Couplages fluide-grains : Charriage, liquéfaction, glissements...

HAL Id: tel-01431996

https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01431996

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Couplages fluide-grains : Charriage, liquéfaction,

glissements...

Pascale Aussillous

To cite this version:

Pascale Aussillous. Couplages fluide-grains : Charriage, liquéfaction, glissements.... Matière Molle [cond-mat.soft]. Aix Marseille Université, 2010. �tel-01431996�

UNIVERSITÉ DE PROVENCE - AIX-MARSEILLE I

Laboratoire IUSTI UMR 6595

Mémoire présenté pour l’obtention de

L’HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES

Par

Pascale AUSSILLOUS

Maître de Conférences à Polytech’ Marseille, Université de Provence

Couplages fluide-grains :

Charriage, liquéfaction, glissements...

Soutenance le 13 décembre 2010 devant le jury composé de

DANIEL Éric

Rapporteur

HINCH E. John

Examinateur

LAGRÉE Pierre-Yves

Rapporteur

LEMAIRE Élisabeth

Rapporteur

Table des matières

1 Introduction et abrégé chronologique 3

2 Contexte : le couplage fluide-grains 13

2.1 Expériences . . . 14

2.2 Modélisation . . . 16

3 Charriage de particules dans un écoulement laminaire cisaillé 21 3.1 Dispositif expérimental . . . 22

3.2 Seuil de mise en mouvementA12 . . . 23

3.3 Transport de sédimentsA14 . . . 25

3.4 Formation de dunes laminairesA15 . . . 31

4 Liquéfaction d’un sol granulaire sous vagues 35 4.1 Dispositif expérimental . . . 37

4.2 Résultats expérimentaux . . . 40

4.3 Seuil de liquéfaction . . . 41

4.4 Dynamique . . . 44

4.5 Conclusion. . . 52

5 Glissement d’un sol granulaire immergé, influence d’une surface libre 53 5.1 Cohésion des pâtes granulaires . . . 54

5.2 Effondrements sous-marins . . . 57

5.3 Conclusion. . . 62

6 Perspectives 63 6.1 Charriage de particules dans un écoulement cisaillé . . . 63

6.2 Liquéfaction d’un sol granulaire sous vagues . . . 65

6.3 Glissement d’un sol granulaire immergé, influence d’une surface libre . . . 65

Bibliographie 67 A CV 73 A.1 Enseignement et responsabilités pédagogiques . . . 74

A.2 Encadrement doctoral et scientifique . . . 76

A.3 Production scientifique . . . 77

A.4 Autres formes de participation à la vie scientifique . . . 82

B Recueil d’articles 83 B.1 Articles - Solidification dirigée d’alliages binaires . . . 83

B.2 Articles - Elasticité . . . 120

Chapitre 1

Introduction et abrégé chronologique

Ce mémoire d’habilitation présente principalement les travaux de recherche que j’ai menés comme Maître de Conférences de l’Université de Provence, au sein du Groupe Ecoulement de Particules du Laboratoire IUSTI CNRS UMR 6595 depuis septembre 2004. Avant de présenter les thèmes de recherche que j’ai développés à l’IUSTI je vais résumer dans cette introduction, brièvement et de façon chronologique, mes précédents travaux.

Pendant ma thèse (1999-2002, LPMC, Collège de France), sous la direction de David Quéré, j’ai principalement étudié des situations de mouillage nul et en particulier celle des “gouttes enrobées” : en enrobant des gouttes avec une poudre hydrophobe on obtient des

“billes liquides” en situation de mouillage nul (figure 1.1a). Nous avons décrit les processus

de dissipation associés aux mouvements. Sur un plan faiblement incliné, les gouttes dévalent d’autant plus vite qu’elles sont petites, montrant une loi de dissipation inhabituelle. À grande vitesse, elles adoptent des formes remarquables (formes à 2 lobes, roues), qui correspondent à l’équilibre entre la force centrifuge et le rappel capillaire. Nous avons étudié les

transforma-tions intervenant entre ces configuratransforma-tions (figure 1.1b) ainsi que la robustesse de ces objets

en observant leurs propriétés de rebond.

(a) (b)

Fig. 1.1 – Goutte enrobée : (a) statique, (b) transformation des formes “roue” à “cacahuète”

J’ai également travaillé sur d’autres situations de mouillage dynamique. Ces travaux ont donné lieux à des publications (A1, A2, A3, A4, A5, A6, A8) ainsi qu’à des communications (C1, C2, C3, C4, C7) et des séminaires (S1 à S8).

Après ma thèse, je souhaitais travailler sur des sujets plus proches de la géophysique. J’ai donc rejoint en décembre 2004 l’Institute of Theoretical Geophysics à l’Université de Cambridge (Angleterre) où je me suis intéressée à la solidification dirigée d’alliages binaires en collaboration avec G. Worster et H. Huppert. Ce sujet intéresse à la fois la géophysique du point de vue de la solidification des océans mais également l’industrie. En effet beaucoup de composants technologiques modernes sont créés à partir d’alliages métalliques coulés à l’état liquide dans un moule puis refroidis et solidifiés pour former le produit final. De façon générale, pendant la solidification d’un mélange binaire, les constituants du mélange com-mencent à se ségréger, un constituant formant une matrice de cristaux (souvent sous forme de dendrites), alors que l’autre constituant reste dans le mélange entre ces cristaux et se solidifie après, à des températures plus basses. La région à deux phases qui comprend les cristaux primaires et le mélange résiduel interstitiel est appelée “mushy layer”. Durant la solidification on observe souvent la formation de canaux ou “cheminées”. Ces canaux jouent un rôle impor-tant dans la régulation des échanges thermiques entre l’océan et l’atmosphère au niveau des pôles terrestre et du point de vue industriel sont considérés comme des défauts, fragilisant la pièce. Nous nous sommes intéressés aux mécanismes conduisant à leur formation. Pour cela, nous avons développé deux approches :

Etude expérimentale à taux de solidification controlé :

En collaboration avec S.S.L. Peppin, H.E. Huppert & M.G. Worster Nous avons créé un dispositif expérimental dans lequel le taux de solidification est controlé, modélisant ainsi le procédé industriel. Ce dispositif permet la variation de paramètres de contrôle externes comme le taux de solidification et le gradient de température appliqué. Le

montage (figure 1.2) consiste en une cellule de Hele-Shaw remplie de liquide qui peut être

mise en mouvement, à une vitesse contrôlée entre deux échangeurs de chaleur fixes. L’épais-seur de la cellule est faible comparée à la taille des cheminées et grande par rapport à la taille des pores. La cellule est remplie d’une solution aqueuse transparente ce qui permet l’observation à la fois de la progression de la solidification et du développement des mouve-ments du fluide. Nous avons choisi une cellule de Hele-Shaw afin que le mouvement moyen du fluide soit bidimensionnel et que l’espacement entre cheminées soit unidimensionnel, ainsi des mesures directes de perméabilité peuvent être faites par injection de colorant à pression connue. Pendant la solidification, le champ de température est relevé à l’aide de capteurs, ainsi que la concentration en soluté du liquide en mesurant l’indice de réfraction. Nous avons étudié l’état d’équilibre quasi-statique dans ce dispositif et montré que le profil de tempé-rature ainsi que l’épaisseur de la “mushy-layer” correspondent bien aux prédictions théoriques.

(a)

70 S. S. L. Peppin, P. Aussillous, H. E. Huppert and M. G. Worster

(a) (b) (c) 12 cm (b) (b) (a) (d) (c) (e) (e) (b) T_C TH x z V (a) T(z)

Figure 1. Photograph of a unidirectional solidification stage including (a) Hele-Shaw cell, (b) heat exchangers, (c) thermistors, (d) machined screw to stepper motor, and (e) aluminium frame. The entire apparatus was maintained in a sealed cabinet through which dry air was pumped to prevent condensation on the test cell. The region of interest between the two heat exchangers is shown magnified at the upper right. Also shown is a schematic diagram illustrating the coordinate system used in the analysis and a representative temperature profile. In contrast, many mathematical analyses of buoyancy-driven instabilities and developed convection in mushy layers have considered a steady-state casting config-uration in which the sample is pulled at a constant rate through a fixed temperature gradient (Hills, Loper & Roberts 1983; Fowler 1985; Worster 1991; Worster 1992; Schulze & Worster 1999; Loper & Roberts 2001; Chung & Worster 2002). Detailed predictions have been made and there is a need for corresponding experi-mental measurements.

Here we report on results obtained with a new experimental facility that has been specifically developed to investigate steady-state dynamics in mushy layers formed from aqueous solutions. In this paper we establish the steady, diffusively controlled, non-convecting state as a basis for future studies of steadily driven convection in mushy layers. In§ 2 we describe the facility and characterize its thermal properties. Then in§ 3 we present the results of a series of experiments on aqueous solutions of sodium chloride. A mathematical model of the system is developed and solved in§ 4, and quantitative comparisons with experiment are made in § 5. A discussion of the results and implications for future experiments is also given.

2. Experimental apparatus

2.1. Description

The experimental apparatus consists of a Hele-Shaw cell – a fluid-filled rectangular cell whose depth is much smaller than its height and width (Batchelor 1967) – held in an aluminium frame as depicted in figure 1. The Hele-Shaw cell has inner dimensions of 38× 12 × 0.5 cm between 2 mm thick Pyrex glass plates. Thermistors are embedded in the side of the cell where they make direct contact with the liquid or mushy layer.

(b)

Fig. 1.2 – (a) Photographie du dispositif expérimental à taux de solidification contrôlé. (b) Photographie de la “mushy layer” créée, mise en évidence de l’écoulement dans les che-minées par contraste de densité.

Imagerie par résonance magnétique :

En collaboration avec A.J. Sederman, L.F. Gladden (the Magnetic Resonance Research Center, Cambridge University), H.E. Huppert & M.G. Worster Nous nous sommes placés dans le cas d’une solidification provenant d’une réfrigération fixe (cas qui a également des applications dans l’étude de la solidification des océans au niveau des zones polaires). L’IRM permet une observation directe, en tranches verticales et horizontales,

de la “mushy layer” pendant la solidification (figure 1.3). Le solide ne donnant pas de signal,

l’étude du niveau de gris donne la porosité de la “mushy layer” en fonction du temps et de la position. Nous avons montré que la porosité suit d’abord une loi d’auto-similarité alors que le front de solidification progresse. Cette observation est consistante avec l’hypothèse qu’il y a peu ou pas de convection à l’intérieur de la “mushy layer” jusqu’à ce qu’un nombre de Rayleigh critique (nombre qui compare l’effet déstabilisant du gradient de densité du liquide à l’intérieur de la mushy layer à ceux, stabilisant, de l’échange thermique et de la dissipation visqueuse dans la matrice poreuse) soit atteint. On assiste alors à la réduction de la porosité moyenne au niveau du front. On observe la formation des cheminées, qui apparaissent dotées de multiples branches.

L’IRM utilisée avec la meilleure résolution (100µm par pixel) permet d’observer la structure en plaquettes de la glace. Cette technique permet également la mesure de la vitesse de l’écou-lement à l’intérieur des cheminées.

Ces travaux ont donné lieu à des publications (A9, A11) ainsi qu’à des communications (C5, C6, C11) et un séminaire (S9).

Fig. 1.3 – Coupe horizontale et verticale de la mushy layer. On observe la présence des cheminées ainsi que la structure de la glace. Le trait blanc représente 1 cm.

Pendant mon post-doctorat à l’Université de Cambridge, j’ai développé une collaboration avec L. Mahadevan qui est maintenant à l’Université d’Harvard (Boston, Etats Unis). Cette collaboration a été l’occasion de travailler sur un domaine nouveau pour moi, celui de l’élas-ticité.

Elasticité d’un radeau de particules :

En collaboration avec D.Vella, H.Y. Kim & L. Mahadevan Nous nous sommes intéressés à l’élasticité d’un radeau de particule. Une poudre hydrophobe déposée sur un liquide se comporte comme un solide : si on la compresse elle forme des rides et

si on la perce des fractures (figure1.5). Nous avons montré que ce système peut être modélisé

par un solide à 2 dimensions dont le module d’Young dépend de la tension de surface et de la taille des grains. C’est en partie grâce à cette propriété d’état “solide” l’on peut réaliser les gouttes enrobées étudiées lors de ma thèse.

Tapis roulant :

En collaboration avec J. M. Kolinski & L. Mahadevan Nous avons étudié expérimentalement le mouvement d’une bosse créée dans une longue feuille placée sur un plan incliné. La bosse dévale la pente et atteint un régime de vitesse constante. Nous nous sommes intéressés alors à la forme de la bosse ainsi qu’à l’origine de la dissipation suivant les propriétés de la feuille et la pente imposée.

Fig. 1.4 – Rides et fracture. Les traits représentent respectivement 1 mm à gauche et 1 cm à droite.

Fig. 1.5 – Tapis roulant : forme statique

En septembre 2004, j’ai été nommée Maître de Conférences à l’Université de Provence. J’ai rejoint le Groupe Ecoulement de Particules, dirigé par E. Guazzelli, au sein du labora-toire IUSTI (UMR 6595) dirigé par Lounès Tadrist. L’essentiel de ma recherche est depuis lors consacré aux milieux granulaires immergés et aux couplages existant entre le fluide et les grains. Ces couplages existent et jouent un rôle important dans de nombreuses applications, géophysiques (transport de sédiment, érosion, formation de dunes, avalanches sous-marines, glissements de terrain, sables mouvants, liquéfaction des sols...) ou industrielles (agroalimen-taire, génie civil...). Je me suis intéressée à 3 configurations présentées brièvement ici et détaillées dans les 3 chapitres suivants.

Erosion, transport de sédiments et formation de dunes

En collaboration avec M. Ouriemi, J. Chauchat, M. Pailha, M. Médale & E. Guazzelli J’ai eu l’opportunité de pouvoir co-encadrer avec Elisabeth Guazzelli la thèse de Malika Ouriemi qui est arrivée en même temps que moi à l’IUSTI. Cette thèse intitulée “Erosion, transport et instabilités d’un lit de particules dans un tube” a été soutenue le 20 septembre 2007. Elle était financée par l’IFP en collaboration avec Y. Peysson.

Nous avons étudié expérimentalement l’évolution d’un lit de particule dans un tube (figure

1.6) et mis en évidence l’existence de cinq régimes. Un modèle continu à deux phases, avec

une rhéologie de type frottement solide, nous a permis de déterminer le flux de particules. Par une étude de stabilité linéaire, nous avons déterminé le seuil d’apparition des dunes laminaires.

Fig. 1.6 – Dunes à vortex dans un tube de diamètre 3 cm

Cette étude a ensuite été complétée avec l’arrivée de Julien Chauchat en stage post-doctoral dans le cadre de l’ANR ‘Dunes’ (avril 2008 à septembre 2009). En collaboration avec Marc

Médale, il a développé l’implémentation numérique 3D du modèle diphasique.13 _{En parallèle}

nous avons commencé à préparer une expérience de transport de particules dans un tube à section rectangulaire. Cette expérience a été finalisée avec l’arrivée en octobre 2009 de Mi-ckaël Pailha en stage post-doctoral toujours dans le cadre de l’ANR ‘Dunes’ (octobre 2009 à février 2010).

Ces travaux ont donné lieu à des publications (A12 à A15) ainsi qu’à des communications (C8, C9, C12) et des séminaires (S10, S11, S12).

Liquéfaction des sols sous vagues

En collaboration avec O. Pouliquen Quand je suis arrivée à l’IUSTI, Max Belzons, Olivier Pouliquen et Maxime Nicolas tra-vaillaient sur la liquéfaction des sols sous vibrations, et m’ont proposé de les rejoindre sur ce thème de recherche. C’est l’arrivée de Didier Collart, étudiant du M2 Architecture Navale et Offshore de l’ENSTA qui m’a permis d’aborder ce sujet sous l’angle de l’influence de la houle. En effet, Didier reprenait ses études mais avait de longue date un projet sur des récifs artificiels et il était particulièrement intéressé par l’étude de l’enfouissement de ces récifs. Avec Olivier nous lui avons proposé un sujet pouvant concilier l’étude des deux phénomènes : ‘Enfouissement des récifs artificiels sous l’action des phénomènes d’érosion et de liquéfaction du sédiment’.

Les premières expériences ont été réalisées grâce au concours de J.-P. Giovanangeli et B. Zucchini de l’équipe interaction Ondes Atmosphère (IRPHE) qui nous ont permis d’utiliser leur canal à houle. Le principe du phénomène de liquéfaction sous vagues est le suivant : le gradient de pression généré par le passage d’une vague au dessus d’un milieu granulaire entraîne la compaction du milieu. Cependant, cette compaction induit un état transitoire dans lequel l’eau s’échappant du sol met en suspension les grains. Dans cet état transitoire,

Fig. 1.7 – Liquefaction d’un sol : avant et après le passage des vagues.

le sol se comporte comme un liquide comme on peut le voir sur la figure 1.7 ou un objet

s’est enfoncé dans le sol lors du passage des vagues. Nous étudions cet état transitoire et son évolution en effectuant notamment des mesures de pression de pore. Ce projet a été financé par l’ANR PIGE.

Les résultats de ces travaux sont en cours de publications et ont donné lieu à des communi-cations (C10, C13) et des séminaires (S11, S13 à S15).

Colonnes granulaires

En collaboration avec L. Rondon A l’occasion du Projet d’Initiation à la Recherche (projet d’une semaine pour des étudiants

en 4eme _{année de Polytech’ Marseille, département Mécanique Energétique) et du stage de}

L3 de l’ENS Lyon de Baptiste Blanc, j’ai commencé à travailler sur le sujet des colonnes granulaires. Dans une première configuration, nous utilisons du sable très hydrophobe qui présente la particularité de s’enrober d’air quand on le plonge dans l’eau. Cela permet de bâtir des structures sous l’eau similaires à celles obtenues avec du sable classique mouillé dans

l’air (figure 1.8a). Ces premières expériences ont montré qu’une colonne de sable sous l’eau

se comporte comme une sorte de bulle “sablonneuse”. Elles ont permis d’étudier, grâce à des mesures de pression d’air dans la bulle ou à des mesures de pression d’eau, les mécanismes à l’origine de la cohésion de ces colonnes.

Puis avec l’arrivée de Loïc Rondon en février 2008 en stage de M2 Hydrochimie, Hydrologie, Sol et Environnement, de l’UPS Toulouse, nous nous sommes intéressés à la géométrie plus classique d’une colonne de sable ‘normal’ sous l’eau et nous avons étudié les conséquences de

l’apparition d’une interface grains/liquide/air suite à une vidange (figure 1.8b). Nous avons

montré que l’apparition de l’interface est responsable de la création d’une dépression capil-laire à l’intérieur du fluide et par équilibre d’une surpression sur le squelette granucapil-laire. C’est cette surpression qui permet de créer les ‘pâtes granulaires’, mélanges de particules et de liquide que l’on retrouve dans les glissements de terrain.

(a) (b) h1 h vidange capteur eau poreux

Fig. 1.8 – (a) Colonne de sable hydrophobe sous l’eau, (b) Schéma expérimental de l’étude de la

vidange d’une colonne de sable dans l’eau

Avalanches sous-marines

En collaboration avec L. Rondon & O. Pouliquen Dans la continuité de son travail de M2, Loïc Rondon a débuté en septembre 2008 une thèse sur les ‘pâtes granulaires’ que je co-dirige avec Olivier Pouliquen. Nous nous intéressons au couplage existant entre le fluide et le milieu granulaire : la compaction/dilatation conduit à des mouvements d’eau induisant des contraintes sur le milieu granulaire. Pour mettre en évidence ce couplage, nous avons d’abord commencé à étudier le lâcher de barrage sous

marin (figure 1.9) en mesurant la pression et l’évolution du profil de l’interface. Suivant la

compaction initiale, deux comportements différents ont pu être notés : les colonnes lâches s’effondrent immédiatement et parcourent une grande distance alors que pour les colonnes denses l’effondrement est d’abord différé, puis le tas s’écoule lentement, par petits à-coups. Sample title

Sample Title:

with Forced Linebreak

L. Rondon,1, a) _{O. Pouliquen,}1, b) _{and P. Aussillous}1, c)

Laboratoire IUSTI, UMR 6595 CNRS, Aix Marseille Universite (UI, UII), 5 rue Enrico Fermi, 13465 Marseille cedex 13, France.

(Dated: June 18, 2010)

PACS numbers: Valid PACS appear here Keywords: Suggested keywords

I. INTRODUCTION

II. EXPERIMENTAL SET UP AND PROCEDURE

Pressure Sensor

H

L

H

L

Figure 1. Experimental set-up.

The experimental set-up is presented in 1. It is a long opened box filled with liquid and grains. The box is 70 cm long, 15 cm wide and 15 cm high. The bottom surface is made rough by gluing a layer of particles on it. The particles used are glass softened beads of density

ρs = 2500 kg.m−3 and d = 225 µm in mean diameter.

The liquid is a mixture of water and Ucon oil: volumic

a)_{Electronic mail: loic.rondon@polytech.unv-mrs.fr}

ratio between both liquids determines the viscosity of the mixture. At the very left of the box, a gate moves vertically. The space closed by this gate that we will call

the reservoir, can be Li= 2, 4, 6 cm wide. The bottom of

the box is drilled by a hole 3 mm diameter closed with a 40 µm mesh, in order to connect differential piezo electric sensors Honeywell DC005NDC4 measuring pressure. The hole is at 2 cm from the border of the box.

The experimental procedure is the following. Glass beads are put in the reservoir. We equilibrate liquid level on both sides of the gate by adding or removing liquid with a syringe.

Then the reservoir is mixed to create an homogeneous

suspension after sedimentation. We obtain a Hs high

column of grains in the loosest state we can create.

As-suming the solid volumic fraction φs = 0.55 in all the

column at this stage, we gently kick the frame of the box with a hammer ; grains are compacted until the column

reaches Hi. The solid volumic fraction φ becomes

het-erogenous in the column, but we can define a mean solid

volumic fraction φias follow. According to the mass

con-servation, we have:

Hsφs = Hiφi

and so the mean solid volumic fraction is φi = φsHs_Hi.

We mesure the height of the column, Hi and Hs with a

0.5 mm step ruller. Then we remove the door.

A HDR-XR520 camera records the evolution of the dambreak shape at 30 frames per second and with a 1920x1080 pi resolution. Backlighting the box, the film is very constrated: grains of avalanche appear in black and the liquid is white. In the same time, the five pressure signals are recorded by the sensors.

This experience allows us to control different

param-eters: Li the initial width of the column, Hi the initial

height, φi the initial mean solid volumic fraction in the

column, and liquid dynamic viscosity η.

We realised twelve sets of experiences changing Li, Hi

and η. For each one, we tried to make φi vary from 55%

to 62%. Given φi we kick the box to make the height

of the column decrease to Hi = Hsφs_φi. The point is to

detect the variation Hs− Hi = Hs(1 − φs_φi). If φi = 0.56

and Hs= 2 cm, Hs−Hi= 0.36 mm which is less than our

Sample title

Sample Title:

with Forced Linebreak

L. Rondon,1, a) _{O. Pouliquen,}1, b) _{and P. Aussillous}1, c)

Laboratoire IUSTI, UMR 6595 CNRS, Aix Marseille Universite (UI, UII), 5 rue Enrico Fermi, 13465 Marseille cedex 13, France.

(Dated: June 18, 2010)

PACS numbers: Valid PACS appear here Keywords: Suggested keywords

I. INTRODUCTION

II. EXPERIMENTAL SET UP AND PROCEDURE

Pressure Sensor

H

L

H

L

Figure 1. Experimental set-up.

The experimental set-up is presented in 1. It is a long opened box filled with liquid and grains. The box is 70 cm long, 15 cm wide and 15 cm high. The bottom surface is made rough by gluing a layer of particles on it. The particles used are glass softened beads of density

ρs = 2500 kg.m−3 and d = 225 µm in mean diameter.

The liquid is a mixture of water and Ucon oil: volumic

a)_{Electronic mail: loic.rondon@polytech.unv-mrs.fr} b)_{Electronic mail: olivier.pouliquen@polytech.unv-mrs.fr} c)_{Electronic mail: pascale.aussillous@polytech.unv-mrs.fr}

ratio between both liquids determines the viscosity of the mixture. At the very left of the box, a gate moves vertically. The space closed by this gate that we will call

the reservoir, can be Li = 2, 4, 6 cm wide. The bottom of

the box is drilled by a hole 3 mm diameter closed with a 40 µm mesh, in order to connect differential piezo electric sensors Honeywell DC005NDC4 measuring pressure. The hole is at 2 cm from the border of the box.

The experimental procedure is the following. Glass beads are put in the reservoir. We equilibrate liquid level on both sides of the gate by adding or removing liquid with a syringe.

Then the reservoir is mixed to create an homogeneous

suspension after sedimentation. We obtain a Hs high

column of grains in the loosest state we can create.

As-suming the solid volumic fraction φs = 0.55 in all the

column at this stage, we gently kick the frame of the box with a hammer ; grains are compacted until the column

reaches Hi. The solid volumic fraction φ becomes

het-erogenous in the column, but we can define a mean solid

volumic fraction φias follow. According to the mass

con-servation, we have:

Hsφs= Hiφi

and so the mean solid volumic fraction is φi = φsHs_Hi.

We mesure the height of the column, Hi and Hs with a

0.5 mm step ruller. Then we remove the door.

A HDR-XR520 camera records the evolution of the dambreak shape at 30 frames per second and with a 1920x1080 pi resolution. Backlighting the box, the film is very constrated: grains of avalanche appear in black and the liquid is white. In the same time, the five pressure signals are recorded by the sensors.

This experience allows us to control different

param-eters: Li the initial width of the column, Hi the initial

height, φi the initial mean solid volumic fraction in the

column, and liquid dynamic viscosity η.

We realised twelve sets of experiences changing Li, Hi

and η. For each one, we tried to make φi vary from 55%

to 62%. Given φi we kick the box to make the height

of the column decrease to Hi = Hsφs_φi. The point is to

detect the variation Hs− Hi = Hs(1 − φs_φi). If φi = 0.56

and Hs= 2 cm, Hs−Hi = 0.36 mm which is less than our

ruller precision 0.5 mm. But if φi = 0.57 and Hs = 2 cm,

Hs− Hi = 0.7 mm, that can be observed.

Fig. 1.9 – Schéma du dispositif expérimental du lâcher de barrage sous-marin.

Les résultats de ces travaux sont en cours de publication. 10

Ce travail sera poursuivi par l’étude du cas des pâtes granulaires où le milieu n’est pas tota-lement immergé. La dynamique est alors bouleversée, en particulier les phénomènes semblent accentués. Plusieurs configurations sont envisagées pour étudier le rôle de la surface libre : milieu vibré, écoulement sur un plan incliné... Des mesures de pression interstitielle couplées avec des visualisations seront réalisées.

Dans la suite de ce mémoire, après une présentation du contexte sur le couplage

fluide-grain (chapitre 2) je détaille plus précisément les études effectuées sur le charriage dans

un écoulement laminaire cisaillé (chapitre 3), la liquéfaction des sols sous vagues (chapitre

4) ainsi que le glissement d’un sol granulaire immergé (chapitre 5). Le dernier chapitre est

consacré à mes projets de recherche (chapitre 6). Enfin, dans l’annexe A je présente mon

Chapitre 2

Contexte : le couplage fluide-grains

La nature nous fournit beaucoup d’exemples de couplages eau-grains : il suffit simplement de regarder une plage pour voir du sable charrié par les vagues ou des rides se former sous

l’effet de la houle (figure2.1). De même nous voyons couramment des limons charriés par des

rivières ou des dépôts de sédiments qui évoluent dans le temps.

(a) (b)

Fig. 2.1 – (a) Rides sous-marines crées par la houle, (b) transport de sédiment

Il est intéressant de comprendre les mécanismes qui conduisent à de tels phénomènes, d’autant plus que dans certaines conditions, ils peuvent devenir catastrophique : lors d’un tremblement de terre dans une zone où les sols sont gorgés d’eau, la liquéfaction soudaine des

sols s’ajoute aux dégâts (figure2.2a) ; lors d’épisodes importants de pluie, des glissements de

terrains peuvent se déclencher et provoquer de nombreux dégats matériels et humains (figure

2.2b).

Dans l’industrie on rencontre également beaucoup de configurations où les couplages entre fluide et grains jouent un rôle prépondérant, par exemple dans l’industrie alimentaire, du

bâ-timent, pétrolière (figure 2.3)....

Pour mieux comprendre le couplage fluide-grains et dégager les mécanismes physiques prépondérants, la démarche suivie est d’abord de développer des expériences modèles mettant en évidence les effets physiques étudiés puis de proposer une modélisation rendant compte de ces effets.

(a) (b)

Fig. 2.2 – (a) Liquéfaction des sols lors d’un séisme à Caracas, (b) Coulée de boue à Twainan suite

à des fortes pluies.

(a) (b)

Fig. 2.3 –(a) Transport de pommes par un fluide (industrie agroalimentaire), (b) coulée de béton.

2.1

Expériences

Les expériences réalisées sont des expériences modèles dont le but n’est pas de reproduire les phénomènes observés dans la nature ou dans l’industrie mais de dégager les mécanismes prépondérants.

2.1.1

Dispositifs expérimentaux

Les dispositifs expérimentaux sont choisis pour pouvoir à la fois imposer précisément les conditions expérimentales et pour pouvoir visualiser au mieux le comportement du milieu granulaire. Ainsi pour étudier l’érosion, le transport de sédiment et la formation de dunes dans un écoulement laminaire, on utilise un canal en verre (de section cylindrique, ou rectan-gulaire) et l’on impose un débit constant soit par une pompe, soit par gravité. Le mouvement du milieu granulaire est filmé grâce à une caméra placée sur le côté, une nappe laser située au dessus permettant d’illuminer l’interface fluide/grains. Nous pouvons également mesurer la vitesse du fluide à l’aide de traceurs ("fingerprint") placés dans le fluide et illuminés par

une nappe laser (532nm, 100mW, Laser 2000). Nous utilisons en général une technique de PIV (vélocimétrie par corrélation d’images) afin d’extraire le champs de vitesses. De plus une méthode d’iso-indice (fluides et particules) permet de mesurer conjointement la vitesse des particules.

Pour étudier la liquéfaction sous vagues, un canal à houle permet d’imposer l’amplitude et la fréquence des vagues. L’évolution du granulaire est suivie principalement grâce à des capteurs de pressions différentiels permettant une mesure précise de pressions très faibles

(tableau2.1). Pour suivre la position de l’interface eau/grains nous utilisons une nappe laser,

en incidence rasante et filmons la position de l’intersection de la nappe et du granulaire, par dessus avec une caméra.

Capteurs Gamme de pression (cm d’eau)

401DN ±2.54

405DN ±12.7

430DN ±76.2

Tab. 2.1 – Caractéristiques des capteurs de pression DCAL (Honeywell)

Dans le cas des colonnes granulaires, on réalise une vidange d’un tube cylindrique et l’on

mesure l’évolution de la pression de pore grâce à des capteurs de pression (tableau2.1). Enfin

dans le cas des avalanches sous-marines, on utilise un bac dans lequel on soulève une porte pour déclencher l’avalanche. A nouveau on effectue des mesures de pression de pores et on filme l’évolution de l’interface eau/milieu granulaire à l’aide d’une caméra.

2.1.2

Particules

Les particules utilisées sont des billes sphériques tamisées pour obtenir une distribution monodisperse. Différents matériaux sont à notre disposition, permettant de faire varier la

masse volumique apparente (tableau2.2).

Particules masse volumique(kg/m3_{) Indice optique}

Borosilicate 2230 1.472

Verre 2500 1.54

PMMA 1190 1.49

Polystyrène (PS) 1050

Tab. 2.2 – Caractéristiques des différentes particules utilisées

2.1.3

Fluides

Jusqu’à présent nous nous sommes concentrés sur des régimes visqueux. Pour cela nous utilisons principalement des mélanges eau et UCON Oil 75H90000 (Dow) dont les

caracté-ristiques sont résumées dans le tableau 2.3. En le mélangeant avec l’eau, nous avons à notre

disposition toute une gamme de viscosités possibles (figure2.4).

a) 0 20 40 60 80 100 100 101 102 103 104 105 φeau(%) η(cP) b) 0 20 40 60 80 100 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 φeau(%) ρ(g/cm3₎

Fig. 2.4 – Viscosité et masse volumique des mélanges eau-Ucon Oil à 20◦ en fonction de la fraction

volumique en eau.

Pour effectuer des mélanges iso-indices avec du borosilicate ou du PMMA nous utilisons des mélanges triton-eau auxquels sont ajoutés quelques gouttes d’acides. Les différents indices

optiques sont résumés dans les tableaux2.2et2.3. Enfin pour faire varier la tension de surface,

nous utilisons de l’ethanol.

Liquides masse volumique(kg/m3_{) viscosité (cP) Indice optique}

eau 1000 1 1.33

UCON Oil 75H90000 1090 30000 1.472

Triton 1070 240 1.481

Tab. 2.3 – Caractéristiques des différents fluides utilisés (à 20°C)

2.2

Modélisation

La modélisation que nous utilisons s’enrichit de chaque résultat expérimental. La base est

un modèle à deux phases, issu des travaux de Jackson.39,40

2.2.1

Modèle à deux phases

Ce modèle provient d’une moyenne d’espace sur les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement appliquées au fluide et aux particules. Le volume sur lequel se fait la moyenne spatiale est petit à l’échelle du problème et grand à l’échelle des particules.

On note up

i la vitesse locale moyenne de la phase particule, u

f

i la vitesse locale moyenne de

la phase fluide, φ la fraction volumique en particule,  = 1 − φ la fraction volumique occupée

par le fluide, ρp et ρf les masses volumiques respectives des particules et du fluide et n le

nombre de particules par unité de volume. Les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement pour le fluide et les particules s’écrivent :

∂Ui ∂xi = 0, (2.1) ∂φ ∂t + ∂(φup_i) ∂xi = 0, (2.2) ρf Df(u f i) Dt = ρf " ∂(uf_i) ∂t + ∂(uf_iuf_j) ∂xj # = ∂σ f ij ∂xj − nfi+ ρfgi, (2.3) ρp Dp(φu p i) Dt = ρp  ∂(φup_i) ∂t + ∂(φup_iup_j) ∂xj  = ∂σ p ij ∂xj + nfi+ φρpgi, (2.4)

où gi est le vecteur gravité et Ui = φ u

p

i +  u

f

i la vitesse moyenne du volume de mesure.

Ces équations font apparaître de nouvelles quantités : fi qui représente la force moyenne

résultante exercée par le fluide sur une particule, et les contraintes σf

ij et σ p

ij qui peuvent être

vues comme les tenseurs de contraintes effectives associées respectivement aux phases fluide et particules. Afin d’utiliser ces équations, il faut exprimer ces différentes quantités.

2.2.2

Force d’interaction fluide-grain

Nous utilisons l’expression développée par Jackson40 _{pour exprimer la force d’interaction}

fluide-grain. Elle se décompose en une poussée d’Archimède généralisée et une force qui tient

compte des autres contributions nf1

i :

nfi = φ

∂σ_ijf ∂xj

+ nf_i1. (2.5)

Dans la plupart de nos expériences, nous considérerons le cas d’une fluide visqueux s’écoulant dans un lit de particules. Dans ce cas la contribution restante se réduit au frottement visqueux causé par le mouvement relatif du fluide et des particules. On peut alors étendre la loi empirique de Darcy et écrire la force d’interaction fluide-grain ainsi :

nf_i1 = η2β(uf_i − ip_i) = ηβ(Ui− u p

i), (2.6)

où η est la viscosité du fluide pur. Le coefficient de perméabilité β est relié à la fraction volumique en particule φ et au diamètre des particules d. Dans le cas d’un empilement de sphères, on utilise en général une relation empirique de type Carman-Kozeny :

β = kφ

2

(1− φ)3d2, (2.7)

avec k ≈ 180,27 _{où celle de Richarson-Zaki}69 _:

β = 18ηφ1

2.2.3

Rhéologie fluide

Nous supposons que la contrainte effective associée avec la phase fluide σf

ij a une forme

Newtonienne et est reliée à la vitesse débitante40 _{à travers la relation 2.9 :}

σ_ijf =−pfδij + τ f ij =−p f_δ ij + ηe  ∂Ui ∂xj +∂Uj ∂xi  , (2.9)

Où ηe est la viscosité effective du mélange.

Le choix de ηe est encore une question ouverte. Par souci de simplicité nous avons choisi

de travailler avec la viscosité effective d’Einstein, démontrée pour des suspensions diluées :

ηe = η(1 + 5φ/2), (2.10)

Cependant nous sommes dans des configurations où les particules sont au contact avec des fractions volumique variant entre 0.55 et 0.62. Il y a de nombreuses formules empiriques

décrivant la viscosité effective d’une suspension à concentration élevée.74 _{La plupart d’entre}

elles divergent pour l’empilement compact et ne peuvent pas décrire correctement les effets que nous observons.

2.2.4

Rhéologie granulaire

Pour décrire la rhéologie granulaire, nous avons décidé de considérer la loi constitutive qui a d’abord été décrite pour des granulaires secs et qui a été adaptée avec succès aux

granulaires immergés.28,41,7,65_{La contrainte qui s’applique sur un matériau granulaire quand}

il est soumis à un taux de cisaillement ∂up

i/∂xj+ ∂upj/∂xi , sous une pression de confinement

pp s’écrit : σ_ijp =−ppδij + τijp =−p p_δ ij + µ(I)pp( ∂up_i ∂xj + ∂u p j ∂xi )/|∂u p i ∂xj +∂u p j ∂xi |. (2.11)

Le coefficient de friction µ(I) dépend du paramètre sans dimension I qui est le rapport entre le temps de réarrangement d’une particule déplacée de sa cage et le temps nécessaire à une particule pour bouger d’une cage à l’autre sous l’effet du cisaillement. Dans un fluide visqueux, ce nombre sans dimension s’écrit

I = η pp_α| ∂up_i ∂xj +∂u p j ∂xi |, (2.12)

avec α = 0.01.7 _{Pour le coefficient de friction, la loi suivante a été proposée}28,41,7,65 _:

µ(I) = µs+

µ₂− µs

1 + I0

I

, (2.13)

où I0, µ2, et µs sont des constantes qui dépendent des particules (matière, forme) utilisées.

La fraction volumique dépend également du nombre I et décroît quand I augmente car sous l’effet du cisaillement le milieu tend à se dilater.

φ(I) = φmax− (φmax− φmin)I, (2.14)

Quand le milieu granulaire n’est pas cisaillé, cette rhéologie n’est plus valable, et on écrit simplement que le taux de cisaillement est nul. De même cette rhéologie est valable à l’équilibre, et pour modéliser la dynamique vers l’équilibre (par exemple si la fraction volumique initiale est hors équilibre) il faudra prendre en compte des effets de dilatance.

2.2.5

Résolution

Pour résoudre ces équations, nous avons développé plusieurs approches. La première consiste à se placer dans des approximations qui permettent de les résoudre analytiquement. C’est par exemple le cas du transport de sédiment d’un lit plat dans une conduite cylindrique où les conditions expérimentales permettaient ce genre d’approche. Nous avons également ré-solu numériquement ces équations simplifiée dans le cas d’écoulement bidimensionnels. Enfin dans le cas d’écoulement tridimensionnel où des simplifications ne peuvent pas se faire, nous avons collaboré avec Marc Médale et Julien Chauchat afin que ces équations soient résolues numériquement.

Chapitre 3

Charriage de particules dans un

écoulement laminaire cisaillé

Thèse de M. Ouriemi, en collaboration avec M. Médale, Y. Peysson & E. Guazzelli

Nous avons étudié le charriage de particules dans un écoulement laminaire cisaillé et en particulier au seuil d’érosion, au transport de particules et à la formation de dunes. Cette étude était d’abord motivée par une collaboration avec l’IFP qui s’intéressait à l’évolution

d’un lit de particules d’hydrates dans un pipeline (figure 3.1a). La question du transport

de particules dans un fluide peut également intéresser d’autres industries (pharmaceutiques, agro-alimentaires..) et se retrouve aussi dans la nature. Par exemple l’écoulement d’une ri-vière sur un lit de sédiment peut générer du transport de sédiment et éventuellement conduire

à la formation de dunes sous marines (figure 3.1b).

(a) (b)

3.1

Dispositif expérimental

Le dispositif expérimental (figure3.2a) consiste en un tube cylindrique, de diamètre D =

3cm, dans lequel on a introduit une hauteur contrôlée de particules (hp). Les particules sont

en verre, polystyrène ou PMMA, ce qui permet de faire varier leur masse volumique (tableau

2.2). La taille des particules est comprise entre 130 et 540 µm. Le fluide utilisé est un mélange

eau -Ucon oil (tableau2.3 et figure2.4) dont on fait varier la viscosité entre 0.7 et 50 mPa.s.

(a)

Q

D

h

Fig. 3.2 – (a)Schéma explicatif de l’expérience du tube. (b)Principe de la nappe laser

Une fois les paramètres fixés, on impose un débit constant Q et on filme avec une caméra

l’évolution du profil de l’interface fluide/grain illuminée par une nappe laser (figure3.2b). Le

tube n’est pas alimenté en particules. Suivant le débit que l’on impose et la hauteur initiale

du lit, nous avons observé 5 régimes d’évolution du lit de particules (figure 3.3) :

• Pas de mouvement.

• Lit plat en mouvement : les particules avancent mais le lit reste plat.

• Dunes laminaires : des petites dunes se forment sur toute la longueur du tube, elles sont régulières et d’amplitude faible.

• Dunes à vortex : des dunes de taille importante (de l’ordre du diamètre du tube) se forment à partir de l’entrée du tube. Un vortex se développe entre chaque dune. • Dunes sinueuses : pour des écoulements importants, les dunes deviennent asymétriques.

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 3.3 – Régimes d’évolution du lit de particules : (a) lit plat en mouvement, (b) dunes laminaires,

(c) dunes à vortex, (d) dunes sinueuses.

Nous nous sommes concentrés sur les transitions entre les trois premiers régimes : nous avons cherché à comprendre et modéliser le seuil de mise en mouvement, le débit en particule du lit plat en mouvement ainsi que le seuil d’apparition des dunes laminaires.

3.2

Seuil de mise en mouvement

Le seuil de mise en mouvement est en général décrit par un nombre de Shields critique.6,80

Le nombre de Shields correspond au rapport de la force hydrodynamique qui tend à mettre une particule en mouvement et du poids apparent de la bille qui s’y oppose,

θ = τ

4ρgd. (3.1)

Pour appréhender la signification du nombre de Shields, la figure 3.4 montre le bilan que

l’on peut faire à l’échelle d’un grain, où les différentes forces qui s’appliquent sur un grain reposant sur 2 autres sont représentées (force hydrodynamique, poids apparent, réactions).

Le grain se met en mouvement quand le contact avec le premier grain est rompu (N1 = 0).

Cela équivaut à un nombre de Shields critique θc ∝ tan(α) ∝ µ ≈ 0.1 où α peut être vu

comme l’angle d’avalanche et où sa tangente correspond à un coefficient de friction µ.

Fig. 3.4 – Définition du nombre de Shields à l’échelle d’un grain.82,80

Les expériences antérieures donnent une valeur de θc _{comprise entre 0.05 et 0.3 pour tous}

les régimes d’écoulement.82,80,83,60,51,86,18,63,11,46 _{Cette variation non négligeable peut être}

imputée à plusieurs difficultés expérimentales. Par exemple, il est assez difficile d’évaluer le débit pour lequel le seuil est atteint. En effet la plupart des mesures correspondent à des observations visuelles et il est fréquent que passé un certain débit quelques grains bougent puis s’arrêtent après un réarrangement. Ce premier seuil dépend de l’empilement initial des

grains.63_{Il faut un débit plus important pour atteindre un mouvement stationnaire de grains.}

L’évaluation de ce débit est délicate et les données les plus anciennes ne tiennent pas compte de ces observations. Les données les plus récentes tendent à extrapoler le taux de transport

à sa valeur nulle11,46 _{afin de déterminer le seuil. Un autre problème correspond à l’évaluation}

de la contrainte fluide utilisée dans la définition du nombre de Shields.

Pour mesurer un seuil de mise en mouvement reproductible, nous avons proposé une méthode consistant à mesurer le seuil d’arrêt. Pour cela nous utilisons le fait que le tube n’est pas alimenté en particules. En effet, considérons une expérience où un débit Q et une hauteur

initiale de particule hstart

Shields supérieur au seuil critique (figure3.5). Le lit se met en mouvement et par conséquent les particules sortent progressivement du tube. La hauteur du lit diminue alors, et avec elle la contrainte fluide qui s’applique en haut du lit, ceci jusqu’à atteindre le seuil d’arrêt.

D

d

h

h

Fig. 3.5 – Shéma de principe de la mesure du seuil d’arrêt.

Nous avons vérifié que pour un débit donné, quelle que soit la hauteur initiale en grain,

au delà de la hauteur critique de mise en mouvement (hc

p), la hauteur finale est constante et

égale à cette hauteur critique (figure 3.6a). Pour connaître le nombre de Shields critique, il

faut ensuite évaluer la contrainte fluide en haut du lit. Pour cela nous supposons qu’au seuil on peut toujours utiliser une condition de vitesse nulle en haut du lit, et nous nous plaçons dans le cas d’un écoulement laminaire. En première approximation on peut faire le calcul dans le cas d’une géométrie de canal 2D, le profil de vitesse ne dépend alors que de la position

verticale (uf_{(y) = (6Q}

2D/h3f)y(hf − y)) et la contrainte s’écrit τ_2Df = η ˙γ(0) = η6Q2d/h2f.

Dans ces conditions, on peut en déduire une formule générale, reliant le nombre de Shields avec les paramètres expérimentaux :

θ = 6Re2D Ga  d hf ₂ , (3.2)

où le nombre de Reynolds 2D est construit sur le tube vide (Re2D = Q2d/ν) et le nombre

de Galilée tient compte des propriétés physique du fluide et des particules (Ga = ρf(ρp −

ρf)gd3/η2) et correspond à un Reynolds basé sur la sédimentation d’une particule.

Pour prendre en compte le fait que la géométrie n’est pas bidimensionnelle mais cor-respond en fait à un tube tronqué, nous avons supposé que dans une certaine gamme de

remplissage, le cisaillement suit la même loi d’échelle, ˙γpipe(0) = 6k(Qpipe/D)/h2f où k est un

facteur géométrique. Nous avons vérifié en calculant numériquement l’écoulement de Stokes

dans un tube tronqué que cette relation reste valable pour 0.2 6 hf/D 6 0.8 (figure 3.6b).

Ce calcul donne également le coefficient de passage :

(a) (b)

Fig. 3.6 – (a) Hauteur finale du lit normalisée hend_p /D en fonction de la hauteur initiale

nor-malisée hstart_p /D pour des particules de polystyrène (d = 538µm) dans de l’eau pour un débit Qpipe = (2.77± 0.09)10−5m3/s. Les lignes solides représentent la pente 1 (à gauche) et la constante

hc

p (à droite). (b) Taux de cisaillement numérique adimensionné à la surface du lit D3_˙γ

pipe(0)

Qpipe en

fonc-tion de la hauteur de fluide adimensionnée hf/D. Le trait plein représente la pente −2. Les lignes

pointillées indiquent les limites0.2 6 h_f/D 6 0.8.

La relation 3.2 peut alors être étendue au cas du tube tronqué :

θ = 3kπ 2 Repipe Ga ( d hf )2 (3.4)

où le nombre de Reynolds est construit sur un écoulement de Poiseuille dans un tube vide

(Repipe = (4ρfQpipe)/(πηD)). Le passage 2D-3D se fait donc de façon générale en remplaçant

Re_2D par k(π/4)Repipe.

Pour vérifier la relation 3.4 et obtenir la valeur expérimentale du seuil de mise en

mou-vement, nous utilisons toutes les données obtenues de hauteur finale du sédiment en

fonc-tion du nombre de Reynolds (figure 3.7a). Au seuil la relation 3.4 devient (Rep/Ga) =

(2/3kπ)θc(hc_f/D)2où nous avons défini un nombre de Reynolds particulaire Rep = Repipe(d/D)2.

En traçant le terme Rep/Ga en fonction de la hauteur de fluide au seuil normalisée par la

hauteur du canal (figure3.7b), on obtient bien une loi de puissance 2 dont le coefficient nous

donne le nombre de Shields critique :

θc≈ 0.12 ± 0.03 (3.5)

Le seuil est donc bien décrit par un nombre de Shields critique, constant sur une large gamme

de Reynolds particulaire (1.5.10−5 _{6 Re}

p 6 0.76).

3.3

Transport de sédiments

Dans la littérature, le transport de sédiments est quantifié par le flux de particules, qp. On

(a) (b)

Fig. 3.7 –(a) Hauteur finale adimensionnée du sédiment hc_p/D en fonction du nombre de Reynolds

(• : verre, d = 132µm, η = 12cP), (◦ : verre, d = 132µm, η = 20cP), ( : PS, d = 538µm, η = 0.7cP), (4 : PMMA, d = 132µm, η = 1cP), ( : PMMA, d = 193µm, η = 0.7cP). (b) Re_p/Ga en fonction de la hauteur finale de fluide adimensionnée hc_f/D = 1 − hc_p/D. La droite représente le meilleur ajustement et les lignes pointillées les limites du domaine de validité du modèle.

La forme générale est donnée par la relation3.6 où m et n sont des constantes et le coefficient

qddépend du régime d’écoulement. Il est donnée par la relation qd =

p

(∆ρgd3)/(ρf)pour les

régimes turbulents22,23,57,3,85,67,84_{et q}

d = (∆ρgd3)/(η)pour les écoulements laminaires.10,14,9

qp ∼ qdθn(θ− θc)m (3.6)

Pour étudier ce problème nous avons choisi d’utiliser la modélisation diphasique présentée

au chapitre2. Etant donné que dans cette expérience la couche de grains en mouvement reste

fine, nous avons décidé de simplifier au maximun les fermutures concernant les contraintes fluides et solides. Pour la contrainte fluide nous avons choisi d’utiliser une forme newtonienne

2.9 avec la viscosité effective d’Einstein (relation 2.10) :

τf(y) = ηe

dU

dy (3.7)

Pour la contrainte solide nous avons choisi de simplifier la rhéologie (relation 2.11) en

supposant que le coefficient de friction est constant (on utilise un coefficient de friction µ au

lieu de la relation2.13). De plus nous nous plaçons dans le cas d’un lit plat 2D stationnaire

(figure3.8). Nous utilisons donc simplement une rhéologie de type Coulomb dans la zone qui

coule (dup_{/dy > 0) :}

τ_xyp = µpp (3.8)

Dans cette étude nous ne considérons pas l’effet de la dilatance car l’on considère que l’on a atteint un état stationnaire. La porosité est donc choisie constante dans le temps, égale à 1 dans le fluide et à la valeur  = 0.45 dans le lit de particules. Les conditions aux limites correspondent à une vitesse débitante nulle aux bords du tube (U(D) = U(0) = 0),

une vitesse des particules nulle en bas du tube (up_{(0) = 0}) et une contrainte solide nulle à l’interface fluide/grains (σp xy(hp) = 0).

D

d

h

h

Fig. 3.8 – Schéma du lit plat stationnaire 2D

Dans ces conditions, l’équation de conservation de quantité de mouvement de la phase par-ticule, projeté selon la verticale donne une répartition hydrostatique de la pression granulaire :

pp = φ∆ρg(hp− y) (3.9)

Les équations de conservation de quantité de mouvement projetées selon l’horizontale

(rela-tions 2.3 et 2.4) se réduisent à l’équation de Brinkman4,5 _{(equation 3.10) et l’équation du}

mélange (équation3.11). ∂pf ∂x − ∂τf xy ∂y + ηβ(U − u p_{) = 0 (3.10)} τ_xyp (y) + τ_xyf (y) = τ_xyf (hp)− ∂pf ∂x(hp− y) (3.11)

L’équation de Brinkman correspond au transport du fluide à travers le lit de particules alors que l’équation du mélange correspond au transfert de la contrainte qui s’applique en haut du lit (contrainte fluide uniquement) en une contrainte fluide et une contrainte sur les particules

dans le lit (figure3.9).

Ces équations sont linéaires et peuvent être résolues numériquement en utilisant une méthode de différences finies. Un profil obtenu pour un nombre de Shields élevé (θ = 4.1) est présenté

figure 3.10. On observe que les profils de vitesse fluide et particules sont superposés. Cette

remarque permet une résolution analytique en se plaçant dans le cas où les vitesses sont

Fig. 3.9 – Bilan de forces sur le mélange 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.04 0.08 0.12 0 u(m/s) y/D h_p/D

Fig. 3.10 – Profil de vitesse numérique (× fluide, ◦ particules) en fonction de la position

verti-cale (adimensionné par D). Conditions équivalents à du PMMA, d = 193µm dans un fluide de viscosité 37cP, pour un débit Q_2D = 0.015m2/s (θ = 4.1). La ligne pointillée représente l’interface fluide/grains. Le trait plein représente la solution analytique (équation3.13).

En utilisant les relations 3.7 à 3.11 et la condition que le gradient de vitesse s’annule en

y = hc on obtient l’expression de la taille de la zone qui coule (hp− hc) ainsi que le profil de

vitesse : (hp− hc) = τ f xy(hp) µφ∆ρg + ∂p_∂xf = θd µφ +∂p_∂xf/∆ρg (3.12) up = µφ∆ρg + ∂pf ∂x ηe (y− hc₎2 2 (3.13)

La figure3.10 compare le profil analytique (équation 3.13) avec le profil numérique. On peut

L’expression de la taille de la zone qui coule (équation3.12) peut permettre d’évaluer un seuil de mise en mouvement dans cette modélisation continue : on peut supposer que ce seuil

est atteint lorsque la première couche se met en mouvement ((hp_{− h}c_{)∼ d/2, le facteur 1/2}

provenant du fait que la couche à l’interface a une porosité deux fois plus grande que dans le lit). On retrouve alors que le seuil correspond à un nombre de Shields critique :

θc= µφ/2≈ 0.12 (3.14)

On retrouve également la dépendance attendue avec le coefficient de friction ainsi que le bon ordre de grandeur comparé aux expériences.

Dans le cas où l’écoulement de Poiseuille dans le fluide pur est faiblement perturbé par

le fait que les particules avancent (2θc < θ < 10θc), le terme en gradient de pression devient

négligeable. On obtient alors en utilisant l’équation 3.14 et en intégrant le profil de vitesse

(équation3.13 ) une expression simple pour le flux de particules :

qp ∼ ∆ρgd3 ηe φ₀θc 24  θ θc ₃ (3.15) Pour valider expérimentalement cette expression, nous nous sommes à nouveau servis du fait que le lit n’était pas alimenté en particules : l’entrée du tube constitue alors une perturbation qui va se propager. Mesurer la vitesse de propagation de cette perturbation est une méthode indirecte pour mesurer le flux de particule. En effet la conservation de la masse de particule s’écrit φ0∂h∂tp +

∂qp

∂x = 0. En utilisant les relations 3.15 et3.4 cette équation se réécrit :

∂θ

∂t∗ + c

∗_(θ) ∂θ

∂x∗ = 0 (3.16)

où le temps est adimensionné par t∗ _{= t/} Dηe

∆ρgd2(

6kRepipe

Ga )1/2



, les distances par x∗ _{= x/D et}

la vitesse adimensionnée de propagation est proportionnelle à ∂qp/∂θ et est donnée par :

c∗(θ) = θ c3/2 4  θ θc _7/2 . (3.17)

Pour une condition initiale hi

p, la vitesse est obtenue expérimentalement en suivant

l’évolu-tion temporelle du lit à une distance L de l’entrée (figure 3.11) et en mesurant le temps tf

à partir duquel le lit commence à décroître. La vitesse de propagation de la perturbation est

alors donnée par c(hi

p) = L/tf.

La figure 3.12a montre la vitesse de propagation expérimentale, pour 3 types de particules,

en fonction du nombre de Shields initial (obtenu avec l’équation 3.4). On retrouve bien la

pente 7/2 attendue (équation3.17) et l’accord est quantitatif dans la limite de 0.5 . θi . 1.5

en utilisant des valeurs typique pour µ = 0.43 et φ0 = 0.55. En utilisant les résultats de la

0 5 10 15 20 25 10 102 103 104 105 106 10-1 h_p(mm) t(s)

Fig. 3.11 – Mesure expérimentale de l’évolution de la hauteur du lit à L = 80cm de l’entrée.

(• :Verre, , d = 132µm, Re = 6) ; (  : Verre, d = 132µm, Re = 6) ; ( : PS, d = 538µm, Re = 7) ; (4 : PS, d = 538µm, Re = 19) ; (  : PS, d = 538µm, Re = 25) ; (5 : PS, d = 538µm, Re = 3) ; (+ : PMMA, d = 193µm, Re = 3) ; (× : PMMA, d = 193µm, Re = 6).

du nombre de Shields à une position L = 80cm de l’entrée, à la résolution numérique de

l’équation 3.16 (figure 3.12). L’accord est bon, en particulier on retrouve bien le temps de

transition ainsi que l’évolution temporelle.

(a) 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0.1 1 10 c* θ_i (b) 0.1 1 10 10-410-310-210-1 100 10 102 103 104 t* θ

Fig. 3.12 –(a) Vitesse de la perturbation c∗, en fonction du nombre de Shields initialθi (◦ : Verre,

d = 132µm), ( : PS, d = 538µm ), (4 : PMMA, d = 193µm). Trait plein : comparaison avec le modèle (équation 3.17). (b) Evolution temporelle du nombre de Shields à une position L = 80cm de l’entrée (même légende que pour la figure 3.11). Les traits pleins correspondent à l’intégration numérique de l’équation3.16 pourθ_i= 0.5, 1.8, et 7.5, respectivement.

La modélisation diphasique avec une rhéologie de Coulomb pour le granulaire semble bien décrire l’évolution d’un lit de particules charriées par un écoulement cisaillé dans un tube, lorsque la couche en mouvement reste fine et que l’écoulement de Poiseuille n’est pas trop perturbé. Il serait maintenant intéressant de tester les différentes fermetures (rhéologie fluide, granulaire, influence des effets 3D) avec des mesures plus directes du mouvement des particules à l’intérieur du lit.

3.4

Formation de dunes laminaires

La connaissance du flux de particules en fonction du débit fluide nous permet d’évaluer le seuil de formation des dunes laminaires. Pour cela nous nous plaçons dans le cadre d’une approche phénoménologique où nous allons d’abord identifier les mécanismes prépondérants de déstabilisation et de stabilisation d’une faible perturbation sinusoïdale du lit plat, afin d’effectuer une analyse de stabilité linéaire.

Le mécanisme déstabilisant prépondérant42,24,68,75,16,15,10,12_{est l’effet de l’inertie : le}

maxi-mun de cisaillement fluide est déphasé par rapport au sommet d’une ondulation à cause des

effets inertiels (figure3.13a). Or le flux de particules dépend directement du taux de

cisaille-ment à travers la contrainte fluide (équation 3.15). Si le maximun de flux se situe avant le

sommet, les particules vont s’accumuler vers les crêtes, développant l’instabilité.

(a)

D

h

h

(x)

Fig. 3.13 – (a) Effet de l’inertie. (b) Effet de la pente

Le déphasage entre le sommet du lit et le cisaillement maximum peut se calculer dans l’hypothèse d’un fond sinusoïdal de faible amplitude et de grande longueur d’onde (nombre

d’onde k << hf).8 Pour cela on décompose l’écoulement en un terme de base u0 (écoulement

de Poiseuille sur fond plat) et une perturbation de la forme u1(y)eikx, v1(y)eikxrespectivement

selon les directions x et y. On trouve que pour un écoulement bidimensionnel de Poiseuille le déphasage dépend principalement du nombre de Reynolds :

δ =−hfRe2D

140 [

2π

Le mécanisme stabilisant généralement utilisé25,68,75,10,12,9 _{est l’effet de la pente : le seuil}

de mise en mouvement est déplacé par la présence d’une pente (figure 3.13b). En effet, la

force de gravité parallèle à la pente s’oppose au mouvement ascendant des particules. Cette variation dépend principalement du coefficient de friction :

θc= θ₀c(1 + ∂hp/∂x

µ ) (3.19)

Pour effectuer l’étude de stabilité linéaire,8,9 _{nous nous plaçons dans une géométrie 2D,}

et nous supposons que le lit plat est perturbé par une sinusoïde de faible amplitude ξ = ξ₁ei(kx−ωt)(figure3.14). De plus nous supposons qu’il n’y a pas de rétroaction du mouvement des particules sur le fluide. L’évolution du lit de particules est alors donné par la conservation de la masse du milieu granulaire :

∂qp ∂x + φ0 ∂hp ∂t = 0 (3.20)

x

y

ξ

λ

Fig. 3.14 – Etude de stabilité linéaire

A partir des équations3.15et3.18à3.20, nous effectuons une analyse des stabilité linéaire

en décomposant chaque terme en un terme de base correspondant à l’écoulement au dessus du fond plat et une perturbation sinusoïdale. Après linéarisation et en se plaçant dans le cas

des grandes longueurs d’onde, on obtient le taux de croissance de l’instabilité (équation3.21)

où l’on reconnaît l’effet déstabilisant de l’inertie et stabilisant de la pente. ωi ∝ k2h2f η ηe Ga 24Re_2D θ3₀ θc 02 (3Re_2D/35− 2/µ) (3.21)

L’instabilité se développe donc à partir d’un nombre de Reynolds critique Rec

Cette valeur peut être transposée dans le cas du tube en utilisant les correspondances du passage d’une géométrie 2D à une géométrie tube tronqué trouvée précédemment :

Rec= 280

3kπµ (3.22)

Le seuil de mise en mouvement correspondant à un Shields critique et le seuil d’apparition

des dunes laminaires à un Reynolds critique, l’équation3.4 qui relie ces deux nombres sans

dimension suggère les axes d’un diagramme de phase (figure 3.15) dans lequel les différents

régimes (‘pas de mouvement’, ‘lit plat en mouvement’ et ‘dunes laminaires’) devraient être séparés.

10

1

10

10

10

₁₀

₁₀

₁₀

Re

10

10

10

10

10

Ga(h

/d)

Fig. 3.15 –Diagramme de phase dans le planRepipe,Ga(hf/d)2. Les différents régimes représentés

correspondent à : ‘pas de mouvement’ (×), ‘lit plat en mouvement’ () et () en dehors du domaine de validité du modèle, ‘dunes laminaires’ (◦), ‘dunes à vortex’ (N), et ‘dunes sinueuses’ (4). La ligne en tirets (−−) correspond au seuil prédit de mise en mouvement, la ligne en pointillés (..) correspond au domaine de validité du flux de particules. La ligne horizontale correspond au seuil de formation des dunes laminaires.

On peut voir dans la figure 3.15 que dans la limite du modèle le seuil d’apparition des

dunes laminaires semble correctement décrit par un Reynolds critique de valeur Rec _{= 37.5}

comme prédit par l’équation 3.22 pour une valeur µ = 0.43, compatibles avec des mesures

expérimentales.7 _{Le passage aux dunes à vortex ainsi qu’aux dunes sinueuses semblent}

Par une approche phénoménologique simple, nous avons trouvé un seuil de formation des dunes laminaires correspondant à un nombre de Reynolds critique. Il serait maintenant intéressant d’effectuer l’analyse de stabilité directement sur les équations diphasiques afin de discriminer les différents mécanisme pouvant conduire à la formation des dunes laminaires.

Chapitre 4

Liquéfaction d’un sol granulaire sous

vagues

En collaboration avec O. Pouliquen La liquéfaction des sols est un phénomène naturel catastrophique qui arrive quand un sol granulaire gorgé d’eau est soumis à une sollicitation, par exemple un tremblement de terre. On observe alors que des bâtiments tombent et coulent dans le sol, avec leur fondations, comme

si le sol était devenu momentanément liquide (figure 4.1). Ce phénomène s’accompagne en

général d’une résurgence d’eau. Les zones où la liquéfaction des sols peut se produire sont relativement bien connues et les plans d’occupation des sols en tiennent compte. Il s’agit de zones saturées en eau et peu consolidées comme on en trouve à proximité de rivières ou

d’estuaires. Ce phénomène existe également sous vagues70,76,77,58_{et peut être responsable de}

l’effondrement de récifs artificiels, de bâtiments offshore ou du déplacement de pipelines. Il peut également être à l’origine d’avalanches sous-marines.

(a) (b)

Fig. 4.1 –Liquefaction des sols lors des tremblements de terre de Niigata (1964) et de Kocaeli (1999)

Le principe du phénomène de liquéfaction est relativement bien compris (figure 4.2) :

l’état initial du milieu granulaire est un état lâche, gorgé d’eau. Les grains sont néanmoins en contact les uns avec les autres et le squelette granulaire est capable de porter une charge. Lors d’une perturbation le milieu granulaire se compacte mais cette étape ne peut se faire

qu’en drainant du liquide interstitiel : l’écoulement du liquide rompt alors les contacts inter-grains créant transitoirement une suspension qui se comporte comme un liquide. L’état final correspond à un squelette granulaire plus compact.

empilement lache perturbation liquefaction empilement dense

Fig. 4.2 – Principe du phénomène de liquéfaction

Un paramètre clé de la liquéfaction est la présence ou non des contacts entre les grains. Ce paramètre peut être mesuré via la pression de pore : si les grains sont en contact la pres-sion de pore moyenne correspond uniquement à la prespres-sion hydrostatique du liquide alors que lorsque ces contacts sont rompus le poids des grains va être porté par le fluide. Nous avons donc réalisé une expérience de liquéfaction sous vagues dans laquelle nous mesurons la pression de pore à plusieurs positions. Le but de cette expérience est de comprendre quel est le mécanisme déstabilisant qui génère la liquéfaction sous vagues et quelle est alors la dynamique de ce phénomène.

Dans la littérature on trouve principalement trois types de modèles physiques pour re-présenter le comportement d’un milieu granulaire immergé soumis à des vagues. Le modèle

le plus utilisé considère le sédiment comme un poreux élastique (poro-élasticité56,87,81_{). On}

trouve également des modèle où le milieu granulaire est assimilé à un fluide visqueux (modèle

à deux couches fluides17_{). Enfin on trouve des modèles où le milieu est séparé en plusieurs}

zones, une zone supérieure fluide comportant deux couches visqueuses (fluide et sol liquéfié) et une zone inférieure de sol élasto-plastique. Ces zones sont séparées par un front de

solidifi-cation qui se propage vers le haut (modèle de liquéfaction-consolidation progressive71,59_{). Afin}

de modéliser ce phénomène, nous proposons d’utiliser les équations à deux phases décrites