ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈREMP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRETSI).
CONCOURS 2011
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Sur le calcul des variations
Soit un intervalleI ⊂R, ni vide, ni réduit à un point, et un ensembleE de fonctions f :I→R. On se donne une applicationJ:E→Rdéfinie au moyen d’une intégrale faisant intervenirf et ses dérivées. L’objectif de ce problème est d’étudier le minimum éventuel deJ surE :
minf∈E J(f),
et de déterminer, dans certains cas particuliers, les pointsf deEen lesquelsJ atteint son minimum.
On noteEa,bk l’ensemble des fonctions f : [0,1]→Rde classeCktelles que f(0)=aetf(1)=b. La notationy(k)désigne la dérivée d’ordrekde la fonctiony.
A. Préliminaire
1) On posej=exp(2iπ/3). Que vautj4+j2+1 ?
On noteMn,p(C) l’espace vectoriel des matrices ànlignes etpcolonnes surC et on considère la matriceAdeM4,4(C) suivante :
A=
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−1 0 −1 0
.
2) Proposer une matrice inversibleUet une matrice diagonaleDdeM4,4(C) telles queU−1AU =D. La méthode choisie pour les obtenir doit être expliquée.
3) En déduire les solutionsX:I→M4,1(C) de l’équation différentielle
X′=AX. (1)
4) Déterminer l’ensemble des solutionsy:I→Cde l’équation différentielle
y(4)+y′′+y=0 (2)
et préciser parmi ces solutions celles qui sont à valeurs dansR. On pourra considérer le vecteur
Y =
y y′ y′′
y(3)
.
B. Un lemme de du Bois-Reymond
5) On considère la fonctionh :R→Rdéfinie parh(t)=(1−t2)3 si|t| É1 eth(t)=0 sinon. Montrer queh∈C2(R,R) et représenter son graphe. La fonctionhest-elle de classeC3surR?
6) Soitx0,x1des nombres réels tels quex0<x1. Construire à partir dehune fonctiong ∈C2(R,R) vérifiantg(x)>0 pour toutx∈]x0,x1[ etg(x)=0 ailleurs.
7) SoitF ∈C0([0,1],R) telle que Z1
0 F(x)u(x) dx=0 pour toutu∈E20,0. Dé- montrer qu’alorsF est nulle.
C. Une condition nécessaire d’Euler-Lagrange
Dans cette partie, on prendE=E2a,bpour un couple donné (a,b) de nombres réels. La fonctionJ est définie surE par la formule
J(f)= Z1
0
£P¡ f(x)¢
+Q¡ f′(x)¢¤
dx, oùP,Q∈R[X] sont des polynômes fixés.
Soit f0∈E. On se propose de prouver que si J(f0)ÉJ(f) pour tout f ∈E, alors f0vérifie une certaine équation différentielle. Soitu∈E0,02 .
8) Montrer que l’applicationqdéfinie surRpar la formule q(t)=J(f0+t u)
est polynomiale, c’est-à-dire qu’il existe une famille finie (a0,a1,...,ar) de nombres réels telle queq(t)=
r
P
k=0aktkpour toutt∈R. Expliciter le coef- ficienta1sous la forme d’une intégrale faisant intervenir les polynômes dérivésP′etQ′.
9) On suppose que pour toutf ∈E,J(f0)ÉJ(f). Montrer qu’alorsa1=0 et en déduire l’équation différentielle :
∀x∈[0,1], P′¡ f0(x)¢
= d dx
£Q′¡ f0′(x)¢¤
. (∆)
Exemples
Premier exemple.On choisitE=E0,12 etJ=J1définie parJ1(f)= Z1
0 (f′(x))2dx.
10) Former l’équation différentielle (∆) correspondante. Parmi ses solutions, préciser celles qui appartiennent àE0,12 .
11) Montrer queJ1admet un minimum surE0,12 , préciser sa valeur ainsi que les points deE0,12 où ce minimum est réalisé. (On pourra s’aider de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.)
Deuxième exemple.On choisitE=E0,02 etJ=J2définie par J2(f)=
Z1 0
¡f′(x)¢2
+¡ f′(x)¢3
dx.
12) Former l’équation différentielle (∆) correspondante. Parmi ses solutions, montrer que seule la fonction nulle appartient àE0,02 .
13) Montrer queJ2n’admet pas de minimum surE0,02 . (On pourra se servir de la fonction f définie sur l’intervalle [0,1] par la formulef(x)=x2(1−x).)
D. Un exemple avec dérivée seconde
Dans cette partie,Edésigne l’ensemble des fonctionsf ∈C4(R+,R) telles que f2et (f′′)2soient intégrables surR+. On rappelle que l’ensemble des fonctions g∈C0(R+,R) telles queg2soit intégrable surR+est unR-espace vectoriel, que l’on noteL2.
Dans les deux questions suivantes, on considèref ∈E.
14) Montrer que le produitf f′′est intégrable surR+et quef(x)f′(x) ne tend pasvers+∞quandx→ +∞.
15) En déduire que f′∈L2, puis quef(x)f′(x)→0 quandx→ +∞. Dans cette partie, la fonctionJest définie par
J(f)= Z+∞
0
£(f(x))2−(f′(x))2+(f′′(x))2¤ dx.
Par un raisonnement identique à celui de la partie C, on peut montrer, et on l’admettra, que si la fonctionJ présente un minimum en un élément f deE, alorsf est solution surR+de l’équation (2) : y(4)+y′′+y=0 .
16) Déterminer les solutions de (2) qui appartiennent àE. (On pourra d’abord étudier leur appartenance àL2.)
On notee1ete2les fonctions définies surR+par les formules e1(t)=e−t/2cos³
t p3
2
´ et e2(t)=e−t/2sin³ t
p3 2
´.
Un calcul montre, et on l’admettra, que pour tous réelsαetβ, J(αe1+βe2)=α2
4 +3β2
4 +αβp 3 2 . On pose également, pour toutt∈R
+, ψ(t)=e−t/2sin³
t p3
2 −π 3
´.
17) On suppose, dans cette question, que la fonctionJ présente un minimum en un élément f deE. Montrer quef est solution surR+de l’équation y′′+y′+y=0. Montrer par ailleurs qu’il existeλ∈Rtel quef =λψ.
18) Montrer que pour toutf ∈Eet tout réelA>0, ZA
0
h¡ f(x)¢2
−¡ f′(x)¢2
+¡
f′′(x)¢2i dx
= ZA
0
£f(x)+f′(x)+f′′(x)¤2
dx +¡
f(0)+f′(0)¢2
−¡
f(A)+f′(A)¢2
. Quel est le comportement de¡
f(A)+f′(A)¢2
lorsqueA→ +∞? En déduire que la fonction J admet effectivement un minimum au pointλψpour chaqueλ∈R.
19) Indiquer comment le point de vue de la question précédente permet de retrouver directement toutes les fonctions f0 ∈E telles que J(f0)= minf∈E J(f), sans passer par l’équation différentielle (2).
E. Application : une inégalité de Hardy et Littlewood
On reprend les notations de la partie précédente, et pour toutg∈L2, on note
kgk = s
Z+∞
0
¡g(x)¢2
dx. 20) Montrer que pour toutf ∈E,
kf′k2 É 2kfk · kf′′k.
On pourra poserfµ(x)= f(µx) et utiliser le fait queJ(fµ)Ê0, pourtout réelµ>0.
21) Déterminer tous les cas d’égalité dans l’inégalité précédente.
FIN DU PROBLÈME
