ÉTUDE DE LA STRUCTURE DE LA TURBULENCE DANS UNE COUCHE LIMITE PAR LES CORRÉLATIONS SPATIOTEMPORELLES

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Submitted on 1 Jan 1976

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ÉTUDE DE LA STRUCTURE DE LA TURBULENCE DANS UNE COUCHE LIMITE PAR LES

CORRÉLATIONS SPATIOTEMPORELLES

R. Dumas, L. Fulachier, E. Arzoumanian, A. Favre

To cite this version:

R. Dumas, L. Fulachier, E. Arzoumanian, A. Favre. ÉTUDE DE LA STRUCTURE DE LA TUR- BULENCE DANS UNE COUCHE LIMITE PAR LES CORRÉLATIONS SPATIOTEMPORELLES.

Journal de Physique Colloques, 1976, 37 (C1), pp.C1-181-C1-184. �10.1051/jphyscol:1976127�. �jpa-

00216454�

JOURNAL

DE

Colloque Cl, supplément au no 1, Tome 37, Janvier 1976, page Cl-181

ÉTUDE DE LA STRUCTURE DE LA TURBULENCE DANS UNE COUCHE LIMITE

PAR LES CORRÉLATIONS SPATIOTEMPORELLES

R. DUMAS, L. FULACHIER, E. ARZOUMANIAN et A. FAVRE Institut de Mécanique Statistique de la Turbulence (*)

Université d'Aix-Marseille, France

RésumB. - Dans une prernitke partie, on étudie la perte de mémoire des fluctuations turbulentes en faisant un bilan de I'équation aux corrélations spatiotemporelles de la composante longitudinale des fluctuations de vitesse. Dans une deuxième partie, la structure tridimensionnelle du champ turbulent est Btudiée à partir des corrélations spatiotemporelles en trois points des fluctuations de la température, considérée comme un contaminant pratiquement passif.

Abstract.

In the first part of this paper the loss of memory of the turbulent structure is investi- gated by the balance of the space-time correlation equation for the longitudinal velocity component.

In the second part, the three-dimensional structure of the turbulent field is examined by means of space-time correlations at three points using the fluctuations of the temperature that behaves as a practically passive contaminant.

1. Introduction.

Dans un écoulement turbulent, le champ des fluctuations se déplace au cours du temps, aussi A. Favre a introduit les corrélations spatiotem- porelles (voir [l]). Lorsque la turbulence est statistique- ment stationnaire, cette corrélation est définie, pour deux composantesdelavitesse uli(x0, t) et uIj(x, + X, t') aux deux points Po(x,) et P(xo ^f X) par :

régissent la perte de cohérence, d'autre part la struc- ture tridimensionnelle du champ turbulent.

2. Etude de la perte de cohérence des fluctuations. - Les équations aux corrélations spatiotemporelles doubles R i V j ont été établies [3]. Les différents termes de celles-ci concernent les mécanismes qui régissent la perte de cohérence. On considère le cas de la corréla- tion longitudinale R , , , ( X , , z), les points Po et P étant sur une parallèle à la paroi pratiquement confon- due avec une ligne de courant moyenne (Fig. 1). Le On définit aussi le coefficient de corrélation :

-

-

ri,j

R~,~[(U:~),,, ( U J Z ) ~ ] - ~ " . (2) Les définitions peuvent être étendues à d'autres gran- deurs telles que la température.

Si l'on considère, par exemple, les points Po et P

sur une ligne de courant moyenne (Fig. l), on constate

que r,,, passe par un maximum pour un temps

z = z, voisin (ou égal, notamment, en turbulence homogène) du temps de parcours z, de la distance X ,

Po P à la vitesse moyenne

Le comportement de r, ,,(XI, z,) caractérise la mémoire du champ turbu- lent au long du mouvement. Elle est due essentiellement à la cohérence des fluctuations à grandes échelles spatiales dont la contribution à l'énergie cinétique est importante. Ces fluctuations pourraient être liées à l'existence de perturbations tridimensionnelles relati- vement structurées [ 2 ] .

Les résultats prbsentés, obtenus dans la couche limite turbulente, concernent d'une part les mécanismes qui

FIG.

- Disposition

points de mesure.

point en amont est situé dans la zone interne de la couche limite à la distance de la paroi -vo

0,056 6

6 étant l'épaisseur de couche limite (6

54 mm), u, la vitesse de frottement (u,

0,59 ms-'), v la viscosité cinématique. La vitesse extérieure est

(+)

Laboratoire associé au C . N. R.

L'équation aux corrélations R I , , s'écrit, I'écoulement

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1976127

Cl-182 R. DUMAS, L. FULACHIER, E. ARZOUMANIAN ET

FAVRE étant bidimensionnel en moyenne et la masse volu-

mique p constante :

a R 1 . l l

_ax, +-

_ax, +-+-

_ax,

_{p a x ,}

11 s'introduit des corrélations pression-vitesse ni et des corrélations triples en deux points R i , j , [4] définies d'une manière générale, p' étant la fluctuation de pres- sion, par :

avec, par exemple,

qui représente le taux de perte de corrélation.

On a comparé cette valeur de T ; aux résultats obte- nus, sans filtrage en fréquence, dans la couche limite et dans d'autres écoulements turbulents. On introduit alors les paramètres de similitude utilisés par S. Corr- sin [5], en turbulence homogène et isotrope, et repris par J. Sabot et G. Comte-Bellot

161, dans des écoule- ments cisaillés : A , et [ ( u ; ) ; ] ' / ~ . On a alors :

La figure 2 présente les coefficients r, ,,(<.

mesurés dans des écoulements de structure très différente. On constate que, à la position marquée d'une flèche où le bilan est effectué, le coefficient r,

et sa pente sont du

Une deuxième équation pourrait être établie en permutant le rôle de Po et P . On considère ici le point amont Po fixe ; les dérivées spatiales sont prises au point aval P ; le décalage de temps

permet de suivre l'évolution de la cohérence au long du mouvement moyen.

RÉSULTATS

La distance XI = 1,43 6 est relativement importante de telle sorte que la contribution des fluctuations à grandes échelles, de l'ordre de 6, soit largement prépondérante. Pour renforcer cet effet, un filtre passe-bas de fréquence de coupure S, est utilisé ; la longueur caractéristique correspondante, I,

ü1/2 7cf,

0,13 6, est inférieure

?

l'échelle intégrale ('), A ,

= 0,43 6. On trouve alors que la contribution à la corrélation, R , ,,, des fluctua- tions d'échelles fines, qui ne sont pas prises en compte, est inférieure à 10 %.

En ce qui concerne le bilan de l'éq. (3), les termes T 2 , P l et D 3 sont négligeables. De plus, ce bilan étant effectué au temps

=

le terme T est nul par définition. Le terme

est non mesuré mais déter- miné par différence, il est donc affecté de l'ensemble des erreurs algébriques de mesure. Dans ces conditions, en rendant les termes adimensionnels par le facteur

les valeurs expérimentales sont les suivantes :

FIG.

-Coefficients decorrélations spatiotemporelles. * ^Turb.

cis. hornop. (Champagne

+ Grille (Comte-Bellot et Corrsin)

x Grille

M. S. T.)

O couche de mélange cis.

max.

axe d'un jet (Wygnanski et Fiedler)

conduite 0,05

0,5,

(Sabot et Comte-Bellot)

couche limite

0 , 8 3 , 0

0,45 (Blackwelder et Kovasznay) et

0,03,

#

0.10, +

^0,25,

0,70,

y16 =

0,06 filt. freq.

M.

T.).

même ordre de grandeur que dans les autres expé- riences. On peut donc admettre que, en première approximation, les conclusions que l'on peut tirer du bilan effectué sont générales. Le terme P ; est un terme de production de covariance (u;), u;. Il est de même signe que T? : il contribuerait à maintenir la cohérence.

Au contraire, les termes D: et D:, liés à la diffusion par la turbulence, diminuent la cohérence ; il en est de même pour nT. On peut remarquer qu'en turbulence homogène on aurait : n 1 + ⁿ² + ^n,

^O. Dans le cas considéré, bien que la turbulence soit fortement inhomogène, le terme n: pourrait, pour une part, redistribuer la covariance (u;), u; aux covariances - -

( & ) O

u; et (u;), u;. On note sur la figure 2 que, pour

les écoulements cisaillés considérés, les zones qui ont

la mémoire la plus grande, compte tenu de l'échelle et

STRUCTURE DE LA TURBULENCE DANS UNE COUCHE LIMITE Cl-183 de l'intensité de turbulence, sont celles où la produc- porelle des fluctuations de température aux points tion de turbulence est la plus forte, la turbulence étant Po et P l , Pz (Fig. 1) situés dans un plan parallèle A la alors pratiquement en équilibre ('). paroi. En effet, celle-ci étant faiblement chauffée, la chaleur se comporte comme un contaminant pratique- 3. Structure tridimensionnelle des fluctuations.

ment passif transporté par le champ de vitesse.

Elle est étudiée en mesurant la corrélation spatiotem- Considérons le coefficient de corrélation triple :

FIG.

Isocoeficients de corrélations spatiotemporelles en trois points.

Selon L. S. G. Kovasznay, si pour un certain temps de concerne les lignes de zéro des deux coefficients spatio- transport, rk, le coefficient rOoeloz est assez grand, cela temporels

peut s'interpréter comme une perturbation passée en

Po atteignant en aval, au même instant, P l et P, : la ro0e1e2(Xi/6 = 186, X3/6, T*) , largeur de la zone de cohérence de la perturbation est re,e,(X~/6 = 1,86, X3/6, z*) donc au moins de l'ordre de P l Pz. Si l'on considère la

corrélation double en Po et Pl ou Pz, l'étendue du domaine où celle-ci est significative dépend non seule- ment de la dimension des perturbations mais aussi de leur trajet aléatoire : elle définit un domaine d'influence.

RÉSULTATS

- Les paramètres de la couche limite sont : 6 = 59 mm, U, = 12 ms-', u, = 0,48 ms-'. L'écart X l = 1,86 6 est relativement important de telle sorte que la contribution des fluctua- tions à grandes échelles soit prépondérante. Cet effet est renforcé par un filtrage en fréquence analogue à celui mentionné au paragraphe 2. Les mesures ont été effectuées dans les zones interne (yo = 0,034 6,

=

64), du tout début de l'intermittence

et d'intermittence (3) y

0,5 (yo = 0,814 6). La figure 3 donne les isocoefficients de corrélation roo,,,,(X3/6, .r*) dans la zone interne [7], avec

I 1 l l I

O 1 2

Z*

FIG. 4.

Modes dominants. - roooie2

0

- - rooet

0

-.-

x rem102 max

r008,e~

O,

> O,

II

rooeloa < 0,

<

; 111

< 0,

romi

0 ,

<

.

On constate l'existence de deux zones où les coefficients

ont des valeurs absolues notables ; elles sont séparées et du coefficient spatial par une ligne de zéro bien définie au voisinage des

extremums. La fig ure 4 récapitule les résultats en ce qui ro,e,(Xl = 0, x3/4 .

Ces trois coefficients définissent, selon leurs signes,

( 2 )

Production

dissipation. trois régions où les valeurs de ro,ol,z sont significatives.

(3) y

facteur d'intermittence. Dans la région 1, le mode statistiquement dominant

Cl-184 R. DUMAS, L. FULACHIER, E. ARZOUMANIAN ET A. FAVRE est la combinaison 0; > 0, 6; > O, 62 > O. Il peut

s'interpréter comme dû à du fluide plus chaud, en provenance de régions plus proches de la paroi, passant par Po et transporté en aval à la fois en Pl et P z . La dimension latérale de cette région, au droit de la valeur maximale de la corrélation, donne une échelle de largeur du domaine de cohérence des perturbations considérées. Ce mode se développe à travers la couche limite, sa largeur augmentant dans une grande propor- tion, tout en restant inférieur ou de l'ordre de S.

De façon analogue, on peut interpréter les régions I I et III comme dues respectivement aux passages de fluide plus froid, et de fluide plus froid associé à du fluide plus chaud, du fait de la conservation du débit de masse [7]. Toutefois les modes I I et II1 s'estompent dans la zone de forte intermittence.

Pour préciser ces interprétations, on a mesuré les corrélations conditionnelles [8], notamment entre la fluctuation 8; en Po et O' en P ; on définit par exemple :

et J ( t )

O dans les autres cas.

On vérifie que

Ces corrélations sans dimension R représentent la contribution des différentes combinaisons de signes au coefficient de corrélation totale.

Le calcul a été effectué avec le système d'acquisition et de traitement numérique de 1'1. M. S . T.

A titre d'exemple, la figure 5 donne des résultats relatifs à la zone interne. On vérifie qu'effectivement, au

voisinage du maximum du coefficient rgOoz, la contri- bution R+

est dominante (cf. Fig. 3), il en est de même pour R - - - au voisinage du minimum de re,el.

FIG. 5. - Corrélations spatiotemporelles conditionnelles'.

Zone interne

64,

0,594.

Les contributions R+

- et R -

ne jouent pas un rôle négligeable, toutefois, au voisinage du temps .rm, leur valeur absolue diminue notablement montrant que le changement de signe désigné de la fluctuation de température au cours du déplacement devient un événement peu probable. De plus, l'on constate bien que le temps nécessaire au transport du fluide plus chaud est plus grand que celui du fluide plus froid.

Cependant, même le temps correspondant au fluide chaud est légèrement inférieur au temps de transport par le mouvement moyen. Ceci confirmerait que même les perturbations en provenance de la paroi seraient liées aux conditions existant dans les régions les plus éloignées de celle-ci.

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