Régulation

(1)

HAL Id: cel-02161121

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Submitted on 20 Jun 2019

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Régulation

Eric Magarotto

To cite this version:

(2)

Page 1

Powerpoint Templates

Régulation

Eric Magarotto

eric.magarotto@unicaen.fr

IUT GC 2A

(3)

Page 2

ecampus.unicaen.fr/IUT Caen/…

DUT2/GCTE2211/S4/UE41/…

NGCM3306 (Régulation)

LAC

Présentation, coordonnées

UCN : UFR des Sciences IUT ENSI ESIX E. MAGAROTTO Bât. Université Sci. 2 - 319,

LAC EA 7478, team PaDiCoR, @ : eric.magarotto@unicaen.fr

 : http://lac.unicaen.fr/membres

 : 02-31-56-73-73

(4)

Page 3

Bibliographie

(5)

Page 4

Morale ?

Dear Students

I know when You’re

TEXTING

in class

Seriously, no one just looks

down at their crotch and smiles.

Sincerely, your teacher

(internet)

(6)

Page 5

Non ! Première notion -->

(7)

Page 6

La solution --> réguler

IUT GC 2A

6

Imposer consigne …

objectif attendu :

être concentré sur les propos de l’enseignant

(8)

Page 7

Réguler --> performances ?

IUT GC 2A

7

Conséquence ?

Au volant

Conséquence (bis) ?

En cours

(9)

Page 8

La solution --> réguler

IUT GC 2A

8

Mauvaise performance (pas d’attention/de concentration)

Supprimer ce qui ne respecte pas la consigne (la perturbation)

Solution refusée par les étudiants !

(10)

Page 9

La solution --> réguler (bis)

IUT GC 2A

9

Solution préférée des étudiants

Diminuer l’effet de la perturbation :

OK ! C’est mieux mais

…..

 performances (seulement) atténuées (écran toujours visible)

 donc l’attention/concentration est mauvaise

(11)

Page 10

La solution --> réguler (bis)

IUT GC 2A

10

Cahier des charges :

Qu’est-ce qui est acceptable (en terme de performances) ?

i

d

é

a

l

(12)

Page 11

Objectifs

IUT GC 2A

11

OBJECTIFS du cours

Être capable de :

Définir l’intérêt et les limites de la correction des

systèmes asservis

Mettre en évidence l’influence des corrections

sur les performances

choisir un correcteur et de régler ses paramètres en

fonction du cahier des charges du système étudié

(13)

Page 12

Introduction

Notions et outils (langage, T. Laplace, modélisation

Systèmes élémentaires

Performances (stabilité, précision, rapidité)

Correction (PID, stratégies et méthodes)

SNCC et automatismes

IUT GC 2A

12

(14)

Page 13

300 < J.C.  Grecs (temps) 800 – 1200  arabes 1600 –

1900  révolution moulin 16ème ₁₇temp. ème niveau ₁₈ème pression ₁₈ème

1800 –

1935  maths équa diff.

20ème _ régulation PID

WW2  Radar

1960  numérique temps réel  coûts informatique

60-80  aéronautique Spatial

≥ 1980  high-tech Optim. commande _robuste informatique

IUT GC 2A

13

(15)

Page 14

Domaines

Cosméto. Agro. Environ-nement Energie Electrique Transports Pharmaco. Médical High-Tech

IUT GC 2A

14

Domaines

(16)

Page 15

Une chaîne

de régulation

Un exemple :

IUT GC 2A

15

Chaine d’acquisition

(17)

Page 16

IUT GC 2A

16

Commande

• Signal de

commande :

sort/généré par

le correcteur

• « Entre » dans

l’actionneur

• Limites

physiques

Réglage

• Loi de

commande

(algorithme

(exemple PID)

• Correcteur (algo

+ écart)

• Signal d’erreur

en entrée

• Signal de

commande en

sortie

Mesure

• Acquisition des

signaux de

sortie du

système

• Capteurs :

délivrent une

valeur de

mesure

• Mise en forme

du signal

(transmetteur)

Chaine d’acquisition

(18)

Page 17

IUT GC 2A

17

(19)

Page 18

IUT GC 2A

18

Des capteurs …

de proximité

(à ultrasons) De niveau Bouton poussoir

d’humidité photoélectrique De gaz

De choc De contact D’arrêt d’urgence

(20)

Page 19

IUT GC 2A

19

Des actionneurs …

Moteur

pas-à-pas 7 segmentsAfficheur Voyants

electrovanne Vérin (rotatif) ventilateur

buzzer Vérin (linéaire) Résistance chauffante

(21)

Page 20

IUT GC 2A

20

Position du problème :

Beaucoup de technologie !

• Toutes différentes • Évolution rapide • À tous les prix

Beaucoup de différences !

• Pas 2 systèmes identiques ?

• Performances attendues sont différentes

Nombreux outils !

• Scientifiques • Graphiques • Informatiques

Des incertitudes

• Variations dans le temps (usure ?) • Variations selon fonctionnement (?)

(22)

Page 21

IUT GC 2A

21

Position du problème :

(23)

Page 22

IUT GC 2A

22

Objectifs ?

Procédé

_{d’instrumentation}

Plan

Modèle

(24)

Page 23

IUT GC 2A

23

Modèle ?

Nécessité d’un modèle • LEQUEL ? • Pourquoi faire ? PB liés • 1 fonctionnement = 1 modèle Comment faire ? • Modèle général

• Des classes ? Des familles ? Comment

l’obtenir ? • Physique (équations)

• Essais pratique (comportement) Nominal • OK mais

ensuite ?

Améliorati

ons ? • Quoi modifier ?_{• Paramètres globaux}

En mode

(25)

Page 24

IUT GC 2A

24

(26)

Page 25

IUT GC 2A

25

(27)

Page 26

IUT GC 2A

26

Exemple : niveau d’une cuve

Canalisation

de

soutirage

Canalisation

(28)

Page 27

IUT GC 2A

27

Débit

de

soutirage

Débit

d’alimentation

• Incontrôlable

• Q Max

Doit s ’adapter au débit de soutirage

pour maintenir le niveau constant et

donc maintenir la réserve

Niveau à

maintenir pour

assurer la réserve

(29)

Page 28

IUT GC 2A

28

Débit

de

soutirage

Débit

d’alimentation

Débit donné

Niveau à

maintenir pour

assurer la réserve

Si l ’alimentation est trop faible ...

Le niveau baisse

Danger !!!

(30)

Page 29

IUT GC 2A

29

Débit

de

soutirage

Débit

d’alimentation

Débit donné

Niveau à

maintenir pour

assurer la réserve

Si l ’alimentation est trop forte ...

Le niveau monte

Danger !!!

Trop tard !!!

(31)

Page 30

IUT GC 2A

30

Alimentation

Grandeur à

maintenir

Grandeur

de réglage

Perturbation

Sortie

Mesure

Commande

Consigne

Qs

Qa

h

80 %

Valeur à maintenir

objectif

Grandeur

incontrôlable

Soutirage

(32)

Page 31

IUT GC 2A

31

Perturbation

Commande

Qs

Qa

h

Sortie

Capteur

Régulateur

Organe de

correction

Actionneur

Rétroaction

du procédé

Chaîne de régulation

(33)

Page 32

IUT GC 2A

32

Les individus :

des appareils

Qs

Qa

h

LC

LV

LT

Le transfert d’informations :

électrique

Le support :

des fils

Le langage :

un courant

continu variant

de 4 à 20 mA

(34)

Page 33

IUT GC 2A

33

Transfert d’informations

• Ne pas confondre avec grandeur physique (m, m3_{/h, °C, etc…)}

Signal normalisé

• Car tensions : chute selon distance

• Grande distances entre capteurs et actionneurs • Car tensions : chute selon distance

• Grande distances entre capteurs et actionneurs

Pourquoi un courant ?

• Faciliter le diagnostic de panne (0 mA = support rompu !) • Faciliter le diagnostic de panne (0 mA = support rompu !)

Pourquoi 4 mA ?

• Pas besoin de puissance pour transmettre les informations • Pas besoin de puissance pour transmettre les informations

Pourquoi 20 mA ?

• Blindage des câbles • Blindage des câbles

(35)

Page 34

IUT GC 2A

34

Ca fonctionne mal ?

Pb physique

• Le capteur mesure mal

• L’actionneur n’exécute pas correctement la commande

Pb de calcul

• La loi de commande n’est pas adaptée (ou mal

calculée)

Pb de communication

• Physique (panne élément, bruit, rupture support)

(36)

Page 35

IUT GC 2A

35

Notions et outils

Système / modèle BO / BF Laplace Schémas blocs

(37)

Page 36

IUT GC 2A

36

Position du PB :

Système : plusieurs caractéristiques entrées/sorties

rapidité/lenteur

: dynamique = temps pour

atteindre son régime permanent (= régime

équilibre).

amplification/amortissement

(du signal

appliqué à l'entrée) : généralement l'objectif à

atteindre/souhaité (sur la sortie)

agitation temporaire

(en transitoire, avant

d'atteindre son régime permanent) traduite

par des oscillations.

(38)

Page 37

IUT GC 2A

37

Position du PB :

C’est

traduit

par:

temps de réponse

/ d'établissement : temps pour

lequel la (variation de) sortie atteint le valeur

d'équilibre (régime permanent) à 5% près (95% ou

105% si dépassement).

gain statique :

mesuré comme le ratio de la

variation de sortie sur la variation de l'entrée

(diverses possibilités : unité =1, amplificateur >1

ou amortisseur <1)

dépassement

(premier = le plus grand) : mesuré

(en transitoire) comme l'excédent au dessus de la

valeur finale (régime permanent) et exprimé en %.

(39)

Page 38

IUT GC 2A

38

Position du PB (suite) :

A ces valeurs sont attachés des critères de

performance (rapidité, précision statique et

dynamique) et des contraintes (stabilité,

commande mesurée) en liens direct avec ceux de l'industrie (fiabilité, qualité, etc...).

Plus précisément, les critères process (duréee cycle de production, conformité, fiabilité, ) utilisent ces critères de performances.

ces valeurs sont fonctions de paramètres propres à chaque système : c'est un autre moyen de

représenter les systèmes : notion de modèle (mathématique, schéma, ordre, etc...)

(40)

Page 39

IUT GC 2A

39

Position du PB (suite) :

POURTANT le procédé est bien "construit" ???

 pas toujours (capteurs et actionneurs sous dimensionnés car changement d'objectifs dans le temps ou trop couteux)

 pas tout le temps (usure qui modifie les capteurs actionneurs et même le process en lui-même)

 il change (en fonction du point de fonctionnement choisi, des objectifs, ..)

ET SURTOUT :

 il peut être perturbé par des signaux ou conditions externes (indésirables)

 ses paramètres changent quand on ferme la boucle !!!

 pour améliorer/optimiser une performance, souvent on dégrade les autres (apparition de compromis, de choix à faire selon ce que l'on veut, ce qu'on peut faire)

(41)

Page 40

IUT GC 2A

40

Donc réguler c’est :

mesurer

réfléchir _agir

•

Réfléchir

(Stratégie du régulateur : comparer, générer la

commande ou grandeur réglante)

•

Agir

(sur le système : actionneur)

(42)

Page 41

IUT GC 2A

41

IUT GC 2A

42

2 objectifs simultanés

Pb : à assurer par le même organe (régulateur) !



Poursuite

: suivi de consigne (nominal)



Régulation

: rejet de perturbations (défauts)

Poursuite

aptitude d'un syst. à maintenir la sortie constante, cela malgré les perturbations externes au syst.

Régulation

aptitude d'un syst. à maintenir la sortie constante, cela malgré les perturbations externes au syst.

(44)

Page 43

IUT GC 2A

43

Exemple : échangeur

- Températures d ’entrées constantes

Débit fluide

procédé

Sortie (T)

Débit fluide

utilitaire

Valeur normale

Consigne

Valeur nominale

Bonne régulation

Régulation

trop forte

Régulation

trop faible

Valeur nominale

(45)

Page 44

IUT GC 2A

44

Une « bonne » régulation ?

Et c’est le réglage du régulateur qui permet d ’atteindre ces objectifs Seule la boucle (de régulation) FERMEE en est capable !!

Une trop grande inertie du procédé peut rendre la régulation inefficace ou pire (destructrice) •

sortie qui revient précisément à la consigne

•

idem en présence de perturbations

•

retour à la consigne le plus efficace possible :

o

sans oscillations (pompage)  usure de la vanne

o

le plus rapidement possible...

(46)

Page 45

Inertie

Débit fluide

procédé

Grandeur

réglée (T)

Débit fluide

utilitaire

Valeur normale

Valeur nominale

Consigne

Valeur nominale

La régulation en BF

a atteint une limite !

Une régulation plus COMPLEXE

doit être mise en place !

Exemple : échangeur (suite)

(47)

Page 46



Système : La réalité



Modèle : Image simplifiée du système

Modèle de connaissance

Mathématiques

Lois de la Physique

Régulation

Modèle de comportement Transformée de Laplace



Obtention (Laplace) d’un modèle simple mais utile (suffisant)

pour nos techniques

Conditions Initiales nulles

Fonction

Transfert



Espace de travail : domaine temporel

Essai Pratique

Système et modèle

(48)

Page 47



des systèmes :



Modèle (SISO)

Modèle : relation mathématique entrée/sortie

S

ingle

I

nput

Action d ’une entrée Réponse du système

Évolution de la sortie (causalité)

S

ingle

O

utput

Système et modèle : exemples

(49)

Page 48

Le langage :

IUT GC 2A

48

• Entrée principale. Représente l’objectif attendu. • Entrée principale. Représente l’objectif attendu.

Consigne / référence

• Effectue la soustraction entre consigne et signal de mesure • Délivre le signal d’erreur

Comparateur / sommateur

• Calcule (grâce au réglage de ses paramètres) et délivre la commande • Calcule (grâce au réglage de ses paramètres) et délivre la commande

Correcteur

• Valeur qui permet au système de se comporter « correctement ». Attention

aux valeurs limites.

• Valeur qui permet au système de se comporter « correctement ». Attention

aux valeurs limites.

Commande /valeur réglante

• Entrée physique du procédé (amplificateur, pompe, vanne, etc…) • Entrée physique du procédé (amplificateur, pompe, vanne, etc…)

Actionneur

• Entrée indésirable. A minimiser ou rejeter • Entrée indésirable. A minimiser ou rejeter

Perturbation

• Sortie du procédé • Sortie du procédé

Sortie / valeur réglée

• Sortie du capteur (= entrée du régulateur en BF) • Sortie du capteur (= entrée du régulateur en BF)

(50)

Page 49

Des Maths ? Oui !

Quelles Maths ? Des Maths appliquées (donc simplifiées)



(51)

Page 50



TL

d’une fonction



Linéarité



Définition



TH Valeur Initiale



TH Valeur Finale



TH de Superposition



TH Retard

 

_



_

 0 pt

e

)

t

(

f

)

p

(

F

f(t)

L





)

p

(

bG

)

p

(

aF

bg(t)

af(t)







L

)

0 (

f

)

p

(

pF

dt

df(t)

_

_









L

  0



p t

)

p

(

F

p

lim

)

t

(

f

lim



f(t





)





e

p

F

(

p

)

L

0 p t

)

p

(

F

p

lim

)

t

(

f

lim

  



 

''

(

)

2

(

)

(

0 )

'

(

0 )

f

pf

p

F

p

t

f





L

LAPLACE : propriétés

IUT GC 2A

50

(52)

Page 51

-at

_{n! / (}

_p

_+a)

n+1



_e at _e bt



a b 1  _  

1 / (

p

+a)(

p

+b)



2



t 2 e 1-z z -1 w 1 wt sin zw 

1 / (

p

2

+2zw

p

+w

2)

LAPLACE : table

IUT GC 2A

51

(53)

Page 52

LAPLACE : application

(54)

Page 53



Ordre : degré max du dénominateur



Pôle : racine (solution) du dénominateur



Représentation : fraction polynômiale sortie/entrée



notation : F(p) = NUM (p) / DEN (p)



indépendant amplitude et nature de l ’entrée



Entrées canoniques :

impulsion échelon rampe

Fonction de transfert :

(55)

Page 54

Sortie : f (t)

Statique - dynamique

(56)

Page 55

On réagit !

On subit !

BO (pas de régulation)

BF (régulation)

Boucle ouverte – fermée :

(57)

Page 56

Schéma PCF

(

P

lan de

C

irculation des

F

luides)

Vanne :

_{IUT GC 2A}

56

Schéma techniques et plans

schéma faisant apparaître les appareils (cuves, échangeurs...), les organes de puissance (pompes, agitateurs...), la nature et sens d'écoulement des fluides, les grandeurs physiques utiles

(58)

Page 57

Schéma TI

(

T

uyauteries et

I

nstrumentation)

Vanne :

_{IUT GC 2A}

57

Schéma techniques et plans

Schéma PCF instrumenté : complété par les appareils de mesure, les appareils de contrôle et de calcul, les actionneurs et les liaisons. Attention : en Anglais  schéma PID (Piping

Instrument Diagram) Ne pas confondre avec « correcteur PID »

(59)

Page 58

Représentation Symbolique des

(62)

Page 61

IUT GC 2A

61

Présentation du procédé

La fabrication de nombreux produits industriels nécessite généralement un conditionnement des différents fluides participant à la réaction chimique. Un four de préchauffage doit permettre d’élever un réactif à une température constante pour garantir un bon rendement de la réaction

Détermination des grandeurs

Grandeur réglée

T aval

(T° en aval du four de préchaffage) Grandeurs incidentes Grandeur réglante (commande) : Q gaz (débit de combustible) Perturbations : Q air (débit de comburant) T amont (T° du produit en amont du four) Q produit (débit de produit)

(63)

Page 62

IUT GC 2A

62

(64)

Page 63



Exemple



Gain



Comparateur

H = S / E

IUT GC 2A

63

Schémas fonctionnel détaillé

(65)

Page 64

IUT GC 2A

64

(66)

Page 65

H = S / E

IUT GC 2A

65

(67)

Page 66



Règle 1 : produit



Règle 2 : somme



Règle 3 : BF

IUT GC 2A

66

(68)

Page 67



Règle 4 : déplacement de lien vers l ’avant



Règle 5 : déplacement de lien vers l ’arrière

IUT GC 2A

67

(69)

Page 68

IUT GC 2A

68

Systèmes élémentaires

ORDRE 1 ORDRE 2 ORDRE > 2

(70)

Page 69

Tout système régi par une équation

différentielle d’ordre 1 à coefficients constants

)

t

(

Ke

)

t

(

s

dt

)

t

(

ds

T





)

p

(

KE

)

p

(

S

)

p

(

pS

T





L + CI=0

1

p

.

T

1 K

)

p

(

E

)

p

(

S

)

p

(

F





gain statique

constante de temps

forme standard

ordre 1

2 paramètres

caractéristiques

•gain statique

: gain en régime permanent 

•constante de temps

: en secondes  vitesse de réaction (dynamique)

e

s

)

(

e

)

(

s

K









IUT GC 2A

69

ORDRE 1 : définition

(71)

Page 70

F(p)

T / t

e

T

K

)

t

(

s



 1 ) ( p  E

IUT GC 2A

70

ORDRE 1 : impulsion

(72)

Page 71

Influence de K

IUT GC 2A

71

ORDRE 1 : impulsion

(73)

Page 72

F(p)



₁

_e

t/T



K

)

t

(

s





p

E

(

)



1 IUT GC 2A

72

ORDRE 1 : échelon

(74)

Page 73

IUT GC 2A

73

ORDRE 1 : échelon

(75)

Page 74



₁

_e

t

/

T



K

)

t

(

s





K

)

t

(

s

lim

t



0 T

K

dt

)

t

(

ds

lim

0 t





Asymptote horizontale

Th Valeur Initiale Temps de réponse (à 5%)



e



K

t

s

(

_r

)



1 

tr /T



0 .

95

Th Valeur Finale

Tangente non-horizontale

T

t

_r



3 IUT GC 2A

74

(76)

Page 75

La sortie ne débute

pas forcément à « 0 »

POINT de FONCTIONNEMENT

IUT GC 2A

75

ORDRE 1 : réponse indicielle

Remarque TRES importante !

Temps de réponse (à -5% = +95% de S/E)

T

t

_r



3

(77)

Page 76

F(p)



_t

_T

_Te

t /T



K

)

t

(

s







 2

1 )

(

p

E



IUT GC 2A

76

ORDRE 1 : rampe

(78)

Page 77

Système intégrateur (sans

régime permanent)

Système retardé (de

)

Système du premier ordre

généralisé

p

T

e

K

p

F

p

.

1 )

(







p

T

/

K

)

p

(

F



p

.

T

1 )

p

1 (

K

)

p

(

F



























)

(

t

T

K

)

t

(

s

ind

.

rep

)

(

T

K

)

t

(

s

imp

.

rep

rampe

constante

IUT GC 2A

77

(79)

Page 78

Tout système régi par une équation différentielle d ’ordre 2 à coefficients constants

)

(

)

(

)

(

2 )

(

₂ ₂ 2 2

t

e

Kw

t

s

w

dt

t

s

d

zw

dt

t

s

d

_

_

)

(

)

(

)

(

2 )

(

2 2 2

p

E

Kw

p

S

w

p

S

p

zw

p

S

p





2 2 2

2 )

(

)

(

)

(

w

p

zw

p

Kw

p

E

p

S

p

F





→ K : gain statique → z : facteur d ’amortissement

→ w : pulsation propre (rad/s)



₁



₂



2

p

Kw





Forme factorisée

Forme standard

IUT GC 2A

78

ORDRE 2 : définition

3 paramètres caractéristiques

(80)

Page 79

Équation caractéristique (DEN)  p2 _{+ 2zw p + w}2 _{= 0}

discriminant   = 4w2 _{( z}2_{-1 )}

z ?

z  1 (0)

z < 1 (<0)

pôles

2 ₂ 2 1 2 1 1/T 1 z w zw p 1/T 1 z w zw p             2 réels 2 2 2 1 z -1 jw zw p z -1 jw zw p       2 complexes

Tout dépend de « z » : z

 1 (2 réels), z<1 ( 2 complexes)

QUELLE(S) DIFFERENCE(S)/CONSEQUENCE(S) ?



z  1 : non-oscillant (apériodique)



z < 1 : oscillatoire-amorti (pseudo-périodique)

IUT GC 2A

79

(81)

Page 80

z > 1 : non-oscillant (apériodique)

z = 1 : non-oscillant (apériodique critique)

z < 1 : oscillatoire-amorti (pseudo-périodique)

                    T2 t 1 T t 2 1 1 2 1 e e T T K ) t ( s ) pT 1 )( pT 1 ( K ) p ( S

L

                T0 t 2 0 1 2 0 e t T K ) t ( s ) pT 1 ( K ) p ( S

L







w z t



e z Kw t s w p zw p Kw p S zwt 2 2 2 2 2 1 sin 1 ) ( 2 ) ( 1          

L

 

oscillant (sinus) amorti (exp)

pseudo-période :

p _w ₁ _z2

2 T   

IUT GC 2A

80

(82)

Page 81

s

₀

= 0

s(

) = 0

s ’(t) = 0

 max (t  0)

IUT GC 2A

81

ORDRE 2 : impulsion

(83)

Page 82

z > 1 : non-oscillant (apériodique)

z = 1 : non-oscillant (apériodique critique)

z < 1 : oscillatoire-amorti (pseudo-périodique)

                             T2 t 2 1 T t 1 2 1 1 2 1 e T e T T T 1 1 K ) t ( s ) pT 1 )( pT 1 ( p K ) p ( S

L

                        T0 t 0 1 2 0 e T t 1 1 K ) t ( s ) pT 1 ( p K ) p ( S

L































 









e



sin

w

1 z

t

z

1

1 K

)

t

(

s

)

w

p

zw

2 p

(

p

Kw

)

p

(

S

zwt 2 2 1 2 2 2

L

2 pic

z

1 w

k

t

0 )

t

(

s















































  2 1 1

100 )

(

)

(

100 %

z z pic

e

s

D



IUT GC 2A

82

ORDRE 1 : échelon

(84)

Page 83

w

z

t

_r



3

2 p z 1 w 2 T    2 1 1 z z

e

D

 



 2 pic z 1 w t   

IUT GC 2A

83

ORDRE 2 : Indicielle (pseudo)

w z 6 t_r 

(85)

Page 84

w z 6 t_r 

w

z

3 t

_r



« w »  rapidité

« z »  dépassement

apériodique pseudo-périodique

critique

apériodique

pseudo-périodique

•s() = K . e(t) •s ’(0) = 0  tangente horiz. •point inflexion

IUT GC 2A

84

ORDRE 2 : indicielle

(86)

Page 85

« w »  apériodique

« z »  pseudo-pér.

IUT GC 2A

85

(87)

Page 86

 





               e sinw 1 z t 2 z 1 w 1 w z 2 t K ) t ( s zwt 2 2 ) w p zw 2 p ( p Kw ) p ( S ₂ ₂ ₂ 2   

L

-1

s₀ = 0 s()  0 s ’(0) = 0  tangente horizontale erreur de traînage : K = 1  e() - s() = 2z / w K  1  e() - s() = 

IUT GC 2A

86

ORDRE 2 : rampe

(88)

Page 87

IUT GC 2A

87

(89)

Page 88

Etude d ’un système d ’ordre 3

erreur en transitoire

) 22 p ( ) 6 p ( ) 1 p ( 22 6 ) p ( F₃      ) 6 p ( ) 1 p ( 6 ) p ( F₂   

F

₃

- F

₁

F

₃

- F

₂

pôle dominant : -1

2 pôles : -1, -6

3 pôles : -1, -6, -22

F₁ F₂ F₃

pôle rapide

) 1 p ( 1 ) p ( F₁  

pôle lent

IUT GC 2A

88

ORDRE > 2 : exemple

(90)

Page 89

IUT GC 2A

89

Performances

Stabilité Précision Rapidité

(91)

Page 90

Toutes les performances en même temps

Compromis !!!

Difficile (voire impossible)

IUT GC 2A

90

Performances

Poursuite (nominal)

• Suivi de consigne

• Précis, rapide, stable

Régulation (défaut)

• Rejet de perturbation

• Précis, rapide, stable

commande

• Amplitude limitée

• Éviter saturation

des actionneurs

• Ralentit le système

• Aucune correction

pendant la durée

de saturation

(92)

Page 91

notion (équilibre vs stabilité locale)

stabilité : définition

• au sens strict (asymptotique, Lyapunov) : retour à l’équilibre après

perturbation ou changement de consigne. Instable si écartement ou

non-retour

• au sens large (EBSB) : (signaux)

E

ntrée

B

ornée



S

ortie

B

ornée

(limitée, non-divergente). Attention à la saturation des actionneurs

qui peut faire penser à une sortie bornée

 faux

équilibre neutre (nouvel équilibre)

équilibre stable

équilibre instable

IUT GC 2A

91

(93)

Page 92

Système asymptotiquement stable ssi: g(t) = réponse impulsionnelle du système représenté par (après décomposition en éléments simples) :





_



_







j j j j j i i i k k k

c

b

p

d

p

G

₂ ₂

)

(

)

(







• pi les pôles réels

• c_j ± i b_j les pôles imaginaires



    j j j t b j i t p i k k k d e f e c t t g( )





i j cos(



)

g(t) converge vers 0 si les p_i et les b_j sont tous strictement négatifs !!!

Un système linéaire invariant est stable

si tous ses pôles sont à partie réelle strictement négative 0 ) (    g t Lim t

IUT GC 2A

92

Stabilité : démonstration

(94)

Page 93

IUT GC 2A

93

(95)

Page 94

IUT GC 2A

94

(96)

Page 95

Plan complexe

0 Re(p)  0 Re(p) 

Stable

Instable

pôle stable : Re(p) < 0

système stable : tous les pôles stables pôle instable : Re(p)  0

système instable : un seul pôle instable suffit !

IUT GC 2A

95

(97)

Page 96

allures des réponses versus

localisation des pôles

pôle instable : Re(p) > 0 système instable : un seul pôle instable suffit

IUT GC 2A

96

(98)

Page 97

Et pour un système BF ?

résoudre polynôme caractéristique  difficile pour ordre > 2 !!! C(p)  + G(p) E(p) U(p) S(p)

)

(

)

(

1 )

(

)

(

)

(

p

G

p

C

p

G

p

C

p

F





0 ) ( ) ( 1C p G p  polynôme caractéristique  UNE SOLUTION !

Routh = méthode algébrique : analyse d ’un tableau

Pour un système BO

« facile » : DEN (G(p))  stable si Re(p

_i

) < 0

IUT GC 2A

97

(99)

Page 98

0

1

2

1 -n

n

p

a

p

a

p

a

p

a

c

_n-1

_n-2



p

0

h

_n

Conclusion

nombre de pôles instables

= nombre

changements de signes

Page 105

Calcul d ’erreur

Notion de classe d ’un système

Tableau résumé

nombre d ’intégrateur (terme en 1/p



_{) :}

_

_représente

_classe

_{du système}

ne pas confondre avec ordre !

) ( ) ( 1 ) ( ) ( p G p C p X p   

K

p

X

p





   



1 0

)

(

lim

)

(

)

1 (

)

1 (

)

(

)

(

₂ 2 1 2 2 1







p

a

p

a

p

b

p

b

K

p

G

p

C

_

IUT GC 2A

105

Précision statique (erreurs)

(110)

Page 109

G₁ : classe 0 G2 : classe 1 _G₁ _{: classe 1} G₂ : classe 0

rejet

erreur statique

IUT GC 2A

109

Précision : classe en rejet

(111)

Page 110

G₁ : classe 0 G₁ : classe 1 _G₁ _{: classe 1} _G₂ _{: classe 0}

erreur statique

erreur infinie (divergence)

IUT GC 2A

110

Précision : classe en rejet

(112)

Page 111

Même règle mais :

Intégrateur doit être situé avant

(en regardant depuis l’entrée dans le sens des flèches) le point d’application de la perturbation

(dans C si perturbation de commande)

pour erreur nulle : autant d’intégrateur dans CG que la classe du signal entrée

– échelon (a/p, classe 1)  1 intégrateur – rampe (a/p2_{, classe 2)} 2 intégrateurs

régulation (rejet de perturbation)

poursuite (suivi de consigne)

IUT GC 2A

111

(113)

Page 112

IUT GC 2A

112

(114)

Page 113

rapidité : position des pôles (abscisse)

dépassement (précision « dynamique ») : position des pôles (angle)

IUT GC 2A

113

(115)

Page 114

Pourquoi boucler ?

Modification de la dynamique initiale  atteindre et/ou améliorer objectifs de

performances

Conséquences du bouclage



Risque de déstabilisation Calculs plus compliqués Instrumentation

Performances améliorées

(précision statique et dynamique, rapidité, etc…)



Système Muscles Perturbations Cerveau Sens Objectif

IUT GC 2A

114

bouclage

(116)

Page 115

pour tout assurer/respecter

en même temps ?

Correction P-I-D

Des méthodes de réglages ?

dans la suite …

3 actions :

 P : proportionnel

 I : intégral

 D : dérivé

 Calculs

 Essais Pratiques

IUT GC 2A

115

Des solutions ?

(117)

Page 116

IUT GC 2A

116

Corrections

PID Stratégies Méthodes

(118)

Page 117

Comment agir ?

 POURSUITE (suivi de consigne)

•diminuer signal erreur  feedback négatif

•amplifier signal erreur  augmenter effet et rapidité de la prise en compte  REGULATION (rejet de perturbation)

• composition des actions du correcteur  introduire intégrateur (s) ?

Correcteur Actionneur Procédé Capteur

Mesure Mesurande Action Commande Consigne Perturbations + -Régulateur

IUT GC 2A

117

Correction

(119)

Page 118

Le principe

 commande de 2 états

•max  100 % action (si supérieur : diminuer action)

•min  0 % action (si inférieur : augmenter action)

 Seuils (pour éviter

saturation actionneurs)

• seuil +

•seuil –

 Problèmes

•Pompage (oscillations entretenues)

•Lenteur

•Précision limitée (erreur jamais nulle)

T°(t) t Puiss chauffe Consigne Seuil -Seuil +

IUT GC 2A

118

Correction TOR

(120)

Page 119

a posteriori / feedback / mode

« automatique » sur les régulateurs

Son rôle

•Annuler l’écart (consigne-mesure)

•Rendre la sortie égale (à 5% près) à la consigne en régime permanent •Réduire ou annuler l’influence des perturbations

Ses contraintes

•Limiter la commande •Être stable

•Agir le plus rapidement possible (en poursuite et en régulation) •Tolérer des dépassements faibles

Correcteur Actionneur Procédé Capteur

Mesure Mesurande Action Commande Consigne Perturbations + -Régulateur

IUT GC 2A

119

Correction : BF posteriori

(121)

Page 120

 Améliore rapidité

 Détériore précision dynamique (oscillations pour ordre  2, aussi perte de stabilité)  Précision statique imparfaite

IUT GC 2A

120

Correction PID : « action P »

Action la plus classique

La correction se fait en fonction de la différence entre la mesure et la consigne courante

Rapport erreur/commande = gain Bande proportionnelle = 1/gain

Pb : erreur petite = petit gain voire nul ! Pb : si consigne varie rapidement (entre 2 instants de mesure)

(122)

Page 121

Le principe

La structure générale

IUT GC 2A

121

(123)

Page 122

1

1 )

(









AK

W



0

1

1 )

(









AK



Avec un système de classe 0

)

1 /(



AK





Page 124

 Améliore rapidité (dépendant de D1%)  Détériore précision dynamique (D1 %)  Précision statique parfaite (pour échelon)  Rejet parfait aussi si action avant pert.

IUT GC 2A

124

Correction PID : « action I »

La correction utilise la mémoire des écarts entre la mesure et la consigne courante lors des

échantillonnages précédents

 Élimine erreurs trop petites (pour corr. P)  Élimine erreurs de suivi de consigne en pente Chaque Ti sec, on ajoute la valeur de l’entrée de l’intégrateur avec l’ancienne valeur

Réglage de n = /Ti

Pb : saturation d’intégrale (amplification à l’infini de sa contribution)

Pb : déstabilisation (fonction de la classe) Pb : commande oscillante avant désaturation

(126)

Page 125

Le principe

La structure générale

IUT GC 2A

125

(127)

Page 126

Avec un système de classe 0

0 )

(





W



 Erreur position (statique) :

 Erreur traînage (statique) :

 Erreur régulation (perturbation échelon) :

0 )

(









(132)

Page 131

•Améliore précision dynamique

•Améliore stabilité (et tend à compenser le retard) •Aucune action sur précision statique