Corrigé du TD S2 : Propagation d’un signal
Exercice 1 : Mesures de période et longueur d’onde
a) La période d'une onde est la plus petite durée au bout de laquelle la perturbation se reproduit identique à elle-même en un point du milieu de propagation. Au niveau du premier fil, la perturbation présente un maximum sur la première photo, un minimum sur la deuxième photo et enfin un nouveau maximum sur la troisième photo. Au niveau du premier fil, la perturbation est identique sur les photos 1 et 3. La durée séparant la photo 1 de la photo 3 correspond à une période. Deux photos sont séparées de 1/30 s = 0,033 s. Les photos 1 et 3 sont séparées de 2/30 s = 0,067 s. La période de l'onde est de 𝑇 = 0,067 𝑠. Cette période est égale à 𝑓1.
La période mesurée sur les photos est donc égale à la période réglée sur le GBF.
b)
La longueur d'onde est la plus petite distance séparant deux points du milieu de propagation présentant la même perturbation au même instant. Sur la première photo, la distance qui correspond à une longueur d'onde est de 6,8 cm. Or 6,8 cm sur la photo représente 80 cm. On en déduit : 𝜆 = 80 𝑐𝑚.
c) Entre les photos 1 et 3, la perturbation marquée par la flèche a parcouru une distance d = 80 cm. La durée entre les photos 1 et 3 correspond à 𝛥𝑡 = (302) 𝑠. La célérité 𝑣 de l'onde est :
𝑣 = 𝑑 𝛥𝑡 =
0,80
0,067 = 12 𝑚. 𝑠 −1
d) On compare ici le rapport 𝜆
𝑇 à la célérité v de l'onde trouvée à la question précédente : 𝜆
𝑇= 12 𝑚. 𝑠 −1 Les deux valeurs sont compatibles et on retrouve 𝜆
𝑇 = 𝑣 le résultat du cours.
Exercice 2 : Mesure de vitesse de propagation
a) La période de l'onde est d'environ 6,2 carreaux, soit 𝑇 = 6,2 × 200.10−6 ≈ 1,2 𝑚𝑠. La fréquence correspondante est 𝑓 =1 = 810 𝐻𝑧.
b) Au point d'abscisse 𝑥3, l'onde reçue est en opposition de phase avec l'onde émise par le haut-parleur. Cela signifie que les deux points sont séparés d'une demi-longueur d'onde (on rappelle que la longueur d'onde est la période spatiale de l'onde), soit𝑥3 =
𝜆
2. On déduit λ = 42 cm.
c) Comme cT, on déduit : 𝑐 = 𝜆𝑓 ≈ 340 𝑚. 𝑠−1, vitesse du son dans l'air (cette valeur est à connaître).
d) En 𝑥4, les deux ondes sont à nouveau en phase, ainsi 𝑥4 = 𝑝𝜆, où 𝑝 est un entier naturel. A priori, il s'agit de la première fois que les ondes sont à nouveau en phase, soit 𝑝 = 1 et 𝑥4 = 42 𝑐𝑚.
Ensuite, on raisonne par proportionnalité. En 𝑥2, les ondes sont décalées d'environ 1,0 carreau, soit 1,0
6,2≈ 0,16 période. On déduit 𝑥2 ≈ 0,16 𝜆 ≈ 6,7 𝑐𝑚.
Exercice 3 : Superposition de deux ondes
a) On obtient successivement les allures représentées sur la figure suivante :
b) A un certain instant, la corde est horizontale. Sur une photographie, on ne peut pas distinguer à cet instant la corde parcourue par les deux ondes, et une corde au repos. Néanmoins la corde étudiée n'est pas au repos car chaque point de la corde possède une certaine énergie cinétique.
Exercice 4 : Ondes progressives
a) Le signal qui atteint l’abscisse 𝑥 à l’instant
t
est celui qui a été émis enx =
0
à l’instant 𝑡 −𝑥 𝑐 : 𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝑠 (0, 𝑡 −𝑥 𝑐) = 𝑆0cos [ 2𝜋 𝑇 (𝑡 − 𝑥 𝑐)] Avec 𝜆 = 𝑐𝑇, on obtient : 𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝑆0cos [2𝜋 (𝑡 𝑇− 𝑥 𝜆)] En 𝑥 =𝜆4, on a 𝑠 (𝜆 4, 𝑡) = 𝑆0cos [ 2𝜋𝑡 𝑇 − 𝜋 2]b) Le signal obtenu à l’abscisse x à l’instant
t
est celui qui se trouvait en x + ct à l’instant initial :𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝑠(𝑥 + 𝑐𝑡, 0) = 𝑆0sin [2𝜋 (𝑥 𝜆+ 𝑡 𝑇)] En 𝑡 =𝑇 4, on a 𝑠 (𝑥,𝑇 4) = 𝑆0sin ( 2𝜋𝑥 𝜆 + 𝜋 2)
Exercice 5 : Analyse dimensionnelle a) [𝑐] = 𝐿 𝑇−1= [𝜒]𝑎[𝜇]𝑏. [𝜒] = [𝑃]−1= [𝐹 𝑆] −1 = [𝑚𝑎 𝑆 ] −1 = (𝑀𝐿𝑇 −2 𝐿2 ) −1 = 𝑀−1𝐿 𝑇2 Et : [𝜇] = [𝑚 𝑉] = 𝑀 𝐿 −3 [𝑐] = 𝑀𝑏−𝑎 𝐿𝑎−3𝑏 𝑇2𝑎 = 𝐿 𝑇−1 ⇒ 𝑎 = 𝑏 = −1 2 ⇒ 𝑐 ∝ 1 √𝜒𝜇 b) [𝑐] = 𝐿 𝑇−1= [𝑌]𝑐[𝜇]𝑑. [𝑌] = [𝑃] = 𝑀 𝐿−1𝑇−2 [𝑐] = 𝑀𝑐+𝑑 𝐿−𝑐−3𝑑 𝑇−2𝑑 ⇒ 𝑐 = −𝑑 =1 2 ⇒ 𝑐 ∝ √ 𝑌 𝜇
Exercice 6 : Date d’un séisme
a) La distance
D
est la distance parcourue par les ondes P et S : 𝐷 = 𝑐P(𝑡P− 𝑡0) = 𝑐S(𝑡S− 𝑡0) On peut en déduire 𝑡0 = 𝑐P𝑡P− 𝑐S𝑡S 𝑐P− 𝑐S 𝑒𝑡 𝐷 = 𝑐S𝑐P 𝑐P− 𝑐S (𝑡S− 𝑡P)b) L’ensemble des points situés à une distance 𝐷𝑖 de la station 𝑖 se situe sur une sphère centrée sur la station et de rayon 𝐷𝑖.
L’origine du séisme se situe à l’intersection des trois sphères. L’intersection de deux sphères est un cercle, et l’intersection d’un cercle et d’une sphère se réduit à deux points. En général, l’un est à l’extérieur de la Terre et ne peut donc pas être l’origine du séisme. Sinon, il faut disposer des résultats d’une quatrième station.
Exercice 7 : Effet Doppler
a) À l'instant 𝑡 = 0 l'émetteur et le récepteur sont en O. L'émetteur émet un premier bip que le récepteur reçoit en O à 𝑡 = 0.
c) Le signal s'est propagé entre 𝑇𝑒 et 𝑇𝑟 de 𝑐(𝑇𝑟− 𝑇𝑒). Cette distance est aussi celle qui sépare l’émetteur de la source à l’instant 𝑇𝑟. D’où :
𝑐(𝑇𝑟− 𝑇𝑒) = 𝑣 𝑇𝑟 d) On en déduit 2 1 c v f f c
et l'écart entre les deux fréquences ' 2 1 1 v f f f f c e) 𝑓3 = 𝑐 𝑐 + 𝑣𝑓2 = 𝑐 𝑐 + 𝑣 𝑐 − 𝑣 𝑐 𝑓1 = 𝑐 − 𝑣 𝑐 + 𝑣𝑓1 On en déduit Δ𝑓 = −𝑐+𝑣2𝑣 𝑓1 et 𝑣 ≈ 130 𝑘𝑚. ℎ−1
Exercice 8 : Longueur d'onde et fréquence
a) Lorsque T0 1
, la vibration en un point oscille sur une période, donc reprend la même valeur lorsque l'éclairage revient. Le point semble ne pas avoir vibré. Concernant le déplacement des rides à la surface de la cuve : il est exactement égal à une longueur d'onde entre deux éclairs successifs. La figure est donc invariante : l'observateur voit le réseau d'ondes circulaires immobile.
b) D'autres valeurs de 𝑇0 donnent la même observation : il suffit que d'un flash au suivant, chaque cercle visible ait pris la place d'un autre, qui n'est pas forcément le voisin. Pour une durée 𝑇0 = 2𝑇 entre flashs, le déplacement d'une ride est égal à 2𝜆, la figure est invariante. L'immobilité du réseau de rides est obtenue pour une période de stroboscopie égale à un multiple de la période 𝑇 du vibreur.
c) Entre la ride 0 et la ride 1, la distance est égale à λ et ainsi de suite, ce qui permet de mesurer 10 𝜆. Ce principe de mesure permet d'atténuer l'effet d'une imprécision de positionnement des points délimitant l'intervalle. En effet, les zones claires et sombres étant assez larges, il est difficile de déterminer précisément leurs milieux. On peut par exemple estimer que l'on commet au total une erreur inférieure à un quart de longueur d'onde. Si cette erreur est ensuite divisée par 10, elle conduit à une détermination beaucoup plus précise de 𝜆, que si elle entache la mesure d'une unique longueur d'onde.
d) La longueur d'onde 𝜆𝑘 est liée à la fréquence 𝜈𝑘 par : 𝜆𝑘 = 𝑐
𝜈 𝑘 On exprime donc pour chaque fréquence le produit λk.νk :
e) La célérité semble augmenter un peu avec la fréquence : la variation relative sur l'intervalle considéré est :
Δ𝑐 𝑐 =
0,04
0,25= 0,16 = 16%
Exercice 9 : Mesure de longueur d'onde
a) On positionne le microphone et le haut-parleur sur un banc d'optique de façon à obtenir une ligne droite. Le haut-parleur est alimenté. On envoie sur l'oscilloscope les signaux du haut-parleur et du microphone.
On constate que les signaux sont en général déphasés. Pour certaines positions du microphone, les signaux sont en phase. On déplace donc le microphone afin de repérer les positions où les signaux sont en phase. On peut ainsi mesurer la distance minimale entre ces deux positions qui correspond à la longueur d'onde.
Pour augmenter la précision, il est préférable de mesurer 10 fois la longueur d'onde. La mesure à l'aide de la règle graduée donne :
𝑑 = 10𝜆
L'incertitude sur la distance mesurée est donc égale à Δ𝑑 = 2 √3 √( 1 2× 1) 2 = 1 √3 (𝑒𝑛 𝑚𝑚) La mesure de la longueur donne
𝜆 =𝑑𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é𝑒± Δ𝑑 10 b) La longueur d'onde est donnée par :
𝜆 = 𝑐𝑇 = 𝑐 𝑓 =
340
