figure lb, nous avons

:

b) Pour utiliser les courbes 6

=

g(e)

à

différentes températures, l'expression (16) doit être écrite

:

cM est l'amplitude de déformation au maximum de frottement intérieur et Tc une constante

l'ordonnée

à

l'origine de

E , =

F(T) donne eMo

=

Eo/Gv et

à ^E~ =

O nous avons T

=

Tc. Nous obtenons donc

:

Eo

=

L o g o kTc

V =

(23 5 2,3) kTc 4 nav

D'autre part, nous avons vu au paragraphe 2 que

:

On obtient alors les résultats réunis dans le tableau suivant

:

Valeur

Eo

(eV)

^u

(cm3) moyenne WM

de

ⁿ

-

0,75 f 0,10

(5,8

f

1,8)

10-20 4,3 f 0,3 0,13

+

^0,02

La valeur de WM obtenue pourrait être une valeur moyenne de l'énergie d'interaction des différentes impuretés avec les disloca.tions.

On peut noter, également, que la valeur n

=

4,3 permet de respecter la condition de désancrage catas- trophique (paragraphe 2) pour

E

> 3 x 1OP6

;

ce modèle est donc bien applicable

à

la plus grande partie des courbes 6

=

g ( ~ ) de la figure 2.

c)

L'expression (16) peut être mise sous la forme

Go

70

Eo

Log v

= - E,

+ Log

-- -

-

kT 4 na kT'

Ainsi la pente de la droite Log v

=

F(cM) donne v

;

les courbes de la figure 3 conduisent

à

:

On peut ainsi vérifier que les résultats sont cohé- rents. Nous avons dit que la courbe Log v

=

F(1IT) donne E

=

(0,5 4 0,15) eV mais E

=

Eo - o0 v ; avec la contrainte utilisée (oo

=

3 x 106 baryes), nous avons Eo

=

(0,6 0,15) eV

:

cette valeur est en accord avec celle du tableau précédent. En outre, puisque Eo > oo v seule une faible variation de posi- tion du pic 6

=

f(T) peut être attendue quand la contrainte varie

;

en fait, le pic est déplacé vers les basses températures quand la contrainte augmente mais ce déplacement n'est que de 5

OK

environ quand la contrainte passe de 1 0 - ~ G

à

G.

( 6 ) Ces courbes sont tracées a partir de valeurs de 6 globales

mesurées (6 g). Etant donné le gradient de contrainte entre le centre et l'extérieur de l'éprouvette, il faut calculer une valeur locale 62 avec l'expression :

8 d6g 61 = B g + - -

4 ds

(9)

C2-134

J.

PEREZ, P. PEGUIN ET P. GOBIN

Enfin, signalons, pour terminer, que l'hypothèse par les résultats obtenus sur des alliages dilués alumi- du désancrage des dislocations

à

partir des défauts nium-zinc et aluminium-magnésium

[25].

piégeants que forment les impuretés est confirmée Bibliographie

[l] KOEHLER

(J. S.), 1952, Imperfections in nearly per-

fect crystals », Wiley and Sons, 197.

[2]

GRANATO (A.) and LUCKE (K.), J. Appf. Phys., 1956,

27,583.

[3]

GELLI (D.), Phys. Stat. Sol., 1965, 12, 829.

[4]

ROBINSON (W. M.) and BIRNBAUM (H. K.), J. Appl.

Phys., 1966, 37, 3754.

[5]

FRIEDEL (J.), « The relation between the structure and mechanical properties of metals », Nat. Lab., Teddington, 1963, 409.

[6]

KOIWA (M.) and HASIGUTI (R.), Acta Met., 1965,

. .

13, i219.

[7]

TEUTONICO (L. J.), GRANATO (A.) and LUCKE (K.), J. Appl. Phys., 1964, 35, 220.

[8]

HEUSER

(F.), Thesis, Aachen, 1966.

[9]

PEGUIN

(P.) and BIRNBAUM

(H. K.), J. Appl. Phys.,

1968, 39, 4428.

[IO]

ALEFELD (G.), Zeit. Phys., 1962, 170, 249.

[Il] LUCKE (K.), GRANATO

(A.) and TEUTONICO (L. J.),

J.

Appl. Phys., 1968,39, 5181.

[12]

PEREZ (J.), GUENIN (G.) et GOBIN (P.), Mém. Scient.

Rev. Mét., 1968,

2, 185.

1131

PEGUIN (P.), PEREZ (J.) and GOBIN (P.), Trans. AIME,

1967, 239, 438.

[14]

COTTRELL (A. H.) and BILBY (B. A.), PYOC. Phys. Soc.,

1949, 62, 49.

[15]

FRIEDEL

(J.), «

Dislocations », Pergamon Press, 1964,

388.

[16]

HIRTH (J.) and LOTHE (J.),

⁽⁽

Theory of dislocations », M. C. Graw Hill, 1967, 619.

1171

BAVER

(C. L.), Phil. Mag., 1965, 11, 827.

[18]

ALEFELD (G.), Phil. Mag., 1965, 11, 809.

[19]

LUCKE (K.),

« The relation between the structure and

mechanical properties of Metals », Nat. Lab.

Teddington, 1963, 447.

[20]

GUYOT (P.) and DORN (J. E.), Cand.

J.

of Phys.,

1967, 45, 983.

[21]

GRANATO (A.), LUCKE (K.), SCHLIPE (J.) and TEU-

TONICO

(L. J.),

J.

Appl. Phys., 1964, 35, 2732.

1221

LEIBFRIED (G.), « Dislocations and mechanical pro- perties of crystals », Wiley and Sons, 1956,495.

1231

FANTOZZI

(G.),

PEGUIN (P.) et GOBIN (P.), to be published.

[24]

SAUL (R. M.) and BAUER

(C.

L.), J. Appl. Phys., 1968,

39, 1469.

[25]

PEREZ

(J.),

PEGUIN (P.) et GOBIN (P.), accepted in

J.

Phys. Appl.

ANNEXE A

En considérant C(r, 8) > Co et en négligeant l'effet des impuretés dans la région où elles sont repoussées par la dislocation, nous avons

:

exp (- ^!!&-! =)

r2 sin 8 d r dB

kT,.

r

+

^{r 2}

^- s

yr COS

e

Comme on peut le voir sur Ia figure

7

la fonction exp (w2i:r ^O) peut être remplacée par la fonction :

1 W, 1 ^b ^{sin 8}

exp (T) ( 7 )

ce qui donne

:

IW I sin3 8

U ( Y ) f

wM ^exP (") _kT, 1 ^*

b

1%

O r2

+

^-

2

r y cos 8

^{dr d6}

⁼

b - y cos 8 - arctg

---

y sin

0

=

Co W, exp dB

Y

2 cas peuvent alors être distingués

:

7c

b - y cos 8

y sin 8 y

c b

: -

- arctg -

^-

2 y sin 0 b -

y COS

8

(10)

MODÈLE DE FROTTEMENT INTÉRIEUR RÉSULTANT D'INTERACTION ENTRE LES DISLOCATIONS C2-135

utilisons la variable u

=

cos 0

71

b -

y

cos e

y > b

^{: -}

- arctg---

2 m z - e

y sin

8

Afin de calculer l'intégrale (2)

à

l'ordinateur, nous devons l'écrire sous la forme

:

1 WMI sinn-

^COS

n

^-7c

Co exp 20

avec y

=

ub, r

=

mb,

dr =

b,

8 =

n(x/20), dB

=

71/20.

déplacement

Y

FIG. 7. - Comparaison entre les fonctions exp WM b sin 6' 2

(tirets) et exp

[

-

k T ] ' ( b )

sin 6' = l(a) et sin 6' = 112 (b).

De cette manière, il est possible de faire la somme des interactions élémentaires entre la ligne de disloca- tion et les impuretés situées dans le volume b2(x/20).

FIG. 8. -Variation de l'énergie d'interaction U(y) avec le déplacement y. On peut comparer le résultat du calcul numérique (tirets) avec le résultat analytique (trait plein).

Les impuretés sont en équilibre thermodynamique à 450 OK (a) 310 OK (b) et 250 OK. Les courbes sont tracées avec

WM = 0,l eV et Co = 10-5.

Les segments de droite représentent la fonction U(y) linéarisée dans chaque cas.

(11)

C2-136 J. PEREZ, P. PEGUIN ET P. GOBIN

Cette somme est étendue aux impuretés situées

à

une Dans chaque cas WM est égal

à

0,l eV et

Co

égal

à

distance comprise entre b et 30 b de la dislocation. 5 x IO-'.

La variation de U(y) avec y est montrée sur la L'existence de cette atmosphère conduit donc

à

figure 8 où sont les courbes correspondant

à

l'équilibre l'apparition d'un terme correctif dans l'expression thermodynamique des défauts

à

250,310 et 400 OK. Les donnant l'énergie d'activation correspondant au désan- courbes a, b et c ont - - - - été obtenues numériquement ; crage. En première approximation, ce terme correctif les courbes

^-