Première partie

(1)

c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/18

X Maths 2 MP 2005 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (ENS Ulm) ; il a été relu par Julien Tailleur (ENS Cachan) et Olivier Dudas (ENS Ulm).

Ce problème propose d’étudier des propriétés de certaines matrices symétriques réelles. Il est constitué de quatre parties. Les trois dernières sont largement indépen- dantes et peuvent éventuellement être traitées dans le désordre. Elles utilisent les résultats de la première partie, qu’il ne faut donc pas négliger.

• Dans la première partie, plutôt courte, il est demandé de démontrer trois caractérisations de la plus grande valeur propre d’une matrice symétrique réelle.

Ces trois caractérisations sont classiques et doivent être connues.

• La deuxième partie, plus longue, est aussi plus simple. Cependant, elle com- porte un grand nombre de calculs assez rébarbatifs. Elle permet d’établir d’une part une propriété asymptotique sur des normes de matrices, d’autre part une propriété sur des sous-espaces propres.

• La troisième partie propose de diagonaliser une matrice en utilisant deux méthodes différentes. C’est la plus calculatoire des quatre, mais cela reste assez simple. Il suffit de garder son calme et de bien poser les calculs.

• La dernière partie est sans doute la plus difficile. Cependant, en pensant à bien utiliser les résultats de la première partie et en restant concentré jusqu’au bout, elle reste tout à fait abordable.

Il s’agit d’un beau sujet d’algèbre linéaire dont les calculs, quoiqu’assez longs, sont relativement simples. Il permet en outre de démontrer le théorème de Perron- Frobenius.

Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

(2)

Indications

Première partie 1 Que peut-on dire d’une matrice réelle symétrique ? 1.a Introduire une base orthonormée deR^N diagonalisantA.

1.b Un majorant qui est atteint est une borne supérieure.

1.c Pour l’implication réciproque, on peut décomposer un vecteur x satisfaisant (Ax|x) =λkxk²dans une base orthonormée deR^NdiagonalisantAet exprimer (Ax|x)etkxk²en fonction de cette décomposition.

Deuxième partie

2 Introduire un vecteur propre x = (x¹, . . . , x^N) de A et chercher des relations liant lesxi.

3.b Développerdet(X id−A^N)selon la première ligne ou la première colonne.

3.c Quel rapport y a-t-il entredet A^N etP^N?

3.d Utiliser la formule de récurrence obtenue à la question 3.b.

4 Raisonner par récurrence sur k et utiliser à nouveau la formule obtenue à la question 3.b.

5.a Utiliser l’indication de l’énoncé et l’identité2a²+ 2b²−(a+b)²= (a−b)². 5.b Utiliser les questions 1.a et 4 et introduire un vecteur propre de A^N₋¹ corres-

pondant à sa plus grande valeur propre en valeur absolue.

6 Utiliser les questions 1.a, 3.d, 4 et 5.b. Que peut-on dire du signe deP^N(x)six est un réel supérieur àλ^N?

Troisième partie 7.a Quelles relations obtient-on en écrivantAx=λcx? 7.b Utiliser la question 7.a.

7.c Utiliser les questions 7.a et 7.b.

8.a Identifier le produit scalaire sous-jacent.

8.c Quel lien existe-t-il entre l’endomorphismeΨet la matriceA? Quatrième partie

9 Utiliser la question 1.c.

10.a Raisonner par l’absurde.

10.b Faire un développement limité.

10.c Utiliser les questions 1.b et 10.b.

11 Utiliser les questions 9 et 10 pour construire un vecteur x. Pour montrer que la valeur propre λ est simple, utiliser la question 10 pour montrer que tout vecteur deEλ est colinéaire au vecteurxconstruit.

(3)

Première partie

1.a Comme A est une matrice symétrique réelle, elle est diagonalisable dans une base orthonormée et ses valeurs propres sont réelles.

Il s’agit là d’un des théorèmes fondamentaux du programme. Il faut bien sûr le connaître parfaitement, mais aussi penser systématiquement à s’en servir dès que l’on rencontre des matrices symétriques réelles (ou des endomorphismes autoadjoints d’un espace euclidien).

L’énoncé suggère dans son avant-propos d’identifier les matricesN×Nréelles avec les endomorphismes qu’elles représentent dans la base naturelle deR^N. C’est donc ce que nous faisons dans tout ce corrigé.

Soite= (e¹, . . . , e^N)une base orthonormée de R^N qui diagonaliseA. Pour touti dans {1, . . . ,N}, notonsλi la valeur propre de A associé à ei. Puisque ces valeurs propres sont en nombre fini, il en existe une de valeur absolue maximale. Fixons i⁰∈ {1, . . . ,N}tel que|λi0|soit le maximum des valeurs absolues des valeurs propres de la matriceA.

Il se peut très bien que la matriceAadmette deux valeurs propres distinctes dont la valeur absolue est maximale, par exempleλi0 et −λi0. Cela ne joue pas ici.

Montrons tout d’abord quekAk6|λi0|. Soitx∈R^N vérifiantkxk 61. Il suffit de montrer quekAxk6|λi0|. Écrivonsx=x¹e¹+· · ·+x^Ne^N et calculons

kAxk²= (Ax|Ax) =^N P

i=1

λixiei

N

P

j=1

λjxjej

= P

16i,j6N

λiλjxixj(ei|ej)

La baseeétant orthonormée,ie (ei|ej) =

1 sii=j 0 sinon cela donnekAxk²=

N

P

i=1

λi

2xi2. Puisque, pour touti,|λi|6|λi0|, on a

kAxk²6

N

P

i=1

λi0

2xi2

=λi0

2 N

P

i=1

xi2

=λi0

2kxk²6λi0

2

soit kAxk6|λi0|

Ceci étant vrai pour toutxde norme inférieure ou égale à 1, |λi0|est un majorant de l’ensemble{kAxk | kxk61}; ce qui implique

kAk6|λi0|

Montrons maintenant que ce majorant |λi0| est atteint. En prenant x = ei0, on trouvekAxk=|λi0| kei0k, soitkAxk=|λi0| aveckxk= 1. Cela prouve que|λi0| est bien la borne supérieure de l’ensemble{kAxk | kxk61}. En d’autres termes,

kAkest égal au maximum des valeurs absolues des valeurs propres deA.

(4)

c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/18 Ce résultat est extrêmement classique. Il est important de le connaître et de savoir le démontrer car il revient fréquemment à l’écrit comme à l’oral des concours.

1.b Reprenons les notations introduites à la question 1.a. Soit e = (e1, . . . , eN) une base orthonormée deR^Nqui diagonaliseA. Pour toutidans{1, . . . ,N}, notonsλi

la valeur propre deAassocié àei.

Soit x ∈ R^N vérifiant x 6= 0. Écrivons x = x¹e¹ +· · · +x^Ne^N et calculons, en utilisant le caractère orthonormé de la basee

(Ax|x) =^N P

i=1

λixiei

N

P

j=1

xjej

=

N

P

i=1

λixi 26λ

N

P

i=1

xi

2=λkxk²

soit (Ax|x)

kxk² 6λ carx6= 0.

Ainsiλest un majorant des nombres(Ax|x)/kxk²oùx∈R^Net x6= 0.

Montrons que ce majorant est atteint. Soit i⁰ ∈ {1, . . . ,N} tel que λ = λi0. En prenantx=ei0, on trouve

(Ax|x)

kxk² = (λi0x|x) kxk² =λi0

kxk² kxk² =λ Ce qui prouve que le majorantλest atteint. On en déduit que

λest égale à la borne supérieure des nombres(Ax|x)/kxk² oùx∈R^N etx6= 0.

Il faut bien faire attention à ne pas confondre « plus grande valeur propre » et « plus grande valeur propre en valeur absolue ». Iciλest la « plus grande valeur propre » de A. Le maximum des valeurs absolues des valeurs propres deA, quant à lui, est égal à la borne supérieure des nombres|(Ax|x)|/kxk² oùx∈R^Net x6= 0.

1.c Soitxun élément deR^N.

SupposonsAx=λx. On vérifie aisément (Ax|x) =λ(x|x) =λkxk².

Réciproquement, supposons(Ax|x) =λkxk². Reprenons les notations(e1, . . . , eN) et (λ¹, . . . , λ^N)introduites aux questions 1.a et 1.b et décomposons x dans la base (e¹, . . . , e^N):x=x¹e¹+· · ·+x^Ne^N. On a calculé à la question précédente

(Ax|x) =

N

P

i=1

λixi2

Comme(Ax|x) =λkxk², cela donne

N

P

i=1

λixi 2=

N

P

i=1

λxi 2

soit

N

P

i=1

(λ−λi)x²_i = 0