Le¸ con: Espaces vectoriels norm´ es, applications lin´ eaires continues. Exemples.

Pr´epa-agreg 2016-2017 Universit´e de Bordeaux

Le¸ con: Espaces vectoriels norm´ es, applications lin´ eaires continues. Exemples.

Exercice 1. Montrer qu’en dimension finie toutes les normes sont

´

equivalentes.

Exercice 2. SurRⁿouCⁿ, on consid`ere les normes: k · k₁ ,k · k₂ etk · k_∞. 1) Repr´esenter leur boule unit´e respective dansR².

2) On sait que ces normes sont ´equivalentes: donner les meilleures en- cadrements possibles entre ces 3 normes (en fonction de la dimension n).

3) Soit A une matrice de M_n(R).

a) Montrer que

kAk_1,1 = max

1≤j≤n n

X

i=1

|a_i,j|

!

,kAk∞,∞= max

1≤i≤n





n

X

j=1

|a_i,j|





b) Montrer que si A est hermitienne (i.e. A^∗ =A), kAk_2,2 =ρ(A)

avecρ(A) le rayon spectral deA,ρ(A) = max{|λ|, λ∈Cvaleur propre deA}.

c) Montrer que dans le cas g´en´eral:

kAk_2,2 =ρ(A^∗A)¹².

Exercice 3. SoitB ⊂Rⁿ. Montrer queB est la boule unit´e d’une norme si et seulement si B est compacte, sym´etrique , convexe et d’int´erieur non vide.

Indication: On poura consid´erer kxk:= inf{λ >0,^x_λ ∈B}.

Exercice 4. SoitE un espace de Banach. Montrer queGL(E) est ouvert dansL_c(E).

Indication: On poura commencer par montrer que sikuk<1,Id+uest inversible dans L_c(E).

Exercice 5. Sur R[X], on d´efinit les normes suivantes: pour P = Pn

k=0a_kX^k, kPk₁ =

n

X

k=0

|a_k|,kPk₂=

n

X

k=0

|a_k|²

!¹

2

,kPk_∞= sup

0≤k≤n

|a_k|

1

1) Montrer que kPk_∞ ≤ kPk₂ ≤ kPk₁ mais que ces normes ne sont pas

´

equivalentes.

2) On consid`ere l’endomorphisme P → P⁰ dans R[X]. Est-il continu pour l’une de ces normes.

3) On consid`ere la forme lin´eaire φ R[X] → R d´efinie par P 7→ P(c) est-elle continue pour l’une de ces normes. On pourra s´eparer les cas|c| ≤1 et|c|>1. Dans le cas|c| ≤1, calculer la norme |||φ|||. Est-elle atteinte?

Exercice 6. On consid`ereE=C_c(R,R) l’ensemble des fonctions continues

`

a support compact surR. Pour f ∈E, on d´efinit kfk₁=

Z

R

|f(t)|dt, kfk₂= Z

R

|f(t)|²dt ¹₂

,kfk_∞= sup

R

|f(t)|.

Monter que ce sont bien des normes sur E. Montrer qu’elles ne sont pas comparables. Qu’en est-il lorsque l’on remplaceR parI = [0,1].?

Exercice 7. (Nawfal El Hage Hassan) Soit E = C([0,2],R) muni de la normek · k_∞. On consid`ere l’application lin´eaireT :E →Rd´efinie par

T(f) = Z 1

0

f(u)du− Z 2

1

f(u)du.

Montrer quekTk= 2 mais que cette norme n’est pas atteinte.

Exercice 8. a) On consid`ere l’application lin´eaire T de R[X] dans lui mˆeme d´efinie par T(P) =P⁰ avec P⁰ le polynˆome d´eriv´e deP.

Existe-t-il une norme sur R[X] pour laquelleT est continue.

b) Mˆeme question pour S l’application lin´eaire de R[X] dans lui mˆeme d´efinie par S(Xⁿ) =nXⁿ,n≥0.

Exercice 9. SoitE un espace vectoriel norm´e. SoitS etT 2 applications lin´eaires surE telles queST−T S=Id.

Montrer que pour n≥0,SⁿT−T Sⁿ=nSⁿ⁻¹.

En d´eduire que S etT ne peuvent pas ˆetre toutes les 2 continues.

Exercice 10. In´egalit´es de Khintchine (Zuily-Queffelec) Le but de l’exercice va ˆetre de construire 2 normes not´ees k · k₁ et k · k₂ sur Rⁿ qui v´erifient pour touta∈Rⁿ,

kak₁≤ kak₂ ≤ckak₁

avec cune constante qui ne d´epend pas de la dimension n.

2

On commence par s’int´eresser au cube discretC_n={−1,+1}ⁿ muni de la mesure uniformeµn. Pourn≥1, on d´efinit alors poura∈Rⁿ les normes:

kak₁ := X

ε∈Cn

n

X

i=1

ε_ia_i

µ_n(ε) et

kak₂ :=



 X

ε∈Cn

n

X

i=1

ε_ia_i

2

µ_n(ε)





1 2

avec ε= (ε₁, . . . , ε_n)∈C_n={−1,+1}ⁿ etµ_n(ε) = ₂¹n.

Remarque: On peut consid´erer que cette mesure uniforme sur le cube C_nest elle-mˆeme obtenue comme la mesure image parnvariables al´eatoires ind´ependantes de loi de Rademacher d’un espace probabilis´e (Ω,A,P):

(Ω,A,P) → (Cn,P(Cn), µn) ω 7→ (X1(ω), . . . Xn(ω))

avecX₁, . . . , X_ndes variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Rademacher ( c’est-`a-dire P(Xi= +1) =P(Xi =−1) = ¹₂.)

Il est mˆeme possible de proposer un mod`ele explicite pour (Ω,A,P) surlequel on peut construire toutes les variables al´eatoires (X<sub>n</sub>)n≥0 `a la fois.

On peut prendre Ω = [0,1], A la tribu des bor´eliens sur [0,1] et P la mesure de lebesgue sur [0,1] et d´efinir pour ω∈Ω = [0,1],

Xi(ω) =signe

sin(2^jπω) .

On remarque donc que

kak₁ =E[|f|] etkak₂=E[|f|²]¹² avec

f(ω) =

n

X

k=1

a_kX_k(ω)

qui appartient `a l’espace vectoriel F_n de dimensionnengendr´e par les vari- ables al´eatoiresX1, . . . , Xn.

On a clairement

E[|f|]≤E[|f|²]¹²

Le but de l’exercice est maintenant de montrer que pour f ∈F_n on a E[|f|²]¹² ≤√

eE[|f|].

3

1) Montrer que pour f =Pn

k=1a_kX_k, on a E[|f|²] =

n

X

k=1

a²_k.

2) Monter que sig∈L^∞(Ω) `a valeurs dansC et sig6= 0, E[|f|]≥ |E[f g]|

kgk_∞ .

3) On va donc essayer de minorerE[|f|] par “dualit´e” en cherchant g telle quekgk_∞ soit “petit” et|E[f g]|“grand” . Posons

g(ω) =

n

Y

k=1

(1 +iakXk(ω)).

a) Montrer que pour tout ω∈Ω = [0,1],

|g(ω)|² ≤exp

n

X

k=1

a²_k

! .

b) Montrer que pour tout 1≤j≤n E[gXj] =iaj, puis que: |E[f g]|=Pn

k=1a²_k=E[|f|²].

c) En d´eduire que

E[|f|]≥ E

|f|² exp ¹₂E[|f|²]. d) Conclure pour E

|f|²

= 1 puis dans le cas g´en´eral.

Remarque: la constante √

e n’est pas optimale. La constante optimale est √

2.

4