Mines Maths 2 PC 2007 — Énoncé 1/4
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC.
L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
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Mines Maths 2 PC 2007 — Énoncé 2/4
Étude d’une série trigonométrique
On rappelle que pour tout réelx >0, Γ(x) =
Z +∞
0
tx−1e−t dx.
Par ailleurs, pour tout réelt,
cht= et+e−t
2 .
On pose, pour tout réelx et toutα∈]0, +∞[, Sα(x) =
+∞
X
n=1
sin(nx)
nα . (1)
L’objectif de ce problème est d’étudier différentes propriétés de cette fonction.
Dans tout le problème, u représente un réel de ]−1,1[.
I Deux représentations de Sα
❤ 1 - Prouver que pour tout α >1, la fonctionSα est continue sur R.
❤ 2 - Étudier, en fonction du paramètre γ∈R, l’intégrabilité sur]0, +∞[, de la fonction
J : t7→ tγ−1 et−u. Soit t≥0. On pose,
RN(t,u) = u
et−u −ue−t
N−1
X
n=0
(ue−t)n tα−1.
❤ 3 - Simplifier l’expression de RN, en l’écrivant sous forme d’une fraction.
❤ 4 - Prouver que pour tout u∈]−1,1[,
Nlim→+∞
Z +∞
0
RN(t,u) dt= 0.
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Mines Maths 2 PC 2007 — Énoncé 3/4
❤ 5 - Exprimer, en fonction deΓ(α), la constanteK(α) ∈R+telle que pour toutα >0,
Z +∞
0
u tα−1
et−u dt=K(α)
+∞
X
n=1
un
nα, pour toutu ∈]−1,1[. (2)
❤ 6 - On admet que l’identité (2) reste vraie aussi pouru=eixoùx∈]0,2π[.
En déduire pourx∈R\2πZ, l’identité suivante :
Sα(x) = sinx 2Γ(α)
Z +∞
0
tα−1
cht−cosx dt.
❤ 7 - Montrer, pour tout M >0, pour tout u∈]−1,1[, l’égalité suivante :
Z M
0
tα−1
cht−u dt=
+∞
X
n=0
Z M
0
un tα−1 (cht)n+1 dt.
❤ 8 - Établir, pour toutu∈]−1,1[, l’identité
Mlim→+∞ +∞
X
n=0
un Z M
0
tα−1
(cht)n+1 dt=
+∞
X
n=0
un Z +∞
0
tα−1 (cht)n+1 dt.
❤ 9 - Pour x∈R\πZ, exprimerSα(x) en fonction de fonctions trigonomé- triques et de Gαoù
Gα(u) =
+∞
X
n=0
anun pour u∈]−1,1[
avec
an = Z +∞
0
tα−1
(cht)n+1 dt. (3)
II Comportement asymptotique
Soit B : ]0,+∞[→R une fonction continue telle que : Z +∞
0
|B(s)|ds <+∞. (4)
B(s) =asλ−1(1 +o(1)), s→0+, a >0, λ∈]0,+∞[. (5) 3
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Mines Maths 2 PC 2007 — Énoncé 4/4
❤ 10 - Prouver que pour tout ε >0, il existeδ >0 tel que, pour toutn≥1,
Z δ
0
(B(s)e−ns−asλ−1e−ns)ds < ε a
nλ Γ(λ).
❤ 11 - Prouver que pour tout δ > 0, il existe une constante C(δ) > 0 ( que vous exprimerez sous la forme d’une intégrale indépendante den) telle que pour toutn >1
Z +∞
δ
(B(s)e−ns−asλ−1e−ns) ds
≤Ce−(n−1)δ.
❤ 12 - Prouver que, sous ces hypothèses, Z +∞
0
B(s)e−ns ds=aΓ(λ)
nλ (1 +o(1)),quandn→+∞.
❤ 13 - Montrer que pour tout entiern, on peut écrire
an= Z +∞
0
ln es+√
e2s−1α−1
√e2s−1 e−ns ds, où an est défini dans (3).
On pose dorénavant, pour tout s >0, B(s) = ln es+√
e2s−1α−1
√e2s−1 .
❤ 14 - Donner un équivalent de la fonctionB au voisinage de0+.
❤ 15 - Déterminer la limite de annα/2 quand ntend vers l’infini.
Fin du problème
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