Filtres passifs

Filtres passifs

I₂₄. Amplificateur sélectif.

1) Un amplificateur sélectif est représenté ci-contre. Il comporte une source de courant commandée par la tension d’entrée, une résistance, une inductance et un

condensateur ; g est une constante réelle. On suppose qu’il débite sur une impédance infinie. Exprimer sa fonction de transfert en tension ^s

e

H v

=v en fonction de g, R , L, C et de la pulsation ω.

2) La mettre sous la forme

0 0

1 H A

jQ

= + ⎛ ω⎜⎜⎜⎝ω −ω ⎞⎟ω ⎟⎟⎠

et exprimer A Q et, ω₀ en fonction de g, R, L et C.

3) Calculer L, C et g pour que A = 1, R = 100 Ω, Q = 100 et pour que la fréquence correspondant à ω0 soit

0 5

f = MHz.

4) Quel type de filtrage réalise cet amplificateur ?

5) Déterminer le domaine de fréquence où il déphase vs par rapport à ve de moins de ϕ = 10°.

6) Quel est dans ce domaine la variation extrême du rapport des amplitudes V_sm/V_em ? II₃₀. Filtre passif.

Un générateur, non représenté, applique au montage une tension

; le montage applique la tension v

e emcos

v =V ωt s à un appareil non représenté

équivalent à une résistance infinie.

1) Calculer la fonction de transfert complexe H = vs/ve en fonction de R, L, C et ω.

2) Montrer que l’on peut écrire

( )

1 1 1

H où

jQ x x

=

+ − ⁰

x = ^ω et où ω

ω ⁰ et Q s

fonction de R, L et C.

vs

R L C ve

ve(t) L

gve(t) R C vs(t)

ont deux constantes à exprimer en

3) Pour quelle valeur de ω le gain G = |H| est-il maximum ? Quel est sa valeur maximale G_max ?

4) On suppose pour cette question Q grand. Déterminer une expression approximative simple de x – 1/x au voisinage de x = 1. En déduire des expressions approximatives, mais simples des pulsations ω₁ et ω₂ (ω₁ < ω₂) délimitant la bande passante à –3 dB, c’est-à-dire l’intervalle de ω pour lequel le gain est supérieur à G_max/ 2.

5) Ecrire les équations rigoureuses donnant ω₁ et ω₂ pour Q quelconque et les résoudre.

6) Comparer les expressions de ²

0

ω − ω

ω ¹ obtenues à partir des résultats des questions 4) et 5).

7) Exprimer vs(t) dans les deux cas ω = ω0 et ω = ω1.

8) Tracer schématiquement les graphes de G et φ en fonction de ω.

9) Cette théorie est-elle valable si le générateur branché à l’entrée a une résistance non nulle ? si le récepteur branché à la sortie a une résistance finie ?

III39.

Un filtre comportant des résistances R, des capacités C et d’autres composants linéaires a pour fonction de transfert

2 2 2ω ( ) 1

1 2 2

s e

H j v

v jRC R C

ω = =

+ ω −

où v_e et v_s sont les représentations complexes des tensions v V et v V à l’entrée et à la sortie du filtre.

e = emcosωt = ωt +ϕ

ω = V

cos( )

s sm

1) Exprimer en fonction de R C, , le coefficient d’amplificationH V_sm/ _em pour ce filtre.

2) On souhaite écrire la fonction de transfert sous la forme : ₂

0 0

( ) 1

1 2

s e

H j v

v j

ω = =

ω ⎛ ω ⎞⎟⎜ + σω −⎜⎜⎝ω ⎟⎟⎠

. Exprimer les

constantes (coefficient d’amortissement du filtre) et σ ω₀ en fonction de R et C. 3) Déterminer en fonction de R C, ,ω le déphasage ϕ par sa tangente.

4) Donner le tableau de variation de ϕ en fonction de ω.

5) Quelle est la nature du filtre, passe bas, passe haut, passe bande ou coupe bande ? 6) Donner la définition du gain G_dB exprimé en décibel en fonction de H.

7) Déterminer le comportement asymptotique de G_dB pour ω ω₀ ;

8) et pour ω ω₀.

9) Définir la bande passante du filtre.

10) Calculer cette bande passante.

11) La tension d’entrée est désormais la tension triangulaire représentée ci-contre, de fréquence 0 ⁰

f 2ω

= π, où a la valeur calculée à la question 2 et dont la décomposition de Fourier est

ω0

0 0 0

2 2 2

8 1 1

( ) cos cos(3 ) cos(5 )

3 5

e m

v t = E ⎡⎢ ω t+ ωt + ω t + ⎤⎥

π ⎣ …⎦ où .

On constate expérimentalement que la tension de sortie est sensiblement sinusoïdale : . Expliquer ce fait.

1 volt Em =

cos( 0 )

s sm

v ≈V ωt +ϕ −E^m

Em v^e

t

12) Calculer V_sm. 13) Calculer ϕ.

14) La tension d’entrée est à présent une fonction quelconque du temps. En utilisant l’expression de la fonction de transfert, déterminer l’équation différentielle du second ordre qui relie v_s et v_e.

15) La tension d’entrée est à présent un échelon de tension, c’est-à-dire que pour et

pour , où E est une constante. La figure ci-contre donne le graphe de la tension de sortie

en fonction du temps. Quelle est la valeur numérique de ?

( ) 0

v te = t <0

e( )

v t =E t >0

vs

E

16) Commenter le graphe de représenté ci- contre : nature du régime ? est-il proche ou éloigné du régime critique ? conditions initiales ?

s( )

v t

IV

₄₀.

1) Calculer la fonction de transfert H1 =v_s/v_e du filtre ci-contre quand sa sortie

débite sur une charge d’impédance infinie. vs

C R ve

2) Définir et calculer son impédance d’entrée Z_e.

3) Définir et calculer son impédance de sortie ^Z_s moyennant une certaine hypothèse.

C vs

C R R

ve

4) Calculer la fonction de transfert H2 =v_s/v_e du filtre ci-contre quand sa sortie débite sur une charge d’impédance infinie.

5) Expliquer pourquoi H2 ≠H1².

=

=

= ωt =

V t

= + ω

t

6) Calculer la bande passante du premier filtre pour ^R=¹⁰⁰⁰Ω et ^C 100 nF.

7) On applique à l’entrée du premier filtre la tension continue ^V_e ^{2 volts}. Quelle est la tension à la sortie ? 8) On applique à l’entrée du premier filtre la tension v V , où V et . Quelle est la tension à la sortie ?

e em cos _em 2 volts ω =10 rad/s⁵

9) On applique à l’entrée du premier filtre la tension v V . Quelle est approximativement la tension à la sortie, sous forme numérique ?

e e em cos

10) Si v1 et v₂ sont les valeurs minimales et maximales de v_s^{( )}et v_s sa valeur moyenne, le taux d’ondulation de est

vs ^{2 1}

2 _s v v

v

λ = − . Calculer λ.

11) On branche à la sortie un voltmètre de bonne qualité, donc « rms », réglé en continu. Qu’indique-t-il ? 12) On règle ce voltmètre en alternatif. Qu’indique-t-il ?

vs

R R

L L

t

A

e emcos v =V ω V36. d’après petites mines 2003.

1) Le filtre ci-contre débite sur une résistance d’utilisation infinie. En considérant son comportement asymptotique à haute et basse fréquence, déterminer sans calcul sa nature, passe bas, passe haut, passe bande ou coupe bande.

2) Exprimer sa fonction de transfert H =v_s /v_e en fonction de x =Lω/R. Nota : ne pas transformer l’expression obtenue sans raison.

3) Tracer qualitativement le diagramme de Bode de ce filtre, c’est-à-dire les deux graphes de G_dB =20 logH et ( )

arg H

ϕ= en fonction de logx. On précisera les équations des asymptotes.

4) Quel est le plus grand, la pulsation de coupure ou R/L ?

5) On peut considérer ce filtre comme constitué par la mise en série de deux cellules formées par une résistance R et une bobine L. Comment modifier ce montage pour obtenir un filtre dont la fonction de transfert est le carré de celle d’un filtre ne comportant qu’une cellule R L, ?

Réponses

I. 1) 1 H Rg

jRC jR L

=

+ ω − ω

; 2) A=Rg ; ₀ ¹

ω = LC ; ^{Q R C}

= L ; 3) A 0, 01S

g = R = ;

8 0

3,18.10 H 2

L R

f Q ⁻

= =

π ; ⁸

0

3,18.10 F C Q

R ⁻

= =

ω ; 4) passe-bande ; 5) 1 0 tan

(1 ) 4, 9956 MHz

f f 2

Q

= − ϕ = ;

2 0 tan

(1 ) 5, 0044 MHz

f f 2

Q

= + ϕ = ; 6) de 1 à 0,9848.

II. 1)

(

^{1 1}

)

1 H

jR C L

=

+ ω − ω

; 2) 0

1

ω = LC ; Q R ^C

= L ; 3) ω =ω0 ; G_max =1 ; 4)

1 0 2 0

1 1

1 1

2Q 2Q

⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎟

⎜ ⎜

ω =ω ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠<ω<ω =ω ⎜⎜⎝ + ⎟⎟

⎞

⎠ ; 5) ₁ ⁰ 4 ¹₂ ¹

2 Q Q

⎡ ⎤

ω ⎢ ⎥

ω = + −

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ; ₂ ⁰ 4 ¹₂ ¹

2 Q Q

⎡ ⎤

ω ⎢ ⎥

ω = + +

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ; 6)

2 1

0

1 Q ω − ω

ω = ; 7) si ω =ω₀, v_s =v_e =V_emcosωt ; si ω=ω₁, ^{vs =Vem}₂ ^cos

(

^ωt+π₄

)

^;

G

w0 _ω

2 π

2

−π 0

ω ω0

φ 1

0

8)

9) valables si le générateur branché à l’entrée a une résistance ; non valables si l’appareil branché à la sortie a une impédance finie.

rg

III. 1) ¹_{4 4 4}

1 4

H = R C

+ ω ; 2) ₀ ¹

ω = 2RC ; ¹

σ= 2 ; 3) _{2 2 2 2 2} ⁰

0

2 / tan 2

2 1 /

RC R C

ω ω

ϕ = ω =

ω − ω ω −1 ; 4)

ω 0 ω0 +∞

tanϕ 0 −∞ +∞ 0

ϕ 0 −π/ 2 −π

5) passe bas ; 6) G_dB =20 logH ; 7) G_dB ≈ 0 ; 8) G_dB 40 log( / ₀) ; 9) si H est la valeur maximale de la fonction H , la bande passante est le domaine de fréquence pour lequel H est supérieur à

≈ − ω ω

ω

max

( ) H_max 2 ; 10)

l’intervalle de fréquence

(

^0,_2π ¹_2RC

)

; 11) les composantes de la série de Fourier de fréquence 3f₀,5f₀... sont davantage atténuées que la composante de fréquence f0 ; 12) V_sm =4 2E_m/π² =0, 573 volt ; 13) ; 14)

ϕ=−π/ 2

2 2 2

2 d v2^s 2 dv^s _{s e} ; 15)

R C RC v v

dt ⁺ dt ^{+ =} E 1 volt ; 16) régime pseudopériodique proche du régime critique ; et

= (0) 0

vs = dv^s(0) 0 dt ⁼ .

IV. 1) ₁ 1

H 1 ; 2) le montage équivaut vis à vis de l’entrée à une impédance

= jRC

+ ω

1

Ze R ; 3)

l’ensemble du circuit branché à l’entrée et du filtre équivaut à une source de tension en série avec une impédance

= +jC ω 1

s 1 Z

R jC

=

+ ω ou 1

s 1

g

Z ; 4)

R r jC

=

+ ω +

2 2 2 2

1 1 3

H ; 6) du continu à 159 ; 7)

jRC R C

= + ω − ω 2 Hz

)

s 2 V

v = ; 8) approximativement ou ; 9)

en volts ; 10) ; 11) 2 volts ; 12) 0,14 volts.

( ⁵ ) 0,2 sin 10

vs = t v_s =0,199 cos 10( ⁵t−1, 471rad) ( ⁵

2 0,2 sin 10

vs = + t λ=0,1

Corrigés

I.

1) 1 1

1

s e e

gv Rg

v Zgv H

jC jRC jR

R jL L

= = ⇒ =

+ + ω + ω −

ω ω

2) En identifiant les deux formules, on obtient ₀

0

Q R

A Rg RC Q

= = L = ω

ω , d’où en formant le produit et le quotient membre à membre de ces deux dernières formules ₀ 1 C

Q R

LC L

ω = =

3) ^{8 8}

0 0

0, 01S 3,18.10 H 3,18.10 F

2

A R Q

g L C

R f Q R

− −

= = = = = =

π ω

4) C’est un passe-bande.

5) Posons

0 0

x f

f

= ω =

ω . Les limites correspondent à 1

tan Q x( )

ϕ = ± −x .

Comme le domaine est étroit, le calcul est plus simple en approximant la fonction 1 x−x par

1

( 1/ )

1 ( 1) 2( 1

x

d x x

x x x

x dx ₌

− ≈ − − = − )

1 0 2 0

tan tan tan

1 (1 ) 4, 9956 MHz (1 ) 5, 0044 MHz

2 2 2

x f f f f

Q Q Q

ϕ ϕ ϕ

≈ ± = − = = + =

6) Le gain reste très voisin de 1 ; sa valeur extrême a lieu pour ϕ =10° ; alors il vaut

2

1 cos 0, 9848

1 tan = ϕ=

+ ϕ ; il varie donc de 1 à 0,9848.

II. Filtre passif.

1) D’après le théorème de Millman,

(

¹

)

1 1 1

1

e s

v

v R H

jC jR C

R jL L

= ⇒ =

+ + ω + ω −

ω ω

2) Il faut identifier les deux expressions de

( )

0 0 0 0

1 1

1 1 1

H

jQ jR C

L

Q R

RC Q L

= + ⎛ ω⎜⎜⎜⎝ω −ω ⎞⎟ω ⎟⎟⎠= + ω − ω

= ω =

ω

En prenant le produit et le rapport membre à membre , on obtient :

2 2 2

0 0

0

1 R C R

Q Q R

LC L L

ω = = = = ω

ω C

Remarquons que l’expression de Q n’est pas celle d’un circuit RLC série.

3) ²

( )

²

1 1 1

G H

Q x x

= =

+ −

est maximum quand 1 0

x−x = soit ou . Sa valeur maximale

est .

1

x = ω=ω₀

max 1

G =

4) ^{max 2} 1 ₂(1 )₂ 1 ²( )² 1

1/ 1

2 2

2 1 1/

G G G Q x x x

x Q

Q x x

> > > − < − <

+ −

1

)

Soit f x^{( )}=x−1/x d f x^{( ( ))}=

(

1+1/x d² x. En remplaçant les différentielles par des petites variations au voisinage de x =1, on obtient, f x^{( )}−f( )1 ≈2(x −1). Si Q est grand, la bande passante est sensiblement l’intervalle de fréquence pour lequel :

( ) 1 ₁ 1 ₂ 1 _{1 0} 1 _{2 0}

2 1 1 1 1 1

2 2 2

x x x x

Q Q Q Q

⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎟

⎜ ⎜

− < = − < < = + ω =ω ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠<ω<ω =ω ⎜⎜⎝ + ⎟⎟ 1 2Q

⎞

⎠

5) Les pulsations de coupures sont les solutions de 1 x−x =Q1

soit x² ±x Q/ −1=0 dont les racines sont

2

1 1 1

2 Q Q 4

⎡⎢± ± +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎤⎥. Comme une pulsation est positive, les deux solutions acceptables sont :

1 2 1 0 2

2 2 2 0 2

1 1 1 1

4 4

2 2

1 1 1 1

4 4

2 2

x Q Q Q Q

x Q Q Q Q

⎡ ⎤ ω ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + − ω = + −

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ω ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + + ω = + +

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

1

6) Dans les deux cas, ^{2 1}

0

1 Q ω − ω =

ω .

7) Si ω=ω₀, H =1, v_s =v_e =V_emcosωt.

=ω

Si ω ₁, ^{H =}₁₋¹ _j ^{= 1}₂^exp

( )

^jπ₄ ^{vs =Vem}₂ ^exp

(

^j

(

^{ωt +π}₄

) )

^{vs =Re(vs)=Vem}₂ ^cos

(

^ωt+₄^π

)

^.

8) Si

1 0

2

0 20 log 20 log

2

1 1

2 4 2 3 dB

1 0 1 0

1 1

2 4 2 3 dB

1 1

20 log 20 log 2

jx x

H G g

Q Q

H j G g

H G g

H j G

H G g

jQx Qx

ω → ≈ φ → π ≈ −

+ π

ω=ω = φ = = =−

ω=ω = φ = = =

− π

ω=ω = φ =− = =−

ω → ∞ ≈ φ → −π ≈ −

x Q

g

x Q

+ G

w0 ω

2 π

2

−π 0

ω ω0

φ

1 0

9) Ces résultats restent valables si le générateur branché à l’entrée a une résistance r , à condition qu’on soit capable de faire varier ω sans changer V , ce qui est assez irréaliste. On peut songer à remplacer R par R r .

g

em g

Ils ne sont plus valables si l’appareil branché à la sortie a une impédance finie.

III.

1) Comme H est de la forme 1

a+jb, son module est ₂1 _{2 2 2 2 2}1 ₂

(1 2 ) (2 )

H H

a b R C RC

= = =

+ − ω + ω

4 4 4

1 1 4

H = R C

+ ω

2) Il faut identifier les deux fonctions de _{2 2 2 2}

0 0

1 1

, ( )

1 2 2

1 2

s e

j H j v

v jRC R C

j

ω ω = = =

+ ω − ω + σωω −⎛ ω ⎞⎟⎜⎜⎜⎝ω ⎟⎟⎠ .

Ces deux fonctions sont identiques si : ^{2 2} _{2 0}

0 0

1 1

et 2 et

2 2

R C 1

RC

= σ = ⇒ ω = σ =

ω ω

RC

3) Comme H est de la forme 1

a+jb, son argument ϕ est compris entre et 0 −π et est tel que tan b ϕ =−a, soit

0

2 2 2 2 2

0

2 / tan 2

2 1 /

RC R C

ω ω

ϕ = ω =

ω − ω ω −1.

4) Posons, en accord avec une question qui suit, ₀ 1

ω = 2RC. Comme H est de la forme 1

a +jb, où a est positif à basse fréquence et négatif à haute fréquence et b est positif

ω 0 ω0 +∞

tanϕ 0 −∞ +∞ 0

ϕ 0 −π/ 2 −π

5) Ce filtre est passe bas.

6)

4 0

20 log 10 log 1

GdB = H =− ⎡⎢⎢⎣ +⎛ ω ⎞⎟⎜⎜⎜⎝ω ⎟⎟⎠ ⎤⎥⎥⎦. 7) Siω ω₀, G_dB ≈0.

8) Siω ω₀,

0

40 log

GdB ω

≈ − ω (–40 dB/décade).

9) Soit la valeur maximale de la fonction . La bande passante est le domaine de fréquence pour lequel est supérieur à

Hmax H( )ω H

max 2

H .

10) Comme H_max =1, la bande passante est le domaine où

4 0

1 1

1 2

⎛ ω ⎞⎟ >

+⎜⎜⎜⎝ω ⎟⎟⎠

, soit . La bande passante est

donc l’intervalle de fréquence

ω <ω0

(0, 1 )

2π 2RC .

11) Comme le filtre est passe bas et de bande passante (0, )f0 , les composantes de la série de Fourier de fréquence 3f0,5f0... sont davantage atténuées que la composante de fréquence f0 ; le signal à la sortie est donc intermédiaire entre un signal triangulaire et un signal sinusoïdal de fréquence f0. Si on néglige les harmoniques devant le

fondamental dans , ce signal est sinusoïdal ; sa représentation complexe est s’obtient en multipliant le fondamental de , soit

vs

ve 8 ₂ (

m exp E j tω

π ⁾, par 0

( ) 1 H j 2

ω = j , d’où _s ^{4 2}₂E^mexp^{( )}

v j

= j ω

π t .

12) _{sm s} ^{4 2}₂E^m 0, 573 volt

V = v = = .

π 13) arg( )

H 2^π

ϕ = = − .

14) En remplaçant jω par d

dt dans v_e =[1+2jRCω+2R C j^{2 2}( ) ]ω²v_s, on obtient

2 2 2

2 d v2^s 2 dv^s _{s e}

R C RC v v

dt ⁺ dt ^{+ =} . 15) E =lim_t→+∞v_s = 1 volt.

= 16)

• Le régime transitoire est pseudopériodique ; en effet, un régime apériodique ne peut pas comporter deux instants différents pour lesquels la dérivée de v est nulle. On peut le vérifier en calculant le discriminant de l’équation caractéristique, soit et remarquant qu’il est négatif.

s 2 2

4R C

∆=−

• Le régime est relativement proche du régime critique ; en effet, il y a très peu d'oscillation.

• Les conditions initiales sont v_s(0) 0 et dv^s(0) 0 dt ⁼ . IV.

1) Le même courant i_e traverse R et C : 1

1

1 1

e s

e s

e

v v

i jC v H

v j

R jC

= ω = ⇒ = =

+ ω

+ ω

RC .

2) Le montage équivaut vis à vis de l’entrée à une impédance ^e _e ¹

e

v Z R

i ^{= = +} jCω

3) L’ensemble du circuit branché à l’entrée et du filtre équivaut à une source de tension en série avec une impédance Zs,ou à une source de courant en parallèle avec cette impédance. Selon le circuit branché à l’entrée, plusieurs réponses sont possibles.

Si sur l’entrée est branchée une source de tension, l’équivalence

v

R

v v/R R v v/R Z vs

modèle de Thévenin modèle de Norton donne les équivalents successifs ci-contre : D’où Zs ₁ ¹

R jC

=

+ ω .

Si sur l’entrée est branchée une source de tension en série avec une résistance r_g, alors _{s 1} ¹

g

Z

R r jC

=

+ ω +

. 4) Voici deux résolutions possibles :

a) Appliquons le théorème de Millman au point A commun aux deux résistances

( ) /

1 1

1 1 1

e e

v R v

v A jRC

jC jRC

R R jRC

jC

= + ω+ = + ω+ ω

+ ω

+ ω

et à la sortie

( )

( )

2 2 2 2

/ 1

1 1 1 1 3

1

s e

v A R v

v H

jRC jRC R C

jC jRC jRC

R jRC

= = ⇒ =

ω

⎛ ⎞⎟ + ω − ω

⎜

+ ω ⎜⎜⎝ + ω+ + ω⎟⎟⎠ + ω

alors que ₁^{2 1} _{2 2 2}

1 2

H = jRC R C

+ ω − ω . b) Appliquons le théorème de Millman :

– au point A commun aux deux résistances ^{( ) / /}

2 / 2

e s e s

v R v R v v

v A R jC jRC

+ +

= =

+ ω + ω

– et à la sortie ^{( )/ ( ) (}1 ⁾

s 1/ s

v A R

v v A

R jC

= ⇒ = + ω

+ ω jRC v .

( )

( )( )

[ ]

2 2 2 2

2 1

1 2

1 1 3

e s

s

e s

v v

jRC v jRC

v jRC jRC

H jRC R C

+ = + ω

+ ω

= + ω + ω −

= + ω − ω

1 v

alors que ₁² 1 _{2 2 2}

1 2

H = jRC R C

+ ω − ω .

5) Si on place plusieurs quadripôles en série, la fonction de transfert de l’ensemble est le produit des fonctions de transfert des éléments

( ¹ _{1 2}

1

s s

e e

v v v

H H

v v v

= = = H ) si l’impédance de sortie de chaque élément est

beaucoup plus petite que l’impédance d’entrée de l’élément suivant. En effet, dans le cas contraire, la fonction de transfert n’est pas une propriété du seul quadripôle, elle dépend aussi des éléments qui sont branchés sur lui. Or, d’après les calculs des questions précédentes, l’impédance de sortie du premier étage est de l’ordre de celle d’entrée du second étage.

v1

H1 H2 vs

ve

6) 2 2 2

1 H 1

= R C

+ ω est maximum pour ω=0 et vaut alors H_max =1. La fréquence de coupure est telle que

max

3 7

1 1

1592 Hz

2 2 2 10 10

c c c

H H f

RC ⁻

= ⇒ ω = = ω = =

π π× × .

La bande passante va du continu à 1592 Hz. 7) H =1 v_s =2V .

8) ₃ 1 _{7 5}

1 10

1 10 10 10

1 j ⁻ j

= =

+ × × +

H . Si on ne cherche pas le déphasage entre la sortie et l’entrée, une bonne approximation est ₁₀^{1 Re em}₁₀^{j t} s ^{0,2 sin 10}( ⁵ )

H V e en volts. Cette approximation est suffisante pour

répondre aux questions suivantes.

v t

j j

⎛ ω ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠= =

Si on souhaite connaître le déphasage entre l’entrée et la sortie, on peut faire un calcul plus précis :

( )

( ⁵ )

1 10 10

Re Re cos sin 0,199 cos 10

1 10 101 101 101

0, 9365 1, 471rad 84, 3 2

j t j t

em em em em

s V e j V e V V

v t

j

ω ω

⎛ ⎞⎟ ⎛ − ⎞⎟

⎜ ⎜

= ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎠= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠= ω + ω = − ϕ

ϕ= π = = °

t t

.

)

9) vs = +^{2 0,2 sin 10}( ⁵t en volts.

10) v₁ =2−0,2 v₂ = +2 0,2 v =2 ⇒ λ =0,1. 11) Le voltmètre indique la valeur moyenne, soit 2 volts.

12). Le voltmètre indique la valeur efficace de la composante alternative, soit ^{0,2 0,14 V}

2 = .

Remarque : si le voltmètre était trms, il indiquerait la valeur efficace du signal, soit 2² +0,14² =2, 005 V. V.

1) A basse fréquence, une bobine est un court-circuit, donc . A haute fréquence, son impédance est infinie, donc . On peut donc présumer que ce filtre est passe-haut.

s 0 v = vs =v_e

2) Millman : 1 1 1 1 1

1 1

e A e

v R v v

R jL R jL jx jx

= =

+ + + +

ω + ω +

; A droite, R et L forment un diviseur de tension :

1

1 1 1 1

1 1 1

1

A s

v v

j

s A

v v H

R jL L

jx jx jx jx

= = ⇒ =

⎛ ⎞⎛ ⎞

+ ω ω + ⎜⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎟⎠⎝⎜⎜⎜⎜ + + + ⎟⎟⎟⎟⎠

⇒

3) A basse fréquence, ^{H 1}₂ ^{20 logH 40 log} (et non −π, car les deux expressions entre parenthèses au dénominateur de l’expression de

x x

− − ϕ →+π

H ont toutes deux une partie réelle positive et une partie imaginaire négative ; voir aussi que x=1⇒H =j/ 3) ).

A haute fréquence, ^{20logH 0} ϕ →⁰. Pour ^x =¹, H =j/ 3.

4) Pour x =1, H =j/ 3, H =1/ 3<1/ 2, donc la fréquence de coupure correspond à ^x>¹, soit ω> .

= / R L

En fait, la fréquence de coupure correspond à x 1,194.

5) Pour que la fonction de transfert de deux quadripôles disposés en

série soit le produit des fonctions de transfert de ces deux quadripôles, il faut que la résistance de sortie de la première cellule soit très petite par rapport à celle d’entrée de la seconde ; or dans le montage, elles paraissent du même ordre de grandeur ; il faut donc interposer un montage suiveur entre les deux cellules.

– R

L

R L vs e emcos

v =V ωt logx ϕ

logx 0

π 20 logH

0 40 logx

−

+ ∞