Etude des instabilités des écoulements par simulation numérique autour des obstacles en régime laminaire et turbulent avec transfert de chaleur

(1)

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE CONSTANTINE 1

FACULTE DES SCIENCES DE LA TECHNOLOGIE DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

N°ordre:

………

/Doct/2015

N°série :

…………..

/GM/2015

Thèse présentée en vue de l’obtention du diplôme de Doctorat en Sciences : Génie Mécanique

Option Energétique

Par :

BOUAKKAZ RAFIK

Soutenue le : 04/03/2015

Devant le jury composé de :

Président : Mr A. BOUCHOUCHA Prof. Université Constantine1 Rapporteur : Mr K. TALBI Prof. Université Constantine1 Examinateurs : Mr B. NECIB Prof. Université Constantine1 Mr Y. AMIROUCHE Maître C.A. Université de Jijel Mr D. SEMMAR Maître C.A. Université Blida1

Etude des instabilités des écoulements par simulation

numérique autour des obstacles en régime laminaire

(2)

Remerciements

Je voudrais tout d’abord adresser mes remerciements les plus profonds et les plus

sincères à mon encadreur de thèse, le Professeur Kamel TALBI. Je tiens à lui exprimer ma

profonde gratitude pour son soutien tant scientifique qu’humain durant ces années.

J’adresse mes remerciements les plus sincères au Professeur Ali Bouchoucha, de

l’Université Mentouri Constantine pour l’honneur qu’il me fait en acceptant de présider le

jury de cette thèse.

Mes vifs remerciements vont également à Monsieur le professeur Brahim Necib pour

le grand honneur qu’il nous a fait en acceptant de faire partie de mon jury de thèse.

Je suis aussi très reconnaissant envers M. Amirouche Yacine maître de conférence à

l'Université de Jijel et M. Djaffar Semmar, maître de conférence à l’Université de Blida qui

ont accepter de consacrer de leur temps à l’examen de cette thèse.

C’est également une occasion pour exprimer ma reconnaissance à tous mes amis.

Je dédie cette thèse à

La mémoire de mon père

Ma mère

Ma femme et mes enfants

Mon frère et mes sœurs.

(3)

i

Table des matières

Listes des figures ………..………..….….. v

Nomenclature………...…………..………..….….. ix

Introduction générale ………..………..….….. 1

Chapitre 1 : Etude bibliographique 1.1 Ecoulement isotherme autour d’un cylindre fixe ou en rotation…..………..………...……….. 3

1.1.1 Différents régimes de l’écoulement autour d’un cylindre fixe…..………….…...……….. 3

1.1.1.1 Ecoulement rampant………...……….…… 4

1.1.1.2 Régime stationnaire décollé………..……….….. ..4

1.1.1.3 Régime laminaire instationnaire bidimensionnel… …….… ………...………….…….5

1.1.1.4 Régime laminaire instationnaire tridimensionnel ……….……….6

1.1.1.5 Régime sous critique ……….………….……….…………....…… 7

1.1.1.6 Régime critique……….………..………...……….………….…...….…..09 1.1.1.7 Régime supercritique …….………...……….……….……...….…..09 1.1.2 Ecoulement autour d’un cylindre en rotation …..……….………09 1.1.2.1 Etude bibliographique de l’écoulement autour d’un cylindre en rotation ...…... 09 1.1.2.2 Applications industrielles.…...………... 17

1.2 Ecoulement anisotherme autour d’un cylindre fixe ou en rotation……….…... 18

Chapitre 2 : Formulation mathématique 2.1 Rappel des équations………...……….. 23

2.2 La moyenne temporelle...…..25

2.3 Les équations de Reynolds...……25

2.3.1 Décomposition statique...…….25

2.3.2 Règles de Reynolds...……26

2.3.3 Les tensions de Reynolds...……26

2.4 Le modèle RSM...…..…..27

2.4.1 Equations de transport aux tensions de Reynolds…...…..…27

2.4.2 Bilan aux tensions de Reynolds…...…..…28

2.4.2.1 Terme de production...…..…28

2.4.2.2 Taux de dissipation visqueuse ...…..…28

2.4.2.3 Corrélation pression-taux de déformation. ...…..…28

(4)

ii

2.5 Le modèle (k-ε) ...………...……....…30

2.5.1 Concept de Boussinesq...………..……….…....…30

2.5.2 Equation modélisée de k...……….……..………….……...…31

2.5.3 Equation modélisée de

ε

_{...……….…………..……....…}₃₁

2.5.4 Calages des constantes ...……….………..……....…32

2.6 Traitement à la paroi...………....……….…………..…..………...…32

Chapitre 3 : Méthodes numériques 3.1 Présentation du logiciel de calcul...………..………...……...…35

3.2 Notions générales sur la méthode des volumes finis...……..……..…..…...…36

3.3 Schéma numérique de discrétisation ... 37

3.3.1 Le schéma centré ...37

3.3.2 Le schéma upwind... 38

3.3.3 Le schéma QUICK ... 39

3.3.4 Le schéma power-law ... 40

3.4 Méthodes de calcul du champ de pression …...42

3.4.1 La méthode SIMPLE …...42

3.4.2 Modélisation à grilles décalées...44

3.4.3 Algorithme global…... 47

3.5 Méthode de résolution…...48

Chapitre 4 : Simulation numérique d’écoulements laminaires et du transfert de chaleur autour d’un cylindre fixe et en rotation 4.1 Introduction...………..…..……...…50

4.2 Définitions des paramètres de l'étude………..…...……...…50

4.3 Méthodes numériques………..………...51

4.3.1 Géométrie…..….…..….………….……...51

4.3.2 Maillage…….……...…..…..……...…52

4.3.3 Conditions aux limites……...…53

4.3.4 Choix du schéma de discrétisation...…53

4.3.5 Etude de la dépendance en maillage des paramètres globaux de l’écoulement...53

(5)

iii

4.5 Résultats et discussions...…57

4.5.1 Ecoulements à des nombres de Reynolds inférieurs au nombre critique de la première bifurcation, Re < 48...….57

4.5.2 Description des différents régimes observés en fonction de la vitesse de rotation pour 48 ≤Re≤ 200...….59

4.5.2.1 Premier régime instationnaire...….63

4.5.2.2 Premier régime stationnaire...….64

4.5.2.3 Second régime instationnaires...….65

4.5.2.4 Second régime stationnaire ...….67

4.5.3 Influence du nombre de Reynolds...….67

4.5.4 Paramètres globaux...….68

4.5.4.1 Evolution du Nombre de Strouhal en fonction de la vitesse de rotation...68

4.5.4 4.5.4.2 Evolution des coefficients de traînée et de portance en fonction de la vitesse de rotation rotation...69

4.5.4.3 Evolution des coefficients de pression en fonction de la vitesse de rotation...71

4.5.4.4 Evolution des points de stagnation en fonction de la vitesse de rotation...……..….73

4.5.5 Champs de températures ...….73

4.5.6 Nombre de Nusselt local...… 74

4.5.7 Nombre de Nusselt moyen...….75

4.6 Conclusion... ...….78

Chapitre 5 : Simulation numérique d’écoulements turbulents autour d’un cylindre fixe et en rotation 5.1 Introduction...……..………..…...……...…80

5.2 Résolution numérique et conditions aux limites……..…...…80

5.2.1 Les schémas de discrétisation …..……….…..…...…81

5.2.2 Conditions aux limites ………..………....……...…81

5.3 L’effet de raffinement de maillage……….………...…81

5.4 Validation pour le cas d'un cylindre fixe……..…………....…………...…82

5.5 Validation pour le cas d'un cylindre en rotation……....…...………...…83

5.6 Résultats et discutions………..………...……...…84

5.6.1 Lignes de courant..…..……….……….…...…84

5.6.2 Contours de vorticité……….……...…87

5.6.3 Paramètres globaux………...……….…...…87

5.6.4 Energie cinétique turbulente k………..………….………...…88

5.6.5 Bilan d’énergie cinétique turbulente k………..………….…...…90

(6)

iv Chapitre 6 : Les effets de pesanteur sur l’instabilité d’un écoulement turbulent autour

d’un cylindre fixe

6.1 Introduction...…………..……….………..…..…...……...…94

6.2 Domaine de calcul ……...…...…95

6.3 Conditions aux limites ….……….………....…...…95

6.4 Validation des résultats……..………...….………...…96

6.5 Résultats et discutions ……..………....………...…97

6.5.1 Lignes de courant ……..……. …..………..………...…98

6.5.2 Champs de vitesse moyenne …... ….………..……...…99

6.5.3 Champs de vitesse longitudinale …..… …. ………...…100

6.5.4 Champs de vitesse verticale …..…...………...…101

6.6 Contours de vorticité………...………...…102 6.7 Champs de température.. ….…...…103 6.8 Contraintes de Reynolds ...……104 6.9 Conclusion…….…..………..……….………....……...… 105 Conclusion générale...……….………..…...……...…106 Référence Bibliographique………..………..…..…...…...…109 Résumé………..…..…...…...…113

(7)

v

Liste des figures

Figure 1.1 : Ecoulement rampant à Re =1.65, d’après Van Dyke (1982) [10] 4 Figure 1.2 : Visualisation de l’écoulement rampant autour du cylindre, K.Talbi [9] 4

Figure 1.3 : Ecoulement stationnaire décollé à Re = 26 4

Figure 1.5 : Ecoulement instationnaire bidimensionnel à Re = 105, visualisation de S. Taneda tirée de van Dyke (1982) [10]

5 Figure 1.6 : Visualisation de l’écoulement instationnaire autour du cylindre) 5 Figure 1.7a : Ondulation des tourbillons de Von Kármán pour le mode A, Re =

220,Braza et al. (2001) [12]

6 Figure 1.7b : Visualisation du mode B tiré de Williamson (1992) [13] 6 Figure 1.8 : Evolution du nombre de Strouhal en fonction du nombre de Reynolds dans

le sillage d’un cylindre circulaire selon plusieurs auteurs, d’après Allain (1999) [14]

6 Figure 1.9 : Interaction non linéaire entre les tourbillons de von Kármán et les

tourbillons de zones de mélange, tiré de Braza et al. (1990) [6]

7 Figure 1.10 : Evolution du rapport des fréquences f_SL f_t en fonction du nombre de Reynolds, Prasad and Williamson (1997) [3]

8

Figure 1.11: Nombre de Strouhal en fonction du nombre de Reynolds tiré de Norberg (2001) [18]

8 Figure 1.12 : Phase de démarrage, Re = 1000, α = 3, t = 10, les champs obtenus par

Badr et al. (1990) [19], à gauche, résultats théoriques ; à droite, résultats expérimentales

10

Figure 1.13: Ecoulement pour f = 5, A = 5, B.Renaud (2000) [20] 10 Figure 1.14 : Lignes de vorticité, différents régimes à Re = 100 en fonction du taux de

rotation, Kang (2006) [21]

11 Figue 1.15 : Comparaison des lignes de courant pour α=4.5 et α=5.5 à Re=100 à

gauche, résultats obtenus par stokovic; à droite, l'écoulement potentiel , D. Stojkovic [22]

11

Figue 1.16 : diagramme de stabilité pour différents nombres de Reynolds 60 ≤Re ≤ 500 et taux de rotation 0 ≤ α ≤ 6, D. Stojkovic (2003) [23]

12 Figure 1.17 : Visualisation de l’écoulement via des bulles d'hydrogène générées par

électrolyse pour Re= 2800 et 3700 en fonction du taux de rotation, Kimura et al. [24]

13 Figure 1.18 : Lignes de vorticité, différents régimes à Re = 200 en fonction du taux de

rotation α, Mittal et Kumar (2003) [25]

13 Figure 1.19 : Lignes de courant, différents régimes pour différent nombre de Reynolds

en fonction du taux de rotation α, Padrino et Joseph (2005) [26]

14 Figure 1.20 : Comparaison des champs obtenus par des simulations R. El Akoury et al. 15 Figure 1.21 : Différents régimes de l’écoulement pour Re=14.104, S.J.Karabelas [29] 15 Figure 1.22: Différents régimes de l’écoulement pour α=1.91 ; (a) Re=50 ; (b) Re=100;

(c) Re=180; (d) Re=250; (e) Re=325;(f ) Re=340; (g) Re=350; (h) Re=400, A. Rao et al. (2013) [30]

16

Figure 1.23 : Différents modes d’instabilité obtenus par la méthode de stabilité linéaire pour différents nombres de Reynolds 175≤ Re ≤350 et taux de rotation 1.25 ≤ α≤2.5, A. Rao et al. (2013) [30]

16

Figure 1.24 : Illustration de l’effet Magnus sur une balle 17

Figure 1.25: Rotor de Flettner- E-Ship 17

(8)

vi Figure 1.27 : Champ de températures instantanés pour Re = 2000 (1997) [41] 19 Figure 1.28 : Variation de Nombre de Nusselt moyen en fonction du taux de rotation α

et nombre Re pour différents nombre de Prandtl, V.Sharma et al (2012) [43]

20 Figure 1.29 : Suppression de l’allée tourbillonnaire, Parmane et al. (2010) [45] 21 Figure 1.30 : Différents contours de température en fonction de α, pour Re=80,120 160 22 Figure 2.1 : Profil de la vitesse près de la paroi [71] 33 Figure 2.2 : Subdivision expérimentale de la région proche- paroi [71] 34

Figure 3.1: Volume de contrôle 1D 36

Figure 3.2: Explicative au schéma “upwind” 38

Figure 3.3: Le profil quadratique utilisé au schéma QUICK 39

Figure 3.4 : Volume de contrôle 2D 41

Figure 3.5 : Discrétisation des grilles décalées d’un modèle k-ε [69] 45 Figure 3.6 : Discrétisation des grilles décalées d’un modèle RSM 69] 46

Figure 3.7 : Algorithme du logiciel 47

Figure 4.1: Domaine de calcul 51

Figure 4.2: a) Géométrie et maillage ; b) Cros plan du maillage autour du cylindre 52 Figure 4.3 : Variation de coefficient de traînée, de portance et de moment en fonction

de la hauteur du domaine

55 Figure 4.4 : Evolution du nombre de portance, de trainée et de Strouhal en fonction du

taux de rotation, Re= 200

56 Figure 4.5 : Contours de vitesse moyenne pour différents taux de rotation, Re = 40 57 Figure 4.6 : Lignes de courant stationnaire pour différents taux de rotation , Re = 40 57 Figure 4.7 : Diagrammes de phase pour différents de taux rotation α, Re = 20 58 Figure 4.8 : Evolutions des coefficients de portance en fonction de α, Re=20 58 Figure 4.9 : Champs de pression en fonction du taux de rotation, Re = 20 59 Figure 4.10 : Différents régimes de l’écoulement, Re =100 60 Figure 4.11 : Lignes de courant en fonction de la vitesse de rotation, Re=200 61 Figure 4.12 : Evolutions temporelles des coefficients de portance en fonction de α,

Re=200

62 Figure 4.13 : Diagramme de phase pour différents taux de rotation α, Re = 200 62 Figure 4.14 : Evolution temporelle au cours d’une période de la première instabilité,

Re = 200, α = 1,5 ; à gauche, lignes de courant ; à droite, lignes de vorticité

63

Figure 4.15 : Evolutions temporelles des coefficients de traînée et de portance, Re =200, α = 0

64 Figure 4.16 : Evolutions temporelles des coefficients de traînée et de portance,Re =

200, α= 1.5

64 Figure 4.17 : Ecoulement stationnaire, Re = 200, α= 3; à gauche, lignes de vorticité ; à

droite, lignes de courant

65 Figure 4.18 : Mode II, évolutions temporelles des coefficients de traînée et de

portance, Re = 200, α = 4.5

65 Figure 4.19: Evolution temporelle de la seconde instabilité, Re = 200, α = 4.6 66 Figure 4.20 : Ecoulement stationnaire, Re = 200, α = 6 67 Figure 4.21 : Diagramme de stabilité pour différents nombres de Reynolds, Re ≤ 200 et

taux de rotation α≤ 6

68 Figure 4.22 : Nombre de Strouhal en fonction de α pour Re = 60, 100 et 200 69 Figure 4.23 : Paramètres globaux en fonction de α 70

(9)

vii Figure 4.25 : Déplacement des points de stagnation en fonction de α, Re = 200 73 Figure 4.26 : Différents profils de température en fonction de α, pour Re=20,100 74 Figure 4.27 : Variation du nombre de Nusselt local en fonction de α pour différents

nombres de Reynolds

76 Figure 4.28 : Variation en fonction de α Variation en fonction de α : a) Nombre de

Nusselt moyen ; b) Nombre de Nusselt normalisé

77

Figure 5.1: Domaine de calcul 80

Figure 5.2: Influence de la résolution spatiale sur le coefficient de frottement 82 Figure 5.3 : Distribution angulaire du coefficient de pression, Re=106 83 Figure 5.5 : Variation de coefficient de portance en fonction du taux de rotation 84 Figure 5.6 : Variation de coefficient de traînée en fonction du taux de rotation 84 Figure 5.7 : Ligne de courant en fonction de la vitesse de rotation, à gauche, Re=200; à

droite,Re=106

85 Figure 5.8 Contours de vorticité en fonction de la vitesse de rotation, Re=106 87 Figure 5.9 : Variation de coefficient de portance en fonction de la vitesse de rotation

pour différents nombres de Reynolds

87 Figure 5.10 : Variation de traînée en fonction de la vitesse de rotation pour différents

nombres de Reynolds

88 Figure 5.11 : Evolution de l’énergie cinétique turbulente à Re = 106 pour différents

angles azimutaux en fonction des taux de rotation

89 Figure 5.12 : Bilan d’énergie cinétique turbulente à Re =106 en fonction de y+ pour

différents taux de Rotation

91

Figure 6.1 : Définition du problème 94

Figure 6.2 : Domaine de calcul 95

Figure 6.3 : Influence de la résolution spatiale sur la vitesse longitudinale U 96 Figure 6.4 : Comparaison des résultats obtenus avec ceux de M.Boirleau [63] 97 Figure 6.5 : Vitesse moyenne moy V , Ri=1, Re = 1000 97 Figure 6.6: Lignes de courant à Re = 1000 pour différents nombres de Richardson 98 Figure 6.7: Vecteurs vitesse (U, V) en x = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5, Re = 1000 99

Figure 6.8 : Vitesse moyenne, Re = 1000 100

Figure 6.10 : Evolution de la vitesse longitudinale U, Re = 1000 101 Figure 6.11 : Composante de vitesse verticale (V) à Re = 1000 102 Figure 6.12 : Mise en évidence du développement d’un écoulement secondaire 102 Figure 6.13 : Contours de vorticité à Re = 1000 102 Figure 6.14 : Champ de température Ɵ à Re = 1000 103 Figure 6.15: Contraintes de Reynolds de pour différents nombres de Richardson, Re =

1000

104 Figure 6.16: Production turbulente pour différents nombres de Richardson, Re =1000 105

(10)

ix

Nomenclatures

C1ε, C2ε, Cs, Cµ constantes de turbulence (modèle k-ε)

CD coefficient de trainée

f

C coefficient de frottement pariétal CL coefficient de portance

Cp coefficient de pression

D diamètre du cylindre [m]

fK la fréquence de lâcher tourbillonnaire

ft la fréquence de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz

g accélération de pesanteur [m.s-2]

h coefficient d’échange thermique local [W. m-2.K-1] hD la hauteur de la plus petite maille [m]

k énergie cinétique de turbulence [m2.s-2] Nu nombre de Nusselt moyen

Nu0 nombre de Nusselt moyen correspond au cylindre fixe NuL nombre de Nusselt local

P pression locale [N.m-2]

P production de l'énergie cinétique turbulente [m2.s-3] Pr nombre de Prandtl Re nombre de Reynolds Ri nombre de Richardson St nombre de Strouhal t temps [s] T Température moyenne [K]

composante de vitesse moyenne suivant la direction i [m.s-1] composante de vitesse fluctuante suivant la direction i [m.s-1]

(11)

x

Lettres grecques

α taux de rotation

Γ coefficient généralisé de diffusion δ delta de Kroneker

λ conductivité thermique [W. m-1.K-1]

κ constante de Von Karman

µ viscosité dynamique [Kg.m-1.s-1]

ν viscosité cinématique [m2.s-1] νt viscosité cinématique turbulente [m2.s-1]

ε taux de dissipation de k [m2.s-3]

ϕ variable instantanée généralisée

σk, σε , σT nombres de Prandtl turbulent associés à k,ε et T respectivement σ nombres de Prandtl laminaire

θ température adimensionnelle

η cordonnée locale normale à la paroi [m]

ρ masse volumique [Kg.m-3]

φ angle à partir du point d’arrêt (coordonnées polaires) [rad]

(12)

Introduction générale

1

Introduction générale

Cette étude s’inscrit dans le contexte de l’analyse physique et de modélisation des phénomènes d’instabilité d’écoulements laminaires et turbulents avec transfert de chaleur autour des obstacles.

La compréhension physique du comportement de l’écoulement autour des obstacles et sa modélisation sont des aspects importants tant sur le plan de la recherche fondamentale que sur le domaine des applications industrielles. Ce type de phénomènes trouve son application dans des domaines aussi variés que les centrales thermiques, les raffineries, les unités chimiques et pétrochimiques, l’aérodynamique externe (ailes d’avion) et interne (pales d’hélicoptères, turbomachines). C’est pourquoi la connaissance de ce type d’écoulement est primordiale d’un point de vue économique ou en terme d’acceptabilité environnementale.

Notre objectif est d’approfondir la connaissance des mécanismes physiques de l’instabilité et son développement dans les écoulements par simulation numérique, soit en régime laminaire ou turbulent, autour d’un cylindre fixe ou en rotation. Le choix du cylindre est justifié dans la mesure où il constitue un cas académique qui référence de nombreuses études dans la littérature.

En premier lieu, les effets de la rotation d’un cylindre sur l’instabilité d’écoulements laminaires sont analysés et ce en focalisant notre attention sur les modifications de la dynamique du sillage. D’autre part, l’étude thermique nous a permis de mieux contrôler l’échange de chaleur à travers l’obstacle en question.

Par la suite, les instabilités des écoulements turbulents autour du cylindre en rotation sont traitées pour des nombres de Reynolds élevés, d’ordre10 . 6

Nous étudions notamment les effets de la rotation sur l’amplification ou l’atténuation des modes d’instabilité principaux qui apparaissent d’une manière naturelle dans l’écoulement. A ce stade de nombres de Reynolds (10 ) très peu d’études numériques simulent cette classe 6 d’écoulements. En effet, la présence de la paroi solide, région cruciale d’où naît la turbulence et se propage ensuite autour de l’obstacle, et le nombre de Reynolds élevé des applications industrielles représentent les verrous principaux quant à l’efficacité de l’approche CFD.

Enfin, une dernière partie s’est consacrée à l'étude de l’influence des effets de gravité sur l’instabilité d’un écoulement turbulent tridimensionnel transverse derrière un cylindre circulaire horizontal fixe.

Il est à noter que les deux modèles de turbulence, utilisés dans cette thèse, sont le modèle (k-ε) et le modèle des contraintes de Reynolds (RSM). Dans le présent travail on rapporte les

(13)

Introduction générale

2 résultats de simulations numériques effectuées avec le code de calcul FLUENT, qui est basé sur la méthode des volumes finis.

Cette étude s’organise en six chapitres présentés dans la suite.

Le premier chapitre s’attardera sur un état de l’art non exhaustif des recherches menées sur le thème d’instabilité des écoulements autour d’un cylindre fixe ou en rotation. Ceci permettra d’identifier les différents phénomènes d’instabilité mis en jeu dans le cas d’un écoulement isotherme, puis d’un écoulement anisotherme , afin de mettre en évidence les mécanismes des instabilités connus à ce jour.

Le deuxième chapitre est réservé aux formulations mathématiques, où, on expose les équations mathématiques régissant les phénomènes d’écoulement turbulent dans la configuration en question. Deux modèles mathématiques de turbulence sont présentés, à savoir, le modèle (k-ε_{) et le modèle RSM.}

Les principes de l’approche numérique pour la résolution des équations de Navier-Stokes et des équations moyennées par fermeture turbulente sont présentés dans le troisième chapitre.

Le quatrième chapitre est consacré à l’étude de l’effet de la rotation sur l’instabilité d’écoulements laminaires. Ce chapitre offre la possibilité de mieux analyser les effets de la rotation sur l’instabilité globale, les modes globaux, l’amplification, la modification et la disparition des instabilités.

l’effet de la rotation sur l’instabilité d’écoulements turbulents, fortement décollés, est effectué au cinquième chapitre. les différentes topologies d’écoulements observées et les forces exercées sur le cylindre pendant ce régime sont analysées et comparées a celles trouvées en régime laminaire. Dans le sixième chapitre, l’analyse des effets de pesanteur sur l’instabilité de

l’écoulement tridimensionnel autour d’un cylindre fixe a été réalisée à partir de l’approche de simulation numérique de type (RANS).

Enfin, ce mémoire se terminera par une conclusion des travaux menés, une synthèse des principaux résultats obtenus, et fera aussi l’objet d’une proposition de perspectives concernant les recherches à mener pour poursuivre ces travaux de thèse.

(14)

Chapitre 1 : Etude bibliographique

3

Chapitre 1

Etude bibliographique

Ce chapitre bibliographique s’organise en deux parties. Dans un premier temps, les différents modes des instabilités des écoulements isothermes autour d’un cylindre fixe et en rotation sont présentés. La seconde partie est dédiée aux études bibliographiques des écoulements anisothermes autour du même obstacle (cylindre). Nous aborderons plus précisément le cas de convection forcée. Bien évidemment, ces aspects sont très vastes et il n’est pas question de prétendre à l’exhaustivité, mais plutôt d’essayer d’introduire différents aspects considérés dans la suite.

1.1 Ecoulement isotherme autour d’un cylindre fixe ou en rotation

L’écoulement autour d’un cylindre est un phénomène qui se produit fréquemment dans la pratique. Il est indispensables dans la conception mécanique et thermique de nombreux systèmes en engineering comme : éolienne, bâtiments, composant électroniques, les aubes de turbines,…..etc.

1.1.1 Différents régimes de l’écoulement autour d’un cylindre fixe

L’écoulement autour d’un cylindre a fait l’objet de nombreuses études dans la littérature. Bien que cette géométrie soit simple, les régimes d’écoulement a proximité du cylindre varient en fonction du nombre de Reynolds défini comme :

Re = DU∞/ν (1.1)

Où

U∞ : la vitesse du fluide à l’infini en amont du cylindre. D : Le diamètre du cylindre.

ν : La viscosité cinématique du fluide considéré.

Ce type d’écoulement a été largement étudié dans la littérature d’un point de vue expérimental (Roshko (1954) [1], Bloor (1964) [2], Prasad et Williamson (1997) [3],…), mais également numérique (Braza (1981) [4], Braza(1986) [5], Braza et al. (1990) [6], Persillon and Braza (1998) [7], Persillon (1995) [8], Talbi (2010) [9],...).

Dans ce qui suit, nous présentons les principaux phénomènes apparaissant en fonction du nombre de Reynolds.

(15)

4 1.1.1.1 Ecoulement rampant

Pour un nombre de Reynolds inférieur à 5, l’écoulement est dit rampant. Les forces de

viscosité sont dominantes, le fluide est attaché au cylindre et il n’y a pas de décollement. On observe ainsi une symétrie de l’écoulement suivant l’axe horizontal mais aussi vertical,

figures 1.1 et 1.2.

1.1.1.2 Régime stationnaire décollé

Pour 5 ≤ Re ≤ 48, les forces d’inertie augmentent et empêche la couche limite de rester attachée au cylindre et commence à favoriser une dépression dans la zone de sillage : un décollement de la couche limite apparaît dans cette région. Il se forme, en aval du cylindre

deux zones de recirculation contrarotatives symétriques comme le montre les figure 1.3 et 1.4. Le point de décollement des couches limites se déplace en amont du cylindre avec

l’augmentation du nombre de Reynolds. L’écoulement est stable et reste stationnaire et symétrique par rapport à l’axe longitudinal.

Figure 1.3 : Ecoulement stationnaire décollé à Re = 26.Visualisation S. Taneda tirée de van Dyke (1982) [10]

Figure 1.1 : Ecoulement rampant à Re = 1.65, d’après Van Dyke (1982) [10], visualisation : S. Taneda (1980) [11]

Figure 1.2 : Visualisation de l’écoulement rampant autour du cylindre, K.Talbi (2010) [9]

Figure 1.4 : Visualisation de l’écoulement autour du cylindre ; Régime stationnaire décollé, K.Talbi (2010) [9]

(16)

5 1.1.1.3 Régime laminaire instationnaire bidimensionnel

Pour 48 ≤ Re ≤ 180, les deux zones de recirculation en aval du cylindre deviennent instables et sensibles à de petites perturbations qui conduisent au déclenchement de l’instabilité de von Kármán, figures 1.5 et 1.6. Le paramètre adimensionnel relatif à la fréquence du lâcher tourbillonnaire est le nombre de Strouhal.

∞ = U D f St K ; T fK 1 = (1.2)

D’autres paramètres servent à caractériser l’écoulement :

– le coefficient de pression C_P est déterminé a partir de la distribution angulaire de pression dans la maille la plus proche de la paroi. Ce coefficient, pour un angle φ compte depuis le point arrêt, est défini, d’après Zukauskas et Ziugzda [41] par :

( )

2 0 2 1 ∞ − = U P P CP

ρ

ϕ

(1.3)

– les coefficients de traînée CD et de portance CL qui expriment respectivement la

composante longitudinale et transversale de la force exercée par le fluide sur le cylindre. Cette force résulte des actions de la pression pariétale et du frottement visqueux sur le cylindre par intégration sur sa surface.

2 2 1 ∞ = U D C_D

ρ

(1.4) 2 2 1 ∞ = U L CL

ρ

(1.5)

Figure 1.5 : Ecoulement instationnaire bidimensionnel à Re = 105, visualisation de S. Taneda tirée de van Dyke (1982) [10]

Figure 1.6 : Visualisation de l’écoulement instationnaire autour du cylindre, K.Talbi (2010) [9]

(17)

6

1.1.1.4 Régime laminaire instationnaire tridimensionnel

Pour 180 ≤ Re ≤ 300, l’écoulement devient tridimensionnel. On observe une ondulation des rouleaux de Von Kármán selon l’envergure du cylindre et la naissance de tourbillons longitudinaux. En fonction de la longueur d’onde de l’ondulation transversale des rouleaux, on distingue deux modes A et B.

Le mode A, pour des nombres de Reynolds compris entre 180-190, est caractérisé par une longueur d’onde de l’ordre de 3-4 diamètres (figure 1.7a), le nombre de Strouhal passe deSt≈ 0.19 en régime bidimensionnel à St≈0.18 en régime tridimensionnel , figure 1.8.

Le mode B est caractérisé par une ondulation de rouleaux primaires de plus petite longueur d’onde (de l’ordre de 1 diamètre), figure 1.7b. Egalement, les tourbillons longitudinaux sont plus fins et connectent les rouleaux primaires.

Figure 1.7b : Visualisation du mode B tiré de Williamson (1992) [13]

Figure 1.7a : Ondulation des tourbillons de Von Kármán pour le mode A, Re = 220, Braza et al. (2001) [12]

Figure 1.8 : Evolution du nombre de Strouhal en fonction du nombre de Reynolds dans le sillage d’un cylindre circulaire selon plusieurs auteurs, d’après Allain (1999) [14].

(18)

7

1.1.1.5 Régime sous critique

Pour 300 < Re < 2.105-6, le sillage est turbulent et le régime est appelé sous critique. Dans ce régime, L’écoulement est turbulent dans le sillage mais la couche limite en amont du point de décollement reste laminaire. A faible nombre de Reynolds, de petits tourbillons secondaires se développent de part et d’autre de l’allée tourbillonnaire suite à l’amplification de l’instabilité locale de Kelvin Helmholtz dans les zones de cisaillement autour du cylindre (Braza et al. (1986) [5]). Lorsque le nombre de Reynolds augmente (Re≈2600), cette instabilité est plus prononcée et couvre une région importante de la zone de mélange, figure 1.9.

Les tourbillons associés à ce phénomène de plus haute fréquence que l’échappement tourbillonnaire dû à l’instabilité de von Kármán, se détachent périodiquement et interagissent avec les tourbillons primaires. La fréquence ftde cette instabilité en relation avec la fréquence

de Strouhal a fait l’objet de nombreuses études. Braza et al. (1990) [6] a proposé une loi reliant les fréquences caractéristiques des instabilités de von Kármán et Kelvin Helmholtz :

5 . 0 Re 095 . 0 = K t f f (1.6)

Cette relation entre ces deux fréquences est remise en question par Wei and Smith (1986) [15] qui trouvent une loi enRe0.87. Kourta et al. (1987) [16] retrouvent la loi en

5 . 0

Re par des mesures au fil chaud.

Figure 1.9 : Interaction non linéaire entre les tourbillons de von Kármán et les tourbillons de zones de mélange, tiré de Braza et al. (1990) [6] a) champ de vitesse b) shéma de l’écoulement.

(19)

8 Plus tard, Prasad and Williamson (1997) [3] proposent une loi en Re0.67. Thompson et al. (2005) [17] collectent différentes valeurs de ce rapport entre les deux fréquences obtenues par différents auteurs et proposent une autre interprétation en considérant deux régimes différents selon le nombre de Reynolds. La figure 1.10 regroupe ces valeurs. Une des caractéristiques remarquables de ce régime est que l’écoulement varie peu avec le nombre de Reynolds, on constate une stabilisation du nombre de Strouhal autour de 0.2 comme l’illustre la 1.11.

Figure 1.10 : Evolution du rapport des fréquences f_SL f_t en fonction du nombre de Reynolds, Prasad and Williamson (1997) [3].

Figure 1.11: Nombre de Strouhal en fonction du nombre de Reynolds tiré de Norberg (2001) [18]

(20)

9

1.1.1.6 Régime critique

Ce régime est atteint quand le point de transition qui remonte vers l’amont au cours du régime subcritique, rejoint le point de décollement. La valeur de ce nombre de Reynolds critique varie de façon importante selon les différentes études expérimentales (entre 10 et5 10 ) 6 du fait de la grande sensibilité de l’écoulement aux conditions aux limites de l’écoulement (intensité turbulente de l’écoulement incident, rapport d’allongement et rugosité du cylindre,...).

1.1.1.7 Régime supercritique

Pour des nombres de Reynolds au-delà de 2.106 environ, la couche limite devient entièrement turbulente, et l’allée tourbillonnaire réapparaît dans le sillage à une fréquence de Strouhal constante plus élevée, Une étude détaillée de ces deux derniers régimes est fournie par Roshko (1961) [1]. Par comparaison au cas du bas nombre de Reynolds, peu d’études numériques simulent l’écoulement autour d’un cylindre à nombre de Reynolds élevé.

1.1.2 Ecoulement autour d’un cylindre en rotation

1.1.2.1 Etude bibliographique de l’écoulement autour d’un cylindre en rotation

L’écoulement autour d’un cylindre en rotation est régi par deux paramètres adimensionnels. Le nombre de Reynolds: Re = DU∞/ν

Le second paramètre régissant l’écoulement est le taux de rotation correspondant au rapport de la vitesse tangentielle à la paroi du cylindre et la vitesse infinie amont :

α=ωD/2U∞, où ω représente la vitesse angulaire de rotation du cylindre.

Bien que de nombreuses études aient été menées sur les écoulements autour d’un cylindre fixe, comparativement peu de travaux ont considéré l’écoulement autour d’un cylindre en rotation.

Les effets de rotation autour d’un cylindre pour 103≤ Re ≤ 10 et 0.5 4 ≤ α ≤ 3 ont été étudiées expérimentalement et théoriquement par Badr et Dennis (1990) [19], ils ont observé la suppression de l’allée tourbillonnaire pour α au-delà d’une valeur critique de l’ordre de 2, figure 1.12.

(21)

10 Plus tard, les mesures expérimentales de l’écoulement laminaire autour d’un cylindre oscillant de B.Renaud (2000) [20] confirment la suppression de l’allée tourbillonnaire pour Re=100. Ce comportement global se retrouve sur la figure 1.13, correspondant à un forçage de fréquence (f = 5) de la fréquence naturelle et à une amplitude moyenne (A = 5). Il est à noter que les deux lignes de courants ne se croisent plus et la vorticité à l’air franchement négligeable.

S. Kang (2006) [21] étudie numériquement des écoulements dont le nombre de Reynolds reste inférieur à 160 pour des taux de rotation comprises entre 0 et 2.5. Il met en évidence la dépendance en nombre de Reynolds du taux de rotation limite au dessus de laquelle le lâcher tourbillonnaire est supprimé, montrant par exemple que αL = 1.4 ,1.8 et 1.9 pour des nombres

de Reynolds valant respectivement Re = 60, 100 et 160.

Figure 1.12 : Phase de démarrage, Re = 1000, α = 3, t = 10, les champs obtenus par Badr et al. (1990) [19], à gauche, résultats théoriques ; à droite, résultats expérimentales

(22)

11 D. Stojkovic et al. (2002) [22] sont les premiers à mettre en évidence la présence d’une seconde instabilité pour des vitesses de rotation élevées comprises entre 4.8 et 5.15 pour un nombre de Reynolds de 100.

Figue 1.15 : Comparaison des lignes de courant pour

α=4.5 et α=5.5 à Re=100 à gauche, résultats obtenus par stokovic; à droite, l'écoulement potentiel , D. Stojkovic (2002) [22]

Figure 1.14 : Lignes de vorticité, différents régimes à Re = 100 en fonction du taux de rotation, Kang (2006) [21]

(23)

12 Ces résultats sont confirmés par la suite par D. Stojkovic et al. (2003) [23] pour des nombres de Reynolds compris entre 60 et 200.

Kimura et al. (1991) [24] ont étudié expérimentalement, via des bulles d’hydrogène générées par électrolyse, l’effet de la rotation sur des nombres de Reynolds comprises entre 2000 et 4000. Leurs visualisations montre clairement la suppression de l’allée de Von Kármán pour α au-delà de 1.8, figure 1.17.

Egalement, Mittal et Kumar (2003) [25] ont montré par la méthode des éléments finis les différents régimes d’écoulements gouvernés par des taux de rotation allant jusqu’à 6 pour un nombre de Reynolds de 200. Ils ont observé les mêmes conséquences de la rotation : l’augmentation du coefficient de portance moyen, et la suppression de l’allée tourbillonnaire pour α>2, figure 1.18.

Figue 1.16 : diagramme de stabilité pour différents nombres de Reynolds 60 ≤Re ≤ 500 et taux de rotation 0 ≤ α ≤ 6, D. Stojkovic (2003) [23]

(24)

13 Figure 1.17 : Visualisation de l’écoulement via des bulles

d'hydrogène générées par électrolyse pour Re= 2800 et 3700 en fonction du taux de rotation, Kimura et al. (1991) [24]

Figure 1.18 : Lignes de vorticité, différents régimes à Re = 200 en fonction du taux de rotation α, Mittal et Kumar (2003) [25]

(25)

14 On peut citer également l’étude numérique de Padrino et Joseph (2005) [26], Ils ont présenté des résultats détaillés concernent plus particulièrement des écoulements en régime de sillage stable pour 200 ≤ Re ≤ 1000 et 3 ≤ α ≤ 6. Les différentes lignes de courant obtenues par la méthode de volume finis lors du régime stationnaire sont montrées sur la figure 1.19.

Mittal (2004) [27] produit la première étude tridimensionnelle pour un nombre Reynolds de 200 et un taux de rotation de 5, mettant en évidence l’instationnarité de l’écoulement simulé à l’aide d’un code tridimensionnel bien que la solution bidimensionnelle soit stationnaire.

L’écoulement laminaire tridimensionnel autour d’un cylindre en rotation a été étudié également par R. El Akoury et al. (2007) [28]. Dans le but d’extraire les effets purement 3D de ceux qui sont 2D, ils ont comparés le champ tridimensionnel obtenus par les simulations 3D à ceux obtenus par les simulations 2D, figure 1.20. Ils ont montré que les structures secondaires apparaissent plus fortement dans les résultats 3D ; également les structures de Von-Kármán sont plus allongées.

Figure 1.19 : Lignes de courant, différents régimes pour différent nombre de Reynolds en fonction du taux de rotation α, Padrino et Joseph (2005) [26]

(26)

15 S.J. Karabelas (2010) [29] a proposé d’utiliser la rotation pour le contrôle des écoulements tridimensionnels. Il a mené des simulations des grandes échelles (L.E.S) au nombre de Reynolds de 14.104. Il a observé que la rotation supprime l’allée de Von-Kármán au-delà de α=1.3, figure 1.21.

Figure 1.20 : Comparaison des champs obtenus par des simulations 2D, gauche, et 3D, droite, R. El Akoury et al. (2007) [28]

Figure 1.21 : Différents régimes de l’écoulement pour Re=14.104, S.J.Karabelas (2010) [29]

(27)

16 Récemment, l’écoulement autour d’un cylindre en rotation à des bas nombres de Reynolds (Re ≤ 400) et des taux de rotations allant jusqu’à 2.5 a été analysé par A. Rao et al. (2013) [30]. Ils ont étudié numériquement les différents régimes de l’écoulement bidimensionnel pour Re =280, figure 1.22. Puis, Ils ont mis en évidence les différents modes d’instabilité par la méthode de stabilité linéaire "globale", figure 1.23.

Figure 1.22: Différents régimes de l’écoulement pour α=1.91 ; (a) Re=50 ; (b) Re=100; (c) Re=180; (d) Re=250; (e) Re=325; (f ) Re=340; (g) Re=350; (h) Re=400, A. Rao et al. (2013) [30]

Figure 1.23 : Différents modes d’instabilité obtenus par la méthode de stabilité linéaire pour différents nombres de Reynolds 175≤ Re ≤350 et taux de rotation 1.25 ≤ α ≤2.5, A. Rao et al. (2013) [30]

(28)

17

1.1.2.2 Applications industrielles

Lorsqu'une balle ou un cylindre en rotation se déplace dans l'air, elle va par frottement modifier la vitesse du courant d'air autour d'elle. L’effet sera dissymétrique : d'un côté la balle entraîne l'air qui accélère. De ce côté la pression diminue. De l'autre côté la balle freine l'écoulement d'air et la pression augmente. On aura donc une différence de pression et par conséquence la balle va se déplacer du côté de la plus faible pression, figure 1.24. Ce phénomène est nommé effet Magnus.

L'utilisation de l'effet Magnus a été proposé pour mettre au point des systèmes de propulsion composés de gros cylindres verticaux en rotation capables de produire une poussée perpendiculaire à la direction du vent.

- En 2006, la société de construction d'éoliennes Enercon commanda aux chantiers navals Lindenau-Werft de Kiel un cargo de 130 m de long équipé, en plus de deux moteurs Diesel, de quatre rotors Flettner (E-Ship), figure 1.25. Il a été mis à l'eau en août 2008 et sa mise en service est intervenue en août 2012.

Figure 1.25: Rotor de Flettner- E-Ship Figure 1.24 : Illustration de l’effet Magnus sur une balle

(29)

18 Dernièrement, l'éolienne Magnus est un nouveau type d'éolienne apparu, on en trouve donc encore très peu sur le marché. Cette éolienne est différente des éoliennes classiques, qui sont de plus en plus présentes aujourd'hui, car en effet il n'y a plus de pales mais des cylindres en rotation qui permette la production d'électricité grâce a l’effet Magnus, figure1.26.

Ces éoliennes sont basées sur l'utilisation de l'effet Magnus. Le système est constitué de 2 cylindres rotatifs comme le système de Flettner qui était utilisé pour propulser les bateaux au début des années 1900. Dès qu'il y a du vent, la rotation de chaque cylindre est assurée par un moteur à courant continu. L'avantage principal de cette éolienne à rotors de Flettner par rapport aux éoliennes classiques à pales, est sa petite taille. Elle est aussi moins bruyante et nettement moins dangereuse.

1.2 Ecoulement anisotherme autour d’un cylindre fixe ou en rotation

Lorsque la température du cylindre est différente de la température du fluide environnant, un transfert de chaleur se produit, des hautes températures vers les basses températures.

L’écoulement autour d’un cylindre fixe a fait l’objet de nombreuses études dans la littérature. Bien que cette géométrie soit simple, les régimes d’écoulement à proximité du cylindre varient en fonction du nombre de Reynolds.

De nombreuses études expérimentales, dont celles de Krall et Eckert (1970) [31], d’Achenbach (1975) [32]. Il existe également des modèles théoriques permettant de décrire l’écoulement (Hiemenz (1911) [33]) ; Schlichting (1960) [34] et le transfert de chaleur local (Frossling (1940) [35]). Cependant, ces études, dérivées pour la plupart de la théorie potentielle (Schlichting), ne permettent d’appréhender que des écoulements de fluides parfaits, ou ne sont applicables que sur la face amont du cylindre. L’utilisation actuelle de la simulation numérique est notamment motivée par le fait qu’elle permet l’optimisation des

(30)

19 échangeurs de chaleur par une connaissance approfondie des phénomènes hydrodynamiques et thermiques locaux intervenant dans des géométries industrielles.

Les études numériques de l’écoulement autour d’un cylindre ont vu le jour depuis les années 1980 (Dennis et Chang (1970) [36], Lot (1980) [37]). Celles-ci sont cependant limitées à de faibles nombres de Reynolds (Re < 500). Avec le développement des moyens de calculs et des méthodes de résolution numérique, des régimes d’écoulement plus proches de la réalité industrielle peuvent être désormais étudies (Bouard et Coutanceau (1980) [38], Kawamura et Kuwahara (1984) [39], Kondo (1994) [40]).

On peut citer également les recherches de F.Bailer et al.(1997) [41] concernant l’étude de la convection forcée de l’air (Pr=0.7) autour d’un cylindre fixe pour deux vitesses débitantes (Re = 200 et 2000). Leurs résultats ont permis de mettre en évidence le processus de formation des tourbillons alternes, figure 1.27.

(31)

20 Bharti et al. (2007) [42] ont étudié l’écoulement stationnaire couplé du transfert thermique pour des nombres de Reynolds (10 ≤ Re ≤ 45) et des nombres de Prandtl (0.7 ≤ Pr

≤ 40), ils ont montré que l’augmentation du transfert de chaleur dépend de nombre de Reynolds aussi que de nombre de Prandtl.

En ce qui concerne les effets de rotation, Les études de la convection forcée autour d’un cylindre en rotation sont moins nombreuses par rapport à celles faites sur un cylindre fixe. Badr et Dennis trouvèrent une diminution de la convection forcée ave l’augmentation de taux de rotation (α ≤ 4), et ce, pour des nombres de Reynolds allant jusqu’à 100, un intérêt particulier a été porté à l’effet de la vitesse de rotation sur la géométrie de la couche limite thermique et aussi sur la distribution du nombre de Nusselt local.

On peut citer également les recherches de V.Sharma et al (2012) [43] portant sur les simulations numériques de la convection forcée, pour différents nombres de prandtl (Pr = 0.7, 10, 50 et 100), autour d’un cylindre mis en rotation (α ≤ 6), en régime stationnaire (Re ≤ 40), ils ont confirmé que le nombre de Nusselt croit proportionnellement avec le nombre de Reynolds pour une valeur fixe de α, figure 1.28.

Figure 1.28 : Variation de Nombre de Nusselt moyen en fonction du taux de rotation α et nombre Re pour différents nombre de Prandtl, V.Sharma et al (2012) [43]

(32)

21 Avec le développement des moyens de calculs, des régimes d’écoulement laminaires (Re ≤ 160), pour des taux de rotation allant jusqu’à 6, peuvent être désormais étudiés. Parmane et al. (2009, 2010) [44] [45], montrèrent que la variation du taux de rotation ne sert, seulement, pas à contrôler les écoulements, mais également une technique pour la suppression du transfert de chaleur, figure 1.29.

Plus récemment, M. Sufyan et al (2014) [46], ont effectué une simulation numérique bidimensionnelle d’un écoulement laminaire autour d’un cylindre en rotation pour des nombres de Reynolds entre 80 et 160 et des taux de rotation allant jusqu'à 5.3 au nombre de Prandtl de 7, ils ont également montré que le changement du taux de rotation est le responsable non seulement de la suppression allée tourbillonnaire de Von-Kármán, mais également à la suppression du transfert de chaleur, figure 1.30.

(33)

22 Figure 1.30 : Différents contours de température en fonction de α, pour Re=80,120 160 (2014) [46]

(34)

Chapitre 2 : Formulation mathématique

23

Chapitre 2

Formulation mathématique

L’objectif de ce chapitre est de présenter la formulation du problème. Après un bref rappel des équations générales régissant les écoulements, les deux modèles de la turbulence, à savoir le modèle

k

−

ε

et le modèle aux tensions de Reynolds appelé aussi modèle (R.S.M.), sont ensuite présentés.

2.1 Rappel des équations

Les écoulements considérés par le présent travail sont laminaires et turbulents d’un fluide Newtonien incompressible, peuvent être représentés par des équations traduisant le transport de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie, présentées ci-après.

Cas de la convection mixte 2.1.1 Conservation de la masse (continuité)

Cette équation est déduite du premier principe de conservation de masse. Elle s’exprime sous forme tensorielle comme suit

( ) ( )=0 ∂ ∂ + ∂ ∂ i i x U t ρ ρ (2.1)

2.1.2 Conservation de la quantité de mouvement

Cette équation est déduite de la deuxième loi de la dynamique. Elle s’écrit sous forme tensorielle comme suit

u u g x x U x P x U U t U j i j j i i j j i i

ρ

_µ

_ρ

ρ

+ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ ) ' ' ( ) ( ) ( 2 2 (2.2) 2.1.3 Equation de l’énergie

L’équation de l’énergie est obtenue en appliquant le premier principe de la thermodynamique pour un fluide Newtonien incompressible, elle s’écrit comme suit

_       − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ' ' ) ( ) ( t u C x T x x T U C t T C j P j j j j P P

ρ

_λ

_ρ

ρ

(2.3)

(35)

24

Cas de la convection forcée

La simulation numérique d’un écoulement repose sur la discrétisation de ce système complet. Pour un fluide incompressible, visqueux, les équations s’écrivent de la façon suivante :

2.1.4 Conservation de la masse (continuité)

(

)

=

0 ∂

∂

i i

x

U

(2.4)

2.1.5 Conservation de la quantité de mouvement

La loi de conservation de quantité de mouvement traduite par les équations de Navier Stokes exprime tout simplement la loi fondamentale de la dynamique à un fluide Newtonien.

Les équations de quantité de mouvement écrites suivants x (i=1,2,3)

i sont : 4 4 4 4 8 4 4 4 4 7 6 43 42 1 43 42 1 4 4 8 4 4 7 6 forcesappliquées visqueux terme j i j pression de effet i inertie d force j i j i x U v x x P x U U t U ) ( 1 ) ( ) ( ' ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂

ρ

(2.5) 2.1.6 Equation de l’énergie 2 2 ) ( ) ( j P j j x T C x T U t T ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂

ρ

λ

(2.6)

Ces équations sont fortement non linéaire ce qui exclut toute solution analytique dans le cas général. En revanche, elles peuvent être résolues numériquement de manière directe ; il s’agit de la simulation numérique directe (SDN). Toutefois, les simulations numériques directes ne peuvent être conduites actuellement que sur des écoulements en géométrie relativement simple, et pour des nombres de Reynolds peu élevés. On a alors recours à la modélisation. De nombreuses méthodes de macrosimulation de turbulence ont été construites et proposées au fil des années. Cependant, le choix d’un modèle de turbulence parmi les nombreuses formulations disponibles dans la littérature est souvent un problème délicat.

(36)

25 A travers cette thèse, nous allons tenter d’appliquer les deux modèles de turbulence RSM et k-ε_{avec un traitement proche de paroi pour l'étude de l'écoulement turbulent autour d’un}

cylindre.

Les différentes grandeurs, équations 2.4, 2.5 et 2.6 sont des grandeurs instantanées caractérisant l'écoulement turbulent. Ces équations, dans leur forme actuelle, ne sont d'aucune utilité pour la pratique industrielle et sont très lourdes à manipuler. On va donc les transformer et les mettre sous des formes plus simples décrivant les différents champs moyens et non plus les champs instantanés.

2.2 La moyenne temporelle

La moyenne temporelle est définie pour une seule expérience, à une seule position, l'écoulement étant stationnaire sur le temps

t

.

∫

∞ → = t j i t j U x dt t x U 0 ) ( 1 lim ) ( (2.7)

∫

→∞ = t t _t Pdt P 0 1 lim (2.8)

2.3 Les équations de Reynolds

2.3.1 Décomposition statique

Pour résoudre ce système une approche statistique est utilisée. Les grandeurs caractéristiques instantanées de l_’écoulement turbulent seront décomposées selon les règles de Reynolds comme suit :

En général, la quantité f(x,t) est décomposée en deux parties distinctes

'

f

=

+

f

est la partie moyenne

f

'est la partie fluctuante

Remarque : la partie fluctuante est centrée

f

'

=

0

i i

u

U

=

+

'

P

=

P

+

p

'

;

p

'

=

0

p p T t t = + ' (2.9)

(37)

26

2.3.2 Règles de Reynolds

En utilisant les règles dites "règles de Reynolds", Hinze(1975) et qui sont les suivantes:

            ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + = + = = = ′ x x f f f g f g f f f φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ ' .' . . . 0 (2.10)

2.3.3 Les tensions de Reynolds

Le formalisme des règles de Reynolds conduit en prenant la moyenne de chaque équation aux équations de Reynolds.

(

) (

)

(

)

(

)













+

∂

+

∂

−

=

+

∂

+

∂

i i i i j j i i

U

u

x

v

x

p

P

x

u

U

x

u

U

u

U

t

'

1 '

'

ρ

(2.11)

On moyenne ensuite ces équations et après réarrangement, on retrouve l’équation de moyennées suivantes :

=

0 ∂

∂

t

U

_i (2.12)           − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 3 2 1 ynolds de Terme j i j i j i i i i _u _u x U v x x P x U U t U Re ' ' 1 ρ (2.13) ( ) ( ) ₂ ( ' ') 2 p j j j P j j t u x x T C x T U t T − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ λ (2.14)

Les termes (

u

'

_i

u

'

_j ) et (u'_jt_p') dans les équations précédentes de donnent naissance aux tensions de Reynolds. Ils proviennent de la non linéarité des équations de Navier Stokes et s_’interprètent comme des contraintes. Le système (2.7) et (2.8) comporte plus d_’inconnues que d’équations, c’est un système ouvert. Le problème qui se pose à ce stade est le problème de fermeture. On a 4 équations au total dont 3 pour la quantité de mouvement et 1 pour la continuité mais le nombre d_’inconnues devient égal à 10 ! (U_i,i=1,2,3,pet6u_iu_j ) ; d’où la nécessité de la modélisation des équations de Reynolds. Pour cela, beaucoup de chercheurs se sont investis dans le domaine et plusieurs contributions de modèles de résolution ont été proposées. Parmi ces modèles on peut citer deux modèles les plus utilisés qui sont le modèle

(38)

27

2.4 Le modèle RSM

Le tenseur de Reynolds est alors défini par la matrice suivante :













−

=

'

3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1

u

R

_ij

ρ

(2.15)

2.4.1 Equations de transport aux tensions de Reynolds

Les équations utilisées sont les équations (2.6) et (2.7) dans lesquelles on a introduit la décomposition de Reynolds.

Reprenons l'équation de quantité de mouvement :

(

) (

)

(

)

(

)

(

)













+

∂

+

∂

−

=

+

∂

+

∂

i i k k i i k k k i i

U

u

x

v

x

p

P

x

u

U

x

u

U

u

U

t

'

1 '

'

ρ

(2.7)

On soustrait l'équation (2.9) de l'équation (2.7) en tenant compte du fait que

'

=

0 ∂

∂

k i

x

u

k k i i k k i k i k i k k i k i

x

u

v

x

p

x

u

x

U

u

x

u

U

t

u

∂

+

∂

−

=

∂

−

∂

+

∂

+

∂

+

∂

(

'

)

1 '

'

2

ρ

(2.16)

On peut réécrire (2.11) en remplaçant l'indice i par l_’indice j :

k k j j k k j k j k j k k j k j

x

u

v

x

p

x

u

x

U

u

x

u

U

t

u

∂

+

∂

−

=

∂

−

∂

+

∂

+

∂

+

∂

(

'

)

1 '

'

2

ρ

(2.17)

On multiplie (2.11) par

u

'

_jet (2.12) par

u

'

_iet on somme les deux équations obtenues. En regroupant certains termes, il vient :

        ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ +         ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ k k j i k k i j j i i j k k j i k k i j k k j i k j i k k i j k k j i k j i x x u u x x u u x p u x p u x u u u x u u u x u u u x U u u x U u u x u u U t u u ' ' ' ' ' ' ' ' 1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 2 ρ

Le passage à la moyenne dans cette équation fait disparaître les termes de la forme :

0 ' ' ' ' ' ' = ∂ ∂ = ∂ ∂ k k i j k k j i x u u u x u u u

(39)

28

2.4.2 Bilan aux tensions de Reynolds

On obtient alors une équation pour le moment d’ordre 2

(

u'_iu'_j

)

qui peut se mettre sous la forme suivante : j i j i j i j i j i D P Dt u u D , , , , ' ' + Π + − = ε (2.18)

Cette équation est appelée équation des tensions de Reynolds ou équation de transport des tensions de Reynolds. 2.4.2.1 Terme de production k i k j k j k i j i x U u u x U u u P ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ' ' ' ' , (2.18a)

Ce terme ne fait intervenir que le gradient de vitesse moyenne et le tenseur de Reynolds qui sont les inconnues principales du problème.

2.4.2.2 Taux de dissipation visqueuse

k k j i j i

x

u

v

∂

=

2 '

'

,

ε

(2.18b)

Ce terme de dissipation est pris égal à _i_,_j

3

2 δ

ε

où ε est le taux de dissipation de l’énergie cinétique de turbulence. La viscosité du fluide dissipe l’énergie de turbulence en agissant sur les plus petits tourbillons (échelle Kolmogorov) dont le comportement est en moyenne isotrope. On en déduit que, de manière approchée, les taux de dissipation des contraintes normales

u

'

_i2 sont égaux entre eux et que ceux des contraintes

u

_i

'

u

'

_j avec i≠j sont nuls. Le taux de dissipation de l’énergie turbulente est calculé à partir de l’équation de transport modélisée : k C P k C x x U U k x x U t j _j k j i i k k 2 2 1 2 2 2 1 ) (

ε

ν

ε

ε ε − + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.18c) Où C₁_ε =1.8et C₂_ε =0.6

2.4.2.3 Corrélation pression-taux de déformation

        ∂ ∂ + ∂ ∂ = Π i j j i j i x u x u p' ' ' , ρ (2.18d)

Il contribue à un échange entre les composantes

(

'

,

'

,

'

2

)

3 2 2 2

1

u

sans modifier leur somme et, pour cette raison, on dit qu’il s’agit d’un terme de redistribution.