LA TURBULENCE ATMOSPHÉRIQUE

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Submitted on 1 Jan 1976

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LA TURBULENCE ATMOSPHÉRIQUE

J.-C. André

To cite this version:

J.-C. André. LA TURBULENCE ATMOSPHÉRIQUE. Journal de Physique Colloques, 1976, 37 (C1),

pp.C1-163-C1-172. �10.1051/jphyscol:1976124�. �jpa-00216451�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C l , supplément au n° 1, Tome 37, Janvier 1976, /?age Cl-163

LA TURBULENCE ATMOSPHÉRIQUE

J.-C. ANDRÉ

Météorologie Nationale, EERM/GMD, 73-77 rue de Sèvres, 92100 Boulogne, France

Résumé. — L'écoulement du fluide atmosphérique est régi par l'équation de Navier-Stokes et le second principe de la thermodynamique. Les forces extérieures agissant sur ce système sont essen- tiellement la gravité, la force de Coriolis due à la rotation terrestre, le frottement dynamique et les sources de chaleur au niveau du sol. L'action perturbatrice du sol sur cet écoulement se fait sentir jusqu'à une altitude de l'ordre du kilomètre. Au-dessus de cette altitude, l'écoulement est quasi horizontal et est caractérisé par la conservation de deux quantités quadratiques : l'énergie cinétique et la vorticité pseudo-potentielle. En conséquence, une théorie de la turbulence bidimensionnelle est susceptible de décrire les principales propriétés statistiques d'un tel écoulement, comme la loi de répartition spectrale et l'énergie cinétique et le phénomène de prédictabilité. Pour de faibles altitudes, l'action perturbatrice du sol induit des mouvements verticaux responsables de la plus grande partie des transferts turbulents vers les couches supérieures de l'atmosphère. La turbulence peut alors être d'origine dynamique ou thermique et la modélisation d'une telle turbulence, tridimensionnelle et inhomogène, pose de nombreux problèmes qui ne peuvent guère être résolus qu'en prenant en compte explicitement la dynamique des corrélations doubles et même triples.

Abstract. — The atmospheric flow is governed by the Navier-Stokes equation and by the second law of thermodynamics. External forcing is supplied by gravity, acceleration due to the rotating earth, dynamical drag and heat sources at ground. Up to an altitude of the order of one kilometer, the perturbations induced by the ground are noticeable. Aloft, the flow is quasi-horizontal and is characterized by the conservation of two quadratic quantities : kinetic energy and pseudo-potential vorticity. A theory of two-dimensional turbulence provides consequently a basis for the description of the main statistical properties of such a flow like the spectral distribution of kinetic energy and like predictability. At lower altitudes, the ground induces vertical motions which are responsible for most of the turbulent transport towards the upper atmospheric layers. Turbulence can then be generated by dynamical or thermal phenomenon but, since it is essentially three-dimensional and inhomogeneous, its modellisation gives rise to numerous difficulties. These can possibly be solved by taking into account the dynamics of double and even triple correlations.

1. Introduction. — Une des caractéristiques essen- tielles de l'atmosphère est que son mouvement intéresse une très large gamme d'échelles spatiales et temporelles.

Par exemple, une analyse spectrale de l'énergie ciné- tique de l'écoulement atmosphérique en termes de longueur d'onde spatiale ou de période temporelle montre que des mouvements dont l'extension spatiale est de l'ordre du centimètre et la durée caractéristique de l'ordre de la seconde coexistent avec les plus grands mouvements spatiaux de plusieurs milliers de kilo- mètres d'extension horizontale et d'échelle de temps de l'ordre de quelques mois (Fig. 1 d'après Van der

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T 1 1

6 .

'" ⁴ - A

Q\ 1 1 1 1 T I i 1 1 1 1 1 1 1

100 K) 1 0,1 0,01 0,001

IY'KKIC Uicurvsl

FIG. 1. — Spectre temporel de l'énergie cinétique du vent à 100 m d'altitude (d'après [1]).

Hoven [1] et Fig. 2 d'après Vinnichenko [2]). Entre ces deux extrêmes, et bien que toutes les fréquences temporelles et toutes les longueurs d'onde spatiales soient énergétiques, il est possible de trouver des plages

1 1 1 1 1 1 1

6 0 0 .

« 4 0 0 . I

"* 200 . 1

Q I 1 1 1 1^ r—^ i r 1 10~

10

1 10 10

10

10

10

Fréquence (1/jour)

Fio. 2. — Spectre temporel de l'énergie cinétique du vent dans l'atmosphère libre (d'après [2]).

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1976124

spectrales relativement moins excitées qui permettent de différencier trois grandes classes de mouvements (Fiedler et Panofsky [3]) :

- les mouvements d'échelle sy~roptique qui inté- ressent les longueurs d'onde horizontales supérieures à 100 km et dont l'échelle de temps est de l'ordre de quelques jours. Ces mouvements sont ceux qui sont étudiés préférentiellement pour établir les prévisions météorologiques ;

- les mouvements de micro-échelle dont l'extension horizontale et verticale est souvent inférieure à quelques kilomètres et qui intéressent des échelles de temps variant de la minute a une heure au maximum. Ce type de mouvements peut être, par exemple, matérialisé par l'apparition et la disparition de petits nuages ;

- entre les deux échelles précédentes, assez bien différenciées, s'étend la mkso-échelle qui est principa- lement due au cycle diurne. Les échelles horizontales concernées sont de I'ordre de quelques dizaines à quelques centaines de kilomètres alors que les échelles temporelles sont de l'ordre de la journée. Les brises de terre et de mer donnent un bon exemple de ce type de mouvements.

La dynamique atmosphérique doit être abordée sous un angle statistique pour de multiples raisons. Tout d'abord, l'étendue totale du spectre d'énergie de l'atmosphère est telle que sa partie haute fréquence (micro-échelle) ne peut être traitée explicitement par les mêmes méthodes que la partie basse fréquence (échelle synoptique), aussi bien du point de vue expé- rimental que du point de vue de la simulation numé- rique, les mouvements de haute fréquence apparaissant toujours comme une partie aléatoire de l'écoulement.

Mais d'autre part le même problème se pose pour chacune des trois grandes classes de mouvements prises séparément car leur étendue spectrale respective (au moins deux décades) nécessite déjà un traitement aléatoire.

11 est aussi possible de caractériser les divers mouve- ments atmosphériques par une altitude et une extension verticale préférentielles. Aux basses altitudes l'influence du sol est prépondérante et les diverses hétérogénéités de celui-ci induisent des mouvements tridimensionnels.

L'extension maximum, verticale et horizontale, de ces mouvements est comparable et de l'ordre de quelques kilomètres. Ceci définit la Couche Limite Planétaire, domaine de la micro-échelle. Pour des altitudes plus importantes, l'influence du sol s'annule pratiquement et, dans ce cas, la gravité jouant un rôle prépondérant l'écoulement deviendra quasi bidimensionnel. A ces altitudes, c'est-à-dire par définition dans l'atmosphère libre, l'extension horizontale du mouvement est géné- ralement très importante et correspond à l'échelle synoptique. La méso-échelle est intermédiaire et cons- titue en fait la zone de raccordement entre les deux échelles précédentes. Elle regroupe les phénomènes d'assez grande extension aussi bien suivant l'horizon-

tale que la verticale et il n'est plus possible de la carac- tériser par une dynamique purement bidimension- nelle.

Les considérations précédentes sont schématique- ment représentées à la figure 3 qui regroupe les princi- paux phénomènes atmosphériques et leurs caractéris- tiques essentielles, d'après Lilly et Lenschow 141.

1 1

1 1 I I 1 1 1 1 1 1

10' k m m ' k m m'km 10km I k m lOOm 10m l m 10- l c m

FIG. 3. - Les principaux phénomènes atmosphériques et leurs échelles (d'après [4]).

Nous nous limiterons ici à donner quelques exemples de dynamique turbulente de l'atmosphère dans les deux cas extrêmes : échelle synoptique et micro-échelle.

En effet, chacune de ces deux situations est susceptible de simplifications propres et tombe respectivement dans le domaine d'application de deux types de théo- ries de la turbulence : turbulence bidimensionnelle d'un fluide incompressible et turbulence tridimension- nelle d'un fluide de Boussinesq. En ce qui concerne la turbulence de méso-échelle nous renverrons au livre de L. N. Gutman [SI.

2. Les équations de la dynamique atmosphérique. -

Le fluide atmosphérique peut être assimilé à un gaz parfait. Pour simplifier le problème, l'action thermo- dynamique de la vapeur d'eau ainsi que les change- ments de phases de l'eau atmosphérique seront négligés.

Dans ces conditions l'écoulement est régi par l'équation

de Navier-Stokes et par une équation thermodyna-

mique. L'équation d'état et l'équation de continuité

(conservation de la masse) complètent le système et

permettent de déterminer l'évolution des 5 paramètres

fondamentaux : les trois composantes de la vitesse

V ⁼ (u, v , w ) (qui seront parfois notées u i , i = 1 à 3),

la température T et la pression p. Les forces extérieures

qui agissent sur ce système comprennent la force de

gravité et la force d'entraînement due à la rotation

terrestre (force de Coriolis) ainsi que d'éventuelles

forces de friction F = (Fi, i = 1 à 3) et/ou d'apport

extérieur de chaleur au taux dQ,/dt. Dans tous les

problèmes de dynamique atmosphérique on néglige

les apports de chaleur dus à la dissipation de l'énergie

cinétique. En négligeant de plus la contribution de la

divergence de la vitesse aux contraintes visqueuses,

le système d'équations s'écrit, en utilisant la convention

de sommation sur les indices répétés :

LA TURBULENCE

où t est le temps, (xi, i = 1 à 3) les coordonnées spa- tiales parfois notées (x, y, z) (.x3 = z orientée suivant la verticale ascendante), ^E~~~ est le tenseur de permu- tation, dij le tenseur de Kronecker, g le module de l'accélération de la pesanteur et l2 = (w,, i = 1 à 3) le vecteur représentant la rotation terrestre ; ses compo- santes horizontales o , et o2 sont habituellement négligées car elles n'apparaissent qu'en association avec la vitesse verticale u3 = w qui est toujours plus faible que la vitesse horizontale ; ceci conduit à ne plus considérer que le paramètre de Coriolis

(q est la latitude du lieu). v représente la viscosité cinématique, 3, la'conductibilité thermique, R la diffé- rence et y le rapport des chaleurs spécifiques de I'air à pression constante (C,) et à volume constant (C,).

Pour certains usages i l peut être utile d'introduire, à la place de la température, une nouvelle variable directement reliée à l'entropie S : la température potentielle 8. En effet la variation d'entropie dS/dt s'écrit :

d S 1 dQ

- - d T d P

- - - - ' - C

dt T dt " T d t p d t '

La température potentielle 8 définie par d S ⁼ C, dO/B est donc donnée par

et l'évolution de la température potentielle obéit à - 80 + u ao . = - n

a20 + - i - e d ~

at

ax, y a ~ , ax, c, T dt - ^{( 2 bis)}

Cette nouvelle forme de l'équation thermodynamique est particulièrement intéressante dans le cas d'un écou- lement adiabatique (ou isentropique), c'est-à-dire lorsqu'il n'y a pas de source extérieure de chaleur.

Un tel système est caractérisé par des échanges entre les diverses formes d'énergie : l'énergie cinétique

l'énergie potentielle

et l'énergie interne

Ces échanges obéissent à :

Dans les équations précédentes les échanges entre énergie cinétique et énergie interne créés par la visco- sité moléculaire ont été omis car ils sont le plus souvent négligeables comparés à ceux dus à la compressibilité de I'air. La gravité permet évidemment une transforma- tion d'énergie cinétique en énergie potentielle mais, &

l'équilibre, la machine thermique atmosphérique est globalement caractérisée par une transformation de l'apport extérieur de chaleur (rayonnement solaire) en énergie cinétique et cette dernière est finalement détruite par les forces de friction conformément à

3. Echelle synoptique et macro-turbulence. - La cir- culation atmosphérique d'échelle synoptique intéresse des phénomènes de grande extension horizontaIe. Pour aborder ce problème il est donc utile d'introduire des échelles caractéristiques relatives aux différentes gran- deurs intervenant dans les éq. (1) à (4) (Charney [ 6 ] ) . Les échelles de longueur horizontale et verticale seront notées respectivement L et D et les échelles dc vitesse respectivement V et W. L'échelle de temps est alors égale à LIV. Une analyse dimensionnelle de l'équation thermodynamique sous sa forme (2 bis), sans source de chaleur, montre que

où R, = V/2 1 fi 1 L. nombre de Rossby, est la vitesse horizontale de l'écoulement mesurée par rapport à la variation de la vitesse d'entraînement de la rotation terrestre en deux points espacés horizontalement de L.

11 est alors possible d'analyser les éq. (1) à (4) en fonc- tion des différentes échelles introduites ci-dessus. Trois nombres sans dimensions apparaissent. Ce sont, en plus du nombre de Rossby R,, le nombre de Froude

Fr = 4 1 SZ l 2 L ~ / ~ D

mesurant l'intensité relative des forces d'entraînement et de gravité et le nombre 6 = D / L caractérisant le rapport des échelles horizontale et verticale. Pour les mouvements d'échelle synoptique où typiquement

ilvient donc (g

10 m.s-'et 1 1

7 x IO-' S - l ) :

Un développement à l'ordre O du nombre de Rossby conduit alors à une atmosphère stationnaire, incom- pressible, sans vitesse verticale, caractérisée par l'équi- libre hydrostatique. Le vent, qui est tangent aux lignes d'égale pression, équilibre la force d'entraînement de la rotation terrestre et les forces horizontales de pres- sion (système dit géostrophique).

Pour obtenir une atmosphère en évolution il est nécessaire de considérer le développement à l'ordre 1 du nombre de Rossby. Dans le système alors obtenu (appelé quasi géostrophique) l'équilibre hydrostatique subsiste et la vitesse verticale n'intervient plus dans l'équation du mouvement. L'écoulement est essentiel- lement bidimensionnel et incompressible. De plus il y a conservation de deux quantités :

- l'énergie E = E, + E,, somme de l'énergie ciné- tique horizontale

et de l'énergie potentielle disponible

- I'enstrophie pseudo-potentielle

où la quantité entre crochets (vorticité pseudo-poten- tielle) est la somme du tourbillon propre de l'écoule- ment

et d'une quantité reliée au tourbillon d'entraînement par l'intermédiaire d'un terme de stratification (Char- ney VI).

Dans ces définitions l'indice s appliqué aux variables thermodynamiques désigne leur valeur dans Urie atmo- sphère standard au repos, et f, est le paramètre de Coriolis à la latitude qO.

Cette analyse de la dynamique de l'échelle synop- tique conduit, pour étudier le mécanisme turbulent de

ces échelles, à adopter un modèle présentant les mêmes propriétés structurelles. Le modèle retenu est celui de la turbulence bidimensionnelle homogène et isotrope d'un fluide incompressible, pour laquelle les propriétés de conservation sont analogues : conservation de l'énergie cinétique E (carré de la vitesse) et de l'enstrophie D (carré du tourbillon).

11 est nécessaire à ce niveau de décrire rapidement la théorie de la turbulence qui a été utilisée. Cette théorie est interprétable en termes d'hypothèses de fermeture. Très schématiquement, l'évolution d'une corrélation double, comme par exemple un spectre d'énergie < uir >, nécessite la connaissance de corré- lations triples < uuu > qui sont elles-mêmes détermi- nées par des corrélations quadruples < ^uuuu >.

L'hypothèse de fermeture dite quasi normale qui consiste à donner comme valeur aux corrélations quadruples leur valeur dans le cas gaussien (normal), c'est-à-dire

< u u u u > = C < u u > < u u > ,

3 termes

ferme évidemment le problème, mais une telle approxi- mation conduit à l'apparition de spectres d'énergie négatifs (Ogura [8]). Ce défaut peut être corrigé en introduisant dans l'équation d'évolution des corréla- tions triples un terme de relaxation linéaire

- ^p < ^uuu >

destiné à représenter le puit de corrélations triples que constitue l'écart à la gaussianité des corrélations qua- druples (Orszag [9] et Lesieur [IO]). Une telle hypo- thèse de fermeture, dite quasi-normale avec amortisse- ment turbulent, est alors satisfaisante dans la mesure où elle conduit à des spectres d'énergie positifs. L'amor- tissement turbulent p peut être calculé de différentes façons (André [l 11)' mais il ne semble pas que sa forme précise soit déterminante.

L'application de ce modèle de turbulence bidimen- sionnelle a permis notamment de mieux comprendre deux types de phénomènes : l'existence de spectres d'énergie qui suivent des lois de puissance et la notion de prkdictabilité, c'est-à-dire la décorrélation progres- sive de deux écoulements pratiquement identiques à l'instant initial. Nous nous limiterons à ces deux aspects de la macro turbulence.

3 . 1 LA DYNAMIQUE DE L'ÉCHELLE SYNOPTIQUE. -

L'expérience Eole (More1 et Bandeen [12]) a permis

d'étudier la dynamique de grande échelle et la macro

turbulence à l'aide d'un grand nombre de ballons

plafonnant à une altitude de l'ordre de 12 km. Ces

ballons, localisés au cours du temps par un satellite

artificiel, ont matérialisé l'écoulement et il a donc été

possible de reconstituer le spectre d'énergie des

mouvements atmosphériques en faisant une analyse de

Fourier soit du champ spatial de vitesse, soit de la

corrélation des vitesses en deux points différents, ou

bien en étudiant la dispersion relative de ces ballons

LA TURBULENCE (More1 et Larclieveque 1131). Le résultat est que le spectre d'énergie défini par

où E(k) est la contribution à l'énergie totale E des mouvements de nombre d'onde k (d'échelle - ^lJk),

est proportionnel à k-", x = 3 + 0,1, pour l'échelle synoptique (entre 100 et 1 000 km).

Ce résultat expérimental peut être expliqué par le modèle de turbulence bidimensionnelle décrit plus haut. Tout d'abord, d'un point de vue phénoménolo- gique, la conservation de l'enstrophie

ne permet pas à l'énergie de gagner les grands nombres d'onde (petites échelles) car un tel processus aurait pour effet d'augmenter I'enstrophie. Il faut donc envisager un transfert d'enstrophie vers les petites échelles et dans ce cas un calcul dimensionnel montre que, si P

désigne ce taux de transfert d'enstrophie,

(Kraichnan [14]). De façon plus complète, et pour tenir compte de l'apport d'énergie et d'enstrophie à un certain nombre d'onde k,, il est possible de montrer qu'un régime quasi stationnaire développe un spectre d'énergie constitué de deux parties très différenciées :

- dans la partie basse fréquence, k < ko, l'énergie est transférée vers les grandes échelles à partir de ko et le spectre d'énergie E(k) y suit la loi de Kolmogorov classique en k-'I3 ;

- dans la partie haute fréquence, k > ko, l'enstro- phie est transférée vers les petites échelles où elle est finalement dissipée par la viscosité. Cette explication phénoménologique a pu être testée numériquement pour de faibles nombres de Reynolds directement sur l'équation de ~ a v i e r - ~ t o k e s bidimensionnelle (Lilly [15]) et à grand nombre de Reynolds à l'aide de la théorie quasi normale avec amortissement turbulent (Pouquet et al. [16]). Il a été ainsi montré que la partie du spectre en k-513 est caractérisée par un transfert constant d'énergie vers les grandes échelles (égal en valeur absolue au taux d'injection E ) et un transfert nul d'enstrophie, alors que dans la partie du spectre en k - j l'enstrophie est transférée à un taux constant vers les petites échelles sans qu'il y ait de transfert d'énergie. Ce type de dynamique turbulente explique bien le comportement de l'échelle synoptique pour laquelle on peut identifier une échelle de fourniture d'énergie et d'enstrophie, vers 3 000 km, due à l'exis- tence de gradients horizontaux de température (insta- bilité barocline). Le spectre d'énergie atmosphérique de grande échelle en k - 3 correspond donc à un trans- fert d'enstrophie pseudopotentielle vers les petites échelles. Mais dans ce cas l'existence de la friction F(éq. (1)) ne permet pas le développement d'une partie

spectrale en k -

car le nombre d'onde caractéristique de cette force de friction n'est pas assez différent de celui de l'instabilité barocline. La figure 4 schématise ces différents résultats.

l o g k

FIG. 4. - Dynamique turbulente de i'atmosphère de grande échelle.

3 . 2 LA PREDICTABILITE. - Il s'agit d'un problème fondamental en dynamique atmosphérique. Compte tenu du fait qu'il est techniquement impossible de mesurer l'état du mouvement atmosphérique de petite échelle en même temps que celui de grande échelle, l'initialisation du mouvement peut être faite de façon relativement exacte pour les grandes échelles mais il y a alors une très forte incertitude, et A la limite une igno- rance totale, sur les mouvements de petite échelle.

L'étude de la prédictabilité est l'étude de l'influence de cette erreur initiale sur le comportement ultérieur de l'écoulement.

Des simulations numériques directes de l'équation de Navier-Stokes bidimensionnelle pour deux écoule- ments, dont l'un est obtenu initialement à partir de l'autre par addition d'une perturbation aléatoire de très faible amplitude, montrent que le carré de la différence des vitesses entre les deux écoulenlents augmente exponentiellement avec le temps (Lilly [18]).

Ce phénomène a aussi été étudié dans le cadre de la théorie de la turbulence bidimensionnelle. Pour cela il suffit de considérer deux ensembles de réalisations u(') et u@) ayant les mêmes propriétés statistiques mais qui ne sont pas complètement corrélés entre eux. De cette façon le spectre d'énergie E(k) apparaît comme la somme d'un spectre d'énergie corrélée W(k) et d'un spectre d'énergie décorrélée A(k), où A(k) est le spectre d'énergie de la demi-différence des vitesses

( u ( l )

- u

)/2

entre les deux ensembles de réalisations. L'approxima-

tion quasi normale avec amortissement turbulent peut

alors être utilisée pour construire les équations d'6vo-

lution de E(k, t ) et de A(k, t). Si la décorrélation initiale est principalement concentrée dans les grands nombres d'onde (par exemple A(k, O) ⁼ (klk,) E(ko) pour k < ko et A(k, O) = E(k, O) pour k 2 k,), l'évolution temporelle de A(k, t ) donnera une mesure de la propa- gation de l'erreur initiale vers les plus grandes échelles (Leith 1191, Leith et Kraichnan 1201). En utilisant un spectre d'énergie E(k) typique de l'atmosphère et en considérant une erreur initiale e(0) faible

des calculs numériques montrent que l'erreur e(t) croît au cours du temps et que la décorrélation gagne pro- gressivement les grandes échelles. Dans ce cas parti- culier, une erreur totale d'environ 25 % apparaît au bout de quelques jours et, après environ deux semaines, I'errcur est presque complète ( e ( t ) - ^{80 "/,). De plus,}

si l'on considère une meilleure résolution initiale, par exemple en augmentant k,, la prédictabilité reste du même ordre de grandeur (Fig. 5). Ceci montre que la prévision du mouvement atmosphérique d'échelle synoptique se heurte à une limitation sévère due à la méconnaissance des petites échelles. Ce phénomèrie, d'inttrêt météorologique considérable, est une mani- festation d'un problème plus général : celui de la stabilité de l'équation de Navier-Stokes bidimen- sionnelle [18].

FIG. 5. - Temps de prédictabilite relatif à une atmosphère bidimensionnelle incompressible (d'aprés [19]).

4. Couche limite et micro-turbulence.

La couche limite planétaire est la partie de l'atmosphère dans laquelle les influences dynamique et thermique de la surface terrestre sont directement sensibles ; à travers cette couche se font la plus grande partie des échanges :

- de chaleur, qui propagent verticalement le réchauffement ou refroidissement du sol au cours du cycle diurne,

- de quantité de mouvement, qui transmettent en altitude le freinage de l'air par le sol.

La couche limite planétaire peut donc être définie comme la zone à l'intérieur de laquelle les flux turbu- lents de chaleur et de quantité de mouvement sont non négligeables et l'expérience montre que la hauteur typique H de cette couche est de 1 ou 2 km. Cette épaisseur est relativement faible par rapport à l'échelle de hauteur L déduite des variations de la masse volumique

et il est donc possible d'appliquer I'approxin~ation de Boussinesq (Spiegel et Veronis 1211) aux éq. (1) à (4) qui deviennent respectivement (en omettant les sources extérieures de chaleur et les forces de friction) :

aui au. 1 ap,

- - - + u _ût + ^{v ---} azui

j ' a x j

p o a ~ i û x j â x j +

où po et To sont des valeurs caractéristiques (constan- tes) de la masse volumique et de la température,

fi = g/To représente la poussée d'Archimède et où l'indice 1 appliqué aux variables thermodynamiques représente l'écart de ces variables à leur valeur dans un état de référence parfait, hydrostatique et adiabatique.

Dans la couche limite, la prépondérance des trans-

ferts verticaux par rapport aux transferts horizontaux

permet de négliger ces derniers en leur appliquant

l'hypothèse d'homogénéité statistique horizontale (il

faut noter que cette hypothèse ne s'applique pas à la

pression moyenne). Dans

ce cas l'équation de conti-

nuité implique ü3 E w = O et la hiérarchie d'équations

aux corrélations statistiques construite à partir des

éq. (6) à (10) se simplifie. Par exemple, l'énergie ciné-

tique turbulente

LA TURBULENCE

obéit à (Lumley et Panofsky [22])

- - au: au:

= c -

- ~ ( E ~ + & L , , G -,,POT

at a~ ^{aE oz} 1 a x j .xi

Les trois premiers termes correspondent au transport d'énergie cinétique par la turbulence, le quatrième à la dissipation visqueuse de l'énergie cinétique en chaleur, et les trois suivants à la production (algébrique) de turbulence d'origine dynamique (interaction avec l'écoulement moyen) ou thermique (poussée d'Archi- mède).

Suivant la valeur des flux turbulents de quantité de _- - mouvement (u' w' et v' w ' ) et de chaleur (w' 6') il est possible de distinguer deux parties dans la couche limite (Fig. 6). Au voisinage du sol, on peut négliger

Atiiiospltérc libre Tliix turbiiktilr iicgligcahlc\

w l k m - - - - - - - -

Flux iurbulenits n<iii iiuls Couîlie Iimiie

.,

Plan6loirc

Profil de vent en y , , r d c ,rl:km.w,

%50m - - - - - - - -

Couclle liliiiir Fltm ~ t w h u l e n i ~ c o ~ ~ ~ i s ~ ~ i ~ Superficicllc Prttfil de tciit lupritliiiinliie

FIG. 6. - Principales caractkristiques dc la couche limite atrnospherique.

les forces de pression et de Coriolis (Tennekes [23]) si bien que l'équation du mouvement moyen s'écrit en régime stationnaire (d'après (6)) :

a -

O = - ' ^{(il u : ~ ' - v -} :) # - u : w l az

.

az

Cette équation définit la couche à flux constant (dite aussi couche limite superficielle ou couche logarith- mique) à l'intérieur de laquelle

2 2

-

(u' w' + ^{v' w'} )Il2 ^{= u:} ; w' 61' = Qo .

Un calcul simple montre que dans l'atmosphère cette couche a une épaisseur typique de 50 m (Monin et Yaglom [24]). En régime neutre, c'est-à-dire lorsque Q, = O, le vent est déterminé en fonction de l'altitude et de la tension turbulente au sol u, par

Pour des altitudes supérieures à la hauteur de la couche limite superficielle, les forces de pression et de Coriolis doivent être prises en compte. C'est le domaine de la couche limite planétaire (ou couche limite d'Ekman), de 1 ou 2 km d'extension verticale. Elle peut avoir 'une stratification instable, neutre ou stable (ao,/az négatif, nul ou positif) et dans ce dernier cas l'expérience montre que l'hodographe du vent a une forme en spirale entre sa valeur au sommet de la couche limite superficielle et sa valeur géostrophique à la base de l'atmosphère libre [24].

En ce qui concerne l'étude théorique de la couche limite quatre sortes d'approches ont été principalement développées.

4.1 THÉORIE DE SIMILITUDE.

Dans le cas station- naire il est possible de développer une théorie basée essentiellement sur l'existence et la reconnaissance des paramètres fondamentaux qui déterminent la structure de la couche limite : c'est la théorie de similitude dont une explication générale est donnée par Monin et Yaglom [24]. Cette théorie a d'abord été développée dans le cas de la couche limite superficielle. En effet, dans cette couche, les paramètres fondamentaux sont les flux constants de chaleur Q, et de quantité de mou- vement u*, l'altitude

z, le paramètre p lié à la poussée d'Archimède. 11 est possible de définir une longueur L (longueur de Monin-Obukhov) et une seule par

où le signe moins et la présence de la constante de Karman k ( k

0,4) sont traditionnels. La théorie de similitude postule que toutes les quantités (convenable- ment normalisées) sont des fonctions universelles de z / L , par exemple

-

ô6 - = - -

a~ ^kzu,

...(;j ^.

Des mesures systématiques dans les cinquante premiers mètres de l'atmosphère (Businger et al. [25]) ont permis de vérifier la réalité physique de cette théorie et de calculer certaines fonctions universelles comme

Toutefois la théorie de similitude rend mal compte, dans la couche limite superficielle, du régime convectif pur où u, = O (Businger [26]) et il est assez difficile de l'étendre au cas de la couche limite planétaire (Zilitin- kevich [27] et Arya [28]). Elle est pourtant très utile pour la formulation des conditions à la limite inférieure dans des problèmes où l'extension verticale considérée est plus importante.

4 . 2 COEFFICIENTS D'ÉCHANGE. - La plus simple

méthode d'approche de la turbulence dans la couche

limite en régime transitoire est la méthode des coeffi- cients de diffusion dans laquelle il est supposé que le flux turbulent d'une quantité a s'exprime en fonction du gradient de cette quantité moyenne par

- _au w'cc'= - K -

az

où Ka est le coefficient d'échange turbulent. Ce coeffi- cient, qui en toute rigueur est une fonction de l'écoule-

ment

peut être pris constant ou bien calculé grâce à la théorie de la longueur de mélange 1 (Prandtl [29]) :

Ces approches ont toutes en commun le fait que Ka est positif. Cette caractéristique permet de comprendre le mécanisme turbulent de la couche limite. En effet, en introduisant les coefficients d'échange Ku et K,, la somme des termes de production d'énergie de l'éq. (1 1) s'écrit :

où Ri est le nombre de Richardson et Pr, = K,,/K, est le nombre de Prandtl turbulent. Ceci montre que dans une telle théorie le mouvement turbulent est toujours alimenté en énergie cinétique aux dépens de l'écoulement moyen, et que seule une assez forte stabi- lité thermique (Ri 2 Pr,) peut contrebalancer cet effet et contribuer ainsi à l'extinction de la turbulence.

Bien que ce schéma soit grossièrement vérifié, la posi- tivité du coefficient d'échange n'est pas une caracté- ristique de l'atmosphère. En particulier le flux turbu- lent de chaleur peut être du même signe que le gradient thermique, surtout au voisinage de I'adiabatisme (Dear- dorff [30]). Cette limitation dans l'utilisation de la méthode des coefficients d'échange peut être partielle- ment levée en calculant la longueur de mélange 1 de telle façon que celle-ci puisse être négative (Rossby [31]), mais il reste que le flux turbulent s'annule tou- jours lorsque le gradient est nul, en contradiction avec

la réalité [30].

4 . 3 METHODE EXPLICITE. - Bien que la méthode des coefficients d'échange ait de sévères limitations, il est tout de même possible de l'utiliser si l'on travaille directement sur les éq. ( 6 ) a (IO), à une échelle suffisam-

ment fine pour que cette formulation n'ait plus une importance prépondérante. Deux types de conditions doivent être respectées :

- la maille de discrétisation des équations tridi- mensionnelles doit être assez petite pour que les échanges calculés explicitement dans le modèle représentent une forte proportion des échanges totaux,

- la maille doit être assez fine pour qu'à cette échelle il y ait effectivement un transfert d'énergie vers les plus petites échelles. Si ces deux conditions sont respectées, ce qui dans le cas de la couche limite plané- taire implique un réseau de discrétisation tridimen- sionnel dont la maille est au maximum d'une cinquan- taine de mètres, il est possible de calculer explicitement I'évolution des paramètres principaux, vent et tempéra- ture ; les coeficients d'échange n'interviennent alors que pour paramétriser les échanges dus aux échelles inférieures à la maille. Cette méthode a été développée par Deardorff [32] en deux étapes principales. Tout d'abord les coefficients d'échange ont été utilisés pour calculer directement les termes du tenseur de Reynolds [33]. Il s'est alors avéré que les résultats, bien qu'encou- rageants, pouvaient être améliorés en faisant reposer l'hypothèse de diffusion turbulente non plus sur les corrélations doubles mais sur les corrélations triples [34], les corrélations doubles étant calculées à l'aide de leur équation d'évolution. Dans son état actuel cette méthode permet de bien simuler l'évolution diurne des paramètres météorologiques de la couche limite planétaire et les résultats sont en très bon accord avec les mesures, comme il est montré à la figure 7. Par

FIG. 7.

Evolution comparée de la température potentielle

dans la réalit6 (- - -)et dans le modèle numérique [35] (. . .).

LA TURBULENCE ATMOSPHÉRIQUE Cl-171

contre elle est d'un emploi peu commode car elle nécessite un ordinateur rapide et de grande capacité [35] : le temps de calcul pour simuler 24 h d'évolution sur un réseau tridimensionnel de (40 x 40 x 40) points est de l'ordre de 350 h de calculateur CDC 7600 !

4.4 FERMETURES D'ORDRE ÉLEVÉ. - La dernière méthode d'étude de la turbulenceque nous envisagerons ici est basée sur le développement systématique de la hiérarchie d'équations aux corrélations statistiques L'hypothèse de fermeture, qui peut être de nature diffé- rente selon les cas, repose alors sur les corrélations d'ordre élevé. Ici, et contrairement à la méthode explicite, l'hypothèse d'homogénéité horizontale est utilisée. Deux problèmes de fermeture de nature diffé- rente se posent. Il faut d'une part exprimer les corré- lations entre la pression et la vitesse (ou la tempéra- ture) ; ceci peut être fait sur la base de l'idée générale qui consiste à admettre que la pression est un facteur d'isotropisation. L'extension de cette idée au cas où il y a une force extérieure comme la gravité est possible (Launder [36]). Il faut d'autre part calculer les corré- lations d'ordre élevé (habituellement d'ordre trois) entre la vitesse et la température ; les méthodes actuel- lement en usage reprennent à ce niveau le concept de diffusion turbulente (Donaldson [37]). c'est-à-dire que par exemple :

Quelques modèles ont été construits sur ce type ; ils permettent en particulier de retrouver les lois de simi- litude de la couche limite superficielle (Lewellen et Teske [38]) et de décrire correctement l'évolution diurne de la couche limite planétaire (Wyngaard et

Coté [39]). Toutefois ils ne sont pas capables de reproduire certaines corrélations triples essentielles - comme le flux turbulent d'énergie cinétique w' E, : en effet une formulation du type de l'éq. (12) ne permet pas de représenter un flux turbulent d'énergie cinétique réel (Willis et Deardorff [40]). Par contre de tels modèles sont d'utilisation facile étant donné leur temps de calcul relativement faible.

5. Conclusion. - L'atmosphere est un lieu privi- légié pour étudier la turbulence et ses diverses manifes- tations. D'autre part une bonne connaissance des phénomènes turbulents est indispensable pour comprendre la dynamique atmosphérique, quelle que soit l'échelle considérée. Actuellement, les divers types de turbulence atmosphérique ne sont pas étudiés par les mêmes méthodes. La théorie de la turbulence homogène et isotrope dans le cas bidimensionnel, qui est aujourd'hui assez bien développée, donne un nouvel éclairage sur des processus atmosphériques comme la prédictabilité et les interactions entre les grandes échelles. Par contre, la turbulence de couche limite, essentiellement inhomogène, n'a pas encore été envi- sagée de façon systématique et unifiée. Ceci est dû en partie au fait que la turbulence inhomogène ne peut pas être étudiée par généralisation des méthodes rela- tives à la turbulence homogène. Les rares tentatives faites dans ce sens ont montré la grande difficulté du problème (Kraichnan [41]). La recherche dans le domaine de la turbulence inhomogène de couche limite semble s'orienter vers l'application de théories dans lesquelles l'hypothèse de fermeture concerne les corrélations d'ordre élevé. A ce niveau un développe- ment intéressant consisterait à appliquer, dans un cadre convenable, le concept d'amortissement turbu- lent qui s'est révélé d'une si grande importance en turbulence homogène.

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